空间向量的应用5种高频考法复习讲义-2026届高三数学二轮复习

空间向量与立体几何：空间向量的应用5种高频考法复习讲义 空间向量与立体几何：空间向量的应用5种高频考法复习讲义 考点目录 空间位置关系的向量证明 线线角的向量求法 线面角的向量求法 二面角的向量求法 空间距离的向量求法 知识点解析 1.平面的法向量的求解：已知平面，且 （1）表示平面中两条相交直线所形成的向量. （2）设为平面的一个法向量. （3）利用法向量与平面的所有直线垂直列方程. （4）赋值求解法向量. 2.空间向量与空间位置关系 空间位置关系 向量表示 线线平行： 线面平行： 面面平行： 线线垂直： 线面垂直： 面面垂直： 3.空间向量与空间角度问题 空间角度问题 向量表示 异面直线所成之角（线线角） 若求直线与直线所成之角 (1)表示、、、四点的坐标. (2)表示与. (3)记直线所成之角为，. 直线与平面所成之角（线面角） 若求直线与平面所成之角 (1)表示、、、、五点的坐标. (2)表示与平面两条相交直线所形成的向量. (3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解. (4)记直线与平面所成之角为，. 平面与平面所成之角（二面角） 若求平面与平面所成之角 (1)表示、、、、、五点的坐标. (2)分别表示平面与平面两条相交直线所形成的向量. (3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解，同理求平面的一个法向量. (4)记平面与平面所成之角为，. 4.空间向量与空间距离问题 空间距离问题 向量表示 点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为， 则. 点到直线的距离 若点为直线外一点，为直线上一点，直线的方向向量为， 则. 异面直线的距离 已知直线与为异面直线，与、 均垂直的向量为，直线与上各取一点形成， 考点一 空间位置关系的向量证明 【例题分析】 例1．（25-26高二上·四川内江·月考）已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（ ） A． B． C． D．直线与平面不相交 例2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 例4．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则___________． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·北京·期中）已知，平面的一个法向量为，若平面，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知点在平面内，向量为平面的一个法向量，则下列各点不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·北京顺义·月考）已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若直线，则___________． 变式4．（24-25高二下·湖北随州·月考）若直线的方向向量，平面的一个法向量，且，则实数_____. 考点二 线线角的向量求法 【例题分析】 例1．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·河北邢台·期末）如图，在长方体中，，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·广西河池·期末）在所有棱长均相等的正三棱柱中，D是的中点，，，则异面直线，所成角的余弦值为______． 例4．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行六面体中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为_____. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·浙江丽水·期末）在直三棱柱中，，，则直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·新疆昌吉·期末）在直三棱柱中，分别是的中点，则与直线所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·河南开封·期末）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则直线与夹角的余弦值为______． 变式4．（25-26高二上·上海松江·期末）棱长为2的正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值为________．    考点三 线面角的向量求法 【例题分析】 例1．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）如图，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，点P是线段的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若，求CP与平面所成的角的正弦值. 例2．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）阳马，中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体.如图，在阳马中，PA⊥底面为线段的中点，F为线段上的动点. (1)证明：平面⊥平面. (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 例3．（2025·广东广州·一模）如图所示，已知四棱锥的底面是梯形，侧棱底面，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·江西·开学考试）如图，在正三棱柱中，D是棱AC的中点，． (1)证明：平面． (2)求直线BD与平面所成角的正弦值． 变式2．（25-26高三上·四川成都·期末）如图，矩形中，为的中点，将沿翻折至，平面平面. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 变式3．（25-26高三上·广东深圳·月考）如图，在三棱锥中，平面PAB，平面平面ABC，点D，E分别为棱AB，AC的中点，. (1)证明：平面ABC； (2)点关于平面PDE的对称点为，求直线MB与平面PCD所成角的正弦值. 考点四 二面角的向量求法 【例题分析】 例1．（25-26高三下·广东江门·开学考试）如图，在三棱台中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)点满足，求平面与平面夹角的余弦值． 例2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，分别为的中点，平面平面． (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)若截面与交于点，且，求的值． 例3．（2026·贵州·模拟预测）如图.在三棱柱中，是AC的中点，.    (1)证明：平面. (2)已知点到平面的距离为1. ①求三棱柱的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值. 【变式训练】 变式1．（2026·广东梅州·一模）如图，在斜三棱柱中，侧面底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值. 变式2．（2026·浙江·模拟预测）在四棱锥中，底面为菱形，，是的中点，. (1)当时，证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 变式3．（25-26高三下·广东江门·开学考试）如图，在三棱锥中，，，，，分别是的中点，为上靠近点的四等分点，为上靠近点的四等分点． (1)证明：四点共面． (2)证明：平面平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 考点五 空间距离的向量求法 【例题分析】 例1．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·开学考试）在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·河南洛阳·期末）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（   ）    A． B． C．1 D． 例3．（25-26高二上·陕西安康·期末）在棱长为3的正方体中，为线段上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为__________. 例4．（25-26高二上·江苏·期末）已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_______. 例5．（25-26高三上·广东汕尾·月考）如图，在棱长为1的正方体中，分别是，各棱的中点． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的余弦值． (3)求直线到平面的距离d． 例6．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）在如图所示的多面体中，底面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知空间内三点，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知平面的一个法向量，点为上一点，则点到平面的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 变式3．（25-26高二上·云南楚雄·期末）是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是__________. 变式4．（25-26高二上·广东·期末）在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是________. 变式5．（24-25高二上·内蒙古包头·月考）如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别为的中点． (1)求证：面； (2)求到平面的距离． 变式6．（25-26高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱锥中，为正三角形，，过点的平面与棱分别交于点，且，记. (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)记点到平面的距离分别为，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：空间向量的应用5种高频考法复习讲义 空间向量与立体几何：空间向量的应用5种高频考法复习讲义 考点目录 空间位置关系的向量证明 线线角的向量求法 线面角的向量求法 二面角的向量求法 空间距离的向量求法 知识点解析 1.平面的法向量的求解：已知平面，且 （1）表示平面中两条相交直线所形成的向量. （2）设为平面的一个法向量. （3）利用法向量与平面的所有直线垂直列方程. （4）赋值求解法向量. 2.空间向量与空间位置关系 空间位置关系 向量表示 线线平行： 线面平行： 面面平行： 线线垂直： 线面垂直： 面面垂直： 3.空间向量与空间角度问题 空间角度问题 向量表示 异面直线所成之角（线线角） 若求直线与直线所成之角 (1)表示、、、四点的坐标. (2)表示与. (3)记直线所成之角为，. 直线与平面所成之角（线面角） 若求直线与平面所成之角 (1)表示、、、、五点的坐标. (2)表示与平面两条相交直线所形成的向量. (3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解. (4)记直线与平面所成之角为，. 平面与平面所成之角（二面角） 若求平面与平面所成之角 (1)表示、、、、、五点的坐标. (2)分别表示平面与平面两条相交直线所形成的向量. (3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解，同理求平面的一个法向量. (4)记平面与平面所成之角为，. 4.空间向量与空间距离问题 空间距离问题 向量表示 点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为， 则. 点到直线的距离 若点为直线外一点，为直线上一点，直线的方向向量为， 则. 异面直线的距离 已知直线与为异面直线，与、均垂直的向量为，直线与上各取一点形成， 考点一 空间位置关系的向量证明 【例题分析】 例1．（25-26高二上·四川内江·月考）已知空间中直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（ ） A． B． C． D．直线与平面不相交 【答案】D 【详解】对于AB，，则直线可能与平面平行，也可能在平面内，因题目条件不足，故AB选项无法判断， 对于C，与不共线，则直线与平面不垂直，故C错误， 对于D，由AB分析可知，直线与平面不相交，故D正确. 故选：D. 例2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，所以， 故选：D. 例3．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 【答案】1 【详解】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 故答案为：. 例4．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则___________． 【答案】2 【详解】，直线的一个方向向量与平面的一个法向量垂直， ，解得. 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·北京·期中）已知，平面的一个法向量为，若平面，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为， 所以， 又因为平面的一个法向量为， 若平面，则， 则，解得 故选：D. 变式2．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知点在平面内，向量为平面的一个法向量，则下列各点不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点为平面内任意一点，有， 所以，可得. 对于选项A：，故在平面内，故A错误； 对于选项B：，故在平面内，故B错误； 对于选项C：，故不在平面内，故C正确； 对于选项D：，故在平面内，故D错误； 故选：C 变式3．（25-26高二上·北京顺义·月考）已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若直线，则___________． 【答案】 【详解】由，得： 与 平行，即存在 使得 . 即，得： ，解 得：， 因此，. 故答案为： 变式4．（24-25高二下·湖北随州·月考）若直线的方向向量，平面的一个法向量，且，则实数_____. 【答案】2 【详解】因为，所以的方向向量与平面的法向量共线， 所以存在实数λ，使，即 故答案为：2 考点二 线线角的向量求法 【例题分析】 例1．（25-26高二上·安徽合肥·期末）如图，在正方体中，、分别为棱和的中点，那么异面直线和所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为 轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，. 由题意可得，． ， ， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为. 故选：C． 例2．（25-26高三上·河北邢台·期末）如图，在长方体中，，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以与所成的角即或其补角. 设，以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立 如图所示空间直角坐标系， 则，，， 所以的中点，，， ，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 例3．（25-26高二上·广西河池·期末）在所有棱长均相等的正三棱柱中，D是的中点，，，则异面直线，所成角的余弦值为______． 【答案】 【详解】如图，取的中点，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设，则，，，， 则，. 设异面直线，所成的角为， 则. 故答案为：. 例4．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行六面体中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为_____. 【答案】 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为： 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·浙江丽水·期末）在直三棱柱中，，，则直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以为空间向量的基底.    不妨设，则， 则，. 因为，， ，. 又， 所以. 即直线与所成角的余弦值是. 故选：C 变式2．（25-26高二上·新疆昌吉·期末）在直三棱柱中，分别是的中点，则与直线所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 设直线与直线所成角为，则， 所以， 故选：B. 变式3．（25-26高二上·河南开封·期末）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，则直线与夹角的余弦值为______． 【答案】 【详解】如图，连接，设，，， 依题意，， 则 ， 而 ，得到. 而 ，可得. 则， 所以， 故直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·上海松江·期末）棱长为2的正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值为________．    【答案】 【详解】    如图建立空间直角坐标系：则 ， ， ， 所以，， 所以. 故答案为： 考点三 线面角的向量求法 【例题分析】 例1．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）如图，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，点P是线段的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若，求CP与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）如图，取棱的中点为Q，连接PQ，BQ， 且. 又且且 四边形BCPQ为平行四边形， . 平面平面平面. （2）如图，取棱AD的中点为O. . . . 四边形BCDO为平行四边形， . ， 直四棱柱为侧棱，底面ABCD，， 平面平面. （3）由，可得， 如图，过A点在底面ABCD中作AD的垂线为x轴，以点A为坐标原点， AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则有， ，可得， 设平面的一个法向量为， 由， 有，取， 可得平面的一个法向量为. 有， 可得，所以CP与平面所成的角的正弦值为. 例2．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）阳马，中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体.如图，在阳马中，PA⊥底面为线段的中点，F为线段上的动点. (1)证明：平面⊥平面. (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以，又平面，所以平面， 因为平面，所以. 由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面， 因为平面，所以平面⊥平面. （2）因为底面，且，所以以A为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系如图所示. 设，则， 所以，，. 设平面的法向量为，则, 取，可得所以 设直线与平面所成的角为θ， 所以=， 即直线与平面所成角的正弦值为. 例3．（2025·广东广州·一模）如图所示，已知四棱锥的底面是梯形，侧棱底面，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接与交于点，连接，如图所示： 因为，所以，又， 所以，又，所以， 所以，又，故， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为底面，， 所以两两互相垂直， 故以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由， 则， 又，所以， 即，故， 由已知得，， 设平面的一个法向量， 则 ，     令，则，，故， 设直线与平面所成的角为， 所以 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·江西·开学考试）如图，在正三棱柱中，D是棱AC的中点，． (1)证明：平面． (2)求直线BD与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为是正三棱柱，D是AC的中点， 所以，易得平面ABC，平面ABC， 所以，因为平面， 所以平面． （2）取BC的中点O，的中点M，连接AO，OM， 易得，而平面ABC，则平面ABC，而， 以O为坐标原点，以OB，OM，OA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设直线BD与平面所成的角为， 则， 故直线BD与平面所成角的正弦值为． 变式2．（25-26高三上·四川成都·期末）如图，矩形中，为的中点，将沿翻折至，平面平面. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，由，则. 又，则，即. 平面平面平面，平面平面, 平面,又平面，则, 又平面, 平面. （2） 如图：以为原点，建立空间直角坐标系，则， , , 设平面的法向量为，则，取. 设直线与平面所成角为，则， ∴直线与平面所成角的余弦值为 变式3．（25-26高三上·广东深圳·月考）如图，在三棱锥中，平面PAB，平面平面ABC，点D，E分别为棱AB，AC的中点，. (1)证明：平面ABC； (2)点关于平面PDE的对称点为，求直线MB与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）因为平面， 平面，所以 又平面平面ABC，平面平面，平面， 则平面ABC； （2）以为原点，AB所在直线为轴，AC所在直线为轴，PA所在直线为，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， ， 得，取， 设平面的法向量为， 得，取， 又，设MB与平面所成角为，则． 故直线MB与平面所成角的正弦值为： 考点四 二面角的向量求法 【例题分析】 例1．（25-26高三下·广东江门·开学考试）如图，在三棱台中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)点满足，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）由题可得，取中点为D，连接. 因平面，平面，则，又，则. 因，则，所以四边形为正方形， 则，从而， 即为直角三角形，所以； 因平面，平面，则，又， 平面，，则平面， 又平面，则. 结合平面，，可得平面， 又平面，则平面平面； （2）如图，过A作BC平行线，建立以A为坐标原点的空间直角坐标系. 设，则. 由题，设，则. . 设平面法向量为，则， 取，则可为； 设平面的法向量为，则， 则可为. 设平面与平面夹角为，则. 例2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，分别为的中点，平面平面． (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)若截面与交于点，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）为中点，. 又平面平面，且交线为平面， 平面，而平面，平面， ； 为中点，则有； ； （2）如图以为坐标原点，过作直线与平行，以分别为轴建立空间直角坐标系， ， 则，. . 设平面的一个法向量为， 则有，令，可得. ，设平面的一个法向量为， 则有，可取， ， 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. （3）， . ． . 例3．（2026·贵州·模拟预测）如图.在三棱柱中，是AC的中点，.    (1)证明：平面. (2)已知点到平面的距离为1. ①求三棱柱的体积； ②求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②. 【详解】（1）证明：设，连接DE，则DE是的中位线， 所以. 因为平面平面， 所以平面 （2）连接.因为为AC的中点，所以.     因为平面， 所以平面 设，则． 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则．     由(1)知.     设平面的法向量为，因为， 所以，令，得 所以点到平面的距离，解得.   ①三棱柱的体积．     ②已知平面的一个法向量为．     设平面的法向量为，因为，， 所以，令，得. 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【变式训练】 变式1．（2026·广东梅州·一模）如图，在斜三棱柱中，侧面底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）取中点，连接，. 由题意，易得，，， 法一：因为侧面底面，侧面底面， 所以平面.所以是三棱锥的高. 又因为在中，， 而，， 所以为等腰三角形，且边上的高等于， 所以， 记点到平面的距离为， 由，得， 即，于是得. 法二：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立坐标系， 易知，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，令，得，， 得到平面的一个法向量， 又因为， 所以点到平面的距离等于. （2）法一：设点在平面上的投影为，的中点为，连接和， 因为是边长为2的等边三角形， 所以，且， 而平面，平面， 所以，平面，， 所以平面，平面， 所以， 因此为二面角的平面角， 在中，. 法二：由（1）可知为平面的一个法向量， 又由（1）知平面的法向量为， 所以， 因此二面角的正弦值为，即为. 变式2．（2026·浙江·模拟预测）在四棱锥中，底面为菱形，，是的中点，. (1)当时，证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设相交于点，在平面内，过点作交于点（如图1）， 由已知得，所以，所以点为中点，点为中点； 又点为中点，所以，且平面，平面， 所以平面. （2）因为， 所以平面， 所以平面， 过A作为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系（如图2）. 设，则，， 由得， 因为为菱形，所以， 因为，平面，所以平面，平面， 所以平面，所以平面， 所以平面的一个法向量为， . 所以E是的中点. 所以，而， 设平面的一个法向量为，则 ， 令，则，， ， 所以平面与平面夹角的余弦值. 变式3．（25-26高三下·广东江门·开学考试）如图，在三棱锥中，，，，，分别是的中点，为上靠近点的四等分点，为上靠近点的四等分点． (1)证明：四点共面． (2)证明：平面平面． (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为分别是的中点,所以. 因为为上靠近点的四等分点,为上靠近点的四等分点, 所以,所以,所以四点共面. （2）因为,所以,所以. 因为平面,所以平面. 因为平面,所以平面平面. （3）连接.因为,所以, 则由(2)得平面平面，平面平面， 平面,所以平面. 以为坐标原点,以所在直线分别为轴, 以过点且平行于的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则,. 设平面的法向量为,则 令,则. 易得为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为, 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 考点五 空间距离的向量求法 【例题分析】 例1．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·开学考试）在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为平面，所以，又，所以. 可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 所以， 所以在方向上的投影为， 所以点到直线的距离为． 例2．（25-26高二上·河南洛阳·期末）如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则直线到平面的距离为（   ）    A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】在直三棱柱中，， 如图建立空间直角坐标系，    则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得； 由，得，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 故选：A 例3．（25-26高二上·陕西安康·期末）在棱长为3的正方体中，为线段上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令得， 所以， 又，故点到平面的距离为 . 故答案为： 例4．（25-26高二上·江苏·期末）已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_______. 【答案】 【详解】因为点在平面内，又， 所以，又是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 故答案为： 例5．（25-26高三上·广东汕尾·月考）如图，在棱长为1的正方体中，分别是，各棱的中点． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的余弦值． (3)求直线到平面的距离d． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【详解】（1）以为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 则， 所以， 又为平面的两条相交直线，所以平面； （2）由（1）知平面的法向量为， 又，则， 则， 故与平面所成角的余弦值为； （3）因为，所以， 所以，即， 又平面，所以平面， 又，所以直线到平面的距离为. 例6．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）在如图所示的多面体中，底面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取棱的中点，连接. 因为为的中点，所以∥，且. 因为，且，所以∥. 所以四边形是平行四边形，所以∥. 因为平面，平面 所以平面； （2）因为底面是边长为2的正方形，平面， 所以如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 由题可知，. 则. 所以. 设平面的法向量为，则. 令，则，所以平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）得. 设平面的法向量为，则. 令，则，所以平面的一个法向量为. 所以点到平面的距离为. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知空间内三点，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】空间内三点，，，， 因为， 由， 所以， 所以点到直线的距离. 故选：D. 变式2．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知平面的一个法向量，点为上一点，则点到平面的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【详解】由题意得，所以点到平面的距离. 故选：C. 变式3．（25-26高二上·云南楚雄·期末）是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是__________. 【答案】 【详解】因为， ， ， ， 所以点到直线的距离是. 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·广东·期末）在正三棱柱中，，是线段上的一动点，则点到直线的距离的最小值是________. 【答案】 【详解】以为原点，，所在直线分别为轴、轴，在平面内过并垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图：    因为，所以，，，， 所以，，. 设，则， 故点到直线的距离. 当时，等号成立； 因此点到直线的距离的最小值是. 故答案为： 变式5．（24-25高二上·内蒙古包头·月考）如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别为的中点． (1)求证：面； (2)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）底面，平面， ∴， ∵底面为矩形，∴， ∴以为原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则根据题意可得： ， ． ． ， ，又，平面， 面； （2）设C到平面的距离为h． 由（1）可知． 底面，底面为矩形，， 分别为的中点， ， ． ， 由， ， ，即C到平面AMN的距离为． 变式6．（25-26高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱锥中，为正三角形，，过点的平面与棱分别交于点，且，记. (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)记点到平面的距离分别为，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【详解】（1）如图，取的中点，连接. 因为为正三角形，所以. 因为，所以，即， 所以为等腰直角三角形，则. 因为在正三角形中，，所以. 又，所以，即. 又因为，平面. 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）因为，所以，又由（1）知两两互相垂直， 以为坐标原点，分别以直线，为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则. 因为，所以为的中点，又，所以为的中点， 则，所以， 设平面的法向量为， 则，令，则可取， 易知平面的一个法向量为. 则， 由图象得平面与平面的夹角为锐二面角， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）由（2）得，. 则. 设平面的法向量为， 则，令，则可取， 所以， 于是. 设，则， 则 ， （当且仅当，即时取“”）， 所以的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $