第六单元 正比例和反比例（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学六年级下册

第六单元 正比例和反比例（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义 1. 核心概念 正比例和反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，根据两种量的变化规律，分为正比例关系和反比例关系，是苏教版六年级下册比例知识的核心内容，也是解决比例应用题的基础，本质是描述两种相关联量的依存关系。 核心特征：① 两种量必须是“相关联的量”（一种量变化，另一种量随之变化）；② 变化规律固定（正比例比值一定，反比例乘积一定）；③ 两种量均为非0的变量，且变化方向有明确规律（正比例同向变化，反比例反向变化）。 2. 正比例与反比例的核心意义 正比例和反比例的核心是培养“变量思想”和“对应思想”，帮助学生识别两种相关联量的变化规律，将实际问题中的数量关系转化为正、反比例关系，简化计算和判断，同时为后续学习函数知识奠定基础，广泛应用于行程、工程、购物等实际场景。 3. 正、反比例的常见场景 ① 正比例场景：速度一定时，路程与时间；单价一定时，总价与数量；工作效率一定时，工作总量与工作时间； ② 反比例场景：路程一定时，速度与时间；总价一定时，单价与数量；工作总量一定时，工作效率与工作时间； ③ 变式场景：判断两种量是否成正/反比例、根据正/反比例关系求未知量、绘制正/反比例图像并分析。 二、核心公式与等量关系 （一）基础前提（回顾） 1. 相关联的量：两种量之间有依存关系，一种量变化，另一种量必然随着变化（如路程变化，时间也会随之变化）； 2. 比值与乘积：两个量的比值（前项÷后项）、乘积（两个量相乘），是判断正、反比例的核心依据； 3. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，是根据正、反比例关系列比例式的基础。 （二）核心定义、公式与区别（苏教版重点） 1. 正比例关系 ① 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 ② 核心公式：若两种量为x和y，比值一定为k（k为非0定值），则 ③ 关键特征：两种量同向变化（一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小），比值始终不变。 2. 反比例关系 ① 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 ② 核心公式：若两种量为x和y，乘积一定为k（k为非0定值），则 ③ 关键特征：两种量反向变化（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大），乘积始终不变。 3. 正、反比例的核心区别 ① 变化方向：正比例同向变化，反比例反向变化； ② 判断依据：正比例比值一定，反比例乘积一定； ③ 公式形式：正比例y = kx（k定值），反比例xy = k（k定值）； ④ 图像特征：正比例图像是一条经过原点的直线，反比例图像是一条曲线（苏教版重点了解）。 （三）正、反比例判断常见隐含条件 1. 相关联判断：题干中两种量若没有依存关系（如身高和体重），即使有变化，也不成正、反比例； 2. 定值判断：必须是“相对应的两个数”的比值或乘积一定，而非任意两个数的比值/乘积一定； 3. 非0限制：两种量必须均为非0变量，若其中一种量为0，无法构成正、反比例关系（如路程为0时，速度和时间无意义）； 4. 易错区分：“和一定”“差一定”的两种量，不成正、反比例（如已加工个数和未加工个数，和一定，不成比例）。 三、正、反比例判断与应用解题步骤（苏教版重点） 1. 审题找关联：判断题干中的两种量是否为“相关联的量”，明确两种量的变化规律（是否一种量随另一种量变化）。 2. 找定值关系：计算两种量相对应的两个数的比值或乘积，判断其是否为固定不变的定值（比值一定→正比例，乘积一定→反比例）。 3. 规范判断：根据定值关系，明确两种量是否成正、反比例，若成比例，说明判断依据（如“因为路程÷时间=速度（一定），所以路程和时间成正比例”）。 4. 应用求解（若求未知量）：根据正、反比例关系，设未知量为x，列出比例式（正比例用比值相等，反比例用乘积相等），结合比例基本性质求解。 5. 检验验证：将求得的未知量代入，检验比值或乘积是否仍为定值，确认判断和计算无误后，规范作答。 四、常见正、反比例题型及解题示例 1. 场景一：判断两种量是否成正比例（基础题） 例：判断：一辆汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间成正比例吗？请说明理由。 解：① 找关联：路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随之变化； ② 找定值：速度一定，即路程÷时间 = 速度（定值）； ③ 判断：因为路程和时间是相关联的量，且它们相对应的两个数的比值（速度）一定，所以路程和时间成正比例。 答：成正比例，理由是路程和时间是相关联的量，且路程与时间的比值（速度）一定。 2. 场景二：判断两种量是否成反比例（基础题） 例：判断：一批货物的总吨数一定，每天运的吨数和运的天数成反比例吗？请说明理由。 解：① 找关联：每天运的吨数和运的天数是两种相关联的量，每天运的吨数变化，运的天数也随之变化； ② 找定值：货物总吨数一定，即每天运的吨数×运的天数 = 总吨数（定值）； ③ 判断：因为每天运的吨数和运的天数是相关联的量，且它们相对应的两个数的乘积（总吨数）一定，所以每天运的吨数和运的天数成反比例。 答：成反比例，理由是每天运的吨数和运的天数是相关联的量，且它们的乘积（总吨数）一定。 3. 场景三：根据正、反比例关系求未知量（进阶题） 例：已知x和y成正比例，当x=3时，y=12；当x=5时，求y的值。 解：① 因为x和y成正比例，所以$$\frac{y}{x}=k$$（k为定值）； ② 计算定值k：k = y÷x = 12÷3 = 4； ③ 当x=5时，y = k×x = 4×5 = 20（或列比例式：3:12 = 5:y，解得y=20）。 答：当x=5时，y的值是20。 4. 场景四：根据正、反比例关系求未知量（进阶题） 例：已知x和y成反比例，当x=4时，y=6；当x=8时，求y的值。 解：① 因为x和y成反比例，所以x×y = k（k为定值）； ② 计算定值k：k = 4×6 = 24； ③ 当x=8时，y = k÷x = 24÷8 = 3（或列比例式：4:8 = y:6，解得y=3）。 答：当x=8时，y的值是3。 5. 易错题型：正、反比例判断错误（警示题） 例：判断：长方形的周长一定，它的长和宽成反比例（×），并说明理由。（易错点：误将“和一定”当作“乘积一定”） 解：① 找关联：长和宽是相关联的量，长变化，宽也随之变化； ② 找关系：长方形周长 = （长+宽）×2，周长一定，则长+宽 = 周长÷2（定值）； ③ 判断：两种量的和一定，而非乘积或比值一定，因此长和宽不成比例。 警示：判断正、反比例的关键是“比值一定”或“乘积一定”，“和一定”“差一定”的两种量，无论是否相关联，都不成正、反比例。 培优练习 一、选择题 1．下列各种数量关系中，成反比例的是（    ）。 A．出油率一定，大豆质量和大豆油的质量 B．正方体的表面积和它的一个面的面积 C．比的前项一定，比的后项和比值 D．已知，与 2．下列两种量成反比例关系的是（    ）。 A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆柱的体积一定，它的底面半径和高 C．正方体的表面积一定，它的棱长和棱的数量 D．三角形的面积一定，它的底边的长度和对应的高 3．印刷厂用一批纸装订练习本。如果每本60页，可以装订1100本。如果每本减少20页，可以装订（    ）本。 A．825 B．1320 C．1650 D．3300 4．王师傅加工一批零件，工作时间与加工零件个数的关系如图所示，下面说法错误的是（    ）。 A．加工零件个数与工作时间成正比例关系 B．表示400个零件 C．表示3.2小时 D．若有点表示5小时加工了600个零件，那么点一定会和点、、一样在射线上 5．如图所示，一个大长方形被两条线段分成四个小长方形，如果其中图形A、B、C的面积分别为2cm2、4cm2和5cm2，那么阴影部分的面积为（    ）cm2。 A．1 B． C． D． 6．有两个相关联的量的关系可以用如图来表示，这两个量可能是（    ）。 A．教室的面积一定，每块砖的面积和方砖的块数 B．某制衣厂生产一批衬衫，每天生产的数量和所需天数 C．某班已完成课堂练习的人数和未完成课堂练习的人数 D．某科普书的单价一定，购买的数量和所用总钱数 二、填空题 7．如果、不为0），则( )∶( )，和成( )比例关系。 8．圆的周长与直径成________比例，理由是：___________。 9．如图，把质量相同的钩码，挂在杠杆的支撑点的两边，杠杆保持平衡，若把杠杆左、右两边的钩码各减少一个，则杠杆左端会( )。（填：上升、下降或不动） 10．当“复兴号”动车保持280千米/小时的速度行驶时，行驶的路程和时间成( )比例关系；从北京到上海的普通列车约要8小时，而“复兴号”动车只要5小时，“复兴号”动车比普通列车速度提高了( )%。 11．如果，那么x和y成( )比例关系；如果，那么x和y成( )比例关系。（x≠0，y≠0） 12．在同一时间，同一地点，测得不同的树的高度与影长如下表所示。 树高/m 4 5 6 7 影长/m 2.4 3 3.6 4.2 (1)从表中的数据可以发现( )没有变。 (2)树高和影长成( )比例。 (3)如果在同一时间，同一地点，经过测量，一座塔的影长是88.2米，这座塔的高是( )m。 三、解答题 13．一列慢车和一列快车分别从A、B两站相对开出，快车和慢车速度的比是，慢车先从站开出27千米，快车才从站开出，相遇时快车和站的距离比慢车和站的距离多32千米，A、B两站相距多少千米？ 14．制曲酿酒是中国传统酿造工艺的特色，在《齐民要术》中记载了多种制曲和酿酒的方法，展示了中国古代对酿酒技术的重视和创新。已知560千克高粱可以酿造出160千克高粱酒，那么用49吨高粱可以酿造出多少吨高粱酒？（列比例解答） 15．一个长方体水槽，水里面浸没了一个铁球，把这个铁球完全从水中拿出时（水的损耗忽略不计），水槽里面的水下降了5毫米。现将一块棱长是3厘米的正方体铁块浸没在这个水槽的水中，水槽里的水面上升了3毫米。这个铁球的体积是多少立方厘米？（用比例解） 16．张叔叔需要用60米长的电线，他用取样的方式对家中的一捆同型号电线进行了测量。张叔叔先测得整捆电线的质量为2千克，再从中截取了2米长的一段，测得它的质量为50克。这捆电线长度够了吗？（用比例解答） 17．中国结的发展可追溯到旧石器时代的缝衣打结，后面逐渐演变到了今天的装饰手艺。某厂家要制作一批中国结，原计划每天制作600个，但实际每天少制作了20%，原计划20天可以完成任务，实际用了多少天？（用比例解） 18．下面是某一银行存一年定期，不同金额的本金和对应利息的情况。 （1）看图填表。 本金/万元 1 2 4 6 7 利息/元 120 240 720 （2）本金和利息成（    ）比例关系。 （3）如果本金是8万元，那么在这家银行定期存款一年，连本带息一共可以拿回多少钱？ 19．赴九天，问苍穹！这是独属于中国人的宇宙级浪漫。“天宫”内的航天员们每天可绕地球约16圈，大约每1.5小时就要经历一次日出与日落。我国载人空间站“天宫”飞行76.8km仅需10秒，飞行192km需要多久？（用比例的知识解答） 20．已知汽车的平均油耗是每千米0.1升。 （1）完成下表。 路程/千米 10 40 … 耗油量/升 2 6 … （2）在下图中画出汽车行驶的路程与耗油量之间关系的图象。 （3）根据图象判断，路程与耗油量成（    ）比例关系。 （4）从图中看，汽车行驶50千米需耗油（    ）升。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 正比例和反比例（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义 1. 核心概念 正比例和反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，根据两种量的变化规律，分为正比例关系和反比例关系，是苏教版六年级下册比例知识的核心内容，也是解决比例应用题的基础，本质是描述两种相关联量的依存关系。 核心特征：① 两种量必须是“相关联的量”（一种量变化，另一种量随之变化）；② 变化规律固定（正比例比值一定，反比例乘积一定）；③ 两种量均为非0的变量，且变化方向有明确规律（正比例同向变化，反比例反向变化）。 2. 正比例与反比例的核心意义 正比例和反比例的核心是培养“变量思想”和“对应思想”，帮助学生识别两种相关联量的变化规律，将实际问题中的数量关系转化为正、反比例关系，简化计算和判断，同时为后续学习函数知识奠定基础，广泛应用于行程、工程、购物等实际场景。 3. 正、反比例的常见场景 ① 正比例场景：速度一定时，路程与时间；单价一定时，总价与数量；工作效率一定时，工作总量与工作时间； ② 反比例场景：路程一定时，速度与时间；总价一定时，单价与数量；工作总量一定时，工作效率与工作时间； ③ 变式场景：判断两种量是否成正/反比例、根据正/反比例关系求未知量、绘制正/反比例图像并分析。 二、核心公式与等量关系 （一）基础前提（回顾） 1. 相关联的量：两种量之间有依存关系，一种量变化，另一种量必然随着变化（如路程变化，时间也会随之变化）； 2. 比值与乘积：两个量的比值（前项÷后项）、乘积（两个量相乘），是判断正、反比例的核心依据； 3. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，是根据正、反比例关系列比例式的基础。 （二）核心定义、公式与区别（苏教版重点） 1. 正比例关系 ① 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 ② 核心公式：若两种量为x和y，比值一定为k（k为非0定值），则 ③ 关键特征：两种量同向变化（一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小），比值始终不变。 2. 反比例关系 ① 定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 ② 核心公式：若两种量为x和y，乘积一定为k（k为非0定值），则 ③ 关键特征：两种量反向变化（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大），乘积始终不变。 3. 正、反比例的核心区别 ① 变化方向：正比例同向变化，反比例反向变化； ② 判断依据：正比例比值一定，反比例乘积一定； ③ 公式形式：正比例y = kx（k定值），反比例xy = k（k定值）； ④ 图像特征：正比例图像是一条经过原点的直线，反比例图像是一条曲线（苏教版重点了解）。 （三）正、反比例判断常见隐含条件 1. 相关联判断：题干中两种量若没有依存关系（如身高和体重），即使有变化，也不成正、反比例； 2. 定值判断：必须是“相对应的两个数”的比值或乘积一定，而非任意两个数的比值/乘积一定； 3. 非0限制：两种量必须均为非0变量，若其中一种量为0，无法构成正、反比例关系（如路程为0时，速度和时间无意义）； 4. 易错区分：“和一定”“差一定”的两种量，不成正、反比例（如已加工个数和未加工个数，和一定，不成比例）。 三、正、反比例判断与应用解题步骤（苏教版重点） 1. 审题找关联：判断题干中的两种量是否为“相关联的量”，明确两种量的变化规律（是否一种量随另一种量变化）。 2. 找定值关系：计算两种量相对应的两个数的比值或乘积，判断其是否为固定不变的定值（比值一定→正比例，乘积一定→反比例）。 3. 规范判断：根据定值关系，明确两种量是否成正、反比例，若成比例，说明判断依据（如“因为路程÷时间=速度（一定），所以路程和时间成正比例”）。 4. 应用求解（若求未知量）：根据正、反比例关系，设未知量为x，列出比例式（正比例用比值相等，反比例用乘积相等），结合比例基本性质求解。 5. 检验验证：将求得的未知量代入，检验比值或乘积是否仍为定值，确认判断和计算无误后，规范作答。 四、常见正、反比例题型及解题示例 1. 场景一：判断两种量是否成正比例（基础题） 例：判断：一辆汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间成正比例吗？请说明理由。 解：① 找关联：路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随之变化； ② 找定值：速度一定，即路程÷时间 = 速度（定值）； ③ 判断：因为路程和时间是相关联的量，且它们相对应的两个数的比值（速度）一定，所以路程和时间成正比例。 答：成正比例，理由是路程和时间是相关联的量，且路程与时间的比值（速度）一定。 2. 场景二：判断两种量是否成反比例（基础题） 例：判断：一批货物的总吨数一定，每天运的吨数和运的天数成反比例吗？请说明理由。 解：① 找关联：每天运的吨数和运的天数是两种相关联的量，每天运的吨数变化，运的天数也随之变化； ② 找定值：货物总吨数一定，即每天运的吨数×运的天数 = 总吨数（定值）； ③ 判断：因为每天运的吨数和运的天数是相关联的量，且它们相对应的两个数的乘积（总吨数）一定，所以每天运的吨数和运的天数成反比例。 答：成反比例，理由是每天运的吨数和运的天数是相关联的量，且它们的乘积（总吨数）一定。 3. 场景三：根据正、反比例关系求未知量（进阶题） 例：已知x和y成正比例，当x=3时，y=12；当x=5时，求y的值。 解：① 因为x和y成正比例，所以$$\frac{y}{x}=k$$（k为定值）； ② 计算定值k：k = y÷x = 12÷3 = 4； ③ 当x=5时，y = k×x = 4×5 = 20（或列比例式：3:12 = 5:y，解得y=20）。 答：当x=5时，y的值是20。 4. 场景四：根据正、反比例关系求未知量（进阶题） 例：已知x和y成反比例，当x=4时，y=6；当x=8时，求y的值。 解：① 因为x和y成反比例，所以x×y = k（k为定值）； ② 计算定值k：k = 4×6 = 24； ③ 当x=8时，y = k÷x = 24÷8 = 3（或列比例式：4:8 = y:6，解得y=3）。 答：当x=8时，y的值是3。 5. 易错题型：正、反比例判断错误（警示题） 例：判断：长方形的周长一定，它的长和宽成反比例（×），并说明理由。（易错点：误将“和一定”当作“乘积一定”） 解：① 找关联：长和宽是相关联的量，长变化，宽也随之变化； ② 找关系：长方形周长 = （长+宽）×2，周长一定，则长+宽 = 周长÷2（定值）； ③ 判断：两种量的和一定，而非乘积或比值一定，因此长和宽不成比例。 警示：判断正、反比例的关键是“比值一定”或“乘积一定”，“和一定”“差一定”的两种量，无论是否相关联，都不成正、反比例。 培优练习 一、选择题 1．下列各种数量关系中，成反比例的是（    ）。 A．出油率一定，大豆质量和大豆油的质量 B．正方体的表面积和它的一个面的面积 C．比的前项一定，比的后项和比值 D．已知，与 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量呈正比例或反比例时，要看两个变量的比值或乘积是否为定值，据此解答。 【详解】A．出油率＝大豆质量÷大豆油的质量×100%，出油率一定，即大豆质量与大豆油的质量的比值一定，那么大豆质量与大豆油的质量成正比例； B．正方体表面积＝6×每个面的面积，即正方体表面积÷每个面的面积＝6（定值），正方体表面积与每个面的面积的比值一定，那么正方体表面积与每个面的面积成正比例； C．比的前项÷比的后项＝比值，即比的前项＝比的后项×比值，比的前项一定，即比的后项与比值的乘积一定，那么比的后项与比值成反比例； D．（一定），即与的比值一定，那么与成正比例。 故答案为：C 2．下列两种量成反比例关系的是（    ）。 A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆柱的体积一定，它的底面半径和高 C．正方体的表面积一定，它的棱长和棱的数量 D．三角形的面积一定，它的底边的长度和对应的高 【答案】D 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就成反比例关系。逐一分析各选项中的两个量是否存在乘积为定值的关系。 【详解】A．长方形的周长公式为C＝2×（a＋b）（C为周长，a为长，b为宽）。当周长C一定时，a＋b＝C÷2（一定），是和一定，不是乘积一定，所以长和宽不成反比例关系。 B．圆柱的体积公式为V＝πr2h（V为体积，r为底面半径，h为高）。当体积V一定时，πr2h＝V（一定），是r2与h的乘积一定，而不是底面半径r和高h的乘积一定，所以底面半径和高不成反比例关系。 C．正方体的表面积公式为S＝6a2（S为表面积，a为棱长），棱的数量是固定的12条，棱长和棱的数量之间不存在乘积一定的关系，所以不成反比例关系。 D．三角形的面积公式为S＝ah÷2（S为面积，a为底边长度，h为对应的高）。当面积S一定时，ah＝2S（一定），是底边的长度和对应的高的乘积一定，所以它们成反比例关系。 成反比例关系的是选项D中的两种量。 故答案为：D 3．印刷厂用一批纸装订练习本。如果每本60页，可以装订1100本。如果每本减少20页，可以装订（    ）本。 A．825 B．1320 C．1650 D．3300 【答案】C 【分析】分析题目，根据每本的页数×装订的本数＝总页数（一定），即每本的页数与装订的本数成反比，设每本减少20页，可以装订x本，据此列出方程（60－20）x＝60×1100，进一步解出方程即可。 【详解】解：设每本减少20页，可以装订x本。 （60－20）x＝60×1100 40x＝66000 x＝66000÷40 x＝1650 如果每本减少20页，可以装订1650本。 故答案为：C 4．王师傅加工一批零件，工作时间与加工零件个数的关系如图所示，下面说法错误的是（    ）。 A．加工零件个数与工作时间成正比例关系 B．表示400个零件 C．表示3.2小时 D．若有点表示5小时加工了600个零件，那么点一定会和点、、一样在射线上 【答案】D 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，正比例关系的图象是一条经过原点的直线，说明加工零件个数与工作时间的比值一定，即加工零件个数与工作时间成正比例关系； （2）先根据图象求出加工零件个数与工作时间的比值，对应的时间是4小时，对应的零件个数是，比值乘对应的时间，即可求得表示的零件个数； （3）观察图象可知，对应的时间是，对应的零件个数是320，对应的零件个数除以比值，即可求得表示的时间； （4）点表示5小时加工了600个零件，求出加工零件个数与工作时间的比值，如果比值等于100，则点在射线上，如果比值不等于100，则点不在射线上，据此解答。 【详解】 A．分析可知，是正比例关系的图象，所以加工零件个数与工作时间成正比例关系，题目说法正确。 B．加工零件个数∶工作时间 ＝150∶1.5 ＝150÷1.5 ＝100 100×4＝400（个） 所以，表示400个零件，题目说法正确。 C．320÷100＝3.2（小时） 所以，表示3.2小时，题目说法正确。 D．加工零件个数∶工作时间 ＝600∶5 ＝600÷5 ＝120 因为120≠100，所以点不在射线上，题目说法错误。 故答案为：D 5．如图所示，一个大长方形被两条线段分成四个小长方形，如果其中图形A、B、C的面积分别为2cm2、4cm2和5cm2，那么阴影部分的面积为（    ）cm2。 A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设阴影部分所在的小长方形面积为xcm2。因为长方形的长（或宽）一定时，面积与宽（或长）成正比例关系，所以A与B的面积比等于x与C的面积比，即2∶4＝x∶5。根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，解出x的值后。因为阴影部分是一个三角形，它的面积是所在小长方形面积的一半，所以用x的值除以2得出阴影部分面积。 【详解】解：设阴影部分所在的小长方形面积为xcm2。 2∶4＝x∶5 4x＝2×5 4x＝10 x＝10÷4 x＝2.5 2.5÷2＝（cm2） 所以阴影部分的面积为cm2。 故答案为：D 6．有两个相关联的量的关系可以用如图来表示，这两个量可能是（    ）。 A．教室的面积一定，每块砖的面积和方砖的块数 B．某制衣厂生产一批衬衫，每天生产的数量和所需天数 C．某班已完成课堂练习的人数和未完成课堂练习的人数 D．某科普书的单价一定，购买的数量和所用总钱数 【答案】D 【分析】从图中可以看出，该图像是一条过原点的直线，说明两个相关联的量成正比例关系，即两个量的比值一定。据此分析各选项，进而得出答案。 【详解】A．根据“教室的面积＝每块砖的面积×方砖的块数”，当教室的面积一定时，每块砖的面积越大，所需方砖的块数越少，每块砖的面积和方砖的块数的乘积一定，二者不成正比例关系，不符合图像特征； B．根据“这批衬衫的总数＝每天生产的数量×所需天数”，当衬衫总数一定时，每天生产的数量越多，所需天数越少，每天生产的数量和所需天数的乘积一定，二者不成正比例关系，不符合图像特征； C．根据“班级总人数＝已完成课堂练习的人数＋未完成课堂练习的人数”，已完成课堂练习人数和未完成课堂练习的人数是和的关系，不是比值一定或乘积一定的关系，二者不成比例，不符合图像特征； D．根据“总价＝单价×数量”，当某科普书的单价一定时，总价与数量的比值（单价）一定，购买的数量越多，所用总钱数越多，二者成正比例关系，符合图像特征。 故答案为：D 二、填空题 7．如果、不为0），则( )∶( )，和成( )比例关系。 【答案】 3 20 正 【分析】比例的基本性质为“在比例里，两个外项的积等于两个内项的积”。已知A×1.2＝0.18×B（A、B不为0），要将其转化为A∶B的形式，可根据比例基本性质，把A和1.2看作比例的外项，B和0.18看作比例的内项，再化简比。 两种相关联的量，若它们的比值（或商）一定，则这两种量成正比例关系；若它们的乘积一定，则成反比例关系。 【详解】由A×1.2＝0.18×B可知： A∶B＝0.18∶1.2 ＝（0.18×100）∶（1.2×100） ＝18∶120 ＝（18÷6）∶（120÷6） ＝3∶20 由于A∶B＝3∶20＝（一定），即A和B对应的比值一定，所以A和B成正比例关系。 填空如下： 如果A×1.2＝0.18×B（A  、B 不为0），则A∶B＝（3）∶（20），A和B成（正）比例关系。 8．圆的周长与直径成________比例，理由是：___________。 【答案】 正 圆的周长与直径的比值是定值 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，据此根据圆的周长公式进行判断。 【详解】由圆的周长公式“”可知，，即（一定），所以圆的周长与直径成正比例。 理由：圆的周长与直径的比值是定值。 9．如图，把质量相同的钩码，挂在杠杆的支撑点的两边，杠杆保持平衡，若把杠杆左、右两边的钩码各减少一个，则杠杆左端会( )。（填：上升、下降或不动） 【答案】下降 【分析】初始时，杠杆左边有5个钩码，距离中点有3格；右边有3个钩码，距离中点有5格。因为杠杆平衡，所以5×3＝3×5。即钩码与格数成反比例关系。当左、右两边各减少1个钩码后，左边变为5－1＝4个钩码，距离中点仍为3格，此时左边的数值为4×3＝12；右边变为3－1＝2个钩码，距离中点仍为5格，右边的数值为2×5＝10。因为12＞10，即左边的“力×力臂”乘积更大，所以杠杆左端会下降。 【详解】杠杆左边有5个钩码，距离中点有3格；右边有3个钩码，距离中点有5格。 5－1＝4（个） 4×3＝12 3－1＝2（个） 2×5＝10 12＞10 所以杠杆左端会下降。 10．当“复兴号”动车保持280千米/小时的速度行驶时，行驶的路程和时间成( )比例关系；从北京到上海的普通列车约要8小时，而“复兴号”动车只要5小时，“复兴号”动车比普通列车速度提高了( )%。 【答案】 正 60 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫做成正比例的量。路程＝速度×时间，则，所以动车保持280千米/小时的速度行驶，行驶的路程和时间成正比例关系。 路程相等的情况下，普通列车需要8小时，动车要5小时，则普通列车的时间∶动车的时间是8∶5，即普通列车的速度∶动车的速度是5∶8。求“复兴号”动车比普通列车速度提高了百分之多少，用（动车的速度－普通列车的速度）÷普通列车的速度×100%即可。 【详解】（8－5）÷5×100% ＝3÷5×100% ＝0.6×100% ＝60% 当“复兴号”动车保持280千米/小时的速度行驶时，行驶的路程和时间成正比例关系；从北京到上海的普通列车约要8小时，而“复兴号”动车只要5小时，“复兴号”动车比普通列车速度提高了60%。 11．如果，那么x和y成( )比例关系；如果，那么x和y成( )比例关系。（x≠0，y≠0） 【答案】 反 正 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。据此求解。 【详解】，对式子变形：，乘积一定，根据反比例的定义，当两个变量的乘积一定，它们成反比例关系，那么x和y成反比例关系；，对式子变形：，比值一定，根据正比例的定义，当两个变量的比值一定，它们成正比例关系，那么x和y成正比例关系。 因此如果，那么x和y成反比例关系；如果，那么x和y成正比例关系。（x≠0，y≠0） 12．在同一时间，同一地点，测得不同的树的高度与影长如下表所示。 树高/m 4 5 6 7 影长/m 2.4 3 3.6 4.2 (1)从表中的数据可以发现( )没有变。 (2)树高和影长成( )比例。 (3)如果在同一时间，同一地点，经过测量，一座塔的影长是88.2米，这座塔的高是( )m。 【答案】(1)树高与影长的比值 (2)正 (3)147 【分析】（1）分别计算出树高与影长的比值，可以发现树高与影长的比值均为，没有变。据此解答。 （2）因为树高与影长的比值一定，根据正比例的定义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，所以树高和影长成正比例。 （3）由前面可知树高与影长的比值为，已知塔的影长是88.2米，设这座塔的高为x米，根据正比例关系可列比例为＝；根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”得3x＝5×88.2，先计算出5×88.2＝441，然后根据等式的性质，两边同时除以3求解出x，即为塔的高度。 【详解】（1）4÷2.4＝＝＝ 5÷3＝ 6÷3.6＝＝＝ 7÷4.2＝＝＝ 因此可以发现树高与影长的比值没有变。 （2）因为树高与影长的比值一定，所以树高和影长成正比例。 （3）解：设这座塔的高是xm。 ＝ 3x＝5×88.2 3x＝441 3x÷3＝441÷3 x＝147 因此，这座塔的高是147m。 三、解答题 13．一列慢车和一列快车分别从A、B两站相对开出，快车和慢车速度的比是，慢车先从站开出27千米，快车才从站开出，相遇时快车和站的距离比慢车和站的距离多32千米，A、B两站相距多少千米？ 【答案】558千米 【分析】快车和慢车走相同时间时，路程比等于速度比，可设快车所走路程为5x千米，相同的时间慢车所走的路程为4x千米，则快车所走总路程为5x千米，慢车所走总路程为（4x＋27），用快车的路程减去慢车的路程等于32千米，解得方程后，再将x代入全程距离即快车所走总路程＋慢车所走总路程，即可求得A、B两站相距多少千米。 【详解】解：设快车所走路程为5x千米，相同的时间慢车所走的路程为4x千米。 5x－（4x＋27）＝32 5x－4x－27＝32 x－27＝32 x－27＋27＝32＋27 x＝59 5x＋（4x＋27） ＝5x＋4x＋27 ＝9x＋27 ＝9×59＋27 ＝531＋27 ＝558 答：A、B两站相距558千米。 14．制曲酿酒是中国传统酿造工艺的特色，在《齐民要术》中记载了多种制曲和酿酒的方法，展示了中国古代对酿酒技术的重视和创新。已知560千克高粱可以酿造出160千克高粱酒，那么用49吨高粱可以酿造出多少吨高粱酒？（列比例解答） 【答案】 14吨 【分析】高粱用的越多酒量也越多，所以高粱的用量与酿出的高粱酒量成正比例关系。已知560千克高粱可酿160千克酒，设49吨高粱可酿x吨酒。列比例方程时需保持单位一致，根据1吨＝1000千克，将千克转换为吨后，再列比例解答。 【详解】解：设49吨高粱可酿x吨酒。 560千克＝0.56吨，160千克＝0.16吨， 列比例方程： 答：49吨高粱可酿造出14吨高粱酒。 15．一个长方体水槽，水里面浸没了一个铁球，把这个铁球完全从水中拿出时（水的损耗忽略不计），水槽里面的水下降了5毫米。现将一块棱长是3厘米的正方体铁块浸没在这个水槽的水中，水槽里的水面上升了3毫米。这个铁球的体积是多少立方厘米？（用比例解） 【答案】45立方厘米 【分析】根据题意，铁球的体积等于水下降部分的体积，正方体铁块的体积等于水上升部分的体积。由于水槽的底面积不变，体积与水面变化的高度成正比例，因此可设铁球的体积为x立方厘米，根据比例关系求解。据此解答 【详解】5毫米＝0.5厘米，3毫米＝0.3厘米 正方体铁块体积：3×3×3＝27（立方厘米） 解：设铁球的体积是x立方厘米： ＝ 0.3x＝27×0.5 0.3x＝13.5 0.3x÷0.3＝13.5÷0.3 x＝45 答：这个铁球的体积是45立方厘米。 16．张叔叔需要用60米长的电线，他用取样的方式对家中的一捆同型号电线进行了测量。张叔叔先测得整捆电线的质量为2千克，再从中截取了2米长的一段，测得它的质量为50克。这捆电线长度够了吗？（用比例解答） 【答案】够了 【分析】1千克＝1000克，先将2千克换算成2000克。因为电线的质量和长度成正比例关系（每米电线的质量一定），所以截取部分的质量与长度的比等于整捆电线质量与长度的比，据此设整捆电线长为米，可列出比例50∶2＝2000∶。再根据比例的基本性质（在比例里，两个外项的积等于两个内项的积）解比例即可。 【详解】解：设整捆电线长为米。 2千克＝2000克 50∶2＝2000∶ ＝2×2000 ＝4000 ＝4000÷50 ＝80 80＞60 答：这捆电线长度够了。 17．中国结的发展可追溯到旧石器时代的缝衣打结，后面逐渐演变到了今天的装饰手艺。某厂家要制作一批中国结，原计划每天制作600个，但实际每天少制作了20%，原计划20天可以完成任务，实际用了多少天？（用比例解） 【答案】25天 【分析】这批中国结的总量是不变的，每天制作的个数与天数的乘积是一定的，即两种量成反比例。原计划每天制作600个，实际每天少制作20%，把原计划每天制作的个数看作单位“1”，则实际每天制作数量是原计划的（1－20%），设实际用了x天。因为工作总量不变，所以“原计划效率×原计划时间＝实际效率×实际时间”，据此列方程为：600×（1－20%）×x＝600×20，然后解方程即可。 【详解】解：设实际用了天。 答：实际用了25天。 18．下面是某一银行存一年定期，不同金额的本金和对应利息的情况。 （1）看图填表。 本金/万元 1 2 4 6 7 利息/元 120 240 720 （2）本金和利息成（    ）比例关系。 （3）如果本金是8万元，那么在这家银行定期存款一年，连本带息一共可以拿回多少钱？ 【答案】（1）480；840 （2）正； （3）80960元 【分析】（1）观察图中数据，1万元对应120元利息，2万元对应240元利息，4万元对应480元利息，6万元对应720元利息，7万元对应840元利息。据此把表补全。 （2）观察表中的数据，发现利息与本金之间的固定比例关系（利率），利息÷本金＝利率，120÷10000＝0.012；240÷20000＝0.012，本金与利息的比值一定，说明它们成正比例关系。 （3）连本带息＝本金＋利息，先计算利息再求和。如果本金是 8 万元，根据上面的规律：利息＝120×8＝960（元），连本带息共＝80000＋960＝80960（元）。 【详解】（1）根据图中数据，填表如下： 本金/万元 1 2 4 6 7 利息/元 120 240 480 720 840 （2）120÷10000＝0.012 240÷20000＝0.012 480÷40000＝0.012 720÷60000＝0.012 本金与利息的比值一定，本金和利息成正比例关系。 （3）120×8＝960（元） 80000＋960＝80960（元） 答：连本带息一共可以拿回80960元。 19．赴九天，问苍穹！这是独属于中国人的宇宙级浪漫。“天宫”内的航天员们每天可绕地球约16圈，大约每1.5小时就要经历一次日出与日落。我国载人空间站“天宫”飞行76.8km仅需10秒，飞行192km需要多久？（用比例的知识解答） 【答案】25秒 【分析】根据速度＝路程÷时间，速度不变情况下可知飞行的路程和时间成正比例。据此列出比例解答即可。 【详解】解：设飞行192千米需要x秒。 76.8∶10＝192∶x 76.8x＝192×10 76.8x＝1920÷76.8 x＝25 答：飞行192千米需要25秒。 20．已知汽车的平均油耗是每千米0.1升。 （1）完成下表。 路程/千米 10 40 … 耗油量/升 2 6 … （2）在下图中画出汽车行驶的路程与耗油量之间关系的图象。 （3）根据图象判断，路程与耗油量成（    ）比例关系。 （4）从图中看，汽车行驶50千米需耗油（    ）升。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）正 （4）5 【分析】（1）已知汽车平均油耗是每千米0.1升，根据“耗油量＝每千米油耗×路程”：路程为10千米时，耗油量为0.1×10＝1升；耗油量为2升时，路程为2÷0.1＝20千米；路程为40千米时，耗油量为0.1×40＝4升；耗油量为6升时，路程为6÷0.1＝60千米。据此依次填表。 （2）根据表格中的数据，路程与耗油量的对应点为（10，1）、（20，2）、（40，4）、（60，6），在图中找到这些点，然后用直线依次连接起来，就得到汽车行驶的路程与耗油量之间关系的图象。 （3）正比例关系的图象是一条经过原点的直线。据此解答。 （4）由每千米油耗0.1升，可得行驶50千米的耗油量为0.1×50＝5升，所以汽车行驶50千米需耗油5升。 【详解】（1）0.1×10＝1（升） 2÷0.1＝20（千米） 0.1×40＝4（升） 6÷0.1＝60（千米） 填表如下： 路程/千米 10 20 40 60 … 耗油量/升 1 2 4 6 … （2）如图： （3）由图象可知，汽车行驶的路程与耗油量之间关系的图象是一条经过原点的直线，因此路程与耗油量成正比例关系。 （4）0.1×50＝5（升） 所以汽车行驶50千米需耗油5升。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $