专题04 平面向量数量积运算﹑数量积的坐标表示（四大题型）专项训练-2025-2026学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版必修第二册）

专题04 平面向量数量积运算﹑数量积的坐标表示 【题型1 坐标判断向量共线问题】 【题型2 由向量共线求参数】 【题型3 向量垂直的坐标表示】 【题型4 平面向量数量积运算的坐标表示】 【题型1 坐标判断向量共线问题】 1．下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据基底的定义依次判断各项对应向量是否能作为基底即可. 【详解】由于基底是一对不共线的非零向量构成， A：为零向量，不符； B：由，即向量共线，不符； C：由，即向量共线，不符； D：，是一对不共线的非零向量，符合. 故选：D 2．下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由单位向量的意义和共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对于A，因为向量的模为，故A错误； 对于B，因为，且向量的模为，故B正确； 对于C，因为向量的模为，故C错误； 对于D，因为，所以向量与向量不共线，故D错误. 故选：B. 3．已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【答案】B 【分析】先利用向量坐标运算得到相应的向量，再计算向量共线所满足的关系式，看是否为0，得到结论. 【详解】A选项，由于，故不共线， 所以A、B、C三点不共线，A错误； B选项，， 由于，故共线，A、B、D三点共线，B正确； C选项，， 由于，故不共线，A、C、D三点不共线，C错误； D选项，，故不共线，B、C、D三点不共线，D错误. 故选：B 4．在下列各组向量中，可以作为基底的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量中基底的要求，即共线向量不能作为作基底，即可得出结论． 【详解】对于A，，所以，共线，不能作为基底； 对于B，，所以，共线，不能作为基底； 对于C，，所以，共线，不能作为基底； 对于D，，所以，不共线，可以作为基底． 故选：D． 5．若向量，，则与共线的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出向量的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出合适的选项. 【详解】若向量，，则， D选项满足要求，而其它选项不合题意. 故选：D. 6．已知，，，且，则（    ） A．，且与方向相同 B．，且与方向相反 C．，且与方向相同 D．，且与方向相反 【答案】B 【分析】对A，B，先根据向量的坐标表示求出，再进行判断即可；对C，D，根据向量平行的条件即可判断. 【详解】解：对A，B，由，，得：， 当时，， ， 即与方向相反，故A错误，B正确； 对C，D，当时，， ， 若， 则存在非零实数， 使， 即 ， 方程无解， 故与不平行，故C，D错误. 故选：B. 【题型2 由向量共线求参数】 1．已知向量，.若，且方向相反，则（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】法一：由共线判定定理即可求解，法二：由向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】方法一：依题意可设（）， 则， 所以解得， 故选：B. 方法二：因为， 所以，解得或. 根据向量，方向相反可知， 当时，，符合题意. 当时，，，两向量方向相同，不符合题意，舍去. 故选：B 2．已知向量，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C．1或 D．2或 【答案】D 【分析】根据题意得，再根据向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，整理得，解得或 所以实数的值为2或 故选：D 3．已知向量，则“ ”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据共线向量的坐标表示，以及充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，则，此时，所以 ； 若 ，则由向量共线定理可得，解得或. 因此，“ ”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．已知，，且与共线，则的值为（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】利用向量共线的坐标表示建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，，且与共线， 所以，解得，故A正确. 故选：A 5．已知向量.若与共线，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算法则求，结合向量 的坐标表示列方程求. 【详解】因为， 所以，又，与共线， 所以， 所以， 故选：C. 【题型3 向量垂直的坐标表示】 1．已知向量，若，则（   ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算与内积公式，结合两向量垂直的坐标条件可求解 【详解】， ， ，即，解得： 故选：B 2．已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用坐标法求解向量的数量积，若，则它们的数量积为0. 【详解】由，则,解得. 故选：B. 3．已知向量，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出的坐标，再根据数量积的坐标运算即可求出. 【详解】由题意可得，，则得. 故选：C. 4．已知向量，，若，且满足，则（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，即可得解 【详解】根据题意向量，， 所以， 又，则， 化简得. 故选：D 5．已知向量，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算以及垂直向量的坐标表示，求得参数值，利用向量模长的坐标计算公式，可得答案. 【详解】由，且，则，解得， 即，可得，所以. 故选：B. 【题型4 平面向量数量积运算的坐标表示】 1．已知向量，，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：A． 2．已知向量，则在上的投影长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】求出在在上的投影向量的坐标，进而求得投影向量的模即可． 【详解】因为， 所以，， 所以在上的投影向量为，所以， 所以在上的投影长为. 故选：C. 3．已知向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】， 则，， 故，又， 则与的夹角. 故选：B. 4．已知平面向量，则（   ） A． B． C．10 D．15 【答案】B 【分析】根据向量坐标化线性运算和向量数量积的坐标运算即可得到答案. 【详解】，， 则. 故选：B. 5．已知向量 若 与 的夹角为锐角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角余弦公式和向量数量积的坐标公式可求出参数的范围. 【详解】因为，所以. 由于向量与的夹角为锐角，所以，并去掉两者同向共线的情况， 则，且，解得， 则的取值范围为. 故选：C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面向量数量积运算﹑数量积的坐标表示 【题型1 坐标判断向量共线问题】 【题型2 由向量共线求参数】 【题型3 向量垂直的坐标表示】 【题型4 平面向量数量积运算的坐标表示】 【题型1 坐标判断向量共线问题】 1．下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 4．在下列各组向量中，可以作为基底的一组是（    ） A． B． C． D． 5．若向量，，则与共线的向量可以是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，且，则（    ） A．，且与方向相同 B．，且与方向相反 C．，且与方向相同 D．，且与方向相反 【题型2 由向量共线求参数】 1．已知向量，.若，且方向相反，则（    ） A． B． C．2 D．5 2．已知向量，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C．1或 D．2或 3．已知向量，则“ ”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，且与共线，则的值为（    ） A． B．6 C． D．8 5．已知向量.若与共线，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【题型3 向量垂直的坐标表示】 1．已知向量，若，则（   ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 2．已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知向量，，若，且满足，则（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 5．已知向量，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【题型4 平面向量数量积运算的坐标表示】 1．已知向量，，则（    ） A．2 B．4 C． D． 2．已知向量，则在上的投影长为（    ） A． B．1 C． D．2 3．已知向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，则（   ） A． B． C．10 D．15 5．已知向量 若 与 的夹角为锐角，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $