专题03 平面向量基本定理及坐标表示（五大题型）专项训练-2025-2026学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版必修第二册）

专题03 平面向量基本定理及坐标表示 【题型1 基底的概念及辨析】 【题型2 用基底表示向量】 【题型3 平面向量基本定理的应用】 【题型4 用坐标表示平面向量】 【题型5 平面向量线性运算】 【题型1 基底的概念及辨析】 1．设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知是平面内的一个基底，则可以与向量构成平面另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 【题型2 用基底表示向量】 1．已知O，A，B三点不共线，设，，且P为靠近A点的线段的一个三等分点，则等于（   ） A． B． C． D． 2．在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，D为BC中点，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 4．设D为所在平面内一点，，则（ ） A． B． C． D． 5．在三角形中，M是BC的中点．若，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．在平行四边形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 平面向量基本定理的应用】 1．四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．在中，C是AB上一点，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．如图，在中，与CE的交点为，则（   ） A． B． C． D． 6．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（   ）    A． B． C． D． 7．如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 【题型4 用坐标表示平面向量】 1．，，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．已知点，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知为坐标原点，点，，是线段AB的中点，那么向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．已知A(3，7)，B(5，2)，把向量按向量=(1，2)平移后，所得向量的坐标是（    ） A．(2，－5) B．(1，－7) C．(0，4) D．(3，－3) 【题型5 平面向量线性运算】 1．若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知向量，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 3.已知，，,则（   ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量基本定理及坐标表示 【题型1 基底的概念及辨析】 【题型2 用基底表示向量】 【题型3 平面向量基本定理的应用】 【题型4 用坐标表示平面向量】 【题型5 平面向量线性运算】 【题型1 基底的概念及辨析】 1．设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由平面向量基本定理可知，非零、不共线的一组向量可作为平面向量的基底，由此即可选出答案. 【详解】对于A：不存在实数，使得，即它们不共线，故可以作为基底，A正确； 对于B：，即它们共线，故不能作为一组基底，B错误； 对于C：，即它们共线，故不能作为一组基底，C错误； 对于D：，即它们共线，故不能作为一组基底，D错误， 故选：A. 2．，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用平面向量的基底的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，由向量加法法则知，，及对应的有向线段可围成一个三角形，则和不共线，可作基底，A不是； 对于B，在和中，，则和不共线，可作基底，B不是； 对于C，，和共线，不可作基底，C是； 对于D，和是以，为一组邻边的平行四边形的两条对角线向量，不共线，可作基底，D不是. 故选：C 3．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 4．已知是平面内的一个基底，则可以与向量构成平面另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断所给向量与已知向量是否共线可得结论. 【详解】易得向量与向量平行，不能构成空间的一个基底， 由题意及向量加法的平行四边形法则与向量减法法则可知与不共线， 所以与可构成平面的一个基底． 故选：C. 【题型2 用基底表示向量】 1．已知O，A，B三点不共线，设，，且P为靠近A点的线段的一个三等分点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算求解． 【详解】 . 故选：B 2．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C. 3．在中，D为BC中点，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知用表示出，结合已知确定参数值. 【详解】因为D为BC中点，所以， 由题意，即. 故选：D 4．设D为所在平面内一点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，以此可解决此题． 【详解】根据题意可知. 故选：B. 5．在三角形中，M是BC的中点．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法运算和数乘运算直接求解. 【详解】根据题意，. 故选：D 6．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用向量的线性运算即可求得. 【详解】由图知，. 故选：C. 7．在平行四边形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：C. 【题型3 平面向量基本定理的应用】 1．四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由，，，则， ，故A错误； 对于C选项，由，，所以， 则 ，故C正确； 对于D选项，，故D错误. 对于B选项，由C知，又， 相加得，故B错误. 故选：C. 2．在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用共线向量表示及平面向量线性运算即得. 【详解】如图，由可得， 则. 故选：C 3．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案. 【详解】，故， ，故， 因为三点共线，故，解得. 故选：C 4．在中，C是AB上一点，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】变形得到，故，得到答案. 【详解】， 所以，故. 故选：D 5．如图，在中，与CE的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三点共线的结论及平面向量基本定理，将、向量都用、表示，进而得到，再利用边的关系得到面积比例即可. 【详解】因为、、三点共线，，所以， 又因为，所以， 设，则， 即，消可解得，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 6．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题可知，点在上， ， 又， ，解得. 故选：C． 7．如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】因为是的中点，则 ， 、、三点共线， ， ， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：D．    【题型4 用坐标表示平面向量】 1．，，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量坐标的定义计算即得. 【详解】因，，则. 故选：C. 2．已知点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】为，所以， 则． 故选：A 3．已知，，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标表示可得答案. 【详解】设,则， 解得 . 故选:B 4．已知为坐标原点，点，，是线段AB的中点，那么向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中点坐标公式以及向量的坐标运算即可求解. 【详解】由中点坐标公式可得,所以, 故选：B 5．平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由求解即可. 【详解】设，由平行四边形可得，即，解得，故 . 故选：D. 6．已知，，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点P的坐标，利用向量的坐标运算结合相等向量，列式计算作答. 【详解】设，则，，因， 从而有，解得， 所以P点的坐标为. 故选：A 7．已知A(3，7)，B(5，2)，把向量按向量=(1，2)平移后，所得向量的坐标是（    ） A．(2，－5) B．(1，－7) C．(0，4) D．(3，－3) 【答案】A 【分析】由向量平移后与原向量相等可得． 【详解】由题意，∴． 故选：A， 【点睛】本题考查求向量的坐标，考查向量平移．向量平移只改变表示向量的有向线段的位置，不改变向量的大小与方向，即平移后的向量与原向量是相等向量． 【题型5 平面向量线性运算】 1．若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用向量加减法的坐标表示计算即得. 【详解】由， 则，，故． 故选：C. 2．已知向量，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可 【详解】向量， 所以向量, 故选：D 3.已知，，,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解判断. 【详解】由，，，得， 所以. 故选：B 4．已知平面向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算坐标表示即可求得结果. 【详解】因为向量，，所以， 故选：C 5．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解. 【详解】∵，， ∴. 故选：C. 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性坐标运算计算求解. 【详解】因为，则. 故选：C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $