第二单元 含圆柱圆锥体积的等积变形解决问题（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学六年级下册

第二单元 含圆柱圆锥体积的等积变形解决问题（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义 1. 等积变形核心概念 等积变形：指物体的形状发生改变，但体积始终保持不变的现象（前提：无损耗、无添加，如熔铸、锻造、排水、切割拼接后无浪费）。 圆柱与圆锥的等积变形：主要是将圆柱（或圆锥）通过熔铸、锻造、转换容器等方式，变成圆锥（或圆柱），或变成其他等体积的立体图形（重点考查圆柱与圆锥的相互转换）。 2. 等积变形的关键特征 ① 体积不变：变形前后两个（或多个）几何体的体积相等，这是解题的核心等量关系； ② 形状改变：底面半径、高、底面积可能发生变化，但总体积始终相等； ③ 常见场景：熔铸（如圆柱铁块熔铸成圆锥）、锻造（如圆柱钢材锻造成圆锥零件）、排水法（物体浸入水中，排开水的体积=物体体积）、切割拼接（无损耗拼接后总体积=各部分体积和）。 二、核心公式与等量关系 （一）基础体积公式（回顾） 1. 圆柱体积： 2. 圆锥体积： （二）等积变形核心等量关系 1. 圆柱→圆锥（等积）：圆柱体积 = 圆锥体积，即 推论：若等底，则圆锥的高 = 圆柱高×3；若等高，则圆锥的底面积 = 圆柱底面积×3。 2. 圆锥→圆柱（等积）：圆锥体积 = 圆柱体积，即 推论：若等底，圆柱的高 = 圆锥高÷3；若等高，圆柱的底面积 = 圆锥底面积÷3。 3. 其他等积场景：物体体积 = 排开水的体积（排水法）；熔铸后总体积 = 熔铸前各部分体积和（无损耗）。 （三）等积变形常见隐含条件 1. 无损耗：题目未说明有损耗、浪费时，默认变形前后体积相等（核心前提，不可忽略）； 2. 等底/等高：题目常隐含“变形后与原几何体等底”或“等高”，需重点标注，简化计算； 3. 单位统一：已知条件中半径、直径、高的单位可能不同（如cm、dm），需先统一单位再计算。 三、等积变形解题步骤 1. 审题找等量：明确变形前后的几何体（如圆柱→圆锥），判断是否为等积变形（无损耗），确定核心等量关系：变形前体积 = 变形后体积。 2. 标注已知量：找出题目中给出的半径、直径、高、底面积等条件，统一单位，标注未知量（如要求的高、半径）。 3. 列公式求解：根据等量关系，代入圆柱、圆锥体积公式，列出等式，分步计算未知量（可约去相同项，如$$π$$、底面积，简化运算）。 4. 检验作答：检查单位（体积单位为立方单位：$$cm^3$$、$$dm^3$$、$$m^3$$），核对计算过程（如圆锥体积是否乘$$\frac{1}{3}$$、等式是否成立），确认结果合理后作答。 四、常见等积变形题型及解题示例 1. 圆柱→圆锥（等积，等底） 例：一个圆柱形铁块，底面半径2dm，高6dm，将其熔铸成一个等底的圆锥，求圆锥的高。 解： 因等积等底， 由，得 2. 圆柱→圆锥（等积，等高） 例：一个圆柱形钢材，高8cm，体积是150.72cm³，将其锻造成一个等高的圆锥，求圆锥的底面积。 解：因等积等高， 由 3. 圆锥→圆柱（等积，无等底等高） 例：一个圆锥形容器，底面直径6cm，高10cm，将容器内装满水，倒入一个圆柱形水桶中，水的高度是5cm，求圆柱形水桶的底面积。 解：圆锥体积（水的体积） 4. 排水法（等积变形） 例：一个圆柱形玻璃缸，底面半径4dm，水深5dm，将一个圆锥形铁块完全浸入水中，水面上升到6dm（水未溢出），求圆锥形铁块的体积。 解：铁块体积 = 上升的水的体积（等积变形） 水面上升高度 培优练习 一、选择题 1．一个圆锥形沙堆，底面积是28.6平方米，高是3米，用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺（    ）米。 A．429 B．1.43 C．143 D．4.29 2．一块圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2，高是5cm，如果把它捏成同样高的圆锥，这个圆锥的底面积是（    ）。 A．4cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．36cm2 3．一块圆柱形橡皮泥，底面积是4cm2，高是3cm，可以把它捏成底面积和高分别是（    ）的圆锥形。 A．6cm2和6cm B．4cm2和3cm C．6cm2和1cm D．4cm2和1cm 4．底面积是12平方厘米的圆柱形铁块熔铸后制成高相等的圆锥形铁块，底面积是（    ）平方厘米。 A．12 B．36 C．4 D．18.84 5．甲容器中水深6.28厘米，现将甲容器中的水倒入底面直径是10厘米的圆柱形乙容器中，这时乙容器中的水深（    ）厘米。 A．2 B．6 C．8 D．10 6．沙漏是古人用的一种计时仪器。如图，圆锥形沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入如图空的圆柱形玻璃瓶中，若沙子漏完了，那么在圆柱形玻璃瓶中会平铺上大约（    ）厘米高的沙子。 A．12 B．9 C．6 D．4 二、填空题 7．用一个底面积为、高为30cm的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，水的高度为( )cm。 8．将一个棱长为4cm的正方体钢坯，熔铸成一个底面积是32cm2的圆锥体零件，这个零件的高是( )cm。 9．如图所示，把底面周长、高的圆柱切成若干等份，拼成一个近似于长方体的立体图形。这个长方体的底面积是________，体积是______。 10．美术课上，张明用棱长6厘米的正方体陶泥捏成一个与正方体等底等高的圆柱与圆锥组成的火箭模型，如上图，圆锥的体积是( )立方厘米。 11．有一个棱长是6分米的正方体铁块。如果将它熔铸成一个圆柱，那么这个圆柱的体积是________立方分米。如果将这个正方体铁块削成一个最大的圆锥，那么这个圆锥的体积是________立方分米。 12．把一个高12厘米、底面半径是5厘米的铁圆锥熔铸成底面半径是5厘米的圆柱，这个圆柱的高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 三、解答题 13．一个装满水的长方体容器，从里面量得长是5cm，宽是4cm，高是3cm。将水全部倒入一个高为6cm的圆锥形容器内，刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 14．如下图，圆柱形容器甲的底面半径是5cm，容器内部是空的；长方体容器乙中的水深6.28cm。现将容器乙中的水全部倒入容器甲中，这时水深多少厘米？ 15．沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 16．在一个底面直径是16厘米的圆柱体容器中，浸没了一个底面半径为5厘米的圆锥体铁块（水未溢出），现在把圆锥体铁块从圆柱体容器中取出，水面下降了0.5厘米，圆锥体铁块的高是多少厘米？ 17．一个底面直径是10厘米的圆柱形容器里装有水，水中浸没着一个底面直径是6厘米，高是10厘米的圆锥形铁块，如果把铁块从水中拿出，那么容器里的水面会下降多少厘米？ 18．一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高9厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中，水溢出10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 19．为了测量一个如图形状的酒瓶容积，一位同学先向酒瓶倒入了一些水，塞上瓶盖，量得了一些数据，再将酒瓶旋转过来又量得一些数据。你能帮他算一下酒瓶的容积吗？（单位：厘米） 20．如图所示，有甲、乙两个容器（单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 含圆柱圆锥体积的等积变形解决问题（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义 1. 等积变形核心概念 等积变形：指物体的形状发生改变，但体积始终保持不变的现象（前提：无损耗、无添加，如熔铸、锻造、排水、切割拼接后无浪费）。 圆柱与圆锥的等积变形：主要是将圆柱（或圆锥）通过熔铸、锻造、转换容器等方式，变成圆锥（或圆柱），或变成其他等体积的立体图形（重点考查圆柱与圆锥的相互转换）。 2. 等积变形的关键特征 ① 体积不变：变形前后两个（或多个）几何体的体积相等，这是解题的核心等量关系； ② 形状改变：底面半径、高、底面积可能发生变化，但总体积始终相等； ③ 常见场景：熔铸（如圆柱铁块熔铸成圆锥）、锻造（如圆柱钢材锻造成圆锥零件）、排水法（物体浸入水中，排开水的体积=物体体积）、切割拼接（无损耗拼接后总体积=各部分体积和）。 二、核心公式与等量关系 （一）基础体积公式（回顾） 1. 圆柱体积： 2. 圆锥体积： （二）等积变形核心等量关系 1. 圆柱→圆锥（等积）：圆柱体积 = 圆锥体积，即 推论：若等底，则圆锥的高 = 圆柱高×3；若等高，则圆锥的底面积 = 圆柱底面积×3。 2. 圆锥→圆柱（等积）：圆锥体积 = 圆柱体积，即 推论：若等底，圆柱的高 = 圆锥高÷3；若等高，圆柱的底面积 = 圆锥底面积÷3。 3. 其他等积场景：物体体积 = 排开水的体积（排水法）；熔铸后总体积 = 熔铸前各部分体积和（无损耗）。 （三）等积变形常见隐含条件 1. 无损耗：题目未说明有损耗、浪费时，默认变形前后体积相等（核心前提，不可忽略）； 2. 等底/等高：题目常隐含“变形后与原几何体等底”或“等高”，需重点标注，简化计算； 3. 单位统一：已知条件中半径、直径、高的单位可能不同（如cm、dm），需先统一单位再计算。 三、等积变形解题步骤 1. 审题找等量：明确变形前后的几何体（如圆柱→圆锥），判断是否为等积变形（无损耗），确定核心等量关系：变形前体积 = 变形后体积。 2. 标注已知量：找出题目中给出的半径、直径、高、底面积等条件，统一单位，标注未知量（如要求的高、半径）。 3. 列公式求解：根据等量关系，代入圆柱、圆锥体积公式，列出等式，分步计算未知量（可约去相同项，如$$π$$、底面积，简化运算）。 4. 检验作答：检查单位（体积单位为立方单位：$$cm^3$$、$$dm^3$$、$$m^3$$），核对计算过程（如圆锥体积是否乘$$\frac{1}{3}$$、等式是否成立），确认结果合理后作答。 四、常见等积变形题型及解题示例 1. 圆柱→圆锥（等积，等底） 例：一个圆柱形铁块，底面半径2dm，高6dm，将其熔铸成一个等底的圆锥，求圆锥的高。 解： 因等积等底， 由，得 2. 圆柱→圆锥（等积，等高） 例：一个圆柱形钢材，高8cm，体积是150.72cm³，将其锻造成一个等高的圆锥，求圆锥的底面积。 解：因等积等高， 由 3. 圆锥→圆柱（等积，无等底等高） 例：一个圆锥形容器，底面直径6cm，高10cm，将容器内装满水，倒入一个圆柱形水桶中，水的高度是5cm，求圆柱形水桶的底面积。 解：圆锥体积（水的体积） 4. 排水法（等积变形） 例：一个圆柱形玻璃缸，底面半径4dm，水深5dm，将一个圆锥形铁块完全浸入水中，水面上升到6dm（水未溢出），求圆锥形铁块的体积。 解：铁块体积 = 上升的水的体积（等积变形） 水面上升高度 培优练习 一、选择题 1．一个圆锥形沙堆，底面积是28.6平方米，高是3米，用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺（    ）米。 A．429 B．1.43 C．143 D．4.29 【答案】C 【分析】2厘米＝0.02米，根据圆锥的体积公式：V＝Sh，用28.6×3×即可求出沙堆的体积，然后再根据长方体体积公式：V＝abh，用沙堆的体积÷10÷0.02即可求出能铺的长度。据此解答。 【详解】2厘米＝0.02米 28.6×3× ＝85.8× ＝28.6（立方米） 28.6÷10÷0.02 ＝2.86÷0.02 ＝143（米） 可以铺143米。 故答案为：C 2．一块圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2，高是5cm，如果把它捏成同样高的圆锥，这个圆锥的底面积是（    ）。 A．4cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．36cm2 【答案】D 【分析】根据题意可知，圆锥的高等于圆柱的高，圆锥的体积等于圆柱的体积，即圆柱的底面积×高＝圆锥的底面积×高×；即圆柱的底面积＝圆锥的底面积×，则圆锥的底面积＝圆柱的底面积÷，据此求出圆锥的底面积。 【详解】12÷ ＝12×3 ＝36（cm2） 一块圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2，高是5cm，如果把它捏成同样高的圆锥，这个圆锥的底面积是36cm2。 故答案为：D 3．一块圆柱形橡皮泥，底面积是4cm2，高是3cm，可以把它捏成底面积和高分别是（    ）的圆锥形。 A．6cm2和6cm B．4cm2和3cm C．6cm2和1cm D．4cm2和1cm 【答案】A 【分析】已知一块圆柱形橡皮泥，底面积是4cm2，高是3cm，根据“圆柱体积＝底面积×高”计算出圆柱的体积为4×3＝12cm3，即橡皮泥的体积；将橡皮泥捏成圆锥形，体积不变，然后根据“圆锥体积＝×底面积×高”分别计算出各选项中圆锥的体积，找出体积是12cm3的圆锥形。 【详解】4×3＝12（cm3） A．×6×6＝12（cm3） B．×4×3＝4（cm3） C．×6×1＝2（cm3） D．×4×1＝（cm3） 因此，可以把它捏成底面积和高分别是6cm2和6cm的圆锥形。 故答案为：A 4．底面积是12平方厘米的圆柱形铁块熔铸后制成高相等的圆锥形铁块，底面积是（    ）平方厘米。 A．12 B．36 C．4 D．18.84 【答案】B 【分析】根据题意，将一个圆柱形铁块熔铸后制成高相等的圆锥形铁块，则圆柱和圆锥等体积等高； 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，圆柱的底面积S柱＝V÷h，圆锥的底面积S锥＝3V÷h，所以当圆柱和圆锥等体积等高时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，用圆柱的底面积乘3，即是圆锥的底面积。 【详解】12×3＝36（平方厘米） 圆锥形铁块的底面积是36平方厘米。 故答案为：B 5．甲容器中水深6.28厘米，现将甲容器中的水倒入底面直径是10厘米的圆柱形乙容器中，这时乙容器中的水深（    ）厘米。 A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】甲容器为长方体，长方体体积公式为V＝a×b×h（其中a为长，b为宽，h为高）。由图可知甲容器的长a＝10厘米，宽b＝10厘米，水深h＝6.28厘米，所以水的体积为10×10×6.28＝628立方厘米。 乙容器为圆柱，圆柱的底面积公式为S＝πr2（其中r为半径）。已知乙容器底面直径是10厘米，则半径为10÷2＝5厘米，π取3.14，那么乙容器的底面积为3.14×52＝3.14×25＝78.5平方厘米。因为水的体积不变，将水倒入乙容器后，根据圆柱体积公式V＝S×h（其中V为体积，S为底面积，h为高），可得水深h＝V÷S。把V＝628立方厘米，S＝78.5平方厘米代入，即可解答。 【详解】10×10×6.28＝628（立方厘米） 10÷2＝5（厘米） 3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米） 628÷78.5＝8（厘米） 将甲容器中的水倒入底面直径是10厘米的圆柱形乙容器中，这时乙容器中的水深8厘米。 故答案为：C 6．沙漏是古人用的一种计时仪器。如图，圆锥形沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入如图空的圆柱形玻璃瓶中，若沙子漏完了，那么在圆柱形玻璃瓶中会平铺上大约（    ）厘米高的沙子。 A．12 B．9 C．6 D．4 【答案】D 【分析】通过分析圆锥和圆柱的底面积、沙子体积不变的关系，利用等底情况下圆锥和圆柱体积的直观联系来计算。圆锥的沙子漏到圆柱里，体积不变，且圆锥和圆柱底面直径相同（底面积相等），根据圆锥和圆柱体积的特点来求解。 【详解】因为圆锥和圆柱的底面直径都是12厘米，所以它们的底面积是一样大的。我们可以把圆锥的体积想象成是和它等底等高圆柱体积的一部分。实际上，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的 。这里圆锥的高是12厘米，当把圆锥里的沙子倒入等底的圆柱中，由于体积不变，且圆锥体积是等底等高圆柱体积的，那么在圆柱中沙子的高度就是圆锥高度的 。所以圆柱中沙子的高度为12÷3＝4厘米。 故答案为：D 二、填空题 7．用一个底面积为、高为30cm的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，水的高度为( )cm。 【答案】75 【分析】用一个底面积为94.2cm2、高为30cm的圆锥形容器盛满水，根据圆锥的体积公式，代入数据即可求出圆锥的容积，也就是水的体积；水的体积不变，把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，根据，求出圆柱的底面半径；根据圆的面积公式，代入数据求出圆柱的底面积；最后用水的体积除以圆柱的底面积，求出水的高度，据此解答。 【详解】水的体积：（cm3） 圆柱的底面半径：（cm） 圆柱的底面积：（cm2） 水的高度：（cm） 因此，用一个底面积为94.2cm2、高为30cm的圆锥形容器盛满水，然后把水倒入底面周长为12.56cm的圆柱形容器内，水的高度为75cm。 8．将一个棱长为4cm的正方体钢坯，熔铸成一个底面积是32cm2的圆锥体零件，这个零件的高是( )cm。 【答案】6 【分析】所熔铸成的圆锥体积与正方体体积相等，根据正方体体积＝长×宽×高求出正方体体积，再根据圆锥的体积公式：，乘3再除以圆锥底面积即可。 【详解】根据分析： 4×4×4×3÷32 ＝16×4×3÷32 ＝64×3÷32 ＝192÷32 ＝6（cm） 所以这个零件的高是6cm。 9．如图所示，把底面周长、高的圆柱切成若干等份，拼成一个近似于长方体的立体图形。这个长方体的底面积是________，体积是______。 【答案】 50.24 502.4 【分析】通过切割可得知长方体的底面积等于原来圆柱的底面积，体积等于原来圆柱的体积；圆的周长公式：C＝2πr，先利用底面周长求出圆柱的底面半径；圆的面积：，圆柱体积公式：，再用底面积公式和圆柱体积公式即可解答。 【详解】底面半径： 长方体的底面积： 长方体的体积： 所以这个长方体的底面积是50.24，体积是502.4。 10．美术课上，张明用棱长6厘米的正方体陶泥捏成一个与正方体等底等高的圆柱与圆锥组成的火箭模型，如上图，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】54 【分析】把正方体捏成任何形状，体积都是不变的，所以圆柱和圆锥的体积之和与正方体的体积相等；圆柱与圆锥“等底等高”，则圆柱与圆锥的体积之比为，由此可知圆锥体积是正方体的体积的，据此解答即可。 【详解】正方体的体积：6×6×6＝216（立方厘米） 因为圆柱体积＋圆锥体积＝正方体的体积，且等底等高的圆柱与圆锥的体积之比为， 所以圆锥的体积为： 216× ＝216× ＝54（立方厘米） 所以，圆锥的体积是54立方厘米。 11．有一个棱长是6分米的正方体铁块。如果将它熔铸成一个圆柱，那么这个圆柱的体积是________立方分米。如果将这个正方体铁块削成一个最大的圆锥，那么这个圆锥的体积是________立方分米。 【答案】 216 56.52 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，将正方体熔铸成一个圆柱，圆柱的体积等于正方体的体积；这个正方体铁块削成一个最大的圆锥，则圆锥的高和底面直径等于正方体的棱长，圆锥的体积＝底面积×高÷3，用字母表示为：V＝πr2h，据此列式即可。 【详解】6×6×2＝216（立方分米） 3.14×（6÷2）2×6× ＝3.14×32×6× ＝3.14×9×6× ＝169.56× ＝56.52（立方分米） 圆柱的体积是216立方分米，圆锥的体积是56.52立方分米。 12．把一个高12厘米、底面半径是5厘米的铁圆锥熔铸成底面半径是5厘米的圆柱，这个圆柱的高是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 4 314 【分析】根据题意可知，铁圆锥熔铸成圆柱，体积不变；根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出铁圆锥的体积，也就是圆柱的体积；由于体积不变；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；铁圆锥的底面半径是5厘米，熔铸成的圆柱的底面半径也是5厘米，即铁圆锥的底面与圆柱的底面相等，所以圆柱的高＝铁圆锥高×，据此解答。 【详解】3.14×52×12× ＝3.14×25×12× ＝78.5×12× ＝942× ＝314（立方厘米） 12×＝4（厘米） 把一个高12厘米、底面半径是5厘米的铁圆锥熔铸成底面半径是5厘米的圆柱，这个圆柱的高是4厘米，体积是314立方厘米。 三、解答题 13．一个装满水的长方体容器，从里面量得长是5cm，宽是4cm，高是3cm。将水全部倒入一个高为6cm的圆锥形容器内，刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 30平方厘米 【分析】先依据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积，再根据水的体积不变，利用圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，代入数值即可求出圆锥形容器的底面积。 【详解】 （立方厘米） （平方厘米） 答：这个圆锥形容器的底面积是30平方厘米。 14．如下图，圆柱形容器甲的底面半径是5cm，容器内部是空的；长方体容器乙中的水深6.28cm。现将容器乙中的水全部倒入容器甲中，这时水深多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】长方体容器中的水全部倒入圆柱体容器中，水的体积没有变化。长×宽×水的高度＝水的体积，水的体积÷圆柱形容器底面积＝水的深度。据此解答。 【详解】长方体容器中水深6.28厘米 水的体积：（立方厘米） 圆柱形容器中水深：（厘米） 答：这时水深8厘米。 15．沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 【答案】0.628厘米 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（π取3.14），长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出沙的体积，然后用这些沙的体积除以长方体的底面积即可。 【详解】×3.14×（12÷2）2×10÷（30×20） ＝×3.14×62×10÷（30×20） ＝×3.14×36×10÷600 ＝×36×3.14×10÷600 ＝12×3.14×10÷600 ＝37.68×10÷600 ＝376.8÷600 ＝0.628（厘米） 答：在长方形木盒中会平铺大约0.628厘米高的沙子。 【点睛】这道题的关键是沙子体积不变，先算沙漏里圆锥形状沙子的体积，再用这个体积除以长方体木盒的底面积，就能得出沙子在木盒里平铺的高度。具体计算时，先由圆锥直径算出半径，代入圆锥体积公式求出沙子体积，再用体积除以长方体底面积，最终得到高度。 16．在一个底面直径是16厘米的圆柱体容器中，浸没了一个底面半径为5厘米的圆锥体铁块（水未溢出），现在把圆锥体铁块从圆柱体容器中取出，水面下降了0.5厘米，圆锥体铁块的高是多少厘米？ 【答案】3.84厘米 【分析】已知把一个完全浸没在圆柱体容器中的圆锥体铁块从容器中取出，水面下降了0.5厘米，那么圆锥体铁块的体积等于水下降部分的体积；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水下降部分的体积，也就是铁块的体积； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥体铁块的底面积；再根据圆锥的体积公式V＝Sh，可知圆锥的高h＝3V÷S，据此求出铁块的高。 【详解】圆锥的体积（水下降部分的体积）： 3.14×（16÷2）2×0.5 ＝3.14×82×0.5 ＝3.14×64×0.5 ＝100.48（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（立方厘米） 圆锥的高： 100.48×3÷78.5 ＝301.44÷78.5 ＝3.84（厘米） 答：锥体铁块的高是3.84厘米。 17．一个底面直径是10厘米的圆柱形容器里装有水，水中浸没着一个底面直径是6厘米，高是10厘米的圆锥形铁块，如果把铁块从水中拿出，那么容器里的水面会下降多少厘米？ 【答案】1.2厘米 【分析】根据题意可知，水面下降部分的体积等于圆锥形铁块的体积；根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出铁块的体积，也就是水面下降部分的体积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；高＝体积÷底面积，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×10× ＝3.14×32×10× ＝3.14×9×10× ＝28.26×10× ＝282.6× ＝94.2（立方厘米） 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 94.2÷78.5＝1.2（厘米） 答：容器里的水面会下降1.2厘米。 18．一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高9厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中，水溢出10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】18.84平方厘米 【分析】水面下降0.5厘米的水的体积就是圆锥形铅锤的体积，水的体积＝圆柱的底面积×高＝πr2h；圆锥的体积＝底面积×高÷3，则圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，代入数据计算即可。 【详解】圆锥的体积： 3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 圆锥的底面积： 56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥的底面积是18.84平方厘米。 19．为了测量一个如图形状的酒瓶容积，一位同学先向酒瓶倒入了一些水，塞上瓶盖，量得了一些数据，再将酒瓶旋转过来又量得一些数据。你能帮他算一下酒瓶的容积吗？（单位：厘米） 【答案】1256立方厘米 【分析】瓶子的底面直径和正放时水的高度已知，根据圆柱的体积公式：，代入数据即可求出瓶内水的体积，同样的方法，可以求出倒放时空余部分的体积，然后根据酒瓶的容积＝水的体积＋倒放时空余部分的体积，即可求出酒瓶的容积。 【详解】水的体积： （立方厘米） 倒放时空余部分的体积： （立方厘米） （立方厘米） 答：酒瓶的容积是1256立方厘米。 20．如图所示，有甲、乙两个容器（单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。 【答案】7.5厘米 【分析】根据圆锥的体积公式：，圆柱的体积公式：，求出甲容器注满水的体积，再根据这些水的体积不变，代入数据即可求出倒入圆柱中的水的高度。 【详解】 圆锥的体积为： （立方厘米） 圆柱中水的高为： （厘米） 答：乙容器的水深7.5厘米。 【点睛】 本题考查了圆锥与圆柱体积的计算方法以及等积变形，关键是明确水的体积不变。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $