小升初应用题专项：长方体和正方体（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

2026年数学小升初应用题专项：长方体和正方体-六年级下册人教版 1．五一期间，外地游客小明到“广州市场步行街”买到一个礼物，这个礼物的礼盒是一个正方体，这个礼盒用打包带按如图所示方法捆起来（打结处打包带长20厘米），一共要用多少厘米的打包带？ 2．下面是一个包装盒的展开图缺少一个面，请在合适的位置画出来，并计算包装盒的表面积和体积。（单位：厘米） 3．为了更好的服务业主，公园一号小区准备把小区内的游泳池升级改造。游泳池长50米，宽20米，深20分米。现在需要把游泳池的池底和四周贴上瓷砖，每平方米需要10块瓷砖，那么至少需要多少块这样的瓷砖？ 4．一个长方体的玻璃缸，从里面量长4分米，宽3分米，高3分米，水深23厘米。放进一块石头后（如图），这时量得缸内水深25厘米。这块石头的体积是多少？ 5．做一个无盖长方体玻璃盒，已知这个长方体玻璃盒长80厘米，宽60厘米，高70厘米。 （1）做这个长方体玻璃盒至少需要多少平方厘米的玻璃？ （2）在玻璃盒里注入9.6升水，水深多少厘米？ 6．把一个棱长为9分米的正方体铁块，熔铸成一个长18分米，高60厘米的长方体，这个长方体的宽是多少分米？ 7．一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高都是以厘米为单位的质数，这个长方体的体积是多少？ 8．一个长方体（如下图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体，这个长方体的体积是多少？ 9．如图，把一个长、宽、高分别为12厘米、7厘米、9厘米的长方体木块沿着一个方向锯开，能够得到两个小一些的长方体木块。怎样锯才能使得到的两个小长方体木块的表面积之和最小？请在图中画一画，并求出锯开后的两个小长方体木块的表面积之和。 10．如下图，从一个大长方体上切下一个体积是180立方厘米的小长方体。原来大长方体的体积是多少立方厘米？ 11．有一个完全封闭的长方体容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高6厘米（图1）。如果把这个容器竖起来放（图2），水的高度会是多少厘米？ 12．王叔叔有一张长60厘米、宽40厘米的长方形铁皮，他想在它的四个角各剪去一个边长为5厘米的小正方形（如图），然后焊接成一个无盖的铁皮盒子。 （1）你来帮王叔叔算一算。这个盒子的容积是多少立方分米？（铁皮厚度忽略不计） （2）如果把这个盒子里装满水，再把棱长为4cm的正方体铁块沉入水中，则流出来的水的体积是多少立方厘米？ 13．用下面的5块玻璃拼成一个无盖鱼缸，这个鱼缸的容积是多少升？    14．如图是一个组合体，求它的体积有很多种方法，请在下面推荐的三种方法中选一种你喜欢的，列式解答。（单位：厘米） 方法1：分成上下两个小长方体。 方法2：看成一个大长方体割去一个小长方体。 方法3：沿中间切开分成左右两个长方体，再把右边的那个移到左上方，正好拼成一个大长方体。 我选择的是第（    ）种方法，解答如下： 15．实验小学为普及生态文明教育，打算在教学楼入口处饲养一些鱼类，需要准备3个同样大小的无盖玻璃鱼缸，尺寸如图所示。 （1）做这些鱼缸需要多大的玻璃？（损耗忽略不计） （2）将其中一个鱼缸装满水后，把一根长为1米，横截面积为20平方厘米的长方体铁棒竖直插入水中，插到底后竖直取出。这时水面的高度是多少厘米？ 16．我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽25米。最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。 （1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了过论。请根据他们的思考过程解决问题。 ①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了，所以它的容积大小范围就在（    ）立方米和（    ）立方米之间。” ②小锋同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。” 请根据小锋的方法计算该泳池的容积。 （2）如果在空的泳池内以均匀的注水速度（140立方米/小时）往池内灌水，选一选，下面哪幅图能表示出泳池最深处水位的变化情况？（    ） （3）根据以上信息综合思考。第（2）题图中的a表示的数是（    ）小时。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年数学小升初应用题专项：长方体和正方体-六年级下册人教版》参考答案 1．660厘米 【分析】由图可知，正方体上下两个面分别需要计算4条棱的长度，四个侧面分别需要计算2条棱的长度，－共需要计算（4×2＋2×4）条正方体的棱长，再乘正方体每条棱的长度，最后加上打结处打包带的长度，据此解答。 【详解】（4×2＋2×4）×40＋20 ＝（8＋8）×40＋20 ＝16×40＋20 ＝640＋20 ＝660（厘米） 答：一共要用660厘米的打包带。 【点睛】本题主要考查正方体棱长之和的应用，分析图形求出需要计算棱长的数量是解答题目的关键。 2．图见详解；表面积：136平方厘米；体积：80立方厘米 【分析】根据长方体的展开图可知，该包装盒缺少一个底面，据此作图；再根据长方体表面积和体积的面积公式，代入相应数值计算即可解答。 【详解】如下图： 根据包装盒的展开图可知，这个包装盒是一个长为4厘米，宽为2厘米，高为10厘米的长方体。 表面积：（4×2＋4×10＋2×10）×2 ＝（8＋40＋20）×2 ＝68×2 ＝136（平方厘米） 体积：4×2×10＝80（立方厘米） 答：这个包装盒的表面积是136平方厘米，体积是80立方厘米。 【点睛】解答本题的关键是明确该包装盒是一个长方体，再结合长方体的特征即可完成解答。 3．12800块 【分析】先根据“长×宽＋（长×高＋宽×高）×2”求出游泳池的池底和四周的面积；再用游泳池的池底和四周的面积×10即可求出至少需要的瓷砖的块数。 【详解】20分米＝2米 50×20＋（50×2＋20×2）×2 ＝1000＋（100＋40）×2 ＝1000＋140×2 ＝1000＋280 ＝1280（平方米） 1280×10＝12800（块） 答：至少需要12800块这样的瓷砖。 【点睛】此题考查了长方体的表面积。在实际生活中，并不是所有的长方体形状的物体都有6个面，如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面，长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。 4．2400立方厘米 【分析】根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此计算即可。 【详解】4分米＝40厘米 3分米＝30厘米 40×30×（25－23） ＝1200×2 ＝2400（立方厘米） 答：这块石头的体积是2400立方厘米。 【点睛】本题考查求不规则物体的体积，结合长方体的体积的计算方法是解题的关键。 5．（1）24400平方厘米 （2）2厘米 【分析】（1）求做这个玻璃盒所需的玻璃面积就是求长方体的前后左右面加底面五个面的面积和；（2）9.6升＝9600立方厘米，根据V＝Sh，求水深用9600立方厘米除以底面积解答。 【详解】（1）（80×60＋80×70＋70×60）×2－80×60 ＝（4800＋5600＋4200）×2－4800 ＝29200－4800 ＝24400（平方厘米） 答：做这个长方体玻璃盒至少需要24400平方厘米的玻璃。 （2）9.6升＝9600立方厘米 9600÷（80×60）＝9600÷4800＝2（厘米） 答：水深2厘米。 【点睛】考查无盖长方体表面积、体积的计算，解题关键灵活应用S＝2（ah＋ab＋bh），V＝abh公式。 6．6.75分米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，正方体熔铸成长方体体积不变，即可求出熔铸成长方体的体积，再根据长方体的宽＝体积÷长÷高，即可求出这个长方体的宽是多少分米。 【详解】正方体的体积：9×9×9 ＝81×9 ＝729（立方分米） 60厘米＝6分米 长方体的宽：729÷18÷6 ＝40.5÷6 ＝6.75（分米） 答：这个长方体的宽是6.75分米。 【点睛】此题主要考查正方体和长方体体积公式的灵活运用。 7．立方厘米 【分析】根据题意，前面和上面两个面面积和为209，就是长×高＋长×宽＝209，长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，据此确定这个长方形的长、宽、高各是多少厘米，然后根据长方体体积的计算方法进行计算即可。 【详解】由分析可知，长×高＋长×宽＝209， 长×（高＋宽）＝209， 209＝19×11， 要么宽＋高＝11，要么宽＋高＝19 11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，不管怎么组合都有合数， 所以，宽＋高＝19符合要求， 19＝2＋17＝3＋16＝4＋15＝5＋14＝6＋13＝7＋12＝8＋11＝9＋10，只有2＋17的组合都是质数， 宽、高分别为2厘米、17厘米， 209÷19＝11（厘米） 所以，这个长方体的长是11厘米。 体积：11×17×2 ＝187×2 ＝374（立方厘米） 答：这个长方体的体积是374立方厘米。 【点睛】本题的关键是求出这个长方体的宽和高是多少，再根据长方体体积的计算方法进行计算。 8．600立方厘米 【分析】由题意可知，原长方体的长为10厘米，宽为10厘米，高为10－4＝6（厘米），由长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可解答。 【详解】10－4＝6（厘米） 10×10×6＝600（立方厘米） 答：这个长方体的体积是600立方厘米。 【点睛】此题的解题关键是利用长方体和正方体的特征，灵活运用长方体的体积公式求解。 9．图见详解；636平方厘米 【分析】以大长方体的宽和高为锯开面的长和宽，增加的表面积最小。据此，先求出大长方体的表面积，再加上两个锯开面的面积，即可求出锯开后的两个小长方体木块的表面积之和。 【详解】如图：    （12×9＋12×7＋9×7）×2＋9×7×2 ＝（108＋84＋63）×2＋126 ＝255×2＋126 ＝510＋126 ＝636（平方厘米） 答：锯开后的两个小长方体木块的表面积之和是636平方厘米。 【点睛】本题考查了长方体的表面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 10．540立方厘米 【分析】根据长方体的体积，可推导出，据此用180÷6可求出右面的面积；再用右面的面积×18可求出原来大长方体的体积。 【详解】180÷6×18 ＝30×18 ＝540（立方厘米） 答：原来大长方体的体积是540立方厘米。 【点睛】对于“长方体的体积＝底面积×高”的理解不要拘泥于“下底面的面积×高”，用长方体某一个面的面积与这个面垂直的棱的长度相乘就能求出它的体积。 11．12厘米 【分析】完全封闭的长方体容器平放和竖放时，容器内水的体积不变； 先根据图1中的数据，利用长方体的体积公式V＝abh，求出容器中水的体积； 再根据长方体的高h＝V÷a÷b，求出图2中水的高度。 【详解】水的体积： 20×16×6 ＝320×6 ＝1920（立方厘米） 图2中水的高度： 1920÷10÷16 ＝192÷16 ＝12（厘米） 答：水的高度会是12厘米。 【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，明确容器中水的体积不变是解题的关键。 12．（1）7.5立方分米 （2）64立方厘米 【分析】（1）这个无盖的铁皮盒子是长方体，长为（60－5×2）厘米，宽为（40－5×2）cm，高为5cm，根据长方体的容积（体积）＝长×宽×高，将数据代入公式计算即可； （2）根据题意，流出来的水＝正方体铁块的体积，根据正方体的体积＝a3，将数据代入公式计算即可； 【详解】（1）（60－5×2）×（40－5×2）×5 ＝50×30×5 ＝1500×5 ＝7500（立方厘米） 7500立方厘米＝7.5立方分米 答：这个盒子的容积是7.5立方分米。 （2）4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 答：流出来的水的体积是64立方厘米。 【点睛】此题考查了长方体的展开图和容积计算以及正方体的体积计算，关键理解题目掌握公式。 13．81升 【分析】根据题意，用5块玻璃拼成一个无盖鱼缸，从图中可知，6×3的玻璃只有一块，那么这块就是鱼缸的下面，6×4.5的2块玻璃就是鱼缸的前后面，3×4.5的2块玻璃就是鱼缸的左右面，由此可得出这个无盖长方体鱼缸的长是6分米，宽是3分米，高是4.5分米；根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，以及进率：1立方分米＝1升，即可求出这个鱼缸的容积。 【详解】6×3×4.5 ＝18×4.5 ＝81（立方分米） 81立方分米＝81升 答：这个鱼缸的容积是81升。 【点睛】本题考查长方体体积（容积）公式的运用以及体积、容积单位的换算，结合图形和无盖长方体的特点找出长方体的长、宽、高是解题的关键。 14．3；过程见详解；140立方厘米（答案不唯一） 【分析】方法1：上面小长方体的长是5厘米，宽是4厘米，高是（5－2）厘米；下面小长方体的长是10厘米，宽是4厘米，高是2厘米；长方体的体积＝长×宽×高，组合体的体积＝上面小长方体的体积＋下面小长方体的体积； 方法2：整个大长方体的长是10厘米，宽是4厘米，高是5厘米；割去的小长方体的长是（10－5）厘米，宽是4厘米，高是（5－2）厘米；长方体的体积＝长×宽×高，组合体的体积＝大长方体的体积－小长方体的体积； 方法3：拼成的大长方体的长是5厘米，宽是4厘米，高是（2＋5）厘米，利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出组合体的体积，据此解答。 【详解】 方法1： 5×4×（5－2）＋10×4×2 ＝5×4×3＋10×4×2 ＝60＋80 ＝140（立方厘米） 方法2： 10×4×5－（10－5）×4×（5－2） ＝10×4×5－5×4×3 ＝200－60 ＝140（立方厘米） 方法3： 5×4×（2＋5） ＝5×4×7 ＝140（立方厘米） 答：这个组合体的体积是140立方厘米。 【点睛】本题主要考查组合体体积的计算，掌握长方体的体积计算公式并把组合体转化为两个长方体的和或差是解答题目的关键。 15．（1）315平方分米；（2）34.75厘米 【分析】（1）根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式求出做一个鱼缸需要和玻璃的面积，然后再乘3即可。 （2）根据题意可知，把这根铁棒从鱼缸中取出后，水面下降的体积等于铁棒被水淹没的体积，说明下降的高等于铁棒被水淹没的体积除以鱼缸的底面积，然后用鱼缸的高减去水面下降的高即可。 【详解】（1）7×4＋7×3.5×2＋3.5×4×2 ＝28＋49＋28 ＝105（平方分米） 105×3＝315（平方分米） 答：做这些鱼缸需要315平方分米的玻璃。 （2）4×7＝28（平方分米） 28平方分米＝2800平方厘米 3.5分米＝35厘米 35×20＝700（立方厘米） 700÷2800＝0.25（厘米） 35－0.25＝34.75（厘米） 答：这时水面的高度是34.75厘米。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 16．（1）①1500；2000；②1750立方米；（2）C；（3）12.5 【分析】（1）①割去一部分是指使该泳池变成高为泳池最浅处水深1.2米的长方体，底面积不变； 则该长方体体积为50×25×1.2＝1500（立方米） 补上一部分是指使该泳池变成高为泳池最深处水深1.6米的长方体，底面积不变； 则该长方体体积为50×25×1.6＝2000（立方米） 泳池体积最小为：被割去一部分之后的体积，最大为：被补上一部分之后的体积，所以它的容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。 ②两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体，则该长方体的高为1.6＋1.2＝2.8米，底面积不变；则该长方体体积为50×25×2.8＝3500（立方米），可求出泳池体积为3500÷2＝1750（立方米）。 （2）在空的泳池内以均匀的注水速度往池内注水，则首先填满⑴①中割去部分，则填满该部分时恰好达到1.6－1.2＝0.4米水深，填满该部分前，随着水位上升，其水所占体积的高度和底面积随着时间增长都增大，该部分水的体积变化呈逐渐增大的趋势，又因为选项C填满该部分的过程即高度达到0.4米前呈逐渐增大的趋势，且深度变化不断放缓，所以答案应该是选项C。 （3）由⑴②得泳池体积为1750立方米，填满冰池需要1750÷140＝12.5（小时），所以a表示的数是12.5小时。 【详解】（1）①50×25×1.2＝1500（立方米） 50×25×1.6＝2000（立方米） 所以容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。 ②50×25×（1.6＋1.2）÷2 ＝1250×2.8÷2 ＝3500÷2 ＝1750（立方米） 答：泳池的容积是1750立方米。 （2）根据分析得，下面图C能表示泳池最深处水位的变化情况。 （3）1750÷140＝12.5（小时） 所以图中的a表示的数是12.5小时。 【点睛】本题考查了长方体的体积（容积）公式的实际运用，学会通过统计图获取并分析数据，解决实际的问题。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $