第08讲 因式分解（知识详解+12典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版七年级数学下册同步讲义与测试

第08讲 因式分解（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】因式分解 1. 定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式 . 2. 整式乘法与因式分解的关系 (1)整式乘法是积化和差，因式分解是和差化积，它们是互逆的变形 . (2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性 . 【知识点02】公因式 1. 公因式的定义 多项式的每一项都含有的相同因式，叫作各项的公因式 . 2. 公因式的确定 (1)确定公因式的系数，若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数． (2)确定字母及字母的指数，取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各项相同字母的指数取其中次数最低的 . (3)若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式 . 如3x( x－y) +x²( x－y)的公因式是 x( x－y) . 【知识点03】用提公因式法分解因式 1. 定义 一般地，如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法 . 用字母表示： ma+mb+mc=m(a+b+c) . 2. 用提公因式法分解因式的一般步骤 (1)找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式 . (2)确定另一个因式：另一个因式即多项式提取公因式后剩下的部分 . (3)写成积的形式 . 【知识点04】用平方差公式分解因式 1. 平方差公式法 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 . 即： a²－b²=(a+b)( a－b) . 2. 平方差公式的特点 (1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反； (2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差 . 3. 运用平方差公式分解因式的步骤 一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项放在后面 . 二定： 确定公式中的 “a” 和“b” ，除 “a” 和“b” 是单独一个数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体 . 三套： 套用平方差公式进行分解 . 四整理： 将每个因式去括号，合并同类项化成最简 . 【知识点05】用完全平方公式分解因式 1. 完全平方式 形如 a²±2ab+b² 的式子叫作完全平方式 . 完全平方式的条件： (1)是二次三项式 . (2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的 2 倍，符号可以是 “+”，也可以是“－” . 2. 完全平方公式法 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方 . 即： a²±2ab+b²=(a±b)². 3. 完全平方公式的特点 等号左边是一个完全平方式，右边是两个数的和(或差)的平方 . 4. 公式法  运用公式(完全平方公式和平方差公式 )进行因式分解的方法叫作公式法 . 5. 因式分解的一般步骤 (1)当多项式有公因式时，先提取公因式； (2)当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式； (3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了 . 注意： 当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，将其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式 . 【知识点06】用分组分解法分解因式 分组分解法 当一个多项式项数较多，且各项既没有公因式，又不能直接运用公式法分解因式时，可将该多项式适当分组，使各组都能分解因式，且在各组分解因式后，各组之间又能继续分解因式，从而将多项式分解因式，这种方法叫做分组分解法 . 理解: (1)分组只是一个步骤，分组的目的是用提公因式法或公式法将各组分解因式，进而将多项式分解因式 . (2)需要运用分组分解法分解的多项式一般有四项或四项以上 . 如果是四项式，一般有两种分组方法：①分为“2+2” 的形式；②分为“1+3”的形式 . 【题型一】判断是否是因式分解 例1．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）下列各式中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 变式1．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有_______ （填序号） ①a（x＋y）＝ax＋ay； ②10x2－5x＝5x（2x－1）； ③y2－4y＋4＝（y－2）2； ④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t． 【题型二】已知因式分解的结果求参数 例2．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 变式1．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为______． 变式2．二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为．求另一个因式及b的值． 【题型三】公因式 例3．（23-24七年级下·安徽安庆·月考）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·安徽滁州·月考）将多项式因式分解时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 变式2．找出的公因式． 【题型四】提公因式法分解因式 例4．（22-23七年级下·安徽滁州·月考）把分解因式，正确的结果是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽六安·期末）因式分解： ___________． 变式2．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）阅读下列分解因式的过程，回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是_______，共应用了_______次； (2)若将分解因式，则需要应用上述方法________次，试写出分解因式的过程． 【题型五】平方差公式分解因式 例5．（23-24七年级下·安徽六安·期末）若，则k的值为（    ） A．204 B．202 C．200 D．101 变式1．分解因式：． 【题型六】完全平方公式分解因式 例6．（24-25七年级下·安徽六安·期末）无论，为何实数，代数式的值（   ） A．可能为零 B．最小为7 C．最小为10 D．最大为10 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是____________． （2）已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，则符合条件的值为____________． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）【阅读材料】 如果一个整数能表示成（其中，都是不等于零的整数）的形式，则称这个数为“方和数”． 例1：因为，且2，1都是不等于零的整数，所以5是“方和数”； 例2：当，都是正整数时，因为，且，都是不等于零的整数，所以是“方和数”． 【解决问题】 (1)写出一个小于30的“方和数”：________； (2)试说明：当是大于1的整数时，与都是“方和数”； (3)若（其中，都是正整数，是常数）是“方和数”，求的值． 【题型七】综合运用公式法分解因式 例7．因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 变式1．分解因式：________ 变式2．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）把下列各式分解因式． (1) (2) 【题型八】综合提公因式和公式法分解因式 例8．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）下列多项式不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）因式分解：______． 变式2．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）分解因式：． 【题型九】因式分解在有理数简算中的应用 例9．（23-24七年级下·安徽安庆·月考）运用因式分解计算：的结果为（    ） A．314 B．264 C．256 D．300 变式1．计算：______． 【题型十】十字相乘法 例10．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 变式1．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）分解因式：__________． 变式2．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）下面是小亮同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______； A．提取公因式                            B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式                    D．两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将x用所设中的a的代数式代换，这个结果是否分解到最后？若没分解到最后，请你写出剩余步骤； (3)请你模仿上述方法尝试对多项式进行因式分解． 【题型十一】分组分解法 例11．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）因式分解：______． 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 【题型十二】因式分解的应用 例12．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）若k为自然数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知均为正整数，且满足：，则________． 变式2．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 一、单选题 1．多项式与多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 2．下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　） A．2a﹣2＝2（a+1） B．（a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 D．x2+6x+8＝x（x+6）+8 3．下列各式能用公式法因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 4．已知为正整数，某学习小组在用代入法求代数式的值时，出现四个答案，请问以下哪个答案可能正确的是（   ） A．1713 B．1714 C．1715 D．1716 5．下列分解因式正确的是(    ) A． B． C． D． 6．当、为何值时，代数式有最小值，则，与最小值分别为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．应用意识农场里有一个长方形鸡舍，如图．长方形鸡舍的一边长及其邻边长分别为，，周长为10，且，则鸡舍的面积为（   ） A．6 B．10 C．3 D．8 8．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．因式分解：_______________ 10．因式分解：___． 11．若，则n的值是 _________． 12．若x+y＝2a，x﹣y＝2b，则x2﹣y2的值为_____． 13．已知实数，满足，，则代数式______，代数式______． 14．对于一个四位自然数M，其各数位上的数字互不相等，若其千位数字与十位数字之和的平方减去百位数字与个位数字之和的平方，结果能被7整除，那么称这个四位数为“幸运数”．例：四位数6325，满足能被7整除，则6325是“幸运数”．那么最小的“幸运数”是_____；若一个“幸运数”，记，当、均为整数时，满足条件的M的最大值为_______． 三、解答题 15．因式分解： (1)； (2)． 16．因式分解： (1) (2) 17．如图，边长为，的两个正方形并排放在一起，当，时，用因式分解的知识求出阴影部分的面积． 18．若长方形的周长为28，相邻的两边长为x、y，且满足．试求这个长方形的面积． 19．在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题： 完成下列任务： (1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的 ；（填序号） ①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式； (2)请你模仿以上例题分解因式： 20．请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 21．阅读理解题 阅读：解不等式 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为：或 解不等式组，得 解不等式组，得 所以原不等式的解集为或 问题解决：根据以上阅读材料解不等式 (1)解不等式． (2)解不等式． (3)求不等式的解集． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 因式分解（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】因式分解 1. 定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式 . 2. 整式乘法与因式分解的关系 (1)整式乘法是积化和差，因式分解是和差化积，它们是互逆的变形 . (2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性 . 【知识点02】公因式 1. 公因式的定义 多项式的每一项都含有的相同因式，叫作各项的公因式 . 2. 公因式的确定 (1)确定公因式的系数，若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数． (2)确定字母及字母的指数，取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各项相同字母的指数取其中次数最低的 . (3)若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式 . 如3x( x－y) +x²( x－y)的公因式是 x( x－y) . 【知识点03】用提公因式法分解因式 1. 定义 一般地，如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法 . 用字母表示： ma+mb+mc=m(a+b+c) . 2. 用提公因式法分解因式的一般步骤 (1)找出公因式，就是找出各项都含有的公共因式 . (2)确定另一个因式：另一个因式即多项式提取公因式后剩下的部分 . (3)写成积的形式 . 【知识点04】用平方差公式分解因式 1. 平方差公式法 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 . 即： a²－b²=(a+b)( a－b) . 2. 平方差公式的特点 (1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反； (2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差 . 3. 运用平方差公式分解因式的步骤 一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项放在后面 . 二定： 确定公式中的 “a” 和“b” ，除 “a” 和“b” 是单独一个数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体 . 三套： 套用平方差公式进行分解 . 四整理： 将每个因式去括号，合并同类项化成最简 . 【知识点05】用完全平方公式分解因式 1. 完全平方式 形如 a²±2ab+b² 的式子叫作完全平方式 . 完全平方式的条件： (1)是二次三项式 . (2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的 2 倍，符号可以是 “+”，也可以是“－” . 2. 完全平方公式法 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方 . 即： a²±2ab+b²=(a±b)². 3. 完全平方公式的特点 等号左边是一个完全平方式，右边是两个数的和(或差)的平方 . 4. 公式法  运用公式(完全平方公式和平方差公式 )进行因式分解的方法叫作公式法 . 5. 因式分解的一般步骤 (1)当多项式有公因式时，先提取公因式； (2)当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式； (3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了 . 注意： 当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，将其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式 . 【知识点06】用分组分解法分解因式 分组分解法 当一个多项式项数较多，且各项既没有公因式，又不能直接运用公式法分解因式时，可将该多项式适当分组，使各组都能分解因式，且在各组分解因式后，各组之间又能继续分解因式，从而将多项式分解因式，这种方法叫做分组分解法 . 理解: (1)分组只是一个步骤，分组的目的是用提公因式法或公式法将各组分解因式，进而将多项式分解因式 . (2)需要运用分组分解法分解的多项式一般有四项或四项以上 . 如果是四项式，一般有两种分组方法：①分为“2+2” 的形式；②分为“1+3”的形式 . 【题型一】判断是否是因式分解 例1．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）下列各式中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式．根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解． 【详解】解：A．是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B．结果不是积的形式，不符合题意； C．是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； D．，符合定义，是因式分解，符合题意． 故选：D． 变式1．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有_______ （填序号） ①a（x＋y）＝ax＋ay； ②10x2－5x＝5x（2x－1）； ③y2－4y＋4＝（y－2）2； ④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t． 【答案】②③． 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：①a（x+y）=ax+ay，等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意； ②10x2-5x=5x（2x-1），等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意； ③y2-4y+4=（y-2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意； ④t2-16+3t=（t-4）（t+4）+3t，等式从左边到右边的变形不属于因式分解，故不符合题意； 即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【题型二】已知因式分解的结果求参数 例2．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解以及多项式乘法法则，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．将多项式分解后的形式展开，与原式比较对应项的系数，解方程确定m的值即可． 【详解】解：， 若二次三项式可分解为， 则， 解得：， 故选：A． 变式1．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为______． 【答案】9 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】把展开，求出、的值，计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算． 变式2．二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为．求另一个因式及b的值． 【答案】 另一个因式为 ， 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了已知因式分解求参数，多项式乘多项式，熟练掌握因式分解的定义和多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．设另一个因式为，则，然后展开右边，通过比较系数即可解答． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 展开右边：， 比较系数得：，， 解得，， ∴另一个因式为，． 【题型三】公因式 例3．（23-24七年级下·安徽安庆·月考）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公因式 【分析】此题考查了找公因式，关键是掌握找公因式的方法．根据公因式的找法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的可得答案． 【详解】解：根据题意可知，多项式的公因式是：． 故选C． 变式1．（22-23七年级下·安徽滁州·月考）将多项式因式分解时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】公因式 【分析】根据因式分解的方法即可求解． 【详解】解：与与的公因式为， 故把分解因式时应该提取公因式是． 故选：D． 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式的方法． 变式2．找出的公因式． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键．根据公因式的定义求解即可得． 【详解】解：和系数的公因数可取，相同字母的最低次幂是1，相同字母的最低次幂是1， 所以的公因式为． 【题型四】提公因式法分解因式 例4．（22-23七年级下·安徽滁州·月考）把分解因式，正确的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解： ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 变式1．（24-25七年级下·安徽六安·期末）因式分解： ___________． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．利用提公因式法分解，即可作答． 【详解】解： 故答案为： 变式2．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）阅读下列分解因式的过程，回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是_______，共应用了_______次； (2)若将分解因式，则需要应用上述方法________次，试写出分解因式的过程． 【答案】(1)提公因式法，2； (2)2024，过程见解析． 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】（1）根据阅读因式分解的过程即可得结论； （2）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； 本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法． 【详解】（1）解：根据题意，上述分解因式的方法是：提公因式法 共应用了2次提公因式 （2）原式＝ ＝ ＝ …… ＝ 需要应用上述方法2024次． 【题型五】平方差公式分解因式 例5．（23-24七年级下·安徽六安·期末）若，则k的值为（    ） A．204 B．202 C．200 D．101 【答案】A 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解—平方差公式．利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A 变式1．分解因式：． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】利用平方差公式因式分解即可 【详解】原式 , , , , 【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题关键. 【题型六】完全平方公式分解因式 例6．（24-25七年级下·安徽六安·期末）无论，为何实数，代数式的值（   ） A．可能为零 B．最小为7 C．最小为10 D．最大为10 【答案】B 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解的应用，将原式化为，根据偶次幂的非负性，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴原式大于或等于，即最小为7 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是____________． （2）已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，则符合条件的值为____________． 【答案】 2（答案不唯一） 18 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义判断，并写出一个小于10的“完美数”即可说明； （2）（3）先运用完全平方公式将进行变形得到，再根据“完美数”的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴2是“完美数”， 故答案为：2（答案不唯一）； （2）解： ， 为“完美数”， ， ． 故答案为：18． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）【阅读材料】 如果一个整数能表示成（其中，都是不等于零的整数）的形式，则称这个数为“方和数”． 例1：因为，且2，1都是不等于零的整数，所以5是“方和数”； 例2：当，都是正整数时，因为，且，都是不等于零的整数，所以是“方和数”． 【解决问题】 (1)写出一个小于30的“方和数”：________； (2)试说明：当是大于1的整数时，与都是“方和数”； (3)若（其中，都是正整数，是常数）是“方和数”，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)见解析； (3)的值为13． 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“方和数”的定义即可得出答案； （2）根据“方和数”的定义和完全平方公式即可得出结论； （3）先化简，再根据“方和数”的定义得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是“方和数”， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：∴，且，2都是不等于零的整数， ∴是“方和数”； ∵，且，3都是不等于零的整数， ∴是“方和数”； （3）解：∴， 根据“方和数”的意义得：， 解得：， ∴的值为13． 【题型七】综合运用公式法分解因式 例7．因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式， 故选：D． 变式1．分解因式：________ 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，分别运用因式分解法和公式法求解即可． 【详解】解： 变式2．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）把下列各式分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【题型八】综合提公因式和公式法分解因式 例8．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）下列多项式不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解；根据公式法分解因式，提公因式法分解因式逐一分解即可． 【详解】解：A． ，能因式分解， B． ，不能因式分解， C． ，能因式分解， D． ，能因式分解， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）因式分解：______． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法，是解题的关键．先提公因式m，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）分解因式：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】提公因式，再用完全平方公式因式分解． 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底． 【详解】解： ． 【题型九】因式分解在有理数简算中的应用 例9．（23-24七年级下·安徽安庆·月考）运用因式分解计算：的结果为（    ） A．314 B．264 C．256 D．300 【答案】A 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，用提公因式分解因式，然后进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 变式1．计算：______． 【答案】 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，先提公因数，然后根据平方差公式进行计算即可求解，也可直接计算． 【详解】解： 故答案为：． 【题型十】十字相乘法 例10．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．得出之积为，之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】时，，故； 时，，故； 时，，故； 时，，故； 的取值有4个． 故选：C． 变式1．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）分解因式：__________． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法 【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 变式2．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）下面是小亮同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______； A．提取公因式                            B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式                    D．两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将x用所设中的a的代数式代换，这个结果是否分解到最后？若没分解到最后，请你写出剩余步骤； (3)请你模仿上述方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)D (2)没分解到最后； (3) 【知识点】完全平方公式分解因式、十字相乘法 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）根据完全平方公式解答即可； （2）利用十字相乘法解答即可； （3）设，利用完全平方公式因式分解即可解答． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式； 故答案为：D； （2）解：没分解到最后； 原式 （3）解：设， 原式 ． 【题型十一】分组分解法 例11．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）因式分解：______． 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：，像这样分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式、分组分解法 【分析】本题考查特殊方法的因式分解，读懂题意，理解添（拆）项法进行因式分解是解题的关键． （1）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可； （2）仿照题意，原式变形为，应用完全平方公式与平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解：． 【题型十二】因式分解的应用 例12．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）若k为自然数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除 【答案】B 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键．利用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后找到能被整除的数或式即可得答案． 【详解】解： ， ∴的值总能被3整除． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知均为正整数，且满足：，则________． 【答案】2031 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查利用因式分解解方程，将方程通过因式分解转化为乘积形式，找到正整数解的可能组合，进而求解． 将原方程转为为，然后结合条件得出和为正整数，进而根据质数的因数只有1和它本身，得出和的值，只能分别为1和2027，分类讨论求出的值，求出． 【详解】解： 2027是质数，均为正整数， 即， 当时，，此时， 故， 当时，，此时， 故， 综上，． 故答案为：2031． 变式2．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）两种方法表示出图形的面积，即可得出结果； （2）利用（1）中结论求解即可； （3）根据多项式，由3个边长为的小正方形和8个边长为的长方形和4个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ． 一、单选题 1．多项式与多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，公因式，掌握知识是解题的关键． 先利用平方差公式，完全平方公式进行因式分解，再确定两个多项式的公因式即可． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式是． 故选A． 2．下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　） A．2a﹣2＝2（a+1） B．（a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 D．x2+6x+8＝x（x+6）+8 【答案】C 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可． 【详解】解：A．2a-2=2（a-1），故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式． 3．下列各式能用公式法因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式和平方差公式对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、x2+2xy-y2 一、三项不符合完全平方公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误； C、x2+xy-y2中间乘积项不是两底数积的2倍，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误； D、-x2-y2不符合平方差公式，不能用公式法进行因式分解，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，熟记公式结构是求解的关键． 4．已知为正整数，某学习小组在用代入法求代数式的值时，出现四个答案，请问以下哪个答案可能正确的是（   ） A．1713 B．1714 C．1715 D．1716 【答案】D 【分析】本题综合考查因式分解的应用，三个连续自然数的积为偶数等相关知识点，重点掌握因式分解的应用．代数式因式分解可得，则代数式表示三个连续正整数的积．据此分析即可． 【详解】解：由题意可知： ， ∴为三个连续的正整数的积， ∴可写成三个连续自然数的积，其中一个因数必为偶数， ∴是一个偶数． ∵这三个选项都是奇数，且，， ∴1716是符合题意． 故选：D． 5．下列分解因式正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了提公因式法因式分解，以及公式法因式分解，因式分解首先要提取公因式，再根据公式特点进行分解即可． 【详解】解：A. ，原式不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；      B. ，原式因式分解错误，故该选项不正确，不符合题意； C. ，原式因式分解不彻底，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6．当、为何值时，代数式有最小值，则，与最小值分别为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】将代数式通过配方法转化为完全平方式的和，再根据完全平方式的非负性确定最小值及此时、的值．本题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握配方法将代数式变形为完全平方式的和是解题的关键． 【详解】解： ， 因为，， 所以当，时，代数式有最小值． 由，得；由，得． 此时最小值为． 故选：C． 7．应用意识农场里有一个长方形鸡舍，如图．长方形鸡舍的一边长及其邻边长分别为，，周长为10，且，则鸡舍的面积为（   ） A．6 B．10 C．3 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的提取公因式法和长方形的周长与面积公式，掌握提取公因式将代数式转化为已知条件的形式，结合周长公式求出，进而求出面积是解题的关键． 先根据长方形周长公式求出的值，再对已知等式提取公因式，代入的值求出，即鸡舍的面积． 【详解】解：∵鸡舍的周长为10， ∴， 解得：． ∵， ∴． 故鸡舍的面积为． 故选；A． 8．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 二、填空题 9．因式分解：_______________ 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．因式分解：___． 【答案】 【分析】此题考查了运用分组法和公式法进行因式分解的能力，先将该多项式分组，再运用公式法进行因式分解，关键是能准确确定分解方法． 【详解】解：， 故答案为：． 11．若，则n的值是 _________． 【答案】 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，因式分解的应用，熟练的把已知条件进行变形是解本题的关键．由，进而得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 12．若x+y＝2a，x﹣y＝2b，则x2﹣y2的值为_____． 【答案】4ab 【分析】先利用平方差公式分解因式，然后再整体代入求解即可． 【详解】解：∵x+y＝2a，x﹣y＝2b， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2a•2b＝4ab． 故答案是：4ab． 【点睛】本题主要考查了运用平方差公式因式分解，运用平方差公式计算时，要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 13．已知实数，满足，，则代数式______，代数式______． 【答案】 34 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．第一问利用完全平方公式将转化为后代入求值；第二问通过因式分解将表达式变形为后代入计算． 【详解】解：∵，， ∴； ． 故答案为：34；． 14．对于一个四位自然数M，其各数位上的数字互不相等，若其千位数字与十位数字之和的平方减去百位数字与个位数字之和的平方，结果能被7整除，那么称这个四位数为“幸运数”．例：四位数6325，满足能被7整除，则6325是“幸运数”．那么最小的“幸运数”是_____；若一个“幸运数”，记，当、均为整数时，满足条件的M的最大值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的运算，分类讨论，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解“幸运数”的定义，以及“最小的”这个条件，先固定位上的数字为1，百位上的数字为0，十位的数字为，个位数字为，再验算，得出是“幸运数”．且是最小的“幸运数”，然后根据题意得能被7整除，即能被7整除，或能被7整除，再进行逐个情况讨论，根据，且、均为整数，进行分析验算，即可作答． 【详解】解：依题意，这个“幸运数”是一个四位数，且要求最小的， 故千位上的数字为1，百位上的数字为0，十位的数字为， 则个位数字为 ∵其千位数字与十位数字之和的平方减去百位数字与个位数字之和的平方，结果能被7整除， ∴ ∵能被7整除， 则是“幸运数”．且是最小的“幸运数”； 依题意，一个“幸运数” ∴能被7整除， 即能被7整除， ∴能被7整除，或能被7整除， ∵，且， ∴或或或， ∵要求M的最大值， ∴， ∴或或， ∴或或， ∵是整数，且每个数字不能重复 ∴此时； ∴此时； ∴此时； ∴此时； ∴此时； ∴此时； ∴此时； ∴此时； ∴以上的都是 ∴（舍去）， 当时， 则， ∴， 此时，且为正整数，都不能使得整数， 当时， 则， ∴（舍去）， 当能被7整除， 则， ∴， 即或或， 当时， ∴， ∴， ∵是整数，且每个数字不能重复， ∴此时； 则， ∴， 此时（舍去）； ∴此时； 则， ∴， 此时（舍去）； ∴此时； 则， ∴（每个数字不重复，舍去）， ∴此时； 则， ∴， 此时（舍去）； ∴此时； 则， ∴（舍去）； 当时， ∴， ∴， ∴， ∵是整数，且每个数字不能重复 ∴此时； 则， ∴（舍去）， ∴此时； 则， ∴（舍去）， ∴此时； 则， ∴（舍去）， ∴此时； 则， ∴， 此时， ∴满足条件的M的有； ∴此时； 则， ∴， 此时（舍去）， ∴此时； 则 ∴， 此时（舍去）， ∴此时； 则， ∴（每个数字不重复，舍去）， 当此时； 则， ∴（每个数字不重复，舍去） 当，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，则， 此时舍去； ∴当时，则， ∴， 此时， 则（舍去）， ∴当时，则， ∴， 此时， 则（舍去）， ∴满足条件的M的最大值为 故答案为：，． 三、解答题 15．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用提公因式法进行因式分解即可； （2）运用提公因式法，公式法进行因式分级即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法，公式法分解因式的方法是解题的关键． 16．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先变形，然后提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 17．如图，边长为，的两个正方形并排放在一起，当，时，用因式分解的知识求出阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用；阴影部分面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积，整理后将与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得： 把代入得：． 故图中阴影部分的面积为． 18．若长方形的周长为28，相邻的两边长为x、y，且满足．试求这个长方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，二元一次方程组的解法，长方形的面积，把化简成，可得，由题意可得，联立求得长方形的边长，即可得到答案． 【详解】解：∵长方形的周长为28，相邻的两边长为x、y， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， ∴这个长方形的面积为． 19．在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题： 完成下列任务： (1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的 ；（填序号） ①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式； (2)请你模仿以上例题分解因式： 【答案】(1)④ (2) 【分析】（1）根据因式分解的公式法，即可求解； （2）设，将原式转化为，得到；再将代入，即可求解． 【详解】（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式， 故答案为：④ （2） 设 原式 【点睛】本题考查因式分解的知识，解题的关键是能够读懂题目给出的例子，并结合所学知识进行解决问题． 20．请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，非负数的性质，解题的关键是掌握分组分解法． （1）根据分组分解法，结合平方差公式和完全平方公式，因式分解即可； （2）根据分组分解法，结合平方差公式和提公因式法，因式分解即可； （3）先将，变形为，然后根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 21．阅读理解题 阅读：解不等式 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为：或 解不等式组，得 解不等式组，得 所以原不等式的解集为或 问题解决：根据以上阅读材料解不等式 (1)解不等式． (2)解不等式． (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）将原不等式转化为：或，分别求解即可； （2）先将原不等式因式分解为，再转化为：或，分别求解即可； （3）将原不等式转化为:或，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为：或， 解不等式组，得， 解不等式组，得， 所以原不等式的解集为或． （2）解：， 根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或， 解不等式组，得不等式组无解， 解不等式组，得， 所以原不等式的解集为. （3）解：根据两数相除，异号得负，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得不等式组无解， 解不等式组,得， 所以原不等式的解集为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及十字相乘法进行因式分解，理解题意解题方法并掌握一元一次不等式组解法是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $