三角函数的图像与性质5种考点复习讲义-2026届高三数学二轮复习

三角函数的图像与性质5种高频考点复习讲义 三角函数的图像与性质5种高频考点复习讲义 考点目录 已知三角函数的解析式求三角函数的性质 三角函数的性质与三角恒等变换综合 三角函数的性质与三角函数的图像综合 三角函数的性质与图像变换综合 定义法求三角函数的性质 知识点解析 1.三角函数的图像与性质 函数 图像 定义域 值域 增区间 减区间 无 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 最小正周期 对称轴 ， ， 无 对称中心 ， ， ， ※上述提及的，均需注明属于整数 2.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 增区间 令，，化简得增区间. 减区间 令，，化简得减区间. 对称轴 令，，化简得对称轴. 对称中心 令，，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 3.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 增区间 令，，化简得增区间. 减区间 令，，化简得减区间. 对称轴 令，，化简得对称轴. 对称中心 令，，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 4.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 增区间 令，，化简得增区间. 对称中心 令，，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 5.辅助角公式(合一公式)求三角函数解析式 . 其中，，. ※使用辅助角公式前必须保证“变量一致”且“次数均为一次”. ※如果出现二次项，可利用倍角公式实现降幂效果.，，. ※如果无法实现变量一致，可利用同角关系化简，进而换元转化为其他函数. 6.由图像求解析式求三角函数解析式 对于三角函数，（）由最值决定，最大值为，最小值为；由周期决定，；最后可代入特殊值点求解.（最好为最大值点或最小值点） ※并不一定求才能代入特殊值点求解，实际上任何参数理论上都可以代入特殊值点求解. ※并不一定只能代入最值点，但代入的如果不是最值点，需要分辨其是上升阶段还是下降阶段的对应点. 7.伸缩平移变换求函数解析式求三角函数解析式 对于三角函数 向上平移个单位，得，向下平移个单位，得. 向左平移个单位，得，向右平移个单位，得. 将所有的纵坐标变化为原来的倍（横坐标保持不变），得. 将所有的横坐标变化为原来的倍（纵坐标保持不变），得. ※口诀：左加右减，上加下减 ※左右平移个单位，只是把变成；左右伸缩倍（横坐标保持不变），变为原来得. 8.常见函数的性质的定义 函数性质 定义与求解方法 函数的奇偶性 ①若函数为偶函数，则. ②若函数为奇函数，则. 函数的单调性 定义：①对区间上任意，都有，则在该区间上递增. ②对区间上任意，都有，则在该区间上递减. 证明方法：①作差法 ②作商法 ③换元法 ④导数法 函数的周期性 定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 常见周期结论 ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 函数性质 定义与求解方法 函 数 的 对 称 性 轴对称 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. 中心对称 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. ③若函数满足，则函数关于对称. 考点一 已知三角函数的解析式求三角函数的性质 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江·一模·多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的一条对称轴为 C．在区间内单调递增 D．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称 【答案】AB 【详解】对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，由，得图象的一条对称轴为，B正确； 对于C，由，得，则函数在上不单调，C错误； 对于D，将函数的图象上所有点向左平移个单位长度得的图象， 而函数是奇函数，其图象关于原点成中心对称，D错误. 例2．（25-26高一上·贵州毕节·期末·多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B．单调递增区间为（） C．定义域为 D．当时，的取值范围为（） 【答案】ACD 【详解】对A，最小正周期为，故A正确； 对B，令，解得，故B错误； 对C，由题意得，解得， 则其定义域为，故C正确； 对D，由题意得，解得， 则的取值范围为（），故D正确. 故选：ACD. 例3．（25-26高一上·广东深圳·期末·多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．与的最小正周期相同 B．与在上单调性相同 C．与的零点相同 D．与图象的对称中心相同 【答案】AD 【详解】函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，故A正确； 当时，，所以函数在区间上单调递减， 当时，，所以函数在区间上单调递增，故B错误； 令，得到， 令，得到，两个函数零点不同，故C错误； 函数图象的对称中心满足， 即图象对称中心为， 函数图象的对称中心满足， 即图象对称中心为， 令，即图象对称中心为，与图象对称中心相同，故D正确. 故选：AD. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·陕西渭南·期末·多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象向左平移后，对应的新函数是偶函数 C．的图象关于点对称 D．在上的值域为 【答案】ACD 【详解】对于A，由可得最小正周期为，故A正确； 对于B，的图象向左平移后， 得到， 显然不是偶函数，故B错误； 对于C，因为， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD 变式2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A． 的最小正周期是 B． 在上单调递增 C． 的图象关于点对称 D． 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【详解】，周期为，A正确； 当时，，所以在上单调递增，B正确； 因为，所以不是的对称中心，C不正确； 因为，是的最小值，所以的图象关于直线对称，D正确. 故选：ABD 变式3．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试·多选）下列关于函数的叙述，正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的图像关于直线对称 C．在上的最大值为3 D．的图像关于点中心对称 【答案】BC 【详解】， 对于A，最小正，A错误； 对于B，令，解得， 当时，，故B正确； 对于C，当时，， 所以当时，取最小值为，， 故C正确； 对于D，令，则， 当时，，， 所以的图像关于点中心对称，故D错误； 故选：BC 考点二 三角函数的性质与三角恒等变换综合 【例题分析】 例1．（25-26高三下·四川遂宁·开学考试·多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 B．直线是的图象的一条对称轴 C．在区间上单调 D．在区间上有6个零点 【答案】ABD 【详解】； 对A：将的图象向右平移个单位长度可得： ，故A正确； 对B：时，， 由直线是函数的一条对称轴， 故直线是的图象的一条对称轴，故B正确； 对C：时，， 由函数在上不单调， 故在区间上不单调，故C错误； 对D：令，即， 则的零点个数即为与交点个数， 作出与在上图象如下图： 由图可得，两函数图象在上共有6个零点， 即在区间上有6个零点，故D正确. 例2．（25-26高三下·广东江门·开学考试·多选）已知函数，则（    ） A．当的最小正周期为时， B．当在上单调时， C．当在上恰有两个零点时， D．当时，在上的值域为 【答案】BCD 【详解】易知函数 ； A，当的最小正周期为时，可知，解得，即A错误； B，当时，可知， 若在上单调，则需满足，解得，B正确； C，结合B中分析可知当在上恰有两个零点时,需满足，解得，即C正确； D，当时可知，若，则, 所以，可知在上的值域为，即D正确. 例3．（25-26高三上·广东肇庆·月考·多选）已知函数，则下列判断不正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．为奇函数 C．的值域为 D．在上是增函数 【答案】BCD 【详解】 ， 当时，因为，所以该函数取得最大值2，所以的图象关于直线对称，故A正确． 因为， 所以，因此不是奇函数，故B错误． 由上可知该函数的值域为，C错误. 当时，，显然该区间不是和的子集， 所以此时不单调，故D错误． 故选：BCD 例4．（25-26高三上·湖南株洲·月考·多选）已知，则下列说法中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递减 C．是函数图象的一个对称中心 D．函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 【答案】ABC 【详解】 . 的最小正周期，故A正确； 当时，.令，则. 因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B正确； 因为的对称中心为， 令，， 当时，.故为图象的一个对称中心，故C正确； 由函数图象上各点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数，故D错误． 故选：ABC. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·湖北武汉·期末·多选）已知函数，其导函数为，则（   ） A．在区间单调递减 B．的最小正周期为 C．，使成立 D．，都满足 【答案】BD 【详解】由函数， 所以， 对A：当，，而函数在上单调递增，故A错误； 对B：由，再由周期公式，故B正确； 对于C：因为，所以不成立， 即不存在，使得成立，故C错误； 对于D：因为，所以 ， 所以，故D正确； 故选：BD 变式2．（25-26高一上·山西吕梁·期末·多选）下面关于函数的叙述正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．函数是偶函数 【答案】ACD 【详解】， 对于A选项，因为，故函数的图象关于点对称，A对； 对于B选项，， 故函数的图象不关于直线对称，B错； 对于C选项，当时，， 所以函数在区间上单调递增，C对； 对于D选项，， 所以函数是偶函数，D对. 故选：ACD. 变式3．（25-26高一上·安徽芜湖·月考·多选）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．若为奇函数，则的最小值为 D．若在区间上单调递减，则的最大值为 【答案】BCD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，直线是图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，，要使为奇函数，则， 又，故当时，取得最小值，故C正确； 对于D，当时，函数在上单调递减， 在上单调递增，，解得，故D正确． 故选：BCD. 考点三 三角函数的性质与三角函数的图像综合 【例题分析】 例1．（24-25高一下·四川广安·月考·多选）函数的部分图象如图所示，下列正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．若，则 D．函数的最小正周期为，函数为偶函数 【答案】ABC 【详解】因为的最小值为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 因为，所以，， 所以，又，所以， 又，所以，所以，故A正确； 因为， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 若，则，所以， 所以 ，故C正确； 函数的最小正周期为， ， 所以函数不为偶函数，故D错误. 故选：ABC. 例2．（25-26高一上·安徽黄山·期末·多选）函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B． C．取得最小值时， D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称 【答案】AC 【详解】由图象得：，解得，故A正确； 由，，得， 又由图象知，将点 代入中得： ，即 ， 解得 ， 又因为 ，所以 ，故选项 B 错误； 因为函数 ， 令 ，即 ， 解得 ，故选项 C 正确； 将图象向左平移 个单位，得 ， ，图象不关于原点对称，故选项 D 错误. 故选：AC 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测·多选）已知函数的部分图像如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．为函数的一个对称轴 C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D．函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【详解】如图，， 由对称性可知，阴影部分的面积等于矩形的面积，即， 解得，函数的最小正周期为，故A正确； ，解得，又函数过点， ，解得， ，， 则，又，为最小值， 所以为函数的一个对称轴，故B正确； 要得到函数，需将函数向右平移个单位长度，故C错误； ，， 因为在上单调递增，且， 所以函数在区间上单调递增，故D正确． 故选：ABD． 例4．（2026·贵州六盘水·模拟预测·多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A．的最小正周期为 B．的对称轴方程为 C． D．若关于的方程在上有两个根，则 【答案】ABD 【详解】观察函数的图象，函数的最小正周期，则， 由，得，而，解得， 因此， 对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，由，得的对称轴方程为，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，当时，，函数在上单调递减，函数值从减小到， 在上单调递增，函数值从增大到，当且仅当时， 直线与函数在上的图象有两个交点，即在上有两个根，D正确. 故选：ABD 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·广西百色·开学考试·多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数在单调递减 C．函数的最小正周期为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】ACD 【详解】由函数图象可知：，所以选项A正确； 函数的最小正周期为，所以选项C正确； 因为，所以，即， 因为， 因为，所以令，，即， 当时，，显然不是的子集， 所以函数在上不是单调递减的，因此选项B不正确； 因为为函数的最小值， 所以函数的图象关于直线对称，因此选项D说法正确. 故选：ACD 变式2．（2026·云南·模拟预测·多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在上有且仅有一个极值点 【答案】ACD 【详解】对于A，由函数的部分图象可知：， 又因为，即， 结合函数的单调性可得， ，即， 所以，解得， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C：当时，可得， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于D：当时，， 所以当时，函数取到极小值， 相邻的两个极大值点分别为和，均不在的取值范围内， 故在上有且仅有一个极值点，故D正确， 故选：ACD． 变式3．（25-26高三上·广东深圳·月考·多选）函数的部分图象如图所示，为图象的最高点，B，C为图象与轴的交点，，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数在上单调递增 C．函数在上的值域为 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于选项A，由于为等腰三角形，且，故为等边三角形， 其高为，则，所以函数的周期，即， 所以．又，所以， 图象过点，结合五点作图法可知， 所以，所以，故A正确． 对于选项B，当时，，函数不是单调递增，故B错误． 对于选项C，当时，，所以函数的值域为，故C正确． 对于选项D，因为，即， 故，故D正确． 故选：ACD 考点四 三角函数的性质与图像变换综合 【例题分析】 例1．（2026·江苏镇江·模拟预测·多选）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称 【答案】AC 【详解】由题意可得， 对于A，由题意可得，故A正确； 对于B，当时，， 因为函数在上不单调， 所以在上不单调，故B错误； 对于C，令，得， 当时，，故C正确； 对于D，因为关于中心对称， 所以关于中心对称，故D错误. 故选：AC. 例2．（2026·辽宁·模拟预测·多选）将函数的图象按照以下顺序进行变换： ①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（    ） A．若，则的取值范围为 B．若函数在上的图象与直线有且只有一个交点，在上单调递减，则 C．若函数在区间上的最值分别为，则的取值范围是 D．若方程在内恰有两个根，则 【答案】ABD 【详解】由题意得将的图象向左平移个单位长度， 则， 而横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍， 得到， 而向下平移个单位长度， 可得， 则，即. 对于A，由，得， 由三角函数的图象可得， 可得的取值范围为，故A正确； 对于B，由题意得， 令，可得， 而，则， 若在上的图象与直线有且只有一个交点， 则在上有且只有一个解， 可得，解得. 若在上单调递减，则在上单调递增， 因为，所以， 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 可得，解得， 综上可得，，故B正确； 对于C，由题意得， 不妨设函数在区间上的最大值为，最小值为， 令，则区间变为，可得， 则，即， 此时， 即的取值范围是不成立，故C错误； 对于D，令，则，， 若方程在内恰有两个根，， 则，即在内恰有两个根， 则，且，得到， 故，故D正确. 故选：ABD 例3．（25-26高一上·河南周口·期末·多选）将函数的图象向右平行移动个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．图像关于点对称 D．当时，取得最小值 【答案】ABC 【详解】函数的图象向右平行移动个单位长度得到的图象， ， ，故选项A正确； ，是偶函数，故选项B正确； 当时，，图像关于点对称，故选项C正确； 当时，为最大值，故选项D错误. 故选：ABC. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·河南郑州·期末·多选）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．为函数图象的一个对称中心 C．函数在上单调递减 D．函数在上的最大值是3 【答案】BCD 【详解】将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位 可得到函数的图象， 对于A，的最小正周期，故A错误； 对于B，则，所以为函数图象的一个对称中心，故B正确； 对于C，当时，， 而在上单调递减，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，当时，， 而在上单调递增，在上单调递减；所以在上单调递增， 在上单调递减，当时，有最大值为，故D正确； 故选：BCD 变式2．（25-26高三上·湖南娄底·期末·多选）已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C．函数在区间上单调递增 D．曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为4π 【答案】BC 【详解】对于A，由题意得的最小正周期为，则，解得， 则，将的图象向右平移个单位长度， 得到， 因为，所以，故A错误， 对于B，由题意得，故B正确， 对于C，令， 解得，当时，， 则函数在区间上单调递增， 即在区间上单调递增，故C正确， 对于D，结合正弦函数性质可得，函数在一个完整周期内， 则曲线与直线，，所围成封闭图形的面积转化如下， 变为一个长为，宽为2的矩形的面积，由矩形面积公式得，故D错误. 故选：BC 变式3．（25-26高三上·陕西咸阳·期末·多选）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若的图象关于点对称，则（    ） A．的值可以为，是的一个周期 B．的最小值为，是的一个周期 C．的最小值为，的图象关于直线对称 D．的值可以为，的图象关于直线对称 【答案】BD 【详解】，，的最小正周期为， 所以是的周期，不是的周期； 由得，，又，所以时，取得最小值，当时，， 由得的图象关于直线对称. 故选：BD 考点五 定义法求三角函数的性质 【例题分析】 例1．（2026·广东梅州·一模·多选）关于函数，以下结论正确的有（    ） A．的图象是轴对称图形 B．的最大值为1 C．是以为一个周期的周期函数 D．在上有4个零点 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为R，且， 即为偶函数，的图象是轴对称图形，A正确； 对于B， ， 令，则， 当时，取最大值，即的最大值为，B错误； 对于C，， 即是以为一个周期的周期函数，C正确； 对于D，令，即，故或， 当时，在上有满足题意； 当时，在上有满足题意； 故在上有共4个零点，D正确. 例2．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测·多选）下列关于函数的说法中正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数的最小正周期为 C．函数在其一个周期内是单调递减函数 D．函数图象关于对称 【答案】ABD 【详解】由，可得，解得， 所以函数的定义域为， . 对于A，显然函数的值域为，故A正确； 对于B，函数的，故B正确； 对于C，若时，又时，无意义， 所以函数在内不是单调递减函数，故C错误； 对于D，，当时，， 所以函数图像关于对称，故D正确. 故选:ABD. 例3．（25-26高一上·安徽六安·期末·多选）已知函数，则以下说法正确的有（   ） A．的最大值为3 B．的最小正周期为 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减 【答案】AC 【详解】由于为偶函数，故， A选项，由， 得的一个周期为， 当时，， 当时，， 所以的最大值为3，故A正确； B选项，， 所以的最小正周期不是，故B错误； C选项，， 故函数的图象关于直线对称，故C正确； D选项，由A选项得，时，不单调，故D错误. 故选：AC 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·山东济南·期末·多选）声音是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数．已知我们听到的一段声音的函数是，则（   ） A．的最大值为4 B．的最小正周期是 C．的图像关于中心对称 D．存在，使得图象关于对称 【答案】BC 【详解】 ， 当时，，此时， 所以， 当时，所以，所以， 所以与不能同时取得最大值，故的最大值不为4，故A错误； 因为的最小正周期为，因为的最小正周期为， 因为的最小正周期为， 又 ， 所以的最小正周期是，故B正确； ， 所以的图像关于中心对称，故C正确； ， 又，， ， 所以 ， ， 又，， ， 所以 ， 若恒成立，可得恒成立， 所以，由，可得，所以， 所以无解，所以不存在，使得图象关于对称，故D错误. 故选：BC. 变式2．（25-26高三上·河北沧州·月考·多选）已知函数，则（    ） A．是函数的一个周期 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数的最大值为 【答案】AC 【详解】， ， 所以是函数的一个周期，故A正确； 因为， 所以函数的图象不关于直线对称，故B错误； ， 当时，，， 在区间上单调递增，故C正确； 当时，，在区间上单调递减，结合选项C可知，在一个周期内的最大值为， 所以函数的最大值为，故D错误． 故选：AC． 变式3．（2026·湖北荆门·模拟预测·多选）关于函数，，以下结论正确的是（    ） A．有8个零点 B．的最大值为1 C．是轴对称图形 D．函数，则的零点的个数可能为0，1，2，4，6 【答案】BCD 【详解】对于A，令，即， 得或，即，，，，，，共6个，故A错误； 对于B，因为当时，，， 所以，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，因为， 所以函数关于对称，故C正确； 对于D，由C可知，函数关于对称， 故只讨论的单调性和极值，结合对称性可作出函数在区间上的图象， 因为，所以， 求导可得， 则 ， 因为，当且仅当或时等号成立， 令，则， 当时，或， 当时，， 因为，在区间上单调递减， 所以函数在区间上，先增后减然后再增， 当时，，时，，时，， 结合ABC选项作出函数图象如下： 令，得， 函数的零点可以看作函数图象与直线交点的个数，结合图象可知： 函数的零点的个数可能为0，1，2，4，6，故D正确. 故选：BCD 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角函数的图像与性质5种高频考点复习讲义 三角函数的图像与性质5种高频考点复习讲义 考点目录 已知三角函数的解析式求三角函数的性质 三角函数的性质与三角恒等变换综合 三角函数的性质与三角函数的图像综合 三角函数的性质与图像变换综合 定义法求三角函数的性质 知识点解析 1.三角函数的图像与性质 函数 图像 定义域 值域 增区间 减区间 无 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 最小正周期 对称轴 ， ， 无 对称中心 ， ， ， ※上述提及的，均需注明属于整数 2.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 增区间 令，，化简得增区间. 减区间 令，，化简得减区间. 对称轴 令，，化简得对称轴. 对称中心 令，，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 3.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 增区间 令，，化简得增区间. 减区间 令，，化简得减区间. 对称轴 令，，化简得对称轴. 对称中心 令，，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 4.换元法求函数（，）的性质 最小正周期 增区间 令，，化简得增区间. 对称中心 令，，化简得对称中心. 在上的值域 由得，画图由图像求函数值域. 5.辅助角公式(合一公式)求三角函数解析式 . 其中，，. ※使用辅助角公式前必须保证“变量一致”且“次数均为一次”. ※如果出现二次项，可利用倍角公式实现降幂效果.，，. ※如果无法实现变量一致，可利用同角关系化简，进而换元转化为其他函数. 6.由图像求解析式求三角函数解析式 对于三角函数，（）由最值决定，最大值为，最小值为；由周期决定，；最后可代入特殊值点求解.（最好为最大值点或最小值点） ※并不一定求才能代入特殊值点求解，实际上任何参数理论上都可以代入特殊值点求解. ※并不一定只能代入最值点，但代入的如果不是最值点，需要分辨其是上升阶段还是下降阶段的对应点. 7.伸缩平移变换求函数解析式求三角函数解析式 对于三角函数 向上平移个单位，得，向下平移个单位，得. 向左平移个单位，得，向右平移个单位，得. 将所有的纵坐标变化为原来的倍（横坐标保持不变），得. 将所有的横坐标变化为原来的倍（纵坐标保持不变），得. ※口诀：左加右减，上加下减 ※左右平移个单位，只是把变成；左右伸缩倍（横坐标保持不变），变为原来得. 8.常见函数的性质的定义 函数性质 定义与求解方法 函数的奇偶性 ①若函数为偶函数，则. ②若函数为奇函数，则. 函数的单调性 定义：①对区间上任意，都有，则在该区间上递增. ②对区间上任意，都有，则在该区间上递减. 证明方法：①作差法 ②作商法 ③换元法 ④导数法 函数的周期性 定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 常见周期结论 ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 函数性质 定义与求解方法 函 数 的 对 称 性 轴对称 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. 中心对称 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. ③若函数满足，则函数关于对称. 考点一 已知三角函数的解析式求三角函数的性质 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江·一模·多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的一条对称轴为 C．在区间内单调递增 D．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称 例2．（25-26高一上·贵州毕节·期末·多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B．单调递增区间为（） C．定义域为 D．当时，的取值范围为（） 例3．（25-26高一上·广东深圳·期末·多选）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．与的最小正周期相同 B．与在上单调性相同 C．与的零点相同 D．与图象的对称中心相同 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·陕西渭南·期末·多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象向左平移后，对应的新函数是偶函数 C．的图象关于点对称 D．在上的值域为 变式2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测·多选）已知函数，则（    ） A． 的最小正周期是 B． 在上单调递增 C． 的图象关于点对称 D． 的图象关于直线对称 变式3．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试·多选）下列关于函数的叙述，正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的图像关于直线对称 C．在上的最大值为3 D．的图像关于点中心对称 考点二 三角函数的性质与三角恒等变换综合 【例题分析】 例1．（25-26高三下·四川遂宁·开学考试·多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 B．直线是的图象的一条对称轴 C．在区间上单调 D．在区间上有6个零点 例2．（25-26高三下·广东江门·开学考试·多选）已知函数，则（    ） A．当的最小正周期为时， B．当在上单调时， C．当在上恰有两个零点时， D．当时，在上的值域为 例3．（25-26高三上·广东肇庆·月考·多选）已知函数，则下列判断不正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．为奇函数 C．的值域为 D．在上是增函数 例4．（25-26高三上·湖南株洲·月考·多选）已知，则下列说法中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递减 C．是函数图象的一个对称中心 D．函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·湖北武汉·期末·多选）已知函数，其导函数为，则（   ） A．在区间单调递减 B．的最小正周期为 C．，使成立 D．，都满足 变式2．（25-26高一上·山西吕梁·期末·多选）下面关于函数的叙述正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．函数是偶函数 变式3．（25-26高一上·安徽芜湖·月考·多选）已知函数，则下列说法正确的有（   ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．若为奇函数，则的最小值为 D．若在区间上单调递减，则的最大值为 考点三 三角函数的性质与三角函数的图像综合 【例题分析】 例1．（24-25高一下·四川广安·月考·多选）函数的部分图象如图所示，下列正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．若，则 D．函数的最小正周期为，函数为偶函数 例2．（25-26高一上·安徽黄山·期末·多选）函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B． C．取得最小值时， D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测·多选）已知函数的部分图像如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．为函数的一个对称轴 C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D．函数在区间上单调递增 例4．（2026·贵州六盘水·模拟预测·多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A．的最小正周期为 B．的对称轴方程为 C． D．若关于的方程在上有两个根，则 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·广西百色·开学考试·多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数在单调递减 C．函数的最小正周期为 D．函数的图象关于直线对称 变式2．（2026·云南·模拟预测·多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在上有且仅有一个极值点 变式3．（25-26高三上·广东深圳·月考·多选）函数的部分图象如图所示，为图象的最高点，B，C为图象与轴的交点，，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数在上单调递增 C．函数在上的值域为 D．若，则 考点四 三角函数的性质与图像变换综合 【例题分析】 例1．（2026·江苏镇江·模拟预测·多选）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称 例2．（2026·辽宁·模拟预测·多选）将函数的图象按照以下顺序进行变换： ①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（    ） A．若，则的取值范围为 B．若函数在上的图象与直线有且只有一个交点，在上单调递减，则 C．若函数在区间上的最值分别为，则的取值范围是 D．若方程在内恰有两个根，则 例3．（25-26高一上·河南周口·期末·多选）将函数的图象向右平行移动个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．图像关于点对称 D．当时，取得最小值 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·河南郑州·期末·多选）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到函数的图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．为函数图象的一个对称中心 C．函数在上单调递减 D．函数在上的最大值是3 变式2．（25-26高三上·湖南娄底·期末·多选）已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A． B． C．函数在区间上单调递增 D．曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为4π 变式3．（25-26高三上·陕西咸阳·期末·多选）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若的图象关于点对称，则（    ） A．的值可以为，是的一个周期 B．的最小值为，是的一个周期 C．的最小值为，的图象关于直线对称 D．的值可以为，的图象关于直线对称 考点五 定义法求三角函数的性质 【例题分析】 例1．（2026·广东梅州·一模·多选）关于函数，以下结论正确的有（    ） A．的图象是轴对称图形 B．的最大值为1 C．是以为一个周期的周期函数 D．在上有4个零点 例2．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测·多选）下列关于函数的说法中正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数的最小正周期为 C．函数在其一个周期内是单调递减函数 D．函数图象关于对称 例3．（25-26高一上·安徽六安·期末·多选）已知函数，则以下说法正确的有（   ） A．的最大值为3 B．的最小正周期为 C．的图象关于直线对称 D．在上单调递减 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·山东济南·期末·多选）声音是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数．已知我们听到的一段声音的函数是，则（   ） A．的最大值为4 B．的最小正周期是 C．的图像关于中心对称 D．存在，使得图象关于对称 变式2．（25-26高三上·河北沧州·月考·多选）已知函数，则（    ） A．是函数的一个周期 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递增 D．函数的最大值为 变式3．（2026·湖北荆门·模拟预测·多选）关于函数，，以下结论正确的是（    ） A．有8个零点 B．的最大值为1 C．是轴对称图形 D．函数，则的零点的个数可能为0，1，2，4，6 2 学科网（北京）股份有限公司 $