专题6.4 平面向量的基本定理及坐标运算（7类必考点）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题6.4 平面向量的基本定理及坐标运算 【知识梳理】 1 【考点1：基底的概念及辨析】 4 【考点2： 平面向量基本定理的应用】 7 【考点3： 平面向量共线定理证明共线（平行）】 9 【考点4：已知向量共线（平行）求参数】 12 【考点5：用坐标表示平面向量】 15 【考点6：平面向量线性运算的坐标表示】 18 【考点7： 向量坐标的线性运算解决几何问题】 21 【考点8： 线段的定比分点】 24 【考点9： 由向量线性运算解决最值和范围问题】 27 【考点10： 利用坐标求向量的模】 32 【考点11： 由坐标判断共线（平行）问题】 35 【考点12：由向量共线（平行）求参数】 38 【考点13： 数量积的坐标表示】 40 【考点14：向量模的坐标表示】 43 【考点15： 向量垂直的坐标表示】 45 【考点16：  向量夹角的坐标表示】 47 【考点17：  】 50 【知识梳理】 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. [方法技巧] 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 2．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 3．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 4．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . [方法技巧] 求向量模的常用方法 (1)若向量是以坐标形式出现的，求向量的模可直接利用公式||＝. (2)若向量，是以非坐标形式出现的，求向量的模可应用公式||2＝2＝·，或|±|2＝(±)2＝2±2·＋2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．　　 5．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用 坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， ​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (3)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. [方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．　　 平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直 第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两向量垂直求参数 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [提醒]　注意x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．　　 【考点1：基底的概念及辨析】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题），是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用平面向量的基底的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，由向量加法法则知，，及对应的有向线段可围成一个三角形，则和不共线，可作基底，A不是； 对于B，在和中，，则和不共线，可作基底，B不是； 对于C，，和共线，不可作基底，C是； 对于D，和是以，为一组邻边的平行四边形的两条对角线向量，不共线，可作基底，D不是. 故选：C 2．（2026高一·全国·专题练习）如果是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ） A．已知实数，则向量不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量，使的实数可以不唯一 C．若有实数使，则 D．对平面α内任一向量，使的实数不一定存在 【答案】C 【详解】选项A中，由平面向量基本定理知与共面，所以A项不正确； 选项B中，由平面向量基本定理知实数有且仅有一对，所以B项不正确； 选项C中，根据基底的定义知，不共线，若，则，所以C正确； 选项D中，由平面向量基本定理知实数一定存在，所以D项不正确． 3．（24-25高二下·浙江金华·期末）已知向量是平面内的一组基底，则“，的夹角为锐角”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由向量是平面内的一组基底可得向量，不共线，再结合数量积定义及充分条件、必要条件即可求解. 【详解】∵向量是平面内的一组基底，∴向量，不共线. 由，的夹角为锐角可得，所以，所以“，的夹角为锐角”是“”成立的充分条件； 由可得，即. 又向量，不共线，所以，的夹角为锐角，“，的夹角为锐角”是“”成立的必要条件. 综上，“，的夹角为锐角”是“”成立的充要条件. 故选：C. 4．（多选）（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 【答案】BC 【分析】根据平面向量共线的定义、基底的定义逐项判断即可. 【详解】因为，当时，不一定共线，所以A错误； 因为是一组基底，所以不共线， 假设共线，则存在实数使得，那么， 则共线，与已知条件矛盾，所以不共线，所以也是一组基底，B正确； 由可知向量共线，结合点B为公共点，故A、B、C三点共线，C正确； 因为，若且，则不存在实数使得，所以D错误. 故选：BC. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知下列命题： ①若，则必存在唯一的实数，使得； ②若，则（）； ③若是表示平面内所有向量的一个基底，那么也能作为一个基底； ④若（），则，． 其中所有正确命题的序号有________． 【答案】③ 【分析】根据平面向量的基本定理、向量基底的定义逐项判断即可. 【详解】①中，平行于任意向量（），但不存在实数，使，说法错误； ②中，当时，，但，说法错误； ③中，假设与共线，则存在实数，使， 即，所以，共线， 这与是表示平面内所有向量的一个基底矛盾， 所以与不共线，它们可以作为一个基底，说法正确； ④中，当与共线时，结论不一定成立，只有当是一个基底时，才有，，说法错误． 故答案为：③ 【考点2： 平面向量基本定理的应用】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量基本定理，把作为基底，再利用向量的加减法法则把向量用基底表示出来即可. 【详解】由得， 即，所以． 故选：A 2．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，C是AB上一点，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】变形得到，故，得到答案. 【详解】， 所以，故. 故选：D 3．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，点D在边上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量基本定理得到答案. 【详解】. 故选：A 4．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用共线向量表示及平面向量线性运算即得. 【详解】如图，由可得， 则. 故选：C 5．（24-25高一下·重庆南岸·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算可得为线段的中点，再结合三角形面积公式以及边长比例关系可得结果. 【详解】取的中点为，如下图所示： 易知，又可得； 因此可得，即三点共线，且为线段的中点， 所以； 又，所以； 所以与的面积之比为. 故选：C 【考点3： 平面向量共线定理证明共线（平行）】 1．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据，则，依次验证在每个选项的条件下，若，是否有解即可. 【详解】若，则， 选项A：若，则，解得，选项A正确； 选项B：若，则，无解，选项B错误； 选项C：若，则，无解，选项C错误； 选项D：若，则，无解，选项D错误. 故答案为：A. 2．（25-26高一·上海·课堂例题）如图，已知，D、E分别是AB、AC的中点，求证；． 【答案】证明见解析 【分析】用表示，然后由共线向量定理即可证明. 【详解】， 因为D、E分别是AB、AC的中点，所以，, 所以, 所以，因为不在一条线上，所以. 3．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 4．（25-26高一·全国·假期作业）在中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又，，设，. (1)试用，表示向量； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）用，表示向量、，从而得到，即可得证. 【详解】（1）根据题意可作出下图    ∵，∴，∴， ∴. （2）因为，所以， 所以， 由，所以， 所以， 所以，所以， 所以 5．（24-25高一下·北京·期中）设，是不共线的两个向量. (1)若，，，求证：A，B，D三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，即可证明； （2）易知，根据共线向量可得存在实数使，结合相等向量的概念建立方程组，解之即可. 【详解】（1）由题意知，， ∴，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线； （2）∵，不共线，∴， 又与共线， ∴存在实数，使， ∴，解得. 【考点4：已知向量共线（平行）求参数】 1．（25-26高三上·内蒙古·期末）设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理计算即可. 【详解】由共线向量定理可知存在实数，使得， 即，又与是不共线向量， 所以解得. 故选：B． 2．（2026高一·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数____． 【答案】 【详解】依题意可知是非零向量， 因为，所以存在实数使得， 即， 而是两个不共线的向量， 所以，解得. 3．（2026高一·全国·专题练习）设两个不共线的向量、，若向量，，向量，问是否存在这样的实数、，使向量与向量共线？ 【答案】存在 【分析】根据向量平行的结论列式可探索、的关系. 【详解】假设存在实数、，使向量与向量共线， 则 由，所以. 故存在这样的实数和，只要，就能使与共线． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）设，是不共线的两个非零向量.若，，，求证：，，三点共线； （2）设，是两个不共线向量，已知，，，若有，，三点共线，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用向量加减运算可得，结合三点共线的判定即可得到结论； （2）根据三点共线可得存在实数使，结合向量的加减运算求解即可. 【详解】（1）证明：因为， ， 所以与共线，又它们有公共点，所以，，三点共线. （2）， 因为，，三点共线，所以，共线， 所以存在实数使，所以， 所以解得. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）已知中，延长到C，使，D是将分成的一个分点，和交于点E，设，， (1)用，表示向量，； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可； （2）利用与共线，可得存在实数m，使得，进而计算可得，进而计算可求实数的值． 【详解】（1）为中点， ，． ． （2）， ． 与共线， ∴存在实数m，使得， 即， 即． ，不共线，， 解得． 【考点5：用坐标表示平面向量】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，，与轴的正半轴的夹角为，则向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，再利用三角函数求出即得解. 【详解】设，则，， 故． 故选：C. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，若，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，． 故选：A． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）若将向量按逆时针方向旋转得到向量，则的坐标为____________ 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求得即可求解. 【详解】由图象可知向量终点坐标为向量， 根据三角函数的定义，可知与轴正向的夹角为， 按逆时针方向旋转到的位置，易知，． 根据三角函数的定义，，， 所以． 故答案为： 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，试分别用基底，表示向量，，，，并求出它们的坐标． 【答案】答案见解析 【分析】根据平面向量基本定理，先将所求向量用基底线性表示，即可求出其坐标. 【详解】由图可知，，所以， 同理，因，则． 因，则， 因，则． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）已知是内一点，，，设，，，且，，，试求，，的坐标． 【答案】，，． 【分析】以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，根据三角函数的定义求出点的坐标即可. 【详解】如图所示，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 因为，，所以， 则由三角函数的定义，得，，， 即，， 故，，． 【考点6：平面向量线性运算的坐标表示】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由，结合向量坐标运算计算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：D 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，点在上，且，点是的中点，若，，则____________．． 【答案】 【分析】由与，利用向量的运算法则，即可求解. 【详解】， 因为点是的中点， 所以，所以． 因为，所以． 故答案为： 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，设点，，则．即__________．即一个向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标．    【答案】 【分析】直接利用向量坐标运算求解即可. 【详解】由点，， 则， 故答案为：. 4．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，四边形是正方形，延长至，使得，若点为的中点，且，求的值． 【答案】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算列式求解. 【详解】设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，如图， 则，，， 于是，由点为的中点，得， 因此，解得，所以. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知点，，及，试求为何值时： (1)点在轴上； (2)点在轴上； (3)点在第四象限． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量的坐标运算，可得.若点在轴上，则令，求解可得的值； （2）由（1），令，求解可得的值； （3）由（1），令，求解可得的取值范围. 【详解】（1）设点的坐标为，则， . . 若点在轴上，则，； （2）若点在轴上，则，； （3）若点在第四象限，则，解得． 【考点7： 向量坐标的线性运算解决几何问题】 1．（24-25高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 2．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 【答案】B 【分析】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到的几何意义，数形结合可解. 【详解】在中，，则， 设内切圆半径为r， 则，可得， 以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，.    可得， 令，则点P在直线上， 因为点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)，即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点. 由图可知，当且时，才满足题意，故ACD错误，B正确. 故选：B. 3．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，则线段的长度为_____，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质和三个点的坐标即可得出线段的长度，结合向量即可求得点的坐标. 【详解】由题意，在平行四边形中，,,， 所以，， 所以，即， 故答案为：；. 4．（24-25高一下·甘肃陇南·月考）已知平行四边形的顶点为，求点坐标. 【答案】点的坐标为. 【分析】由条件结合平行四边形的性质可得，设点的坐标为，列方程求可得结论. 【详解】因为四边形为平行四边形， 所以，设点的坐标为， 又， 所以， 所以，， 所以，， 故点的坐标为. 5．（24-25高一下·上海青浦·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上，． (1)求的值； (2)若四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点，点，在单位圆上，，则，然后结合两角和的正切公式求解即可； （2）四边形是平行四边形，则，则，然后求解即可； 【详解】（1）由点，点，在单位圆上，， 则， 则； （2）四边形是平行四边形， 则，则， 即， 所以点的坐标为； 【考点8： 线段的定比分点】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求出向量的坐标，进而求出结果. 【详解】 由题意可得， 因为边的中线为，所以， 因为P为上靠近A的三等分点，所以， 所以点P的坐标为. 故选：B. 2．（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知点，，，且依次为的三等分点，求和的坐标. 【答案】， 【分析】根据定比分点坐标公式求出点坐标，再根据向量的坐标公式求解即可. 【详解】根据题意可知，点分所成的比分别是，， 设，利用定比分点坐标公式可得 ，，所以点坐标为， 设，利用定比分点坐标公式可得 ，，所以点的坐标为， 所以，. 4．（25-26高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】 【分析】设，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设，由题意， 所以，解得，所以点的坐标为. 5．（25-26高一·全国·随堂练习）如图，当点三等分线段时，设，，有．如果点，，…，是的等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．      【答案】，证明见解析. 【分析】根据向量的线性运算可得，，从而可得，同理可得，…，即可得结论. 【详解】解：结论． 证明如下： 证明：不妨设上述点从靠近点A处开始排列，因为， 所以， 同理可得， 所以， 又，， 所以， … 综上所述，． 【考点9： 由向量线性运算解决最值和范围问题】 1．（25-26高三上·四川眉山·月考）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件得出与的关系，再将进行化简，最后结合向量模的性质求出其取值范围. 【详解】因为，，， 两边平方可得， 化简可得，故， ， ， 因为， , ， ， 故选：. 2．（25-26高一上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，然后列出的坐标，进而根据已知条件列出方程组，从而求得结果. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则. 则，因为， 所以，设， 则. 所以，所以. 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：.    3．（2025高一下·江苏南京·专题练习）如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 【答案】2 【分析】构建直角坐标系得，令，则，利用向量线性关系的坐标表示得到，结合三角恒等变换及三角函数的性质求得最大值. 【详解】由题设，构建如图所示的直角坐标系， 则， 设，则，，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以当时， 故答案为：. 4．（24-25高一下·山东青岛·月考）已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________. 【答案】/ 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得到点及的坐标，进而得到向量坐标，由建立等式，得到点中的表达式，由点在内部，得到及的范围，借助的范围把转化成关于的二次函数的最值问题求解即可. 【详解】 如图所示，取的中点，以为坐标原点，所在的直线 分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，的边长为2， 则，， 设，则，， 因为，且， 所以，且， 即，可得. 因为，点在内部，所以， 可得，所以. 所以， 所以， 所以当时， 取最小值. 故答案为： 5．（2025·广西柳州·三模）在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为______. 【答案】 【分析】利用平面向量的坐标运算以及正弦函数的性质求解. 【详解】    如图，因为，所以以为坐标原点， 方向为轴建立平面直角坐标系，则, 设,则， 过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 则， ，所以， 所以当，即时，有最大值为， 故答案为：. 【考点10： 利用坐标求向量的模】 1．（24-25高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据题图写出向量坐标，再进行坐标运算即可. 【详解】根据题图，以题图向量起点为原点，该点横纵方向为轴， 则，，所以， 则. 故选：. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量与的夹角为，且，，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先求，再根据模长公式求解即可． 【详解】， ，则， ． 故选：B 3．（2025·上海崇明·二模）已知，则__________． 【答案】 【分析】写出坐标，由坐标得到. 【详解】，∴. 故答案为： 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）一艘船由A地向东方向航行12海里到达B地，然后由B地向东偏南60°方向航行了4海里到达C地，再从C地向南偏西30°方向航行12海里到达D地，则此时D地距离A地__________海里. 【答案】 【分析】以A为原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，求得的坐标，再求模. 【详解】以A为原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图所示： 则， 所以， 所以， 故答案为： 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）设向量，满足，，则的值为________． 【答案】 【分析】设，，根据，求出，，，再据此求出即可． 【详解】设，， 因为，所以，， ， 因为， 所以， 也即，所以， 因为， 所以 ． 故答案为：． 【考点11： 由坐标判断共线（平行）问题】 1．（24-25高一下·上海·课后作业）若两个非零向量，，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义直接判断. 【详解】令，则，，即向量与共线； 取，，满足与共线，而不成立， 所以是与共线的充分不必要条件. 故选：A 2．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，，有下列向量：①；②；③；④．其中，与平行的向量是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由坐标运算得，再根据向量平行的定理逐一判断即可． 【详解】已知，，则， 对于①，，故向量与平行； 对于②，，故向量与平行； 对于③，，故向量与平行； 对于④，由于，故向量与不平行； 所以与平行的向量是①②③中的向量． 故选：C． 3．（2026·江西·模拟预测）已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线，计算两个向量的坐标，根据向量共线的坐标表示可得实数t不能取的值. 【详解】由题可知，，. 若点能构成三角形，则三点不共线，即向量与不共线， 所以，即，所以. 故选：C. 4．（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可； （2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可 【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为 （2）由题意，，又，故，且不共线，故 5．（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可； （2）用向量证明，结合与有公共点，即可求证. 【详解】（1）以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图. 令，则，因为，， 所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . 因为，， 所以，即. （2）因为M为的中点，所以， 所以，， 所以，所以. 又与有公共点，所以D，M，B三点共线. 【考点12：由向量共线（平行）求参数】 1．（25-26高二上·重庆·期末）已知，，三点共线，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由三点坐标求出向量的坐标，根据三点共线得出向量共线，再向量共线的坐标公式列方程，即可解出的值. 【详解】根据题意，向量，向量， 因为三点共线，所以向量共线， 则，解得. 故选：D. 2．（25-26高三下·甘肃兰州·开学考试）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，.若，且方向相反，则（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】法一：由共线判定定理即可求解，法二：由向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】方法一：依题意可设（）， 则， 所以解得， 故选：B. 方法二：因为， 所以，解得或. 根据向量，方向相反可知， 当时，，符合题意. 当时，，，两向量方向相同，不符合题意，舍去. 故选：B 4．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，，且，则可能的有（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】AD 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，以及向量共线的坐标表示，求出参数值即可. 【详解】因为向量， 所以，． 因为， 所以， 即，解得或． 故选：AD. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）设为平面内的四点，且，，． (1)若，求点的坐标； (2)设向量，，若与平行，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，通过相等向量，坐标相同列出等式求解即可； （2）由向量平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】（1）设，由，得， 即， 所以解得， 所以点D的坐标为． （2）因为， ， 所以， ． 由与平行， 得． 所以． 【考点13： 数量积的坐标表示】 1．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知向量，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．15 【答案】C 【分析】利用数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可得. 故选：C 2．（24-25高一下·福建福州·月考）边长为1的正方形ABCD上有一动点，则向量的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分在正方形的四条边上的情况分别求解即可． 【详解】如图，分别以为轴建立平面直角坐标系， 则， 设，则，，所以， 当在边或上时，，所以， 当在边上时，，， 当在边上时，，， 所以的取值范围是． 故选：A. 3．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，，点满足，则（    ） A． B． C．12 D．18 【答案】C 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则， 设，由得：，即 解得，故， 所以， 故选：C 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立以为原点，所在直线为轴的平面直角坐标系，分别写出的坐标，再通过向量的坐标运算即可求出向量的数量积. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系. ∵，， ∴， ∵点在边上，且，∴， ∴，， ∴. 故选：D. 5．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知平面向量，，若，则________． 【答案】 【分析】由题设中数量积的坐标运算求出x的值，再直接根据向量模的计算公式计算即可． 【详解】， 则，解得， 所以，则． 【考点14：向量模的坐标表示】 1．（25-26高三上·湖北黄石·期末）已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．5 D． 【答案】A 【分析】先通过数量积的坐标运算求得的值，再由模的计算公式即得答案. 【详解】∵， ∴，解得. ∴， 故选：A. 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）已知向量与向量垂直，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用向量垂直的坐标公式和向量的模的坐标公式求解. 【详解】由题意，设，则，， 解得或，则或． 故选：CD. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，求的值. 【答案】5 【分析】利用向量坐标的加法运算和向量坐标的模的运算求解. 【详解】， ． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，．求： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据向量坐标运算规则求出，再计算数量积即可； （2）由的坐标，根据求模公式计算即可. 【详解】（1）， ． （2） ． 5．（2026高一·全国·专题练习）（1）设平面向量.求的坐标和模的大小. （2）已知向量．若，求． 【答案】（1），；（2）5或 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示可直接求出坐标，进而求出模. （2）根据题意，结合向量模长和数量积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）因为，所以，即， 解得或． 当时，． 当时，． 综上，5或. 【考点15： 向量垂直的坐标表示】 1．（2026·湖南岳阳·一模）已知向量，若，则（    ） A．-2 B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，所以， 若，则，解得， 故选：D. 2．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的坐标运算，可求得，再利用向量的基底表示法，即可求解. 【详解】由，得， 将坐标代入得，解得， 故， 设， 则解得 即． 故选：C 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知，若，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】应用向量线性关系的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题设，又， 所以，可得. 故选：C 4．（25-26高三上·湖北·月考）已知向量，若，则（   ） A．-5 B． C． D．5 【答案】C 【分析】首先根据向量的坐标运算求解，然后再根据向量垂直的判断条件求解参数即可. 【详解】由题意可得，则， 即，解得． 故选：C 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在正方形中，，分别是，的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】方法一，利用基底，，表示向量和，再根据向量数量积运算公式证明；方法二，建立平面直角坐标系，利用坐标法，证明. 【详解】（方法一）设，，则，， 又，， 所以 故，即． （方法二）建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2， 则，，，，，． 因为，所以，即． 【考点16：  向量夹角的坐标表示】 1．（25-26高三上·陕西商洛·期末）已知向量，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设条件先求出的坐标，再由两向量夹角的坐标公式计算即得. 【详解】因为， 所以． 故选：A. 2．（2026·湖北十堰·一模）若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量线性关系及夹角的坐标运算求得，再由二倍角余弦公式求值. 【详解】由题设， 所以， 所以. 故选：A 3．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）角顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在的终边上，点，且，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，求得，，结合向量的夹角公式，求得，分类讨论，即可求解. 【详解】又点P在的终边上，且，可设，所以， 又由，可得，则， 可得， 当时，；当时，. 故选：AC 4．（2026高三·全国·专题练习）已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解． 【详解】以的中点为原点，如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ，可得. 故选：D． 5．（25-26高一下·全国·单元测试）已知向量，其中，则______，与夹角的余弦值为______． 【答案】 10 【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 设与的夹角为， 则． 故答案为：10； 【考点17：  投影向量的坐标表示】 1．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期中）（多选题）已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】由向量垂直的坐标表示，夹角公式可判断AB，由投影向量计算公式可判断D，由共线定理可判断C. 【详解】对于A：， 由，得，解得：，错误； 对于B：，正确； 对于C：由，确定，正确； 对于D：在上的投影向量为，正确. 故选：BCD. 2．（多选）（24-25高一下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，.记在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对A，由，得，利用向量的坐标运算求解；对B，利用向量的坐标运算求出的坐标，再根据两向量平行的坐标关系判断；对C，利用向量夹角公式求解判断；对D，根据投影向量的定义求解判断. 【详解】对于A，由，得， 所以，故A正确； 对于B，因为，又， 所以，所以与不平行，故B错误； 对于C，因为， 又，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 3．（多选）（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 【答案】AB 【分析】由得，，AB选项，使用模长公式和夹角公式进行求解；C选项，利用两向量平行满足的条件进行判断；D选项，利用投影向量的概念求解． 【详解】向量，，则， ∵向量满足，∴，解得或， 又因为，所以，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，， ，， 向量与的夹角为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，，由于，所以不平行，故C错误； 对于D，向量在方向上的投影向量的长度为，故D错误． 故选：AB． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，，则_____________，在上的投影的数量为_____________． 【答案】 / / 【分析】由向量夹角余弦公式结合数量积、模长以及投影数量的坐标运算公式即可计算求解. 【详解】由题； 在上的投影数量． 故答案为：； 5．（24-25高一下·四川成都·期末）已知平面向量 (1)求与的夹角的余弦值； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量加、减法的坐标运算求出与的坐标，代入向量夹角公式计算两向量夹角的余弦值即可. （2）设，求出的坐标，代入投影向量公式计算即可. 【详解】（1），， . （2）设，则 向量在向量上的投影向量为. 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 平面向量的基本定理及坐标运算 【知识梳理】 1 【考点1：基底的概念及辨析】 4 【考点2： 平面向量基本定理的应用】 5 【考点3： 平面向量共线定理证明共线（平行）】 5 【考点4：已知向量共线（平行）求参数】 7 【考点5：用坐标表示平面向量】 9 【考点6：平面向量线性运算的坐标表示】 10 【考点7： 向量坐标的线性运算解决几何问题】 12 【考点8： 线段的定比分点】 13 【考点9： 由向量线性运算解决最值和范围问题】 15 【考点10： 利用坐标求向量的模】 15 【考点11： 由坐标判断共线（平行）问题】 16 【考点12：由向量共线（平行）求参数】 18 【考点13： 数量积的坐标表示】 18 【考点14：向量模的坐标表示】 19 【考点15： 向量垂直的坐标表示】 20 【考点16：  向量夹角的坐标表示】 21 【考点17：  】 21 【知识梳理】 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. [方法技巧] 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 2．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 3．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 4．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . [方法技巧] 求向量模的常用方法 (1)若向量是以坐标形式出现的，求向量的模可直接利用公式||＝. (2)若向量，是以非坐标形式出现的，求向量的模可应用公式||2＝2＝·，或|±|2＝(±)2＝2±2·＋2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．　　 5．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用 坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， ​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (3)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. [方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．　　 平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直 第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两向量垂直求参数 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [提醒]　注意x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．　　 【考点1：基底的概念及辨析】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题），是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（2026高一·全国·专题练习）如果是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ） A．已知实数，则向量不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量，使的实数可以不唯一 C．若有实数使，则 D．对平面α内任一向量，使的实数不一定存在 3．（24-25高二下·浙江金华·期末）已知向量是平面内的一组基底，则“，的夹角为锐角”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（多选）（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知下列命题： ①若，则必存在唯一的实数，使得； ②若，则（）； ③若是表示平面内所有向量的一个基底，那么也能作为一个基底； ④若（），则，． 其中所有正确命题的序号有________． 【考点2： 平面向量基本定理的应用】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）设为所在平面内一点，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，C是AB上一点，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，点D在边上，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·重庆南岸·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【考点3： 平面向量共线定理证明共线（平行）】 1．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一·上海·课堂例题）如图，已知，D、E分别是AB、AC的中点，求证；． 3．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 4．（25-26高一·全国·假期作业）在中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又，，设，. (1)试用，表示向量； (2)求证：. 5．（24-25高一下·北京·期中）设，是不共线的两个向量. (1)若，，，求证：A，B，D三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 【考点4：已知向量共线（平行）求参数】 1．（25-26高三上·内蒙古·期末）设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．2 B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数____． 3．（2026高一·全国·专题练习）设两个不共线的向量、，若向量，，向量，问是否存在这样的实数、，使向量与向量共线？ 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）设，是不共线的两个非零向量.若，，，求证：，，三点共线； （2）设，是两个不共线向量，已知，，，若有，，三点共线，求的值. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）已知中，延长到C，使，D是将分成的一个分点，和交于点E，设，， (1)用，表示向量，； (2)若，求实数的值． 【考点5：用坐标表示平面向量】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，，与轴的正半轴的夹角为，则向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，若，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）若将向量按逆时针方向旋转得到向量，则的坐标为____________ 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，试分别用基底，表示向量，，，，并求出它们的坐标． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）已知是内一点，，，设，，，且，，，试求，，的坐标． 【考点6：平面向量线性运算的坐标表示】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，点在上，且，点是的中点，若，，则____________．． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，设点，，则．即__________．即一个向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标．    4．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，四边形是正方形，延长至，使得，若点为的中点，且，求的值． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知点，，及，试求为何值时： (1)点在轴上； (2)点在轴上； (3)点在第四象限． 【考点7： 向量坐标的线性运算解决几何问题】 1．（24-25高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（    ）    A．1 B．2.5 C．4 D．5.5 3．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，则线段的长度为_____，点的坐标为_____． 4．（24-25高一下·甘肃陇南·月考）已知平行四边形的顶点为，求点坐标. 5．（24-25高一下·上海青浦·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点在单位圆上，． (1)求的值； (2)若四边形是平行四边形，求点的坐标． 【考点8： 线段的定比分点】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知点，，，且依次为的三等分点，求和的坐标. 4．（25-26高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 5．（25-26高一·全国·随堂练习）如图，当点三等分线段时，设，，有．如果点，，…，是的等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．      【考点9： 由向量线性运算解决最值和范围问题】 1．（25-26高三上·四川眉山·月考）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 3．（2025高一下·江苏南京·专题练习）如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 4．（24-25高一下·山东青岛·月考）已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为________________. 5．（2025·广西柳州·三模）在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为______. 【考点10： 利用坐标求向量的模】 1．（24-25高一下·湖南株洲·期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量与的夹角为，且，，则（   ） A． B．4 C． D． 3．（2025·上海崇明·二模）已知，则__________． 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）一艘船由A地向东方向航行12海里到达B地，然后由B地向东偏南60°方向航行了4海里到达C地，再从C地向南偏西30°方向航行12海里到达D地，则此时D地距离A地__________海里. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）设向量，满足，，则的值为________． 【考点11： 由坐标判断共线（平行）问题】 1．（24-25高一下·上海·课后作业）若两个非零向量，，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，，有下列向量：①；②；③；④．其中，与平行的向量是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 3．（2026·江西·模拟预测）已知，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不能取的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 5．（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 【考点12：由向量共线（平行）求参数】 1．（25-26高二上·重庆·期末）已知，，三点共线，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高三下·甘肃兰州·开学考试）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，.若，且方向相反，则（    ） A． B． C．2 D．5 4．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，，且，则可能的有（   ） A．1 B．5 C． D． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）设为平面内的四点，且，，． (1)若，求点的坐标； (2)设向量，，若与平行，求实数的值． 【考点13： 数量积的坐标表示】 1．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知向量，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．15 2．（24-25高一下·福建福州·月考）边长为1的正方形ABCD上有一动点，则向量的范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，，点满足，则（    ） A． B． C．12 D．18 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知平面向量，，若，则________． 【考点14：向量模的坐标表示】 1．（25-26高三上·湖北黄石·期末）已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．5 D． 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）已知向量与向量垂直，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，求的值. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，．求： (1)； (2)． 5．（2026高一·全国·专题练习）（1）设平面向量.求的坐标和模的大小. （2）已知向量．若，求． 【考点15： 向量垂直的坐标表示】 1．（2026·湖南岳阳·一模）已知向量，若，则（    ） A．-2 B．0 C．2 D．4 2．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知，若，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 4．（25-26高三上·湖北·月考）已知向量，若，则（   ） A．-5 B． C． D．5 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在正方形中，，分别是，的中点，求证：． 【考点16：  向量夹角的坐标表示】 1．（25-26高三上·陕西商洛·期末）已知向量，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北十堰·一模）若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）角顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在的终边上，点，且，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·全国·单元测试）已知向量，其中，则______，与夹角的余弦值为______． 【考点17：  投影向量的坐标表示】 1．（多选）（24-25高一下·吉林长春·期中）（多选题）已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C． D．在上的投影向量为 2．（多选）（24-25高一下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，.记在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一下·广东清远·期中）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C． D．向量在方向上的投影向量的长度为 4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，，则_____________，在上的投影的数量为_____________． 5．（24-25高一下·四川成都·期末）已知平面向量 (1)求与的夹角的余弦值； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标． 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $