7.2 一元一次不等式 2025-2026学年沪科版七年级数学下册核心考点精讲与全攻略（安徽专用）

7.2 一元一次不等式 知识点详解 二、 一元一次不等式的概念 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且不等式两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2. 标准形式 ax + b > 0 或 ax + b < 0 或 ax + b ≥ 0 或 ax + b ≤ 0（其中 a ≠ 0） 3. 与一元一次方程的辨析 对比项 一元一次方程 一元一次不等式 定义 只含一个未知数，次数为1的等式 只含一个未知数，次数为1的不等式 一般形式 ax + b = 0 (a≠0) ax + b > 0 等 (a≠0) 解的含义 使等式成立的未知数的值（通常只有1个） 使不等式成立的未知数的取值范围（通常有无数个） 解的表示 通常表示为一个数值，如 x = 3 表示为一个集合，常用数轴表示，如 x < 3 三、 解一元一次不等式（核心步骤与依据） 解一元一次不等式的目标：利用不等式的基本性质，将其逐步化简为 x > a 或 x < a 等形式，从而确定解集。 通用五步法（与解方程步骤类似，但有关键区别） 步骤1：去分母（如果存在分数） · 做法：不等式两边同时乘以各分母的最小公倍数。 · 依据：不等式性质2或3。 · 注意：如果所乘的数是负数，必须改变不等号的方向。 步骤2：去括号 · 做法：根据去括号法则，去掉不等式中的括号。 · 依据：分配律，可看作是性质1（加减同一个整式）的应用。 步骤3：移项 · 做法：将含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边。 · 依据：不等式性质1（两边同时加或减同一个整式，不等号方向不变）。 · 技巧：通常将未知数项移到左边，常数项移到右边，移项要变号。 步骤4：合并同类项 · 做法：将不等式两边分别合并，化为 ax > b 或 ax < b 的形式。 · 依据：整式的加减法则。 步骤5：系数化为1 · 做法：不等式两边同时除以未知数的系数 a。 · 依据：不等式性质2或3。 · ⚠️ 最易错环节：如果系数 a 是负数，必须改变不等号的方向。如果 a 是正数，方向不变。 步骤口诀总结 一去分，二去括，三移项，四合并，五化“1”。 乘除负数必变号，时刻牢记莫忘掉。 四、 在数轴上表示不等式的解集 这是检验和理解解集的重要步骤，要求规范、准确。 1. 定界点：根据解集确定数轴上的分界点数字（如 x > 2 的分界点是2）。 2. 定空实： · 若解集包含该点（即 ≥ 或 ≤），画实心圆点 (●)。 · 若解集不包含该点（即 > 或 <），画空心圆圈 (○)。 3. 定方向： · 若解集是“大于”，向右画射线。 · 若解集是“小于”，向左画射线。 五、 一元一次不等式的简单应用 运用一元一次不等式解决实际问题的步骤，与列方程解应用题类似： 1. 审：审清题意，找出不等关系关键词（如“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”）。 2. 设：设出适当的未知数。 3. 列：根据不等关系列出一元一次不等式。 4. 解：解这个不等式，求出解集。 5. 答：结合实际问题，给出符合题意的答案（通常需要取整数解等）。 典型应用题型： · 分配问题：若干物品分给若干人，要求满足某种不等关系。 · 积分问题：比赛得分，根据胜负场次关系求未知场次。 · 费用问题：选择套餐、租车方案等，比较费用高低。 · 几何问题：利用几何图形（如三角形三边关系）中的不等关系列式。 六、 典型例题精析 例1：基础解法（强调步骤） 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来。 解： 1. 去分母（两边同乘6）： 2. 去括号： 3. 移项： 4. 合并同类项： 5. 系数已为1，得到解集： 例2：易错题（系数为负） 解不等式：-3x + 6 > 0 解： 1. 移项：-3x > -6 2. 系数化为1（两边同除以-3，必须变号）：x < 2 · 常见错误：忘记变号，错解为 x > 2。 例3：简单应用 小明用100元去买笔记本和钢笔。已知笔记本5元/本，他至少要买3本。钢笔8元/支，他最多能买多少支钢笔？ 解： 1. 设：设能买x支钢笔。 2. 列：买笔记本的费用为元。总费用不能超过100元。 3. 解： 4. 答：因为x是整数，所以小明最多能买10支钢笔。 七、 解一元一次不等式与解一元一次方程的对比表 步骤 一元一次方程 (以 2x+1=5 为例) 一元一次不等式 (以 2x+1>5 为例) 关键区别 目标 化为 x = a 化为 x > a 或 x < a 结果形式不同 去分母/去括号/移项/合并 做法完全相同 做法完全相同 依据的性质1相同 系数化为1 两边同除以2：x = 2 两边同除以2（正数）：x > 2 若除数为正，做法相同 特殊情况 无 若系数为负，如 -2x > 4，则 x < -2 不等式在乘除负数时必须变号，方程则不需要 解的表示 一个数 x = 2 一个范围，用数轴表示 解集是无限多个数 一、单选题 1．若代数式的值始终不大于－1，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解法，注意解不等式的依据是不等式的性质，理解不等式两边同时除以一个负数时不等号方向改变是关键． 将代数式化简为 ，然后根据值不大于列出不等式求解． 【详解】解：∵ ， 又∵ 值始终不大于 ， ∴ ， 两边乘（正数，不等号方向不变）：， 移项：， 两边乘 （负数，不等号方向改变）：， ∴ 的取值范围是 ， 故选： A． 2．已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 先解方程求出关于的表达式，再根据解为负数列不等式求解. 【详解】解：解关于的方程得，， ∵ 该方程的解为负数， ，即， 解得：， 故选：C． 3．在实数范围内规定新运算“▲”，其规则：．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值是（   ） A．－5 B．－1 C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键； 根据新定义的运算解出不等式的解，结合数轴上的表示，即可解出k的值． 【详解】解：由， 得， 则． 由数轴，得不等式的解集为， ， 解得； 故选：A． 4．解不等式的过程如图所示，开始出现错误的步骤是（    ） 解：， 去分母，得，    第一步 移项，得，    第二步 合并同类项，得，    第三步 系数化为1，得．    第四步 A．第四步 B．第三步 C．第二步 D．第一步 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，去分母时的乘法分配律，掌握解不等式去分母时，每一项都要乘以公分母，注意括号内的符号变化是解题的关键． 检查解不等式的每一步，重点在于去分母时是否正确处理符号和分配律． 【详解】解：∵原不等式为 ， 去分母时，两边应同乘， 左边： ， 右边： ， ∴正确结果应为 ， 但步骤中写为 ，即 ， ∴第一步错误，开始出现错误的步骤是第一步． 故选：D． 5．不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了在数轴上表示范围，熟练掌握在数轴上表示解集的方法是解题的关键； 分析哪个选项的范围与题目所给解集的范围相符，即为正确答案． 【详解】解：由题可知，的范围应该在数轴上的处，折线方向向左， 与各选项比较，只有D选项符合； 故选： D． 6．某中学购买了一批新桌椅，学校组织200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次．最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（   ） A．60 B．70 C．80 D．90 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用能力，设出桌椅的套数，表示出搬桌子、椅子的人数是解题的关键． 设可搬桌椅套，根据“规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次”，那么搬桌子需人，搬椅子需人，根据总人数为人，列不等式求解即可． 【详解】解：设可搬桌椅套，则搬桌子需人，搬椅子需人， 根据题意，得：， 解得： ∴最多可搬桌椅套， 故选：C． 7．某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据题意，草莓有损耗，实际销售量为，销售收入为元，为避免亏本，销售收入应不小于进货成本元，即可列出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 8．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解． 根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于的方程求解即可． 【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式， ∴ x 的指数 ，且系数 ， 解 ，得 ，即 或 ， 又 ∵ ，即 ， ∴． 故选A． 9．若关于的不等式的解集为，则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次方程的综合应用，熟练掌握不等式的解集与方程的解的关系是解题的关键．先根据不等式的解集确定的符号，再利用边界点求出的值，最后代入方程求解． 【详解】解：∵ 不等式的解集为， ∴ 当时，，即， ∴ ， ∴ ． 又∵ 方程， 代入，得， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 10．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A．从1处画实心点，向左画射线 B．从1处画空心点，向左画射线 C．从1处画实心点，向右画射线 D．从1处画空心点，向右画射线 【答案】B 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，牢固掌握以上知识点是做出本题的关键．空心点向右表示大于，空心点向左表示小于，据此可得出答案． 【详解】解：不等式，表示 1 不包含在解集中，所以在数轴上从 1 处画空心点，向左画射线． 故选：B． 11．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的解集以及不等式的基本性质．熟练掌握根据不等式的解集确定相关参数的关系，以及不等式两边同时除以一个负数时不等号方向改变这一性质是解题的关键．本题可先根据已知不等式的解集得出关于、的关系，进而确定与的大小关系，再求解不等式．解题思路为：由不等式的解集求出与的关系，判断的正负，最后代入不等式求解． 【详解】解：由得． ∵其解集为， ∴，且． ∴， 将代入，可得 ∴． 把代入不等式，可得， ， ∵， ∴． 故选：C． 12．某通信运营商推出两种话费收费方案．方案一：套餐及固定费36元，本地通话费0.1元/min．方案二：不收套餐及固定费，本地通话费0.6元．若张老师选择方案一比方案二优惠，则他一个月的通话时间可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设他一个月通话时间为，根据张老师选择方案一比方案二优惠，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再对照四个选项，即可得出结论. 【详解】解：设他一个月通话时间为元，根据题意得： ， 解得：， 答：他一个月通话时间可能为． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，解决本题的关键是正确列出一元一次不等式． 二、填空题 13．不等式的正整数解为 ． 【答案】1，2，3，4 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 通过解不等式得到 x < 5, 再找出满足条件的正整数． 【详解】解：解不等式 ， 两边同时减去得 两边同时除以（负数）, 不等号方向改变, 得 , ∴正整数解为 ． 故答案为：． 14．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出答案． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 故答案为：． 15．某小区王先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，王先生要求装修公司再派一支乙工程队与甲工程队合作完成此项工程，乙工程队单独完成此项工程需30天．甲、乙工程队每天施工费分别为800元和1000元，若王先生要求施工费用不能超过34000元，则甲工程队至多工作 天． 【答案】20 【分析】本题考查工程问题与一元一次不等式的结合应用，掌握用工作量表示工作天数的方法，以及根据费用约束建立不等式的思路是解题的关键． 设甲工程队工作天，根据工程完成条件，乙工程队工作天数为，再根据施工费用限制列出不等式求解． 【详解】解：设甲工程队工作天，则乙工程队工作天数为 天． 总施工费用为 ． 化简得 ， 即 ， 所以 ， 解得 ． 故甲工程队至多工作天． 故答案为：． 16．若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解集的包含关系，掌握解两个不等式，通过解集的包含关系建立新不等式求参数是解题的关键． 先解不等式 得到解集 ，再解不等式 得到解集 ，根据题意，第一个不等式的所有解都满足第二个不等式，因此 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， 去分母得 ， 化简得 ， 解得 ； 解不等式 ， 移项得 ， 解得 因为不等式 的解都能使不等式 成立， 所以 ， 解得 故答案为 ． 17．若不等式的最小整数解是关于的方程的解，则式子的值为 ． 【答案】2025 【分析】先解不等式，求出它的最小整数解；再将这个最小整数解代入方程，求出的值；最后把的值代入代数式计算出最终结果． 【详解】解：①解不等式： ． ∴该不等式的最小整数解为． ②代入方程求： 将代入方程 ． ③计算代数式的值： 将代入 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法、一元一次方程的解法以及代数式求值，解题关键是按“解不等式→求最小整数解→代入方程求→代入代数式求值”的步骤有序计算，确保每一步的准确性． 18．某果蔬加工公司购买龙眼21t，公司把购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1t龙眼可加工成桂圆肉0.2t或龙眼干0.5t，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/t和3万元/t．若全部销售完的销售额不少于39万元，则至少需要 t龙眼加工成桂圆肉． 【答案】15 【分析】设用于加工桂圆肉的龙眼为 吨，则加工龙眼干的龙眼为 吨。根据加工效率和销售价格，列出销售额的不等式，解不等式即可． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出题目中的不等关系是解决问题的关键． 【详解】解：设把吨龙眼加工成桂圆肉，则加工成龙眼干的龙眼为吨． 桂圆肉的产量为吨，销售额为万元； 龙眼干的产量为吨，销售额为万元． 总销售额满足． 化简得，即， 则， 解得． 故答案为：15． 19．若关于x的不等式的负整数解有三个，则实数a满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的整数解，在解不等式时要根据不等式的基本性质． 根据不等式 的负整数解有三个，即负整数解为，通过分析a的取值范围，确保恰好这三个负整数解． 【详解】解：不等式的解集为所有大于或等于a的实数，负整数解有三个，即为， 由于是负整数解，因此，即， 又因为不能是负整数解（否则负整数解有四个），所以， 综上，实数a满足的条件是， 故答案为：． 三、解答题 20．解下列不等式： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解答此题的关键． （1）（2）（3）先去括号，再移项、合并同类项，系数化为，即可求出不等式的解集； （4）先去分母，再移项、合并同类项，系数化为，即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． （2）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． （3）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． （4）解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． 21．定义新运算：对于任意实数，，都有．比如：． (1)求的值． (2)若的值大于－2，求x的取值范围，并在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【分析】（1）根据题意得出有理数混合运算的式子，再求出其值即可； （2）先得出有理数混合运算的式子，再根据的值大于，求出的取值范围，并在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 的值大于， ． 如图．    【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 22．解下列不等式，并把解集表示在数轴上． (1)． (2)． 【答案】(1)，表示见解析 (2)，表示见解析 【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键； （1）先去分母再进行移项、合并同类项最后系数化为1即可解出不等式的解集，最后在数轴上表示； （2）先去分母、去括号再进行移项、合并同类项最后系数化为1即可解出不等式的解集，最后在数轴上表示． 【详解】（1）解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集表示在数轴上如图所示． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集表示在数轴上如图所示． 23．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程和解一元一次不等式，掌握好方程和不等式的解法是关键． （1）先求出方程的解，由，求出a的取值范围； （2）先解不等式，取范围内最小的整数解，代入方程求出a的值． 【详解】（1）解：， 解得，， ∵， ∴， 解得，； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得，，范围内的最小整数解为， 将，代入方程，得： ， 解得，． 24．某工厂要将货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的汽车共6辆．已知两种型号的汽车承载质量及其租金如下表所示： 承载质量/（/辆） 租金/（元/辆） 甲型汽车 16 800 乙型汽车 18 850 设租用甲型汽车辆，回答下列问题： (1)若想一次性把货物全部运走，请直接写出应满足的不等式． (2)若此工厂计划此次租车的费用不超过5000元，请直接写出应满足的不等式． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查了列一元一次不等式，熟练掌握根据题干信息找出不等关系是解题的关键； （1）（2）根据题干所给要求找出符合题意的不等关系列出式子． 【详解】（1）解：已知租用甲型汽车x辆，总共租用6辆车， 则乙型汽车租用辆； 甲型汽车每辆承载质量为，乙型汽车每辆承载质量为，货物总重为； 则：． （2）解：已知租用甲型汽车x辆，总共租用6辆车， 则乙型汽车租用辆； 甲型汽车每辆租金为800元，乙型汽车租金每辆为850元； 则：． 25．某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： 信息一 型智能机器人台数 型智能机器人台数 总费用／万元 1 3 260 3 2 360 信息二 型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； 型智能机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求，两种型号智能机器人的单价． (2)现该企业准备用不超过700万元购买，两种型号智能机器人共10台，则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】(1)型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元 (2)选择购买型智能机器人5台，购买型智能机器人5台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，掌握通过方程组求单价，用不等式限制购买数量是解题的关键． （1）设型单价为未知数，用代数式表示型单价，并用一元一次不等式约束单价为正数的实际意义，再结合另一组购买数据列方程求解，确保解的合理性； （2）设购买数量，用总费用限制列不等式求范围，再求出选择各方案每天分拣快递的件数，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，由第一组购买数据，型单价为万元． 根据单价为正数的约束，列不等式： 结合第二组购买数据列方程： 则型单价为万元． 因此，型单价为80万元，型单价为60万元． 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元． （2）解：设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台． 依题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴有种购买方案， 每天分拣快递万件，方案如下： ①购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）； ②购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）； ③购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）； ④购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）； ⑤购买型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣快递的件数为（万件）， ∵， ∴当时，每天分拣快递的件数最多，最多为万件， 所以选择购买型智能机器人台，购买型智能机器人台． 26．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)不是不等式的解． (2)因为是不等式的一个解，所以该不等式的解集为． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)错误，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解题的关键； （1）（2）根据不等式的解集判断是否为不等式的解，题干所描述的话是否正确． 【详解】（1）解：正确． 理由：当时，，不等式不成立， 不是它的解． （2）解：错误． 理由：该不等式的解集为， 是它的一个解，但不是全部解． 27．定义新运算：对于任意实数a，b都有．例如．求不等式的解集． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，不等式的解集，解题的关键是理解新定义运算，掌握一元一次不等式的解题步骤． 根据，计算出的值，然后根据解不等式的步骤，即可解出不等式的解集． 【详解】解：∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．某手机专卖店销售A，B两种型号的手机，上周销售1部A型手机、3部B型手机，销售额为8400元．本周销售2部A型手机、1部B型手机，销售额为5800元． (1)A型手机和B型手机的销售单价分别是多少元？ (2)如果某单位拟向该店购买A，B两种型号的手机共6部（两种型号的手机都买），发给职工联系业务，且购手机费用不超过11600元，有哪几种购买方案？ (3)在（2）中哪种方案费用更省？最少费用是多少？ 【答案】(1)1800元  2200元 (2)两种方案：方案①为购买型手机4部，B型手机2部；方案②为购买A型手机5部，型手机1部． (3)方案②购买费用更省，最少费用是11200元． 【分析】（1）设型手机的销售单价为x元，型手机的销售单价为y元，根据销售1部型手机、3部型手机，销售额为8400元，销售2部型手机、1部型手机，销售额为5800元，列出方程组即可； （2）设购买型手机a部，则购买型手机部，根据购手机费用不超过11600元，列出不等式，解不等式即可. 【详解】（1）设型手机的销售单价为x元，型手机的销售单价为y元． 根据题意，得    解得 答：型手机的销售单价为1800元，型手机的销售单价为2200元． （2）设购买型手机a部，则购买型手机部． 根据题意，得， 解得． ∵a为整数，两种型号的手机都买， ∴， 解得， ∴， ∴或5， ∴有两种购买方案，方案①为购买型手机4部，购买型手机2部；方案②为购买型手机5部，购买型手机1部． （3）按方案①购买所需费用为； 按方案②购买所需费用为． ∵， ∴按方案②购买费用更省，最少费用是11200元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，根据不等关系，列出不等式. 29．某商店销售A，B两种水果，A水果标价14元/kg，B水果标价18元/kg．妈妈让小明到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多买1 kg．设小明买m kg A水果． (1)若这两种水果按标价出售且合计付款不超过50元，求m的取值范围． (2)小明到这家商店后，发现A，B两种水果有优惠活动：A水果打七五折；一次性购买B水果不超过1 kg不优惠，超过1 kg后，超过1 kg的部分打七五折．若小明合计付款48元，求m的值（注：“打七五折”指按标价的75%出售）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：①找出数量关系，正确列出一元一次不等式；②找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设小明买水果，则买了水果．根据合计付款不超过元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题； （2）设小明买水果，则买了水果．根据小明合计付款元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设小明买水果，则买了水果． 由题意，得， 解得， 又∵， ∴的取值范围为． （2）解：设小明买水果，则买了水果． 由题意，得， 解得． 答：的值为． 30．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg） 500 80 原料价格/（元/kg） 10 4 (1)现配制这种饮料10kg，要求至少含有3600单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量（单位：）应满足的不等式． (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的总费用不超过65元，试写出应满足的另一个不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）所需甲种原料的质量，则所需乙种原料的质量，根据“至少含有3600单位的维生素C”可得不等式； （2）所需甲种原料的质量，则所需乙种原料的质量，根据“甲、乙两种原料的费用不超过65元”列出不等式. 【详解】（1）解：设所需甲种原料的质量，由题意得： . （2）解：根据题意，得． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式. 31．某高速公路施工路段总长为90千米，若甲、乙两工程队合作，6个月可以完成．若甲工程队先做4个月，则剩下的部分乙工程队需要9个月可以完成． (1)求甲、乙两工程队每月的施工路段长度分别是多少千米； (2)按要求该工程需要在11个月内竣工．由甲工程队先做个月，剩下的部分由乙工程队来完成．为了保证该工程在要求工期内完成，则甲工程队至少做多少个月？ 【答案】(1)9千米和6千米 (2)8个月 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式在工程问题中的应用，掌握根据工作量关系建立方程组，以及根据工期约束建立不等式的方法是解题的关键． （1）根据两队合作个月完成千米和甲先做个月、乙再做个月完成千米两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解； （2）设甲做个月，计算剩余工程量由乙完成所需时间，根据总工期不超过个月的约束列不等式，求解的最小值． 【详解】（1）解：设甲、乙两工程队每月的施工路段长度分别是千米和千米， 由题意，得， 解得 答：甲、乙两工程队每月的施工路段长度分别是9千米和6千米． （2）解：由题意，得，解得， 的最小值为． 答：甲工程队至少做个月． 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2 一元一次不等式 知识点详解 二、 一元一次不等式的概念 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且不等式两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2. 标准形式 ax + b > 0 或 ax + b < 0 或 ax + b ≥ 0 或 ax + b ≤ 0（其中 a ≠ 0） 3. 与一元一次方程的辨析 对比项 一元一次方程 一元一次不等式 定义 只含一个未知数，次数为1的等式 只含一个未知数，次数为1的不等式 一般形式 ax + b = 0 (a≠0) ax + b > 0 等 (a≠0) 解的含义 使等式成立的未知数的值（通常只有1个） 使不等式成立的未知数的取值范围（通常有无数个） 解的表示 通常表示为一个数值，如 x = 3 表示为一个集合，常用数轴表示，如 x < 3 三、 解一元一次不等式（核心步骤与依据） 解一元一次不等式的目标：利用不等式的基本性质，将其逐步化简为 x > a 或 x < a 等形式，从而确定解集。 通用五步法（与解方程步骤类似，但有关键区别） 步骤1：去分母（如果存在分数） · 做法：不等式两边同时乘以各分母的最小公倍数。 · 依据：不等式性质2或3。 · 注意：如果所乘的数是负数，必须改变不等号的方向。 步骤2：去括号 · 做法：根据去括号法则，去掉不等式中的括号。 · 依据：分配律，可看作是性质1（加减同一个整式）的应用。 步骤3：移项 · 做法：将含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边。 · 依据：不等式性质1（两边同时加或减同一个整式，不等号方向不变）。 · 技巧：通常将未知数项移到左边，常数项移到右边，移项要变号。 步骤4：合并同类项 · 做法：将不等式两边分别合并，化为 ax > b 或 ax < b 的形式。 · 依据：整式的加减法则。 步骤5：系数化为1 · 做法：不等式两边同时除以未知数的系数 a。 · 依据：不等式性质2或3。 · ⚠️ 最易错环节：如果系数 a 是负数，必须改变不等号的方向。如果 a 是正数，方向不变。 步骤口诀总结 一去分，二去括，三移项，四合并，五化“1”。 乘除负数必变号，时刻牢记莫忘掉。 四、 在数轴上表示不等式的解集 这是检验和理解解集的重要步骤，要求规范、准确。 1. 定界点：根据解集确定数轴上的分界点数字（如 x > 2 的分界点是2）。 2. 定空实： · 若解集包含该点（即 ≥ 或 ≤），画实心圆点 (●)。 · 若解集不包含该点（即 > 或 <），画空心圆圈 (○)。 3. 定方向： · 若解集是“大于”，向右画射线。 · 若解集是“小于”，向左画射线。 五、 一元一次不等式的简单应用 运用一元一次不等式解决实际问题的步骤，与列方程解应用题类似： 1. 审：审清题意，找出不等关系关键词（如“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”）。 2. 设：设出适当的未知数。 3. 列：根据不等关系列出一元一次不等式。 4. 解：解这个不等式，求出解集。 5. 答：结合实际问题，给出符合题意的答案（通常需要取整数解等）。 典型应用题型： · 分配问题：若干物品分给若干人，要求满足某种不等关系。 · 积分问题：比赛得分，根据胜负场次关系求未知场次。 · 费用问题：选择套餐、租车方案等，比较费用高低。 · 几何问题：利用几何图形（如三角形三边关系）中的不等关系列式。 六、 典型例题精析 例1：基础解法（强调步骤） 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来。 解： 1. 去分母（两边同乘6）： 2. 去括号： 3. 移项： 4. 合并同类项 5. 系数已为1，得到解集： 例2：易错题（系数为负） 解不等式：-3x + 6 > 0 解： 1. 移项：-3x > -6 2. 系数化为1（两边同除以-3，必须变号）：x < 2 · 常见错误：忘记变号，错解为 x > 2。 例3：简单应用 小明用100元去买笔记本和钢笔。已知笔记本5元/本，他至少要买3本。钢笔8元/支，他最多能买多少支钢笔？ 解： 1. 设：设能买x支钢笔。 2. 列：买笔记本的费用为 元。总费用不能超过100元。 3. 解： 4. 答：因为x是整数，所以小明最多能买10支钢笔。 七、 解一元一次不等式与解一元一次方程的对比表 步骤 一元一次方程 (以 2x+1=5 为例) 一元一次不等式 (以 2x+1>5 为例) 关键区别 目标 化为 x = a 化为 x > a 或 x < a 结果形式不同 去分母/去括号/移项/合并 做法完全相同 做法完全相同 依据的性质1相同 系数化为1 两边同除以2：x = 2 两边同除以2（正数）：x > 2 若除数为正，做法相同 特殊情况 无 若系数为负，如 -2x > 4，则 x < -2 不等式在乘除负数时必须变号，方程则不需要 解的表示 一个数 x = 2 一个范围，用数轴表示 解集是无限多个数 一、单选题 1．若代数式的值始终不大于－1，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．在实数范围内规定新运算“▲”，其规则：．已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值是（   ） A．－5 B．－1 C．1 D．5 4．解不等式的过程如图所示，开始出现错误的步骤是（    ） 解：， 去分母，得，    第一步 移项，得，    第二步 合并同类项，得，    第三步 系数化为1，得．    第四步 A．第四步 B．第三步 C．第二步 D．第一步 5．不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 6．某中学购买了一批新桌椅，学校组织200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次．最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（   ） A．60 B．70 C．80 D．90 7．某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 9．若关于的不等式的解集为，则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 10．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（    ） A．从1处画实心点，向左画射线 B．从1处画空心点，向左画射线 C．从1处画实心点，向右画射线 D．从1处画空心点，向右画射线 11．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12．某通信运营商推出两种话费收费方案．方案一：套餐及固定费36元，本地通话费0.1元/min．方案二：不收套餐及固定费，本地通话费0.6元．若张老师选择方案一比方案二优惠，则他一个月的通话时间可能为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．不等式的正整数解为 ． 14．不等式的解集为 ． 15．某小区王先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，王先生要求装修公司再派一支乙工程队与甲工程队合作完成此项工程，乙工程队单独完成此项工程需30天．甲、乙工程队每天施工费分别为800元和1000元，若王先生要求施工费用不能超过34000元，则甲工程队至多工作 天． 16．若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是 ． 17．若不等式的最小整数解是关于的方程的解，则式子的值为 ． 18．某果蔬加工公司购买龙眼21t，公司把购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1t龙眼可加工成桂圆肉0.2t或龙眼干0.5t，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/t和3万元/t．若全部销售完的销售额不少于39万元，则至少需要 t龙眼加工成桂圆肉． 19．若关于x的不等式的负整数解有三个，则实数a满足的条件是 ． 三、解答题 20．解下列不等式： (1)． (2)． (3)． (4)． 21．定义新运算：对于任意实数，，都有．比如：． (1)求的值． (2)若的值大于－2，求x的取值范围，并在数轴上表示出来． 22．解下列不等式，并把解集表示在数轴上． (1)． (2)． 23．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 24．某工厂要将货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的汽车共6辆．已知两种型号的汽车承载质量及其租金如下表所示： 承载质量/（/辆） 租金/（元/辆） 甲型汽车 16 800 乙型汽车 18 850 设租用甲型汽车辆，回答下列问题： (1)若想一次性把货物全部运走，请直接写出应满足的不等式． (2)若此工厂计划此次租车的费用不超过5000元，请直接写出应满足的不等式． 25．某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下： 信息一 型智能机器人台数 型智能机器人台数 总费用／万元 1 3 260 3 2 360 信息二 型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； 型智能机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求，两种型号智能机器人的单价． (2)现该企业准备用不超过700万元购买，两种型号智能机器人共10台，则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 26．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)不是不等式的解． (2)因为是不等式的一个解，所以该不等式的解集为． 27．定义新运算：对于任意实数a，b都有．例如．求不等式的解集． 28．某手机专卖店销售A，B两种型号的手机，上周销售1部A型手机、3部B型手机，销售额为8400元．本周销售2部A型手机、1部B型手机，销售额为5800元． (1)A型手机和B型手机的销售单价分别是多少元？ (2)如果某单位拟向该店购买A，B两种型号的手机共6部（两种型号的手机都买），发给职工联系业务，且购手机费用不超过11600元，有哪几种购买方案？ (3)在（2）中哪种方案费用更省？最少费用是多少？ 29．某商店销售A，B两种水果，A水果标价14元/kg，B水果标价18元/kg．妈妈让小明到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多买1 kg．设小明买m kg A水果． (1)若这两种水果按标价出售且合计付款不超过50元，求m的取值范围． (2)小明到这家商店后，发现A，B两种水果有优惠活动：A水果打七五折；一次性购买B水果不超过1 kg不优惠，超过1 kg后，超过1 kg的部分打七五折．若小明合计付款48元，求m的值（注：“打七五折”指按标价的75%出售）． 30．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg） 500 80 原料价格/（元/kg） 10 4 (1)现配制这种饮料10kg，要求至少含有3600单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量（单位：）应满足的不等式． (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的总费用不超过65元，试写出应满足的另一个不等式． 31．某高速公路施工路段总长为90千米，若甲、乙两工程队合作，6个月可以完成．若甲工程队先做4个月，则剩下的部分乙工程队需要9个月可以完成． (1)求甲、乙两工程队每月的施工路段长度分别是多少千米； (2)按要求该工程需要在11个月内竣工．由甲工程队先做个月，剩下的部分由乙工程队来完成．为了保证该工程在要求工期内完成，则甲工程队至少做多少个月？ 学科网（北京）股份有限公司 $