解三角形：中线、角平分线、高线问题复习讲义-2026届高三数学二轮复习

解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 考点目录 中线问题 角平分线问题 高线问题 知识点解析 1.中线问题：在△ABC中，D为BC的中点，AD是底边BC的中线.遇到中线问题，常见的处理方法有： 处理方法 处理思路 中线的向量表示 AD=4B+AC 2 通过平方进一步转化为数量积问题 中线定理 AB2+AC2=2AD2 +2 BC =2(AD2+BD2)=2(AD2+CD2) 极化恒等式 AB.AC=AD 4 底边邻补角互补 ∠ADB+∠ADC=T,所以coS∠ADB+CoS∠ADC=0 底边公共角相等 ∠ABD=∠ABC,∠ACD=∠ACB, 所以cOS∠ABD=cOS∠ABC,cOS∠ACD=cOS∠ACB 中线的性质 1 平分△ABC的面积， S.4am-=5.4cm=23,4c 2.高线问题：在△ABC中，AD是底边BC的高线，D为垂足.遇到高线问题，常见的处理方法有： 处理方法 处理思路 等面积法 SABC= bsinC= 1 >2Gsin31bGsn4=B○.4D 2 三角函数在直角三角形中的定义 Sin B=AD AB COs B=BD AB, tan B=AD BD,(也可利用角C) 勾股定理 AB2 AD2+BD2,AC2 AD2+CD2 射影定理 若△ABC为直角三角形（∠A=90°），AD L BC, 则AD2=BDCD,AB2=BD·BC,AC2=CD.BC 3.角平分线问题：在△ABC中，角A的角平分线AD交底边BC于点D.遇到角平分线问题，常见的处理方法有： 处理方法 处理思路 角平分线定理 AB BD 在△ABC中，AD是角的角平分线，则ACCD 等面积法 因为SABC=SBD+S4CD】 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 3 AB.AC-sin∠BAC-2ABAD.sin3∠BAC+24CAD-sin2∠B1C 所以2 角平分线长公式 A 2bccos AD= 2 b+c 考点一 中线问题 【例题分析】 例1.(2026湖南常德一模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a<b<c且tan4A,tanB, tanC均为整数. (I)求A: 2设4C的中点为D,BC=i0,求BD的长 例2.(25-26高三上山东临沂期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 a(sin B+cos B)=c (I)求∠BAC: 2若e=5,a=5,D为C的中点，求4D. 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 例3.(2025福建福州一模)在△18C中，B=2,D为4B的中点， CD=3 I)若BC=V6,求4C的长： (2)若∠BAC=2∠BCD,求AC的长. 【变式训练】 变式1.(25-26高三上安徽合肥月考)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sinCcosB-cosCsinB b sinB+sinc a ()求6的值： 2若in4:sinB=v5:l,求4， (③)若a=V3,且边BC上的中线DsV7 2,求△ABC的周长. 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 变式2.(23-24高-下黑龙江哈尔滨月考》已知在三角形1BC中，AC=2,BC=4,B=30,且边4B,BC 上的中线CD,AE交于点M, (I)求AB的长： (2)求cos∠AMC的值. 变式3.(25-26高三上贵州贵阳期末)已知a,60分别为△1BC三个内角 a,b,c A.B.C 的对边，且 36=4bsinAcosC+2ccosAsinB-2asinBcosC (I)求角B: 2考®为锐角，4C边上的中线BD=35,求△BC的面积最大值。 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 考点二 角平分线问题 【例题分析】 例1.(25-26高二上湖南常德期未)在418C。 A,B,C a,b,c 中，角 所对的边分别是 。C,且acosB-3bc0s1=c-2b (1)求角A: 2已知A的角平分线交BC于点D,若c=3,△1BC的面积为25，求AD 例2.(25-26高三上山东聊城开学考试)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, (a+b-c)(b-a+c)-3ac=0 (1)求B; ②若<4C的角平分线交4C于点n,且40=20C-27 3,求BD 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 例3.(25-26高二上·天津南开·月考)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 1 cos(ccosB+bcosC)+0. (1)求角B的大小： (2)若a+c=8,b=7,a<c. ①求si血(2M+C)的值：②设D是边4C上一点，BD为角平分线，求BD的长. 【变式训练】 变式1.(25-26高二上江西月考)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,C,且 √3 c cos B-bsinC=V3a (1)求C: (2)已知∠ACB的角平分线CD交AB于点D. （1)若a+h=4,c=,求CD的长 (i)若点E满足E历=D-=B,求cos∠DCE的值。 6 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 变式2.(25-26高三上河北唐山期中)在△1BC A,B,C a,b,c 中，内角 所对的边分别为，已知向量”，“满足 n cosC 2 且m.h=acos B. (1)求B的值； 53 (2)若b=√9，△4BC的面积是2，∠ABC的角平分线BD交AC于点D ①求a+c: ②求BD的值. 变式3.(2425高一下四川成都期末)已知a,C分别为△MBC的三个内角，B,C的对边，若D为∠B1C a,b,c A,B,C 的内 角平分线，且cD=38-设 12,(a+c)(sinA-sinc)=(b-c)sinB. (1)求A的大小； (2)求角平分线AD的长度： (3)求△ABC的面积. > 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 考点三 高线问题 【例题分析】 例1.（25-26高三上湖南长沙月考)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知C=2b, A=120° (I)求cosB的值； 2)若a=45,求BC边上的高： 例2.(25-26高三上河北沧州期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且△ABC的面积， S= 28a6e (1)求△ABC的外接圆半径： ②若a=35,b=55,求△4BC中4C边上的高的值 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 例3.(25-26高三上·黑龙江哈尔滨期末)已知△1BC A,B.C 中，内角所对的边分别 a,6c,且 2sin A=sin B+sin C. ()诺A= 3a=2,求。ABC的面积s的值： 5 c b (2)若BC边上的高为2“，求角A的大小及bc的值. 【变式训练】 变式1.(25-26高三上广东汕头期末)在△4BC中，角4，B,C的对边分别为a,b,c,老siC-2V2 3, csin4=2√2 (1)求a: ) (2)若△ABC的面积为2， 求AB上的高CD. 9 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 变式2.(25-26高二上湖南期中)已知△18C的内角4，B,C的对边分别为a6,cV2cosC=sinA, (a+c)(a-c)=b(b-v2c) (1)求角C; (2)若ac=2V6 求1C边上的高. 变式3.(24-25高三上福建厦门·期中)设三角形ABC的内角AB、C的对边分别为a、b、C,且 bsinC=asinB 2 (1)求角A的大小： 3W21 (②)若b=3,BC边上的高为7，求c· 10解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 考点目录 中线问题 角平分线问题 高线问题 知识点解析 1.中线问题：在△ABC中，D为BC的中点，AD是底边BC的中线.遇到中线问题，常见的处理方法有： 处理方法 处理思路 中线的向量表示 AD=)(aB+AC),通过平方进一步转化为数量积问题 中线定理 AB+AC:=24D2+2BC 2 =2(AD2+BD2)=2(AD2+CD2) 极化恒等式 AB.AC=AD'-BC2 底边邻补角互补 ∠ADB+∠ADC=元，所以c0 SLADB+c0S∠ADC=0. 底边公共角相等 ZABD ZABC,ZACD=ZACB, 所以cos∠ABD=cos∠ABC,c0s∠ACD=coS∠ACB. 中线的性质 平分sABC的面积，S40=S.4cD=2S.48C 2.高线问题：在aABC中，AD是底边BC的高线，D为垂足.遇到高线问题，常见的处理方法有： 处理方法 处理思路 等面积法 1 S.ABC 5s○=☑Csn 今besin A三)BC·AD 三角函数在直角三角形中的定义 sin B=AD AB COsB=BD anB=AD (也可利用角C) AB BD 勾股定理 AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+CD2 射影定理 若aABC为直角三角形（∠A=90°），AD⊥BC, 则AD2=BD·CD,AB2=BD·BC,AC2=CD·BC 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 3.角平分线问题：在aABC中，角A的角平分线AD交底边BC于点D.遇到角平分线问题，常见的处理方法有： 处理方法 处理思路 角平分线定理 在a4BC中，AD是角的角平分线，则45_BD AC CD 等面积法 因为S。ABC=S。HBD+SACD· 所以404Csim∠a4C 4B·AD:sin-ZBAC+)4CD ∠BAC 角平分线长公式 2bccos AD= 2 b+c 考点 中线问题 【例题分析】 例1.(2026湖南常德一模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a<b<c且tanA,tanB, tanC均为整数. (①)求A: (②)设AC的中点为D,BC=√0，求BD的长 【答案】0号 (2)BD=V10 【详解】(1)法一： 在ABC中，因为a<b<c,所以A<B<C, 又4+B+C=,所以3A<A+B+C=π，所以0<A< 且y=tanx在0，内单调递增，所以0<an4<an-5, 2 3 又tanA为整数，所以tanA=l,即A= 4 法二： 在ABC中，因为a<b<c,所以A<B<C, 所以A为锐角，tanA>0, 假设tanA≥2，所以tanA>√5=tan亚， 3 2 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 又y=在[0写到内单调递填.所以4号 又A<B<C,所以A+B+C>3A>π，与A+B+C=π矛盾， 所以0<tanA<2, 又anA为整数，所以tanA=l,即A=天 4 (2)因为am(B+C)=am(π-A)=tan3亚-l,所以anB+anC 1-tanB.tanC =-1, 4 tanB+tanC tanB.tanC -1, 且B<C,设x=anB,y=anC,由x+y=y-l,可得y=+!-1+2 x-1 x-1 「x-1=1x-1=2 由于x≥2，x,y均为整数且x<y,x-121,解得 (y=3，或 y=2, x=2 解得 y=3'即anB=2,tanC=3, (另解：tanB+tanC=tanB.tanC-1可化为(tanB-1)(tanC-1)=2, 由tanB,tanC为正整数，且tanB<tanC, 所以tanB-1=1,tanC-1=2,即tanB=2,tanC=3): 所以sinB=2W5 cosC=f0 10 b 在ABC中，由正弦定理得sinB sin刀2 42 所以4C=b=2N5snB=2N5×25-4,CD=号4C=2 5 在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC.CD0sC=(0+22-2x2x0×0-10: 10 所以BD=V10 例2.(25-26高三上山东临沂·期末)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 a(sin B+cos B)=c. (1)求∠BAC; (2)若c=√2，a=√5，D为BC的中点，求AD 【答案】)∠B4C-: 21AD1=7 2 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 【详解】(I)在ABC中，根据正弦定理，由a(sin B+cosB)=c,可得sin∠BAC(sinB+cosB)=sinC, 又LBAC+B+C=π，所以sinC=sin(∠BAC+B)=sin∠BACcos B+cos∠BACsin B, 所以sin∠BAC(sinB+cosB)=sin∠BACcos B+cos∠3ACsin B, 即sin∠BAC sin B+sin /BAC cos B=sin∠BAC cos B+cos∠BAC sin B, 即sin∠BAC sin B=cos∠BAC sin B,又Be(O,π，所以sinB≠0， 所以sin ZBAC=cosZBAC,即tan ZBAC=l, 又∠84Ce0,,所以∠BAC=: (2)在A8c中，由1)知∠BC-至又c=反，a=5, 由余弦定理，可得a2=62+c2-2bcc0s∠B4C,即5=6+2-22b.2 化简得b2-2b-3=0,解方程得b=-1(舍)或b=3, B 又D为BC的中点，所以AD=)(AB+AC), 两边同时平方，得A0-a+4C+2AB.AC.cos∠B4C, 所以0=万，即0= 例3.(2025福建福州一模)在ABC中，AB=2,D为AB的中点，CD=√5 (I)若BC=√，求AC的长； (2)若LBAC=2LBCD,求AC的长 【答案】(1)√2； (2)2 【详解】(1)如图，在△DBC中，CD=√3，BC=V6,BD=1, 根据余弦定理，得cos∠D8C8D+BC-CD_P+小6-_V6」 2BD·BC 2×1×V6 3 4 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 D B C 又在4C中，s∠4C=5,8C-6,B-2, 根据余弦定理，得os∠ABC-AB+BC-AC2_2+6-ACV6 2AB·BC 2x2x16 3 解得AC=√2； (2)如图，延长BA,使AE=AC,则△AEC为等腰三角形，LAEC=∠ACE, ∠BAC=∠AEC+∠ACE=2∠AEC, B 又LBAC=2LBCD,所以∠BCD=∠AEC,所以∠BDC=∠BCE, 所以a0ca9G:州2gG即-S CB BD 所u2之架，则0-240 又AC=AD+DC,BC=BD+DC, 所以AC=AD+DC=AD+|DC+2AD,DCcos∠BDC, BC=BD+Dd=BD°+|Dd+2BDl,DCos∠ADc, 所以ac+acf-2ao+Dc）=2P+5]=8, 所以AC2+AC+2=8,即AC2+AC-6=0,解得AC=2或AC=-3(舍) 【变式训练】 变式1.(25-26高三上·安徽合肥月考)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sinCcosB-cosCsinB b sinB+sinC a 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 0)求分的值： (2)若sinA:sinB=√3：l,求A; 6若a:5,且边BC上的中线AD=5,求4BC的周长 2 【答案】(1)2 等 (3)3+V5 【详解】(1)由正弦定理得cosB-bcosC_b, b+c a accosB-abcosC=b2+bc 由余弦定莲得c+c2-)女+-c=+bc, 整理得c2-b2=b2+bc, 即(c-b)(c+b)=bb+c),则c-b=b, %2 (2)若sinA:sinB=√5：1，由正弦定理可知a:b=√5：1， 又由(1)知5=2 6 则a=3b,c=2b. 则cosA=b2+c2-a2_B2+4h-36:1 2bc 2bx2b=2' 又0<4<，即4=号 (3)因为边BC上的中线为AD,所以c0s∠ADB+cos∠ADC=0, BD+AD-AB CD+AD:-AC -=0」 2BD·AD 2CD·AD 若a=5,即BC=5,则BD=CD=5 又AD=5, 4B=26,4C=6,得3+7462+3+7-B=0, 2 44 44 解得b=1,则c=2, 又a=√5，所以ABC的周长为3+V3 变式2.(23-24高一下·黑龙江哈尔滨月考)已知在三角形ABC中，AC=2,BC=4,B=30°，且边AB,BC上 的中线CD,AE交于点M. 6 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 (1)求AB的长： (2)求cos∠AMC的值， 【答案】①)2√5 2岭 14 【详解】(1)在ABC中，根据余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B, 即4=16+c2-45c,得c=25, 所以AB的长为2√5； (2)在ABC中，AB=25,AC=2,BC=4, 所以AB⊥AC, 点D,E分别是AB,BC的中点， 所以4E=号BC=2,CD=√AD2+AC=万， M-号4c-cw=cD-29 3 所以cos∠AMC=4M2+CM2-AC_V7 2AM.CM 14 B D M 变式3.(25-26高三上贵州贵阳期末)己知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且 3b=4bsinAcosC +2ccosAsinB-2asinBcosC. (1)求角B; (②)若B为锐角，AC边上的中线BD=35,求ABC的面积最大值. 【答案】()B=或B=2π 3 (2)9V5 【详解】(1)在三角形中，由正弦定理得： 3sinB=4sinBsinAcosC+2sinCcosAsinB-2sinAsinBcosC. :aABC中，B∈(0，π，∴.sinB≠0，√3=4 sinAcosC+2 sinCcosA-2 sinAcosC, > 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 =2sinAcosC+sinCcos4,sin(4+C)m 2 B=或B=2π 3· (2)B为锐角，B=行， :D为AC的中点，BD=)Ba+BC,BD=}BA+BC, ) 2 ←而-4财+48c+号o8,即27=4e2+e2+ac, 根据重要不等式知：a2+c2≥2ac,.ac≤36， S,c=2 acsinB≤9√5，当且仅当a=c=6时，等号成立. 因此，ABC的面积最大值为9√3 d 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 考点二 角平分线问题 【例题分析】 例1.(25-26高二上·湖南常德·期末)在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且acosB-3 bcosA=c-2b (1)求角A; 2已知A的角平分线交BC于点D,若c=3,△ABC的面积为5，求AD 【答案】0肾 ②6v5 5 【详解】(1)因为acosB-3 bcosA=c-2b, 由正弦定理可得sinAcosB-3 sinBcosA=sinC-2sinB, sinAcosB-3sinBcosA sin(A+B)-2sinB sinAcosB cosAsinB-2sinB, 所以2 cosAsinB-sinB=0, 因为A,B∈(0，π，则sinB>0,可得2cosA-1=0, 则方改4 3: (2)由SAABC= 1 2×3b×2=23，解得b=2, 21 因为S.c=S.4m+S4co,即)c.ADsin+4Dsin=5, 2 62 62 1 即3×5AD+2×三AD=3V5, 2 解得AD=V3 5 例2.(25-26高三上山东聊城开学考试)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, (a+b-c)(b-a+c-3ac=0. (1)求B; ②)若∠4BC的角平分线交4C于点D,且HD=2DC=2 ,求BD. 3 【答案】0 号 【详解】(1)因为(a+b-c(b-a+c)-3ac=0,所以b2-(a-c2-3ac=0, 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题复习讲义 所以-ac=d+c2-,所以csB=口+c力-)因为8e0,所以B:2分 2ac 3 2)因为4D=2DC=25,所以h=V万， 3 因为D平分∠ABC,所以-48-4D-2,即c=20, a BC DC 由(1)知，-ac=a2+c2-b2,解得a=1,c=2, 因为Sac=5n+8ac,所以in8= 2a-BDsinB1 c.BDsin B 2 整理得BD=aC-2 a+c-31 例3.(25-26高二上·天津南开·月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 1 cos(ccosB+bcosC)0. (1)求角B的大小： (2)若a+c=8,b=7,a<c. ①求sin2A+C)的值；②设D是边AC上一点，BD为角平分线，求BD的长. 【答案】π 09,@5 8 1 【详解】(l)由题意及正弦定理可得：cosB(sin Ccos B+sin Bcos C)+二sinA=0, 1 可得coBsin(B+C)+2sin4=0,即cos BsinA+2sinA=0, 在ABC中，sinA>0,所以cosB=2 1 2 因为BE0,),所以B=5； (2)因为b=7,a+c=8,a<c, 由余弦定理得cosB=+c2--a2+c2-49.1 2ac 2ac 2’ 所以(a+c2-ac=49,即ac=15, 所以a=3,c=5,由正弦定理可得：a=b sin A sin B' 可得sinA=asin B_3sin2,-3V5 -sin-π= b 7 3 14 因为a<c,则4<C,则4e0引， o