学易金卷：高一数学下学期第一次月考01【全国通用，人教A版必修第二册第6～7章：平面向量+复数】

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) e 方 e 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用~第七章复数。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．4 3．已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．已知为所在平面内的一点，，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（   ） A． B． C． D． 7．在中，已知，若向量在向量上的投影向量为，，则实数m的值为（   ） A． B．5 C．2 D． 8．在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．已知复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则为纯虚数 11．在斜三角形中，，则（   ） A．角B为钝角 B． C．若，则 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是虚数单位，则___________． 13．中，为边的中线，，，，则中线的长为_________. 14．如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，且. (1)求向量； (2)若，求向量的夹角的正弦值. 16．（15分） 已知复数与都是纯虚数． (1)求； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数、的值． 17．（15分） 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，求． 18．（17分） 我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为．    (1)求的“广义坐标”； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． 19．（17分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用~第七章复数。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．4 3．已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．已知为所在平面内的一点，，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（   ） A． B． C． D． 7．在中，已知，若向量在向量上的投影向量为，，则实数m的值为（   ） A． B．5 C．2 D． 8．在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．已知复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则为纯虚数 11．在斜三角形中，，则（   ） A．角B为钝角 B． C．若，则 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是虚数单位，则___________． 13．中，为边的中线，，，，则中线的长为_________. 14．如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，且. (1)求向量； (2)若，求向量的夹角的正弦值. 16．（15分） 已知复数与都是纯虚数． (1)求； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数、的值． 17．（15分） 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，求． 18．（17分） 我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为．    (1)求的“广义坐标”； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． 19．（17分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B D C A B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ACD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．0 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）因为，且， 所以，.（4分） 解得，（5分） 所以；（6分） （2）设向量的夹角的大小为，. 由题意可得，，，（8分） 所以，（11分） 得.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由题意可设，（1分） 则，（3分） 又为纯虚数， 则，解得，（5分） 所以，则；（7分） （2）由（1）可得，（8分） 故是关于的方程的一个根，（9分） 则也是关于的方程的一个根，（11分） 故，解得．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）因为（3分） 在中，由，有，（5分） 所以，（6分） 所以．（7分） （2）由已知，，化简得，（8分） 根据余弦定理，有，（10分） 而为三角形内角，所以．（11分） 由（1）知，（12分） 所以，（13分） 故．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由题意得，（2分） 故，（3分） 故的“广义坐标”为；（4分） （2）由题意得，，（5分） 故 ，（7分） ，故，（8分） ，故，（9分） 所以向量与的夹角的余弦值为；（11分） （3）在平面直角坐标系中，，（13分） 设，向量在平面直角坐标系中的坐标为， 所以，（14分） 所以，解得，（16分） 故向量的“广义坐标”为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由已知及正弦边角关系得，（1分） 因为，所以，而，（2分） 所以，（3分） ，，所以，，（4分） 故，即；（5分） （2）方法一：由余弦定理，得，（6分） 即 因为，当且仅当时等号成立，（8分） 所以，即，，（9分） 由三角形三边关系知，所以，即，（10分） 所以周长的取值范围为；（11分） 方法二：由正弦定理，得，，（6分） 所以（7分） ，（8分） 因为，所以，即，（9分） 即，， 所以周长的取值范围为；（11分） （3）因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以， 设，， 在中，由正弦定理，（12分） 所以，即，，（13分） 所以 ，（14分） 因为，为锐角三角形，所以，即，（15分） 所以，即，（16分） 则， 所以面积的取值范围为.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用~第七章复数。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量减法的坐标运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算以及模长公式计算可得结果. 【详解】由，可得， 所以. 故选：A 3．已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可求得，进而可求得. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，为单位向量，所以，所以， 又因为，所以. 故选：B. 4．设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状. 【详解】因为，所以， 则，因为，所以， 又，所以， 由，所以，， 所以为等腰直角三角形. 故选：D. 5．已知为所在平面内的一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的几何性质分解向量即可得解. 【详解】如图所示， 由题意得. 故选：C. 6．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过和分别用正弦定理求出、的长度，再在中用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，， 由正弦定理，即，得 km. 在中，，，故， 由正弦定理，即，得 km. 在中，由余弦定理， 代入得，故 km. 故选：A 7．在中，已知，若向量在向量上的投影向量为，，则实数m的值为（   ） A． B．5 C．2 D． 【答案】B 【分析】由题意可得，可得，利用同角的平方关系可求得，利用投影向量的定义可得，计算可求得. 【详解】由，可得，所以是直角三角形，且， 因为，所以，又，所以， 又因为向量在向量上的投影向量为，所以， 所以，所以，所以， 又因为，所以，解得. 故选：B. 8．在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用诱导公式和同角基本关系式化简条件得，再由正弦定理得，若，利用余弦定理结合已知判断矛盾，所以，即可得解. 【详解】由得， 由正弦定理（为外接圆半径）得，， 因为，所以， 若，由余弦定理得，，所以为锐角， 则，即，由于，，则， 所以，矛盾. 故，即，所以，即， 又因为，，所以（当且仅当时取“＝”号）， 所以的最小值为4. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 10．已知复数，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则为纯虚数 【答案】ACD 【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；举反例即可判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘方运算即可判断选项D. 【详解】设， 对于A，由，则， 而，则，故A正确； 对于B，举例，满足，但，无法比较大小，故B错误； 对于C，由复数模的运算性质可知，，故C正确； 对于D，由，则，而， 可得，则，则为纯虚数，故D正确． 故选：ACD 11．在斜三角形中，，则（   ） A．角B为钝角 B． C．若，则 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用诱导公式结合正弦函数的图象推得或，分析即得；对于B，根据两函数值的符号即可判断；对于C，利用正弦定理即可判断；对于D，将待求式中的角都用角的三角函数式表示，利用三角恒等变换、换元将其化成二次函数，结合二次函数的图象性质即得. 【详解】对于A，由可得， 因，则，则，或， 即或， 因为斜三角形，故，即角B为钝角，故A正确； 对于B，由A项已得角B为钝角，则，因，故，即B错误； 对于C，由正弦定理，，又， 代入解得，故C正确； 对于D，由上分析可得：，, 故 ，设， 又,则，则， 则，且， 则， 故当时，的最大值为,故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是虚数单位，则___________． 【答案】0 【分析】根据虚数单位的幂次的运算性质，分别计算、、、的值，再将它们相加. 【详解】根据虚数单位的幂次的运算性质得： ， ， ， 故 故答案为：. 13．中，为边的中线，，，，则中线的长为_________. 【答案】/ 【分析】先由三角形构建平行四边形，使转化为，然后在根据余弦定理求，即可. 【详解】    如图，以边,为邻边做平行四边形， 因为边的中线，则由平行四边形性质知共线，且， 在平行四边形中，，， 在中，由余弦定理得： ， 所以，， 故答案为： 14．如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解. 【详解】如图，取的中点，， 而，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，且. (1)求向量； (2)若，求向量的夹角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示，列出方程，求出参数，求出结果； （2）根据向量加法的坐标表示，和向量夹角的余弦值的坐标表示，求出向量夹角的余弦值，根据同角三角函数关系，求出正弦值. 【详解】（1）因为，且， 所以，. 解得， 所以； （2）设向量的夹角的大小为，. 由题意可得，，， 所以，得. 16．（15分） 已知复数与都是纯虚数． (1)求； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数、的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设，根据复数代数形式的运算法则化简，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得，从而得到，即可求出其模； （2）由（1）可得，根据虚根成对原理得到也是方程的根，利用韦达定理计算可得. 【详解】（1）由题意可设， 则， 又为纯虚数， 则，解得，所以，则； （2）由（1）可得， 故是关于的方程的一个根， 则也是关于的方程的一个根， 故，解得． 17．（15分） 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）利用弦切互化和两角和的正弦可证； （2）由余弦定理可得，求出后结合（1）中结果可求. 【详解】（1）因为 在中，由，有， 所以，所以． （2）由已知，，化简得， 根据余弦定理，有，而为三角形内角， 所以． 由（1）知，所以， 故． 18．（17分） 我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为．    (1)求的“广义坐标”； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），故，得到“广义坐标”为； （2）计算出，，，故； （3）平面直角坐标系中，，设，得到方程组，求出，故向量的“广义坐标”为. 【详解】（1）由题意得， 故， 故的“广义坐标”为； （2）由题意得，， 故 ， ，故， ，故， 所以向量与的夹角的余弦值为； （3）在平面直角坐标系中，， 设，向量在平面直角坐标系中的坐标为， 所以， 所以，解得， 故向量的“广义坐标”为. 19．（17分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用正弦边角关系，结合诱导公式、二倍角正弦公式化简得，即可求角； （2）法一：应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围；法二：应用正弦定理得三角形周长，再应用三角形内角性质及三角恒等变换得，最后应用正弦函数的性质求范围； （3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【详解】（1）由已知及正弦边角关系得， 因为，所以，而， 所以，，， 所以，，故，即； （2）方法一：由余弦定理，得，即 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； 方法二：由正弦定理，得，， 所以 ， 因为，所以，即，即，， 所以周长的取值范围为； （3）因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以， 设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形，所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $