精品解析：北京师范大学附属中学2025-2026学年九年级下学期学情自测 数学试题

2025-2026初三第二学期数学学科开学适应性练习 一、选择题（共8小题，每题2分，共16分） 1. 中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 风车纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据顶点式的顶点坐标为：，判断即可. 【详解】抛物线中， ∴抛物线的顶点坐标是 故选B. 【点睛】此题考查的是顶点式的顶点坐标，掌握顶点式的顶点坐标为：是解决此题的关键. 3. 不透明的袋子中仅有1个红球、2个黄球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率公式，根据概率公式，白球数量除以总球数即可得出概率． 【详解】解：∵袋子中仅有1个红球、2个黄球和3个白球，从袋子中随机摸出一个球， ∴摸出的球是白球的概率是． 故选：C． 4. 如图，点A，B，C，D在上，若 ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形，利用圆的内接四边形对角相加等于 直接解题即可． 【详解】解：∵点A，B，C，D在上， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 5. 如图，在正方形网格中，一个飞机图案绕某点旋转一定角度后能与另一个飞机图案重合，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心的确定． 根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，连接两个飞机图形的飞机头，连接两个飞机图形的两个左翼， 利用格点性质以及勾股定理可求出两个飞机头的点到的距离都为， ∴点在两个飞机头的连线的垂直平分线上， 两个左翼到点的距离都为， ∴点在两个左翼的连线的垂直平分线上， ∴旋转中心为点， 故选：D． 6. 二次函数中的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 2 7 若，是关于x的一元二次方程 的两个实数根，其中，则的值所在的范围是（ ） A. 到之间 B. 到0之间 C. 1到2之间 D. 2到3之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，结合当时， ，得到当时， ，再进一步作答即可． 【详解】解：∵当时，y的值都为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时， ， ∴当时， ， 又∵时，， ∴ 的一个较小的实数根， 故选：B． 7. 已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为4是解题的关键． 根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数图象上，故②正确； 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，，以O为圆心，长为半径作弧交x轴于点C，点D为弧上一个动点，线段绕点B逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点D在弧上从点A运动到点C的过程中，有如下四个结论： （1)当时，点D恰为弧的中点 （2)线段的长的取值范围是 （3)点D与点F运动路径的长度均为 （4)线段 长的最小值为 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. （1)（2) B. （2)（3) C. （1)（2)（4) D. （1)（3)（4) 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理判断（1）即可；根据旋转的性质和勾股定理得出，然后分别求出 的最小值和最大值，即可判断（2）；将线段 绕点B逆时针旋转 得到线段，连接，证明，得出，则点F在以为圆心，（即 ）为半径的圆弧上运动，此圆弧的半径为2，所对的圆心角为 ，然后根据弧长公式求解即可判断（3）；连接 ，过作轴于H，根据正方形的判定与性质、勾股定理可求出，根据“两点之间，线段最短”可得出，则当C、F、三点共线，且F在线段上时， 最小，即可判断（4） 【详解】解：（1）如图， ∵， ∴点D恰为弧的中点，故（1）正确； （2）∵，， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， 当D和A重合时， 最小，最小值为， 当D和C重合时， 最大，最大值为， ∴， ∴，故（2）错误； （3）点D运动路径的长度为， 将线段 绕点B逆时针旋转 得到线段，连接， ， 则，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点F在以为圆心，（即 ）为半径的圆弧上运动，此圆弧的半径为2，所对的圆心角为 ， ∴点F运动路径的长度为，故（3）正确； （4）连接 ，过作轴于H， 则四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当C、F、三点共线，且F在线段上时， 最小，最小值为，故（4）正确， 综上，正确的有（1）（3）（4）． 【点睛】构造“手拉手”模型，确定点F的运动轨迹是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点，则k的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 把代入反比例函数解析式求出k的值． 【详解】解：把点代入反比例函数得：， 故答案为：． 10. 分解因式：x2y-4y=____． 【答案】y(x+2)(x-2) 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)， 故答案为：y(x+2)(x-2)． 【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解． 11. 如图，内接正五边形的半径为5，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可． 【详解】解：如图所示：连接、． ∵内接正五边形的半径为5， ∴，， ∴的长为． 12. 已知，两点都在抛物线上，那么_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，两点都在抛物线上， ∴、是方程的两个根， 整理方程得， 对于一元二次方程（），根据根与系数的关系，两根之和为， 在方程中，，， ∴． 13. 投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为________（结果精确到小数点后一位）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了模拟试验，由频率估计概率，近似数等知识点，掌握用频率估计概率是解题的关键．结合折线统计图，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在 附近，据此即可估计小新投壶一次投中的概率． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在 附近，投中的概率约为 ，结果保留到小数点后一位为 ， 故答案为： ． 14. 如图，点M的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转 得到线段，则点N的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，是解题的关键．过点M作轴于点A，过点N作轴于点B，根据，得出 ， ，证明，得出，，即可得出答案． 【详解】解：过点M作轴于点A，过点N作轴于点B，如图所示： 则， ∵， ∴ ， ， 根据旋转可得：， ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 15. 在 中， ， ，，则 的内切圆的半径为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和三角形的内切圆的定义，掌握三角形的内切圆的定义是解题关键． 先利用勾股定理求出斜边的长，通过三角形的面积列方程求解即可． 【详解】解：如图，作示意图如下， 由三角形的内切圆的定义可知，内切圆的圆心O到三角形的三边的距离相等，等于半径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 16. 某工厂安排70名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件．在该时段内，每名工人只能加工A零件2件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少10件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利24元；加工B零件总数为10件时，每件获利100元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少2元；加工C零件每件获利48元． （1）当安排37名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为______； （2）合理安排工人分工可使工厂在规定时段内获利最大，最大利润为______元． 【答案】 ①. 11 ②. 4006 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，理解题意找到等量关系列出方程和函数表达式是解题的关键． （1）设加工A零件的工人数为x，加工C零件的工人数为z，根据总工人数70和A、C零件总数相等，列出方程组解答即可； （2）设加工A零件的工人数为x，加工B零件的工人数为y，加工C零件的工人数为z，总利润为W，根据题意得到，，分别表示出A、B、C零件的利润表达式，进而将W表示为x的函数，利用二次函数性质求最大值即可解答． 【详解】解：（1）设加工A零件的工人数为x，加工C零件的工人数为z， 依题意得 解得 ； （2）设加工A零件的工人数为x，加工B零件的工人数为y，加工C零件的工人数为z，总利润为W， 则， ∴ ∴， ∵B零件总数至少10件， ∴， ∴ ∵A零件每件获利24元，利润为； C零件每件获利48元，利润为； B零件总数为y，每件获利为，利润为； ∴总利润， ∵，x为整数，且，， ∴当时，， 时，， ∵， ∴当加工A零件的工人数为17人时，可获得最大利润，最大利润为4006元． 故答案为：11；4006． 三、解答题（共68分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）把化为最简二次根式，根据绝对值的性质去掉的绝对值符号，利用零指数幂的性质求出的值，代入的特殊三角函数值，再将所有化简后的结果代入原式，依次进行加减运算并合并同类二次根式即可； （2）代入、、的特殊三角函数值，把化为最简二次根式，再将化简后的结果代入原式先进行乘法运算，最后合并同类二次根式即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程或不等式组 （1） （2） 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（）可采用配方法：先将常数项移到等式右侧，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，最后通过开平方求出方程的两个根； （）先分别求解每个不等式：对第一个不等式，通过移项、系数化为得到解集；对第二个不等式，同样通过移项、系数化为得到解集，再取两个解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解： ， ∴． 【小问2详解】 解： 解①不等式：， ， 解②不等式：， ， ∴不等式的解集为： ． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先把所给分式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式． ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，在中，，延长 至，使得 ，过点 ，分别作， ，与交于点，连接 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ， ∴四边形 是平行四边形． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形 是平行四边形，得出从而证出四边形是矩形，即可证明结论； （2）通过，设 ， ，在 中用勾股定理列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵在中，，， ∴设 ， ， ∴ ， ∴ ， 在 中，，， ∵， ∴， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法． 21. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出 的取值范围． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图形的性质，掌握待定系数法，图象法确定不等式的解集是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据（1）得到函数解析式，结合图形即可得到取值范围． 【小问1详解】 解：∵函数与的图象交于点， ∴， 解得，， ∴， 解得， ； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ，， ∴当时，对于函数 ，则，对于函数，则， ∴当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值， 如图所示， ∴， ∴ 的取值范围为． 22. 北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是 ．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高． 答：这只风筝的骨架的总高． 23. 如图，中， ，点O在上，以点O为圆心， 为半径的圆与 相切于点D，交于点E，连接． （1）求证： ； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由是的切线，可得，证得，进而可得，根据平行线的判定定理可得 ； （2）连接CE，由，，，可得 是等边三角形，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得，再由特殊角的三角函数和勾股定理即可解答． 【小问1详解】 证明：连接， 是的切线， ，即， 在和 中， ， ， ， ， 又， ， ； 【小问2详解】 解：如图， ，， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）知， ， 在 中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在 中， ，， ， 在中，，， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定以及直角三角形的性质，掌握圆的切线性质是解题的关键． 24. 某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于灾害救援、地形勘察等场景．将机器人看作一点，其起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O起跳，落在水平地面上的点M，以点O为原点，所在直线为x轴，过点O且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，其与机器人的运动路线在同一平面内的截面是矩形．机器人从障碍物上方越过，且与障碍物无接触，则视为顺利越过障碍物．实验测得，运动路线最高点距水平地面 ，，，． 若机器人从点处起跳，其他所有条件均不变． （1）当 时，判断它能否跳跃一次顺利越过障碍物，并说明理由； （2）当它跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域 内（不含点E，点F）时，， ，直接写出p的取值范围． 【答案】（1）不能，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，运动路线最高点距水平地面 ，列出顶点式，把代入，求出函数解析式，然后利用从点处起跳，求出新的抛物线解析式，进而代入 ，判断此时 的值是否大于1即可； （2）机器人从点处起跳，此时机器人运动轨迹的新抛物线解析式为：，然后将三点的坐标分别代入，分别求出，进而可知的取值范围． 【小问1详解】 解：不能，理由如下： ∵机器人运动路线最高点距水平地面 ，且， ∴机器人运动路线的最高点为， ∴可设二次函数的解析式为：， 又∵函数过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 若机器人从起跳，相当于抛物线上移2个单位，此时机器人运动轨迹的新抛物线解析式为：， 当 时，此时， ∴当 时，它跳跃一次不能越过障碍物； 【小问2详解】 解：机器人从点处起跳，此时机器人运动轨迹的新抛物线解析式为：， 当跳跃一次顺利越过障碍物时，此时代入解析式得到，解得， ∵要求当它跳跃一次顺利越过障碍物， ∴； ∵机器人要落在水平地面上的区域 内（不含点E，点F），， ， ∴， 当机器人落在点时，代入解析式得到，解得； 当机器人落在点时，代入解析式得到，解得； ∴综上，当机器人跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域EF内（不含点E，点F）时，的取值范围为． 25. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． （1）如果抛物线经过点，求的值； （2）如果对于，，都有，求取值范围； （3）如果对于，或，存在，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）把点代入解析式求得 ，然后利用对称轴公式即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，都有，则，求得；当时，都有，则，求得；即可得； （3）因为，所以抛物线开口向上，根据二次函数的性质，分当或时，当时，两种情况讨论即可得出答案． 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上， 当，即时，都有， 则， 解得， ∴； 当，即时，都有， 则， 解得， ∴； 综上所述，； 【小问3详解】 解：由（1）知， ∴， ∴二次函数的解析式为：， ∵， ∴， 即， 当或时，n最小值为， ∴一定存在， 当时，当取1或者12时n有最小值， 即n的最小值为或， ∵存在， ∴或， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， 综上所述，或． 26. 对于和的弦，以为边的正方形为关于的“关联正方形”在平面直角坐标系中，已知点，点，以点为圆心，的长为半径作 ，点为 上的任意一点（不与点重合）． （1）当 时，若直线上存在点在关于 的“关联正方形”上，求的取值范围； （2）若点在关于 的“关联正方形”上，点与点 的最大距离 ，当 取最小值时，直接写出此时 和 的值． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据题意，找出符合题意的圆，再利用切线的性质求出线段长度即可； （2）圆外一点与圆上一点距离，当三点共线时，有最大和最小值． 【小问1详解】 如图，关于的“关联正方形”上的所有的点在以和点为圆心，为半径，以，和，为半径的五个圆上及圆内，由直线上存在点在关于的“关联正方形”上， ①当直线与相切时，设切点为，交轴于点 ，交 轴于点 ∵， ∴， ∴，此时； ②当直线与相切时，设切点为，交 轴于点 ， ∵， ∴，此时， 综上所述，． 【小问2详解】 如图，当时， 取最小值，即点 在点正上方时， 故有，解得：； 如图， 由上可知：， 取最小值， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 故写：． 【点睛】本题考查了圆的切线，有关计算，解题的关键是灵活运用圆的性质，涉及圆的最值问题难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026初三第二学期数学学科开学适应性练习 一、选择题（共8小题，每题2分，共16分） 1. 中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 风车纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 不透明的袋子中仅有1个红球、2个黄球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C，D在上，若 ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形网格中，一个飞机图案绕某点旋转一定角度后能与另一个飞机图案重合，则旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 6. 二次函数中的x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 2 7 若，是关于x的一元二次方程 的两个实数根，其中，则的值所在的范围是（ ） A. 到之间 B. 到0之间 C. 1到2之间 D. 2到3之间 7. 已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，，以O为圆心， 长为半径作弧交x轴于点C，点D为弧上一个动点，线段绕点B逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点D在弧上从点A运动到点C的过程中，有如下四个结论： （1)当时，点D恰为弧的中点 （2)线段的长的取值范围是 （3)点D与点F运动路径的长度均为 （4)线段 长的最小值为 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. （1)（2) B. （2)（3) C. （1)（2)（4) D. （1)（3)（4) 二、填空题（共8小题，每题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点，则k的值是________． 10. 分解因式：x2y-4y=____． 11. 如图，内接正五边形的半径为5，则的长为_________． 12. 已知，两点都在抛物线上，那么_________． 13. 投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为________（结果精确到小数点后一位）． 14. 如图，点M的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转 得到线段，则点N的坐标为________． 15. 在 中， ， ，，则 的内切圆的半径为________． 16. 某工厂安排70名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件．在该时段内，每名工人只能加工A零件2件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少10件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利24元；加工B零件总数为10件时，每件获利100元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少2元；加工C零件每件获利48元． （1）当安排37名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为______； （2）合理安排工人分工可使工厂在规定时段内获利最大，最大利润为______元． 三、解答题（共68分） 17. 计算 （1） （2） 18. 解方程或不等式组 （1） （2） 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，，延长 至，使得 ，过点 ，分别作， ，与交于点，连接 ． （1）求证：四边形 是矩形； （2）连接，若，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出 的取值范围． 22. 北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是 ．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 23. 如图，中， ，点O在上，以点O为圆心， 为半径的圆与 相切于点D，交于点E，连接． （1）求证： ； （2）连接，若，，求的长． 24. 某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于灾害救援、地形勘察等场景．将机器人看作一点，其起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O起跳，落在水平地面上的点M，以点O为原点，所在直线为x轴，过点O且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系 ．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，其与机器人的运动路线在同一平面内的截面是矩形．机器人从障碍物上方越过，且与障碍物无接触，则视为顺利越过障碍物．实验测得，运动路线最高点距水平地面 ，，，． 若机器人从点处起跳，其他所有条件均不变． （1）当 时，判断它能否跳跃一次顺利越过障碍物，并说明理由； （2）当它跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域 内（不含点E，点F）时，， ，直接写出p的取值范围． 25. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． （1）如果抛物线经过点，求的值； （2）如果对于，，都有，求取值范围； （3）如果对于，或，存在，直接写出的取值范围． 26. 对于和的弦，以为边的正方形为关于的“关联正方形”在平面直角坐标系中，已知点，点，以点为圆心，的长为半径作 ，点为 上的任意一点（不与点重合）． （1）当 时，若直线上存在点在关于 的“关联正方形”上，求的取值范围； （2）若点在关于 的“关联正方形”上，点与点 的最大距离 ，当 取最小值时，直接写出此时 和 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $