精品解析：广东江门市第一中学景贤学校2025-2026学年九年级下学期数学学情自测试题

2025－2026学年度第二学期开学堂上练习 九年级数学 一、单选题（每小题3分，共30分．） 1. 计算的结果是（ ） A. －6 B. 6 C. －10 D. 10 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 3. 黄金是自然界中延展性最好的金属，最薄的金箔厚度为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ） A. 图象位于第一，第三象限 B. 图象必经过点 C. 图象不可能与坐标轴相交 D. 随 的增大而减小 6. 每天登录“学习强国”App进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如下表，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 收入（点） 15 21 27 27 21 30 21 A. 27点，21点 B. 21点，27点 C. 21点，21点 D. 24点，21点 7. 如图，在中， 切于点，连接交于点 ，过点作交于点 ，连接 ．若，则为（ ） A. B. C. D. 8. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ） A. 统计思想 B. 分类思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想 9. 如图，正六边形 的边长为2，以为圆心， 的长为半径画弧，得，连接 ，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的函数表达式为，若将 轴向上平移2个单位长度，将 轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分．） 11. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”， 两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点 的坐标为__________． 12. 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，，，，交于点 ，则的长为__________． 13. 化简计算：_____________． 14. 如图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度．李老师乘扶梯从底端A以的速度用时到达顶端B，则李老师上升的垂直高度为_________． 15. 如图，在 中，点 是 边上的一点，且，连接 并取 的中点 ，连接 ，若，且，则 的长为__________． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. （1）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一： 填空：①以上解题过程中，第二步是依据 ___________（运算律）进行变形的． ②第 ___________步开始出现错误．这一步错误的原因是 ___________． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集．解集：____________． 18. 如图是2025年9月的月历表，用虚线方框在月历表中任意圈出四个数，若虚线方框中最大数与最小数的乘积为128，求最小数． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分．） 19. 网络直播教学是特殊时期常见的教学方式，顺德区为了解九年级教师使用线上授课软件情况，在12月份某天随机抽查了若干名老师进行调查，其中A表示“抖音直播”，B表示“腾讯会议”，C表示“腾讯课堂”，D表示“群课堂”，E表示“钉钉直播”，现将调查结果绘制成两种不完整的统计图表： 组别 使用人数（人） 占调查人数的百分率 A 3 B 12 C a D 15 c E b 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）______，并将频数分布直方图补充完整； （2）已知该区共有九年级老师500人，请你估计该区使用“QQ群课堂”有多少人？ （3）该区计划在A组随机抽取两人了解使用情况，已知A组有理科老师2人，文科老师1人，请用列表法或树状图法求出抽取两名老师都是理科的概率． 20. 在学习过“解直角三角形”一章的知识后，九年级某班的同学们为了巩固学习成果，就地取材，利用所学的数学知识解决身边问题．如图1所示是教室内一只酒精消毒用的喷雾瓶的实物图，其示意图如图2所示，．求按压柄下端到导管 的距离．（结果保留一位小数，参考数据：，） 21. 如图， 为圆 的直径， 为圆上一点， 为 的中点，过 作圆 的切线交的延长线于点 ，交 的延长线于点，连接． （1）求证：是圆 的切线； （2）若，求圆 的半径． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 如图，抛物线与 轴交于， 两点（点在点 的左侧），与 轴交于点 ，连接 ，． （1）求， ， 三点的坐标并直接写出直线 ，的函数表达式； （2）点 是直线 下方抛物线上的一个动点，过点 作的平行线 ，交线段 于点 ． ①试探究：在直线 上是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线 交于点 ，与直线 交于点 ．当时，请直接写出的长． 23. 阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务． 图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：得出，当时，．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法． 再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得 的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值． 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性． 任务： （1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性； （2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性： ①用公式计算：当，时， 的值为多少； ②如图，在 中，， 是 的角平分线，，，用你所学的几何知识求线段 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期开学堂上练习 九年级数学 一、单选题（每小题3分，共30分．） 1. 计算的结果是（ ） A. －6 B. 6 C. －10 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查有理数加法法则，同号两数相加，取相同符号，再把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值大的数的符号，再把绝对值相减，熟练掌握运算法则是解题关键． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 3. 黄金是自然界中延展性最好的金属，最薄的金箔厚度为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值． 【详解】解：， 故选：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故此选项正确； B、和不属于同类项，不能相加，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查积的乘方、幂的乘方、同类项定义、完全平方公式、整式的除法的运算法则等知识点，运用以上知识点正确计算每个选项的值是解题关键． 5. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ） A. 图象位于第一，第三象限 B. 图象必经过点 C. 图象不可能与坐标轴相交 D. 随 的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可． 【详解】解：A、反比例函数，，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意； B、将点代入中，等式成立，故此选项正确，不符合题意； C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意； D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，熟知反比例函数的图像的性质是解题关键． 6. 每天登录“学习强国”App进行学习，在获得积分的同时，还可获得“点点通”附加奖励，李老师最近一周每日“点点通”收入明细如下表，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 收入（点） 15 21 27 27 21 30 21 A. 27点，21点 B. 21点，27点 C. 21点，21点 D. 24点，21点 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数与众数定义即可求解． 【详解】解：将下列数据从小到大排序为15，21，21，21，27，27，30， 根据中位数定义，7个点数位于位置上的点数是21点， ∴这组数据的中位数是21点， 根据众数的定义，这组数据中重复次数最多的点数是21 点， 所以这组数据的众数是21点， 故选择C． 【点睛】本题考查中位数与众数，掌握中位数与众数定义是解题关键． 7. 如图，在 中， 切 于点，连接 交 于点 ，过点 作交 于点，连接 ．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接 ，根据 与 相切易得，在中，已知，可以求出的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出的度数，最后根据可得． 【详解】如下图，连接 ， ∵ 切 于点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，综合运用以上性质定理是解题的关键． 8. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ） A. 统计思想 B. 分类思想 C. 数形结合思想 D. 函数思想 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法， 如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的， 由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想， 故选：C． 【点睛】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键． 9. 如图，正六边形 的边长为2，以 为圆心， 的长为半径画弧，得，连接 ， ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G， 根据正六边形性质可知，， ∴， ∴S扇形=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键． 10. 抛物线的函数表达式为，若将 轴向上平移2个单位长度，将 轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可． 【详解】解：若将 轴向上平移2个单位长度， 相当于将函数图像向下平移2个单位长度， 将 轴向左平移3个单位长度， 相当于将函数图像向右平移3个单位长度， 则平移以后的函数解析式为： 化简得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分．） 11. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部” ， 两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点 的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据A， 两点的坐标分别为，，可以判断原点的位置，然后确定C点坐标即可． 【详解】解：∵ ， 两点的坐标分别为，， ∴B点向右移动3位即为原点的位置， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标，解题的关键是根据已知点的坐标确定原点的坐标． 12. 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，，，，交 于点 ，则 的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形性质，利用勾股定理求出AB的长度，再根据中位线定理求出OE的长即可． 【详解】解：∵四边形 是菱形， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∵，O为AC中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形性质，勾股定理，中位线定理，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． 13. 化简计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加法，先把二次根式化简后再合并即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度．李老师乘扶梯从底端A以的速度用时到达顶端B，则李老师上升的垂直高度 为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据坡度的概念得到，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设， ∵扶梯 的坡度， ∴， 由题意得：， 由勾股定理得：，即， 解得：（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度 的比是解题的关键． 15. 如图，在 中，点是 边上的一点，且，连接 并取 的中点 ，连接 ，若，且，则 的长为__________． 【答案】． 【解析】 【分析】延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得， 长度，由可得,即，由，可得，即， ,求得，． 【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作， ∵，， ∴，，为等腰． 由题意可得E为CD的中点，且， ∴， 在等腰中，， ， 又∵， 在， ∴（AAS） ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涵盖有理数乘方、绝对值、特殊角三角函数值的运算规则，解题的关键是严格遵循“先乘方、再乘除、后加减”的运算顺序，准确计算各部分数值． 先分别计算乘方与绝对值，即、、、，再确定特殊角三角函数值，进而得到；接着依次进行乘法运算，最后做加减运算得出结果． 【详解】解： 17. （1）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一： 填空：①以上解题过程中，第二步是依据 ___________（运算律）进行变形的． ②第 ___________步开始出现错误．这一步错误的原因是 ___________． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集．解集：____________． 【答案】任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五,不等式两边都除以 ，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的基本性质3）；任务二：． 【解析】 【分析】按照含有分母的一元一次不等式解法步骤进行，求出不等式的解集，即可完成任务一与任务二． 【详解】解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律进行变形的； ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以 ，不等号的方向没有改变； 故答案为：①乘法分配律（或分配律），②五，不等式两边都除以 ，不等号的方向没有改变． 任务二：该不等式的正确解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，这里先去分母比较简单，掌握不等式的性质是关键． 18. 如图是2025年9月的月历表，用虚线方框在月历表中任意圈出四个数，若虚线方框中最大数与最小数的乘积为128，求最小数． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了用一元一次方程在日历中的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键；设最小数为x，则最大数为，根据虚线方框中最大数与最小数的乘积为128，列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：设最小数为x，则最大数为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 从月历表中可以看出，8是第二行第2个数，符合要求， ∴最小数为8． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分．） 19. 网络直播教学是特殊时期常见的教学方式，顺德区为了解九年级教师使用线上授课软件情况，在12月份某天随机抽查了若干名老师进行调查，其中A表示“抖音直播”，B表示“腾讯会议”，C表示“腾讯课堂”，D表示“群课堂”，E表示“钉钉直播”，现将调查结果绘制成两种不完整的统计图表： 组别 使用人数（人） 占调查人数的百分率 A 3 B 12 C a D 15 c E b 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）______，并将频数分布直方图补充完整； （2）已知该区共有九年级老师500人，请你估计该区使用“QQ群课堂”有多少人？ （3）该区计划在A组随机抽取两人了解使用情况，已知A组有理科老师2人，文科老师1人，请用列表法或树状图法求出抽取两名老师都是理科的概率． 【答案】（1）9， 频数分布直方图如下： （2）估计该区使用“群课堂”有125人 （3） 【解析】 【分析】（1）由A的人数除以所占百分比得出本次调查的人数，即可解决问题； （2）由该区九年级老师总人数乘以使用“群课堂”的九年级老师所占的比例即可； （3）画树状图，共有6中等可能的结果，其中抽取两名老师都是理科的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查的人数为（人）， ∴， 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该区使用“群课堂”有125人； 【小问3详解】 解：把理科老师记为M，文科老师记为N， 画树状图如图： 由树状图知共有6种等可能的结果，其中抽取两名老师都是理科的结果有2种， ∴抽取两名老师都是理科的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及统计表和频数分布直方图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 20. 在学习过“解直角三角形”一章的知识后，九年级某班的同学们为了巩固学习成果，就地取材，利用所学的数学知识解决身边问题．如图1所示是教室内一只酒精消毒用的喷雾瓶的实物图，其示意图如图2所示，．求按压柄下端 到导管 的距离．（结果保留一位小数，参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点 作 ，垂足为 ，过点 作，交 的延长线于点 ，过点 作，交的延长线于点 ，则四边形是矩形．根据题先利用平角定义求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，再利用平角定义求出，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，过点 作，交 的延长线于点 ，过点 作，交的延长线于点 ，则四边形是矩形． 由题意得，． 在Rt中，， ∴． ∵， ∴． 在Rt中，， ∴． ∴． 答：按压柄下端 到导管 的距离约为． 21. 如图， 为圆 的直径， 为圆上一点，为 的中点，过 作圆 的切线交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，连接 ． （1）求证： 是圆 的切线； （2）若，求圆 的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是圆 的切线， ∴， ∴， ∵，为 的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又 是圆 的半径， ∴ 是圆 的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）连接，根据三线合一性质得出，根据证明，可得出，然后根据切线的判定即可得证； （2）根据切线长定理求出，根据勾股定理求出，然后在 中根据勾股定理得出，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵、 是圆 的切线，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 即圆 的半径为． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 如图，抛物线与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，连接 ， ． （1）求 ， ， 三点的坐标并直接写出直线 ， 的函数表达式； （2）点 是直线 下方抛物线上的一个动点，过点 作 的平行线 ，交线段 于点． ①试探究：在直线 上是否存在点 ，使得以点， ， ， 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线 交于点，与直线 交于点 ．当时，请直接写出的长． 【答案】（1）点 的坐标为，点 的坐标为，点 的坐标为，直线 的函数表达式为：；直线 的函数表达式为：；（2）①存在，点 的坐标为或；②． 【解析】 【分析】（1）分别令 和 时即可求解 ， ， 三点的坐标，然后再进行求解直线 ， 的函数表达式即可； （2）①设点的坐标为，其中，由题意易得，，，当时，以， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，进而可根据菱形的性质分当时，是菱形，当时，是菱形，然后分别求解即可；②由题意可作图，则由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线 的函数表达式为：；直线 的函数表达式为：，点 的坐标为，点 的坐标为，进而可得，设点，然后可求得直线l的解析式为，则可求得点，所以就有，最后根据面积公式及两点距离公式可进行求解． 【详解】解：（1）当 时，，解得，， ∵点 在点 的左侧， ∴点 的坐标为，点 的坐标为， 当 时，， ∴点 的坐标为， 设直线 的函数表达式为，代入点A、C的坐标得：， 解得：， ∴直线 的函数表达式为：． 同理可得直线 的函数表达式为：； （2）①存在．设点的坐标为，其中， ∵点 ，点 的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴当时，以， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形， 当时，是菱形，如图所示： ∴， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为， ∴点 的坐标为； 当时，是菱形，如图所示： ∴， 解，得，（舍去）， ∴点的坐标为， ∴点 的坐标为； 综上所述，存在点 ，使得以， ， ， 为顶点的四边形为菱形，且点 的坐标为或； ②由题意可得如图所示： 由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线 的函数表达式为：；直线 的函数表达式为：，点 的坐标为，点 的坐标为， ∴点，， ∴， 设点， ∵， ∴设直线l的解析式为，把点M的坐标代入得：， 解得：， ∴直线l的解析式为， ∴联立直线l与直线AC的解析式得：， 解得：， ∴， ∴点， ∵点 是直线 下方抛物线上的一个动点，且， ∴点M在点N的上方才有可能， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， ∴由两点距离公式可得． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合及菱形的性质，熟练掌握二次函数的综合及菱形的性质是解题的关键． 23. 阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务． 图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：得出，当时，．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法． 再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值． 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性． 任务： （1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性； （2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性： ①用公式计算：当，时，的值为多少； ②如图，在 中，， 是 的角平分线，，，用你所学的几何知识求线段 的长． 【答案】（1）图算法方便；直观；或不用公式计算即可得出结果等；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解问题； （2）①利用公式可直接把，代入求解即可；②过点 作，交的延长线于点，由题意易得，则有，，然后可得为等边三角形，则，所以可得，最后利用相似三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：答案不唯一，如：图算法方便；直观；或不用公式计算即可得出结果等． （2）①解：当，时，， ∴． ②解：过点 作，交的延长线于点，如图所示： ∵ 平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $