高二数学下学期第一次月考02（苏教版，范围：选择性必修第二册第6～7章，举一反三）

2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷02 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版选择性必修第二册第6章~第7章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．（5分）已知，则=（    ） A．105 B．120 C．210 D．240 3．（5分）已知在四面体中，，为的中点，若.则（　　） A． B． C． D．3 4．（5分）在《哪吒之魔童闹海》中，哪吒成仙三关检测中第一关收服土拨鼠，土拨鼠小队眼神清澈， 手拿破碗， 穿着破烂， 吃着南瓜粥， 过着自给自足， 与世无争的生活.若在某天清晨， 土拨鼠小队长 带领另外5只土拨鼠排队出门巡逻，小队长 只能在排头或结尾；甲土拨鼠是新手，不能离队长超过 1 只土拨鼠距离；乙丙土拨鼠太吵闹不能相邻，请问这支土拨鼠小队总共有（    ）种排队巡逻方式. A．72 B．48 C．64 D．56 5．（5分）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 6．（5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，也叫赵爽弦图，现用5种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（    ） A．180 B．240 C．360 D．420 7．（5分）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A．第十行中第5个数最大 B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C． D．第20行中第8个数与第9个数之比为 8．（5分）在正四棱柱中，，，点，分别为正方形与正方形的中心，E为的中点，点M为线段上的动点，则当点M到平面的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）若，则（   ） A． B． C． D． 11．（6分）如图，正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，点，分别在正方形对角线，上移动，且和的长度保持相等.记，则下列说法正确的是（   ）    A．当时，的长为 B．当时，三棱锥的体积是 C．当的长最小时，平面与平面所成二面角的正弦值为 D．存在，使得直线与所成角的正弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 13．（5分）今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是星期 ． 14．（5分）在长方体中，，，点为长方体的底面的中心，点为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 ．    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知空间向量． (1)若，求； (2)若，求的值． 16．（15分）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 17．（15分）如图所示，平行六面体中，． (1)求； (2)求． 18．（17分）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 19．（17分）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷02 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【解题思路】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A. 2．（5分）已知，则=（    ） A．105 B．120 C．210 D．240 【答案】B 【解题思路】结合组合数的性质代入计算，即可得到结果. 【解答过程】因为，所以 所以 故选：B. 3．（5分）已知在四面体中，，为的中点，若.则（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【解题思路】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【解答过程】因为，为的中点， 所以， 又，则， 所以. 故选：B. 4．（5分）在《哪吒之魔童闹海》中，哪吒成仙三关检测中第一关收服土拨鼠，土拨鼠小队眼神清澈， 手拿破碗， 穿着破烂， 吃着南瓜粥， 过着自给自足， 与世无争的生活.若在某天清晨， 土拨鼠小队长 带领另外5只土拨鼠排队出门巡逻，小队长 只能在排头或结尾；甲土拨鼠是新手，不能离队长超过 1 只土拨鼠距离；乙丙土拨鼠太吵闹不能相邻，请问这支土拨鼠小队总共有（    ）种排队巡逻方式. A．72 B．48 C．64 D．56 【答案】D 【解题思路】利用不相邻问题插空法，特殊元素优先安排的方法可求答案. 【解答过程】小队长A只能在排头或结尾，分两种情况讨论: ①小队长A在排头，甲土拨鼠是新手，不能离队长超过1只土拨鼠距离，甲土拨鼠只能在第二位或第三位; 若甲土拨鼠在第二位，先排其余2只土拨鼠，乙丙插空排列即可，共种; 若甲土拨鼠在第三位，乙丙之一在第二位，其余土拨鼠全排列，或者乙丙在第四位和第六位，共种; ②小队长A在结尾，同理可得，共种; 综上所述，这支土拨鼠小队总共有56种排队巡逻方式. 故选：D. 5．（5分）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】由，列出方程求解即可. 【解答过程】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A. 6．（5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，也叫赵爽弦图，现用5种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种（    ） A．180 B．240 C．360 D．420 【答案】D 【解题思路】根据需要颜色的种数分类讨论，利用排列组合分别求出即可. 【解答过程】由题意至少需要3种不同的颜色， 第一种：只要3种颜色时，则有种选法，先涂则有， 颜色相同则有，剩下一种涂， 根据分步乘法计数原理得种涂法， 第二种：需要4种颜色时，则有，先涂则有， 当颜色相同则有，则颜色不同有， 当颜色相同有，则颜色不同有， 所以共有种涂法， 第三种：需要5种颜色时，则全排列共有， 根据分类加法计数原理有. 故选：D. 7．（5分）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A．第十行中第5个数最大 B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C． D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】D 【解题思路】结合“杨辉三角”和二项式系数及组合数的性质逐一对各个选项进行分析即可. 【解答过程】对于A，由“杨辉三角”和二项式系数的性质可知，第行共有个数， 正中间即第个数最大，故A错误； 对于B，由“杨辉三角”和二项式系数的性质可知，第行共有个数， 中间两项的数相等，即第个和第个数相等，故B错误； 对于C，由组合数的性质可知， ，故C错误； 对于D，由“杨辉三角”可得第行第个数为， 所以第行中第个数与第个数之比为，故D正确. 故选：D. 8．（5分）在正四棱柱中，，，点，分别为正方形与正方形的中心，E为的中点，点M为线段上的动点，则当点M到平面的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据点到平面距离的向量公式及直线与平面夹角的向量公式求解即可． 【解答过程】以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为E为的中点，所以， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 设，所以， 所以， 点M到平面的距离， 当时，即与点重合时，点M到平面的距离最大， 此时， 直线与平面所成角的正弦值为， 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解题思路】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可. 【解答过程】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故能作为空间的一个基底，D正确， 故选：CD. 10．（6分）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】由题意，利用赋值法，结合选项，依次计算即可求解. 【解答过程】对于A，令，可得，故A错误； 对于B，令，可得，又， 所以，故B正确； 对于C，令，则 ，故C错误； 对于D，因为令，可得， 令，可得， 两式相减得：， 所以，故D正确. 故选：BD. 11．（6分）如图，正方形，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，点，分别在正方形对角线，上移动，且和的长度保持相等.记，则下列说法正确的是（   ）    A．当时，的长为 B．当时，三棱锥的体积是 C．当的长最小时，平面与平面所成二面角的正弦值为 D．存在，使得直线与所成角的正弦值为 【答案】AC 【解题思路】根据题意，以为原点建立空间直角坐标系，由，得，即可判断A正确；，，利用即可求体积判断B；由题知，计算，根据二次函数最值问题可知分别是中点时，取得最小值，然后作出二面角，在中，先求余弦值，进而得到正弦值即可确定C；对于D，利用空间向量夹角的坐标求解可判定. 【解答过程】在正方形，中，， 且它们所在的平面互相垂直，交线为， 所以平面，平面，， 则两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系， ，    因为正方形，的边长都是1，所以， 又和的长度保持相等，所以， 当时，，故A正确； 当，， ， ，故B错误； 当，， ， 所以当时，取得最小值，此时，且分别是中点， 则，设中点为， 所以，， 则就是平面与平面所成二面角的平面角， ， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为，故C正确； 根据题意，， 又直线与所成角的正弦值为， 所以， 整理得：， 方程无解，故D错误. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】依题意且与不共线（反向），结合数量积的坐标表示得到不等式，解得即可. 【解答过程】因为，且的夹角为钝角， 所以且与不共线（反向）， 由，则，解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（5分）今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是星期 ． 【答案】四 【解题思路】将变形为，再利用二项展开式展开，得到除以7后的余数为1，即可得解. 【解答过程】因为， 且能被7整除， 故除以7后的余数为1， 所以今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是星期四． 故答案为：四. 14．（5分）在长方体中，，，点为长方体的底面的中心，点为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 ．    【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量公式求解即可. 【解答过程】    如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系； 由题意，，，，则，， 设平面的法向量， 由，得，令，解得，， 则平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则, 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知空间向量． (1)若，求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，则得，由向量模的坐标运算求解即可； （2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，则得，由空间向量的夹角公式求解即可． 【解答过程】（1）空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得， 所以，解得，所以， 则． （2）因为，则，解得， 所以， 故． 16．（15分）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2)0 (3) 【解题思路】（1）利用二项式展开式的通项公式(且)求解； （2）分别令，令求解； （3）根据展开式的通项得到偶数项的系数为负数，令求解. 【解答过程】（1）二项式展开式的通项为：(且)， 所以，所以． （2）令，得， 令，得， 所以． （3）因为展开式的通项为(且)， 所以当为奇数时，项的系数为负数． 所以， 令，得， ． 17．（15分）如图所示，平行六面体中，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由两边平方后可得. （2）由（1）得，根据数量积的运算律可得，然后由向量夹角公式求解即可. 【解答过程】（1），又 则 ， 所以． （2）由空间向量的运算法则，可得，- 因为且， 所以 ， - ，- 则． 18．（17分）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程. (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 【答案】(1)504 (2)360 (3)1140种 【解题思路】（1）利用间接法计算可得； （2）首先确定甲和乙的不同课程、相同的课程，最后再确定丙的课程，按照分步乘法计数原理计算可得； （3）分只任教1科和任教2科两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得. 【解答过程】（1）依题得，共有种； （2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲，乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. （3）①当只任教1科时：先排任教科目，有种； 再从剩下5科中排的任教科目，有种； 接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种； 所以当只任教1科时，共有种； ②当任教2科时：先选任教的2科有种， 这样6科分为4组共有种， 所以当任教2科时，共有种， 综上课程安排方案有1140种. 19．（17分）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． (1)求证：． (2)求线段中点到平面的距离． (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【解题思路】（1）由面面垂直的性质得出平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，由点到平面距离的向量公式即可求解； （3）令，，由面面夹角的向量公式求得，即可求解． 【解答过程】（1）由于平面平面，平面平面 ， 且平面， 平面， 平面，． （2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以到平面的距离． （3）令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是，， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $