专题02 向量的数乘运算、数量积（五大题型）专项训练-2025-2026学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版必修第二册）

专题02 向量的数乘运算、数量积 【题型1 向量的线性运算综合】 【题型2 向量共线定理及有关运算】 【题型3 向量的数量积的有关运算】 【题型4 投影的有关运算】 【题型5 与向量模有关运算】 【题型1 向量的线性运算综合】 1．等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用平面向量线性运算性质进行求解即可. 【详解】. 故选：D 2．设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算化简求解. 【详解】由题意可得， 故选：D 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】 ． 故选：C． 4．在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由，则. 故选：D. 5．若，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】解： ， ． 故选：A． 【题型2 向量共线定理及有关运算】 1．若向量，，则下列向量中与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算得到，再由向量共线的判定逐个判断即可； 【详解】因为向量，， 所以． 又，所以B选项与共线． 而ACD三个选项均和不存在倍数关系， 故选：B． 2．已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为__________. 【答案】 【分析】根据平面向量的共线定理即可求解. 【详解】因为向量与共线， 所以存在唯一的实数k,使得成立, 即，所以，解得， 故答案为：. 3．已知向量，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则实数=______. 【答案】/ 【分析】根据平面向量的共线定理，利用向量相等的概念列出方程组，即可求出λ的值. 【详解】解：因为向量与共线，所以， 即， 化简得， 因为向量，是两个不共线的向量， 所以，解得， 所以. 故答案为： 4．已知两个非零向量与不共线. (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和共线. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论； （2）利用共线定理构造方程组即可解得. 【详解】（1）由可得； 显然，即共线， 又因为它们有公共点， 所以可得三点共线； （2）若和共线，且向量与不共线， 则存在实数满足，因此， 解得； 即存在，使和共线. 5．设，是不共线的两个非零向量. (1)若，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数k的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【详解】（1）因为， 而 所以，所以与共线，且有公共点， 所以三点共线； （2）因为与共线， 所以存在实数，使得， 因为与不共线，所以，解得，所以. 【题型3 向量的数量积的有关运算】 1．若向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的数量积的定义计算即可得出结果. 【详解】∵，. ∴，，，∴， 且，则， 故选：B. 2．已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（    ） A．12 B．8 C．4 D．14 【答案】D 【分析】根据数量积的运算律，结合定义即可求解. 【详解】, 故选：D 3．已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用单位向量的定义､数量积运算性质即可得出. 【详解】因为， 所以． 故选：C 4．已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【详解】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C 5．已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算及数量积的定义求解即可. 【详解】因为. 故选：B. 6．已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数量积求夹角的余弦值即可. 【详解】因为，即， 又，，向量与的夹角为， 所以，解得. 故选：D. 【题型4 投影的有关运算】 1．已知 ，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两边平方可得，再利用投影向量的定义求解. 【详解】由，则，即， ，即， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B. 2．已知且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 3．已知向量，满足，，则在上的投影的数量为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用投影数量的定义来求解即可. 【详解】由题得在上的投影的数量为. 故选：B 4．已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的求法即可求解. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 因为，为单位向量，所以，所以与的夹角为. 故选：C. 5．已知向量满足，且在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为，且在上的投影向量为，则， 所以. 故选：B. 【题型5 与向量模有关运算】 1．已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可. 【详解】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 2．已知向量，满足，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意可得，再根据模长关系运算求解. 【详解】，又，，， 则，所以. 故选：D. 3．已知单位向量的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据已知条件及数量积的运算律即可得解. 【详解】由已知有，. 故. 故选：C. 4．已知，，，则（   ） A．4 B．2 C．12 D．13 【答案】B 【分析】对 两边平方可得答案. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B. 5．若均是单位向量，且，则（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】通过平方即可求解. 【详解】由题意， ，则． 故选：B 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 向量的数乘运算、数量积 【题型1 向量的线性运算综合】 【题型2 向量共线定理及有关运算】 【题型3 向量的数量积的有关运算】 【题型4 投影的有关运算】 【题型5 与向量模有关运算】 【题型1 向量的线性运算综合】 1．等于（   ） A． B． C． D． 2．设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（    ） A． B． C． D． 4．在中，，则（   ） A． B． C． D． 5．若，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【题型2 向量共线定理及有关运算】 1．若向量，，则下列向量中与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为__________. 3．已知向量，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则实数=______. 4．已知两个非零向量与不共线. (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和共线. 5．设，是不共线的两个非零向量. (1)若，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数k的值. 【题型3 向量的数量积的有关运算】 1．若向量满足，且，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（    ） A．12 B．8 C．4 D．14 3．已知单位向量满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 6．已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【题型4 投影的有关运算】 1．已知 ，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．已知且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，则在上的投影的数量为（   ） A． B． C． D．2 4．已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．已知向量满足，且在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【题型5 与向量模有关运算】 1．已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，，则（    ） A． B．2 C． D． 3．已知单位向量的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D．3 4．已知，，，则（   ） A．4 B．2 C．12 D．13 5．若均是单位向量，且，则（   ） A． B．3 C．6 D．9 1 学科网（北京）股份有限公司 $