专题01 空间向量的应用大题（30题）（举一反三专项训练）高二数学苏教版选择性必修第二册

专题01 空间向量的应用大题（30题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 用空间向量研究直线、平面的平行 1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【解答过程】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【解题思路】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【解答过程】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 3．（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）只需证明平面的法向量与平面中的两个向量垂直即可. 【解答过程】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，    设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为，所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为，所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 4．（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【解题思路】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； （2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解. 【解答过程】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 5．（2025高三·全国·专题练习）在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体，，，，底面，四边形是边长为2的正方形且平行于底面，，，的中点分别为，， ，．证明：//平面；    【答案】证明见解析 【解题思路】过点作的平行线，然后以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量证明即可. 【解答过程】证明：过点作的平行线，由题意可知以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，，，，，，， 因为，的中点分别为，， 所以，，则， 设平面的法向量为，，， 则，，令，则， 因为， 所以， 因为平面， 所以平面. 6．（24-25高二·全国·课后作业）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【解答过程】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，．    由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 题型二 用空间向量研究直线、平面的垂直 7．（2025高三·全国·专题练习）已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）先证明底面，建立空间直角坐标系，计算得证； （2）取PA的中点M，连接DM，利用向量法先证明平面，从而可得面面垂直. 【解答过程】（1）取BC的中点O，连接PO， ∵平面底面，为等边三角形， 平面底面，平面， ∴底面. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴， OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，∴. （2）取PA的中点M，连接DM，则， ∵，，∴， ∴，即. ∵， ∴，即， 又∵平面PAB， ∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 8．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【解题思路】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【解答过程】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 9．（2025·新疆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）通过平面可得出，再根据直线与平面垂直的判定即可证得平面，最后通过直线与平面垂直的性质定理可证得. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面垂直的空间向量公式即可求解. 【解答过程】（1）在菱形中，， 又平面，平面， ，又， 平面，平面， 平面，平面， . （2）设，交点为，则， 以为原点，以，，分别为轴，轴，建立如图直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 取平面的法向量为， 则，取，则， ， ，. 即. 10．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【解答过程】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 11．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    【答案】证明见解析 【解题思路】以为原点，建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量的坐标，可得与平面的法向量共线，则得直线平面． 【解答过程】由题意知，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，， ， 设平面的一个法向量为， 则即， 令，则， 所以，故直线平面． 12．（2025·重庆·模拟预测）已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为， 【解题思路】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量的坐标运算确定线线垂直，结合线面垂直判定定理证明即可； （2）由（1）坐标关系与线面垂直，设，可得，建立坐标等式关系，利用基本不等式求得最值即可. 【解答过程】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，    则， 设， 当E，F为中点时，，有， 所以，，，有，， 所以，又平面， 所以平面． （2）由（1）可得，，， 若平面，则，，所以， 设，则， 由平面ACE，所以， 当时，，有，当时，等号成立， 所以，即， 综上，的最大值为，． 题型三 利用空间向量研究点、线、面的距离问题 13．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点． (1)求证：平面． (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用空间位置关系的向量表示可得结论； （2）利用点到平面距离的向量求法计算即可. 【解答过程】（1）由底面，， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 可得,； 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，即， 因为，可得，且平面， 所以平面 （2）因为， 平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 14．（24-25高二上·云南曲靖·期末）如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，即可得证； （2）求出平面的法向量，再由空间向量法计算可得； （3）首先证明平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，再由空间向量法计算可得. 【解答过程】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，， 又为线段的中点，所以， 所以，又平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面. （2）由（1）可得，所以，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为，平面，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 又， 所以点到平面的距离， 即直线到平面的距离为. 15．（24-25高二上·四川自贡·阶段练习）在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求得线面角； （2）先证平面平面，将面到面的距离转化为点到面的距离，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出点到面的距离即可； （3）根据补形法确定三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求出正方体外接球半径，即可求得结果. 【解答过程】（1） 建立如图所示，以为坐标原点， 、、分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 根据题意有：，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则有， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则有，又因为， 所以 （2） 连接、、、、、， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面；同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面； 因为，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，， 令，可得， 则为平面的一个法向量， 所以平面与平面的距离. （3）根据补形法可知三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 16．（24-25高二上·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到直线距离公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式进行求解. 【解答过程】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； （2）设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 17．（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据空间向量基本定理，利用基底表示各向量，再结合向量垂直的数量积表示，可得证； （2）设平面，可使得 ，且平面，可得平面的法向量，根据异面直线距离公式可得解. 【解答过程】（1）选取作为空间中的一组基底， 由题意可得：，， 且，， ， 则， 所以， 即直线直线. （2）由（1）得， 设平面，可使得 ，且平面， 设是平面的法向量， 则，且， 即, 令，则 异面直线与间的距离即在上投影向量的模长. 由此可得：. 18．（24-25高二下·福建宁德·期中）如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用空间向量与平面的法向量垂直可证结论正确； （2）根据点面距的向量公式可求出结果. 【解答过程】（1）证明：以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，，.     设是平面的一个法向量， 则令，得，， 所以.     因为，     所以，又因为平面， 所以平面. （2）因为，，     设是平面的一个法向量， 则令，得，，所以.     所以点到平面的距离. 题型四 利用空间向量研究空间角 19．（2025·湖南长沙·一模）在多面体中，已知，且平面与平面均垂直于平面为的中点. (1)证明： ； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【解题思路】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形即可得证； （2）建立空间直角坐标系，运用法向量求解即可. 【解答过程】（1）如图，分别取的中点，连接， 因为，故，又平面平面，且平面平面， 因此平面， 同理可知，平面， 因此 且，故四边形为平行四边形，所以 ， 又因为 ，所以. （2）因为，所以，所以， 以为原点，为轴，为轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由题意知，， ， 所以. 设平面的法向量为， 则有即 令，则，即平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 20．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形， 平面，，为的中点．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （2）利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【解答过程】（1）因为是正方形，所以 ． 又因为 平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    所以、、、、． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值是． （2）由（1）知，，． 设平面的一个法向量为，则，      取，可得，则， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 21．（24-25高二上·广东广州·期末）在正方体中，分别是的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系应用数量积为0证明垂直关系； （2）根据空间直角坐标系，分别求出和，然后利用异面直线向量的夹角求法即可求解. 【解答过程】（1） 由题意，以D为坐标原点，分别以DA、DC、为轴建立空间直角坐标系，如下图： 设正方体棱长为2，则， 则，所以， 所以，所以. （2） ，， 设异面直线与所成角为， 故. 所以. 22．（24-25高二上·广东肇庆·期末）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，平面平面，平面与平面的交线为． (1)证明：； (2)已知，点是上一动点，当直线与平面所成角的正弦值为时，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据线面平行的判定证明平面，再根据线面平行的性质得到. （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据写出点的坐标，从而得到平面的一个法向量，进而根据与平面所成角的正弦值为解出的值，得到. 【解答过程】（1）因为平面平面，所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （2）因为，平面平面，平面平面. 如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 在平面内，与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系． 则． ， 由（1）知，点在上且过点，故设， ， 设平面的一个法向量为， 则 取得，所以． 设与平面所成角为， 则， 解得，所以． 23．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)若二面角的大小为，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）应用线面垂直的判定定理得出平面，进而得出平面，得出即可得证； （2）根据线面垂直建立空间直角坐标系，得出平面与平面的法向量即可得出二面角的余弦，再结合同角关系得出正弦. 【解答过程】（1）过作垂足为， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面，， 因为为的中点，，所以， 又面，所以平面. 又因为平面，所以. 因为为的中点，所以. （2）如图，取的中点，连接. 因为，所以. 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 因为二面角的大小为， 所以即为二面角的平面角，即， 所以为等腰直角三角形，， 因为，为的中点， 所以. 所以. 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，解得， 所以. 同理，平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以. 24．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在四棱锥中，，点Q为棱上一点． (1)证明：平面； (2)当点Q为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【解题思路】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得. （2）由（1）的信息建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用公式求解. （3）设，分别求出平面和平面的法向量和，利用公式，求点的位置. 【解答过程】（1）在四棱锥中，由， 得，，则， 又，且，所以. （2）由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由为棱的中点，得， ，设平面的法向量， 则，取，得，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）知， 设，则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量为，由，令，得， 由二面角的余弦值为，得， 即，整理得，解得， 所以． 题型五 利用空间向量研究存在性问题 25．（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，，． (1)证明：平面； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【解题思路】（1）由面面垂直性质定理证明平面，由此证明，再证明，结合线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，假设存在点，满足条件，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式列方程求，由此可得结论. 【解答过程】（1）正方形中，， 平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，所以，， 又，，则， 又，，则，即， 又，则，，平面， ∴平面； （2）由（1）知，平面，， 以为坐标原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设点，，， ∴， ∴，故， ∴，， 设平面的法向量为， ∴， 令，则，， ∴为平面的一个法向量， 又，设平面的法向量为， ∴， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， ∴，解得或， 则线段（不含端点）上不存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为． 26．（24-25高二上·山东临沂·阶段练习）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2． (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在 ， 【解题思路】（1）根据线面垂直先证得，再结合可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得点B到平面的距离. （3）设，根据平面与平面的法向量垂直建立等量关系求得即可． 【解答过程】（1）证明：，， 又平面平面， 所以平面， 平面，， 又平面平面， 平面； （2）平面， ∴ 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，， ，设平面的法向量为， 则，故可设.， 所以点B到平面的距离为. （3）存在，理由如下： 假设在线段上存在一点，使得平面平面， 设， 则，， ， 设平面的法向量， 由， 得， 令，得． 设平面的法向量为， ， 故， 取，得． 因为平面平面， 所以， 解得， 所以在线段上存在点，使得平面平面，且． 27．（24-25高二上·云南曲靖·期中）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【解题思路】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面； （2）利用空间向量法可求得二面角的余弦值； （3）假设存在满足题意的点，且，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，结合的取值范围可求出的值，由此可得出结论. 【解答过程】（1）因为底面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 则，，. 设平面的法向量是，则， 令，则，，于是. 因为，所以，， 又因为平面，所以，平面. （2）设平面的法向量为，则，， 则，取，可得，，则， 设二面角的平面角大小为，则为锐角， 所以，， 所以，二面角的平面角的余弦值为. （3）假设存在满足题意的点，且， 则 由于平面的一个法向量， 由题意可得：， 整理可得，解得， 据此可得存在满足题意的点，且. 28．（24-25高二上·广西玉林·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析. 【解题思路】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到，结合得到线面垂直； （2）作出辅助线，得到垂直关系，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案； （3）设，其中，求出向量的坐标，根据，求出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）证明：因为平面平面，且平面平面， 且，平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，，、平面，所以，平面. （2）解：取中点为，连接、， 又因为，则，则， 因为，则，则， 在平面内，因为，，则， 因为平面，则平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 则，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，设与平面的夹角为， 则，则， 所以，直线与平面所成角的余弦值为. （3）解：设，其中， 则， 因为平面，则，解得， 因此，在棱上不存在点，使得平面. 29．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面 为棱的中点. (1)证明： 平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）,（ii）存在， 【解题思路】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可根据线面平行的判定定理证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解； （ii）设，，根据点面距离的向量法即可求出，进而求出的值． 【解答过程】（1）取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； （2） ，，， ，， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， （i）故， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， ， 平面的一个法向量为, 则，令，则，，故， ,， 由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为； （ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则,0,，0,， 由（2）知平面的一个法向量为,,， ， 点到平面的距离是， ，． 30．（24-25高二上·湖北·阶段练习）如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.    (1)求证：平面； (2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点位于线段靠近的三等分点处 【解题思路】（1）利用面面垂直性质定理即可证明； （2）分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，设，，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可. 【解答过程】（1）因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质可得平面； （2）取的中点为，连接，则， 由图1直角梯形可知，为正方形， ，，，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直，分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，， 设， ， 设平面的法向量为， 取，则.即平面的法向量为， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 解得或（舍）. 所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.点位于线段靠近的三等分点处. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01空间向量的应用大题 (30题) (举一反三专项训练) 【苏教版】 姓名： 班级： 考号： 题型 用空间向量研究直线、平面的平行 1.(2425高二上·全国课后作业)如图所示，ABCD为矩形，PA平面ABCD,PA=AD,M,N, Q分别是PC,AB,CD的中点.求证： B (1)MN//平面PAD: (2)平面QMN//平面PAD 2.(24-25高二上·全国课后作业)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形， AB//CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,F是棱AB的中点.试用向量的方法证明：平面 AA1D1D//平面FCC1. 1/15 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 3.(24-25高二·全国·课后作业)如图所示，四边形ABCD为矩形，PAL平面ABCD,PA=AD,M, N,Q分别是PC,AB,CD的中点 (I)求证：MN//平面PAD; (2)求证：平面MNQ//平面PAD 4.(24-25高二上天津蓟州阶段练习)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3, CC1=2. D b ()求证：平面A1C1B//平面ACD1 (②)线段B1C上是否存在点P,使得AP/平面ACD1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 5.（2025高三·全国.专题练习)在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图 所示，为多面体ABCDE-A1B1C1D1E1,AB⊥AE,AEIBC,ABED,AA⊥底面ABCDE,四边形 A1B1C1D1是边长为2的正方形且平行于底面，ABA1B1,D1E,B1B的中点分别为F,G, 2/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=AE=2DE=2BC=4,AA1=1.证明：FG/平面C1CD; D A B D B 6.(24-25高二全国课后作业)如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P分别是AD1, BD,B1C的中点.证明： D C B A M DA B (I)MN//平面CC1D1D; (2)平面MNP/平面CC1D1D. 题型二 用空间向量研究直线、平面的垂直 7.(2025高三全国专题练习)已知四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90, AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明： 3/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (I)PA⊥BD: (2)平面PAD⊥平面PAB 8.(24-25高二上山东菏泽·阶段练习)如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC,BD/CE, 且CE=CA=2BD=2. D (I)求平面DEA的法向量 (2)求证：平面DEA⊥平面ECA. 9.(2025新疆模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形， ∠ABC=60° 4/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：AC⊥PB; (2)若AB=2,当平面PAB⊥平面PBC时，求PD的长. 10.(24-25高二上四川绵阳阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB, AB‖DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.求证： D (1)BEI平面PAD: (2)平面PCD⊥平面PBC. 11.(2425高二上全国·课后作业)如图，在直四棱柱ADD1A1-BCC1B1中，底面ADD1A1为直角梯形， AD//A D1 E,F,G分别为AD,A1E,C1D1的中点，AD=2AB=2AA1=2A1D1=2,用向量法证明： 直线FG⊥平面A1BE. 5/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B D A 12.(2025重庆·模拟预测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E在棱DD1上运动，F在线段 B:D上运动，直线DF与平面ACE交于点G. D F A E以 ·G D B (1)当E,F为中点时，证明：DF⊥平面ACE: (2)若DF1平面ACE,求的最大值及此时DE的长. 题型三 利用空间向量研究点、线、面的距离问题 13.(24-25高二上新疆乌鲁木齐期末)如图，已知在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形， AB/CD,AA1底面ABCD,AD LAB,其中AB=AA1=2,AD=DC=1,E是B1C1的中点，F是 DD1的中点。 6/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A E B (1)求证：D1E/平面CB1F (2)求点A到平面CB1F的距离. 14.(24-25高二上·云南曲靖期末)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1底面是边长为2的正方形，高为4， E为线段AB的中点，F为线段CA1的中点 D B D-; A B (1)证明：EF//平面ADD1A1: (2)求直线EF与平面A1DC所成角的正弦值 (3)求直线AB到平面A1DC的距离. 15.(24-25高二上四川自贡阶段练习)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求 7/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C B (I)直线BC与平面ABC1D1所成的角： (2)求平面A1BD与平面B1D1C的距离： (3)求三棱锥B1-ABD外接球的表面积； 16.(24-25高二上·内蒙古期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB1C1D1中，E,F分别为线段AB, B,C1的中点 D C B D A E 分 (1)求F点到A1C的距离； (2)求点F到平面A1CE的距离， 17.(24-25高二上四川乐山阶段练习)如图，在平行六面体ABCD-ABCD'中，AB=4,AD=4, AA=3V2,∠BAD=60°，∠BAA=∠DAA=45°.求： 8/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D' D:- (1)证明直线AC⊥直线BD: (2)求异面直线AC和BD间的距离. 18.(24-25高二下·福建宁德期中)如图所示，四棱锥P一ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD, E为PC的中点，PD=DC=2. D (1)证明：PA//平面BDE; (2)求点E到平面PAB的距离 题型四 利用空间向量研究空间角 19.(2025湖南长沙.一模)在多面体ABCDE中，已知 AB=BC=2,AC=2W2,DA=DB=EB=EC=V5,且平面BCE与平面DAB均垂直于平面ABC,F 为DE的中点 9/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E F D (I)证明：DE‖AC: (2)求直线BF与平面ACE所成角的正弦值， 20.(24-25高二上·北京密云期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,M为PD的中点. D M (I)求直线CM与平面PBD所成角的正弦值； (2)求二面角B-PD-C的余弦值， 21.(24-25高二上广东广州期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是BBD1B1的中点. 10/15