专题6.3 组合（11类必考点）讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

专题6.3 组合 【知识梳理】 1 【考点1：组合意义理解】 2 【考点2： 组合数的计算】 4 【考点3： 利用组合数公式证明】 4 【考点4：组合数方程和不等式】 6 【考点5：组合数的性质及应用】 6 【考点6：实际问题中的组合计数问题】 7 【考点7：代数中的组合计数问题】 8 【考点8：几何组合计数问题】 9 【考点9： 分组分配问题】 10 【考点10： x+y+z=n的整数解的个数】 11 【考点11：  其他组合计数模型】 11 【知识梳理】 1．组合 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关， 无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可 以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 2．组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： ==. 这里，n,m∈，并且mn. ②阶乘表示：=. 规定：=1. 3．组合数的性质 (1)性质1：= 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后， 剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当m>时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2：=+ 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：=+. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 4．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则 分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数 原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【考点1：组合意义理解】 1．（2026高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 2．（多选）（2026高二·全国·专题练习）下面问题中，是组合问题的是（    ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合. 3．（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）给出下列问题，是组合问题的是（   ） A．从四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法 B．从四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法 C．四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场 D．四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果 4．（25-26高二·全国·课堂例题）判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)集合中含三个元素的子集的个数是多少？ (2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一名，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ (3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ 【考点2： 组合数的计算】 1．（24-25高二下·广东肇庆·期末）若，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25高二下·山西·期末）已知，则（   ） A．2 B．3 C．2或5 D．3或4 3．（24-25高二下·河北石家庄·期末）计算：________ 4．（25-26高二下·全国·课堂例题） ________，________. 5．（24-25高二下·广东中山·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4). 【考点3： 利用组合数公式证明】 1．（2026高三·全国·专题练习）证明： 2．（25-26高二上·上海·假期作业）求证：. 3．（24-25高三下·全国·课后作业）求证：． 4．（24-25高二下·广东河源·月考）现有个球，球的编号从1到，从中任取2个球，取法总数记为． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 5．（25-26高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 【考点4：组合数方程和不等式】 1．（25-26高二上·安徽亳州·期末）若，则（    ） A．2或6 B．2或3 C．3 D．6 2．（24-25高二下·山西·月考）已知，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 3．（24-25高二下·山东烟台·月考）已知，则的值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．2或6 4．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知，则__________ 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）解不等式：. 【考点5：组合数的性质及应用】 1．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·全国·课后作业）对所有满足的自然数，方程所表示的不同椭圆的个数为________． 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）之间有什么关系？ 5．（25-26高二下·全国·课后作业）已知，求的值． 【考点6：实际问题中的组合计数问题】 1．（2026·贵州贵阳·一模）某校教学楼的某层楼设置有8级台阶，某同学上楼梯时只能每步跨越一级台阶或两级台阶，则该同学从楼梯底部登上第8级台阶的不同走法有（   ） A．32 B．33 C．34 D．35 2．（25-26高二上·河南南阳·期末）将4名医生和5名护士安排到A，B两个社区义诊，要求每个社区至少有1名医生和2名护士，每名医生和护士都要参加且只能到一个社区义诊，则不同的分配方案有（   ） A．110种 B．140种 C．220种 D．280种 3．（2026·贵州安顺·一模）某栋教学楼的某层楼设置有8级台阶，某同学上楼梯时只能每步跨越一级台阶或两级台阶，则该同学从楼梯底部登上第8级台阶的不同走法有（    ） A．32 B．33 C．34 D．35 4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河北·一模）截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 【考点7：代数中的组合计数问题】 1．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·期中）有一枚质地均匀的六面骰，六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷该骰子 6 次，依次记录每次抛掷后的点数为 ，记事件 为偶数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）设集合，现从S中随机选取两个不同的数和，则数组是方程（其中，为未知数）的解的概率为______． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知集合， （1）任取两个数，其和能被3整除的取法有______种； （2）任取三个数，能构成等差数列的取法有______种； （3）任取三个数，能构成等比数列的取法有______种. 5．（2026高二·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数？ (1)四位数是奇数； (2)四位数大于3125． 【考点8：几何组合计数问题】 1．（2026高三·全国·专题练习）从正方体6个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·单元测试）圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是（   ） A．16 B．24 C．32 D．48 3．（25-26高二上·河南驻马店·期末）已知直线，异面，上有，，，四个点，上有，，三个点，这七个点中任意两点可连成直线，其中异面直线有（    ）对 A．37 B．54 C．66 D．67 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，点，，，分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面内的四点组共有______个． 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 【考点9： 分组分配问题】 1．（2026·黑龙江·一模）黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每个地点至少需要1名学生，每位志愿者仅去一个地点，则不同的分配方法种数为（   ） A．81 B．72 C．36 D．12 2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（   ） A．450 B．540 C．630 D．900 3．（2026·安徽淮南·一模）2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆，淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等7位学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务．现将7位学生随机分为3组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）某社区组织文化活动，现有书法艺术展示､传统戏曲表演､民间手工艺制作､古典诗词朗诵､现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）上海影城是国内和东南亚地区最大的影城，共有九座风格各异的电影放映厅，SR立体声音响效果震撼．第一放映厅：共有1080个座，红色基调热烈辉煌，银幕雄居全国之冠．上海影城建筑风格独特典雅，环境恢宏气派，功能设施齐全，作为世界九大电影节之一——上海国际电影节的主会场，已成为上海标志性的文化建筑． 某次电影展，有12部参赛影片，影展组委会两天在某一影院播映这12部电影，每天6部，其中有2部电影要求不在同一天放映，共有多少种不同的排片方案（同一天的影片不考虑播放顺序）？ 【考点10： x+y+z=n的整数解的个数】 1．（25-26高二上·山东潍坊·月考）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 2．（24-25高二下·广东东莞·月考）方程的正整数解的个数为（   ） A．15 B．35 C．40 D．20 3．（24-25高二下·内蒙古·期末）方程的正整数解共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 4．（24-25高二下·山东·月考）方程的正整数解共有（   ） A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 5．（24-25高二下·安徽安庆·月考）已知，，，则关于，，的方程共有（    ）组不同的解. A．36 B．45 C．50 D．24 【考点11：  其他组合计数模型】 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，有两堆同样的盒子，一堆3个，一堆7个，现需要将这些盒子搬走，每次只能从其中一堆搬走最上面的一个盒子，共有_________种不同的搬法．（用数字作答） 2．（24-25高二下·陕西·月考）已知集合A和集合B各含有12个元素，含有4个元素，集合C满足：①；②；③C中含有3个元素，则同时满足上面条件的集合C的个数为________. 3．（25-26高三上·浙江·月考）已知数列共10项，且.若满足的共有奇数个，则满足条件的不同数列的个数为__________． 4．（2026高三·全国·专题练习）若三个正整数的位数之和为8，且组成的8个数码能排列为2，0，2，4，0，9，0，8，则称为“幸运数组”，例如是一个幸运数组．满足的幸运数组的个数为_____． 5．（2026高三·全国·专题练习）某种密码的传递常用手指敲击硬物传递声响的方式进行，三短（即连续敲击三下）表示“0”，三短一长（即连续敲击三下后短暂停顿再敲一下）表示“1”，若用手指敲击“三短”“三短”“三短一长”，则对方收到的密码指示为-“001”．现某人尝试用5个“0”和5个“1”传递密码，则每个“0”之前“1”的个数多于“0”的个数的概率为______． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题6.3 组合 【知识梳理】 1 【考点1:组合意义理解】 2 【考点2: 组合数的计算】 5 【考点3: 利用组合数公式证明】 6 【考点4:组合数方程和不等式】 8 【考点5:组合数的性质及应用】 9 【考点6:实际问题中的组合计数问题】 11 【考点7:代数中的组合计数问题】 14 【考点8:几何组合计数问题】 17 【考点9: 分组分配问题】 21 【考点10: x+y+z=n的整数解的个数】 23 【考点11: 其他组合计数模型】 25 【知识梳理】 1.组合 (1)组合的定义 一般地,从n个不同元素中取出m(mn,n,m∈)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点:要求n个元素是不同的;“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关, 无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同:只要两个组合中的元素完全相同,无论元素的顺序如何,都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系:都是从n个不同元素中取出m(mn,n,m∈)个元素. 区别:排列是把取出的元素按顺序排成一列,它与元素的顺序有关系,而组合只要把元素取出来就可 以,取出的元素与顺序无关.可总结为:有序排列,无序组合. 2.组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(mn,n,m∈)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数,用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示: ==. 这里,n,m∈,并且mn. ②阶乘表示:=. 规定:=1. 3.组合数的性质 (1)性质1:= 这个性质反映了组合数的对称性,其实际意义:从n个不同元素中取出m(mn,n,m∈)个元素后, 剩下(n-m)个元素,因而从n个不同元素中取m个元素的组合,与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的,因此取法是一样多的. 利用这个性质,当m>时,我们可以不直接计算,而是改为计算,这样可以简化运算. (2)性质2:=+ 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用,在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn,n,m∈)个元素时,对于某一个特定元素,只存在取与不取两种情况,如果取这个元素,则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素,有种取法;如果不取这个元素,则需从剩下的n个元素中取出m个元素,有种取法. 由分类加法计数原理可得:=+. 在应用中,要注意这个性质的变形、逆用等. 4.分组分配问题 (1)解题思路:先分组后分配,分组是组合问题,分配是排列问题. (2)分组方法:①完全均匀分组,分组后除以组数的阶乘;②部分均匀分组,有m组元素个数相同,则 分组后除以m!;③完全非均匀分组,只要分组即可. (3)分配方法:①相同元素的分配问题,常用“挡板法”;②不同元素的分配问题,利用分步乘法计数 原理,先分组后分配;③有限制条件的分配问题,采用分类求解. 【考点1:组合意义理解】 1.(2026高二 全国 专题练习)给出下列问题: ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数; ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数; ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数; ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数; ⑤把3本相同的书分给5个学生,求每人最多得1本的分法种数. 其中是组合问题的为( ) A.①⑤ B.①② C.①③⑤ D.①③ 【答案】C 【分析】根据组合的定义分别判断即可. 【详解】对于①,集合的元素与顺序无关,故①是组合问题; 对于②,从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关,故②是排列问题; 对于③,从7本不同的书中选出5本给某一个同学,与顺序无关,故③是组合问题; 对于④,因为飞机有起始站与终点站,故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关,故④是排列问题; 对于⑤,因为书是相同的,所以问题就等价于从5人中选出3人,故⑤是组合问题. 故选:C. 2.(多选)(2026高二 全国 专题练习)下面问题中,是组合问题的是( ) A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B.从40人中选5人组成篮球队 C.从100人中选2人抽样调查 D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合. 【答案】BCD 【分析】抓住组合问题的核心是 “只选不排”(不考虑选取元素的顺序),排列问题则 “既选又排”(需考虑元素顺序),依次分析选项即可. 【详解】选项A,组成三位数时,数字顺序会影响结果(如 123 和 321 是不同的数),属于排列问题; 选项 B,选 5 人组成篮球队,只需确定人员,无需考虑队员的顺序,属于组合问题; 选项 C,抽样调查只需确定 2 人,无需考虑这 2 人的顺序,属于组合问题; 选项 D,集合中的元素具有无序性,选 2 个数组成集合不考虑顺序,属于组合问题; 故选:BCD 3.(多选)(25-26高二下 全国 课后作业)(多选)给出下列问题,是组合问题的是( ) A.从四名学生中选2名学生完成一件工作,有多少种不同的选法 B.从四名学生中选2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法 C.四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场 D.四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果 【答案】AC 【分析】根据有序与否,判断所述问题是排列问题还是组合问题. 【详解】对于A,2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题.所以A正确. 对于B,2名学生完成两件不同的工作,有顺序,是排列问题.所以B错误. 对于C,单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题.所以C正确. 对于D,冠亚军是有顺序的,是排列问题.所以D错误. 故选:AC. 4.(25-26高二 全国 课堂例题)判断下列问题是排列问题还是组合问题. (1)集合中含三个元素的子集的个数是多少? (2)某小组有9位同学,从中选出正、副班长各一名,有多少种不同的选法?若从中选出2名代表参加一个会议,有多少种不同的选法? 【答案】(1)组合问题 (2)选出正、副班长各一名是排列问题,选代表参加会议是组合问题. 【分析】(1)考虑到集合中的元素是无序的,故是组合问题; (2)选正、副班长时要考虑顺序,选代表参加会议不用考虑顺序,得到答案. 【详解】(1)由于集合中的元素是无序的,一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合.这是一个组合问题. (2)选正、副班长时要考虑顺序,所以是排列问题;选代表参加会议是不用考虑顺序的,所以是组合问题. 5.(25-26高二下 全国 课堂例题)判断下列问题是组合问题还是排列问题: (1)设集合,则集合A的子集中含有3个元素的有多少个? (2)某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种车票?多少种票价? (3)3人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法? (4)把3本相同的书分给5个学生,每人最多得1本,有几种分配方法? 【答案】(1)组合问题 (2)排列问题;组合问题 (3)排列问题 (4)组合问题 【分析】根据排列与组合的定义进行判断即可. 【详解】(1)因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题. (2)因为甲站到乙站,与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题;但票价与顺序无关,甲站到乙站,与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题. (3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种,按一定次序分给3个人去干,故是排列问题. (4)因为3本书是相同的,无论把3本书分给哪三人,都不需考虑他们的顺序,故是组合问题. 【考点2: 组合数的计算】 1.(24-25高二下 广东肇庆 期末)若,则( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C 【分析】根据排列数和组合数的计算公式,列出方程,求出结果即可. 【详解】由题意得,,解得. 故选:C. 2.(24-25高二下 山西 期末)已知,则( ) A.2 B.3 C.2或5 D.3或4 【答案】C 【分析】根据组合数的计算即可求解. 【详解】由于 因此,故或, 故选:C 3.(24-25高二下 河北石家庄 期末)计算:_ 【答案】 【分析】根据排列数和组合数的公式进行求解即可. 【详解】, 故答案为: 4.(25-26高二下 全国 课堂例题) _,_. 【答案】 153 18 【分析】直接利用组合数计算公式计算即可. 【详解】,. 故答案为:153 ;18. 5.(24-25高二下 广东中山 月考)计算: (1); (2); (3); (4). 【答案】(1)210 (2)1 (3)210 (4)120 【分析】(1)(3)根据排列数的计算公式求解即可; (2)(4)根据组合数的计算公式求解即可; 【详解】(1). (2). (3). (4). 【考点3: 利用组合数公式证明】 1.(2026高三 全国 专题练习)证明: 【答案】证明见解析 【分析】从个不同元素中取个不同元素的种数与余下的个元素的种数相同可得结论. 【详解】从个不同元素中取个不同元素的种数为, 与余下的个元素的种数应该相同,从而. 2.(25-26高二上 上海 假期作业)求证:. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件,利用组合数公式两边分别计算即得. 【详解】, , 所以. 3.(24-25高三下 全国 课后作业)求证:. 【答案】证明见解析 【分析】由恒等式,得到,即,结合累乘法,即可得证. 【详解】证明:设左边,则由恒等式, 得 , 所以, 整理得, 因为 ,所以. 4.(24-25高二下 广东河源 月考)现有个球,球的编号从1到,从中任取2个球,取法总数记为. (1)求数列的通项公式; (2)证明:. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)选取问题利用组合数公式即可得到通项公式; (2)利用组合数计算公式即可证明. 【详解】(1)由题意可得:. (2)证明:因为, 所以. 5.(25-26高二上 江西 期末)已知,. (1)证明: ; (2)证明: . 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)由组合数公式计算即可; (2)由组合数公式计算即可. 【详解】(1)因为, , 所以; (2)因为, , 所以. 【考点4:组合数方程和不等式】 1.(25-26高二上 安徽亳州 期末)若,则( ) A.2或6 B.2或3 C.3 D.6 【答案】A 【分析】根据组合数性质解方程即可. 【详解】由题意可得或, 解得或. 经检验均满足题意. 故选:A. 2.(24-25高二下 山西 月考)已知,若,则( ) A.1 B.2 C.3 D.1或3 【答案】C 【分析】根据排列组合公式列方程求参数. 【详解】由题意知,且,解得. 故选:C 3.(24-25高二下 山东烟台 月考)已知,则的值是( ) A.2 B.4 C.6 D.2或6 【答案】D 【分析】根据组合数的性质得到方程求解. 【详解】因为已知,由组合数的性质得到或, 解得或. 故选:D. 4.(25-26高二上 甘肃兰州 期末)已知,则_ 【答案】或 【分析】根据组合数的性质,建立关于的方程求解. 【详解】由组合数的性质,得或,解得或. 经检验和均满足且,故的值为4或7. 故答案为:4或7 5.(25-26高二下 全国 课堂例题)解不等式:. 【答案】 【分析】利用组合数的性质和计算公式进行求解即可. 【详解】,. .. ∴,. ∴不等式的解集为. 【考点5:组合数的性质及应用】 1.(25-26高二上 江苏南通 期末)已知均为正整数,则下列各式中运算结果不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用排列数和组合数 的定义及递推公式,逐一验证各选项. 【详解】选项A: ,,两边相等,A正确. 选项B:,两边相等,B正确. 选项C:这是组合数的杨辉恒等式,直接成立, C正确. 选项D:,取, 左边,右边左右两边显然不相等,等式不成立,D错误. 故选: 2.(多选)(25-26高二下 全国 课后作业)等于( ) A. B. C. D. 【答案】BD 【分析】根据组合数的性质求解即可. 【详解】由组合数的性质得:. 故选:BD 3.(25-26高二下 全国 课后作业)对所有满足的自然数,方程所表示的不同椭圆的个数为_. 【答案】6 【分析】先判断满足条件的组合数可能的取值,再进一步判断这些值有相同的值有4个,进而可得结果. 【详解】因为,所以可以是,,,,,,,,,共个值. 再由组合数的性质可知,,,共有4个值. 故能表示个不同的椭圆. 故答案为:6 4.(25-26高二下 全国 课堂例题)之间有什么关系? 【答案】 【分析】根据组合数性质结合组合数公式计算求解. 【详解】根据组合数公式计算得 . 所以. 5.(25-26高二下 全国 课后作业)已知,求的值. 【答案】91 【分析】由已知得,化简可得,求出,代入,根据组合数的性质及定义可求其值. 【详解】由已知得, 所以, 两边同乘以,可得, 整理得, 解得或. 要求的值,故, 所以, 于是. 【考点6:实际问题中的组合计数问题】 1.(2026 贵州贵阳 一模)某校教学楼的某层楼设置有8级台阶,某同学上楼梯时只能每步跨越一级台阶或两级台阶,则该同学从楼梯底部登上第8级台阶的不同走法有( ) A.32 B.33 C.34 D.35 【答案】C 【分析】根据给定条件,利用组合计数问题,结合分类加法计数原理列式求解. 【详解】跨0次2级(全跨1级),共走8步,有种走法; 跨1次2级,剩余6次1级,共走7步,选1步跨2级,有种走法; 跨2次2级,剩余4次1级,共走6步,选2步跨2级,有种走法; 跨3次2级,剩余2次1级,共走5步,选3步跨2级,有种走法; 跨4次2级(无剩余1级),共走4步,有种走法, 所以不同走法种数为. 2.(25-26高二上 河南南阳 期末)将4名医生和5名护士安排到A,B两个社区义诊,要求每个社区至少有1名医生和2名护士,每名医生和护士都要参加且只能到一个社区义诊,则不同的分配方案有( ) A.110种 B.140种 C.220种 D.280种 【答案】D 【分析】分1名医生和2名护士一组、1名医生和3名护士一组和2名医生和2名护士一组三种情况讨论即可. 【详解】1名医生和2名护士一组,另一组3名医生和3名护士有种分配方案; 1名医生和3名护士一组,另一组3名医生和2名护士有种分配方案; 2名医生和2名护士一组,另一组2名医生和3名护士有种分配方案. 故满足要求的不同的分配方案有种. 故选:D. 3.(2026 贵州安顺 一模)某栋教学楼的某层楼设置有8级台阶,某同学上楼梯时只能每步跨越一级台阶或两级台阶,则该同学从楼梯底部登上第8级台阶的不同走法有( ) A.32 B.33 C.34 D.35 【答案】C 【分析】根据给定条件,利用组合计数问题,结合分类加法计数原理列式求解. 【详解】跨0次2级(全跨1级),共走8步,有种走法; 跨1次2级,剩余6次1级,共走7步,选1步跨2级,有种走法; 跨2次2级,剩余4次1级,共走6步,选2步跨2级,有种走法; 跨3次2级,剩余2次1级,共走5步,选3步跨2级,有种走法; 跨4次2级(无剩余1级),共走4步,有种走法, 所以不同走法种数为. 故选:C 4.(2026 黑龙江哈尔滨 模拟预测)从装有3个黑球和3个白球(球的大小、质地完全相同)的不透明袋子中随机取出2个球,已知三个白球的编号分别为1,2,3,三个黑球的编号分别为4,5,6,则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意,任意取的2个球共有种,再计算符合条件的情况,再求概率即可. 【详解】根据题意,任意取的2个球共有种, 取出的2个球的编号之和为奇数, 则取出的2个球的编号必须为一个奇数一个偶数,且至少有一个为黑球, 所以,一个白球(奇数)一个黑球(偶数)有种, 一个白球(偶数)一个黑球(奇数)有种, 两个黑球(一奇一偶)共有种,故概率为. 故选:C. 5.(2026 河北 一模)截至2025年10月28日,国际乒联公布的最新世界排名,男单前5名中有2名中国运动员,3名外国运动员,女单前5名均为中国运动员.若从这10人中随机选取4人进行技术分析,则这4人中至少有一名外国运动员,且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有_种. 【答案】145 【分析】需先根据“男运动员不少于女运动员”确定男女人数组合,再分别计算每种组合下“至少有一名外国运动员”的情况数,最后求和. 【详解】若这4人中有4名男运动员,则不同的选取情况共有种; 若这4人中有3名男运动员,1名女运动员,则不同的选取情况共有种, 若这4人中有2名男运动员,2名女运动员,则不同的选取情况有种, 故满足条件的所有不同情况共有种. 故答案为:145 【考点7:代数中的组合计数问题】 1.(25-26高二上 辽宁辽阳 期末)从不大于30的素数中随机选取两个素数,则被选取的两个素数之和为30的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】首先列举出不大于30的10个素数,再分别求出从10个素数中任取两个素数的情况,以及这些情况中两个素数之和为30的情况,再根据古典概型的概率公式计算即可得解. 【详解】不大于30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个. 从中随机选取两个素数有种情况, 其中被选取的两个素数之和为30的有,,共3种情况, 故所求概率为. 故选:A 2.(25-26高三上 重庆 期中)有一枚质地均匀的六面骰,六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,抛掷该骰子 6 次,依次记录每次抛掷后的点数为 ,记事件 为偶数,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】分析出只要与与与奇偶性不同即可,最后利用正难则反的原则即可得到答案. 【详解】为偶数,则这三个数中至少有一个为偶数. 考虑这三个数均为奇数的情形,只要与与与奇偶性不同即可, 故, 故选:B. 3.(2025高三 全国 专题练习)设集合,现从S中随机选取两个不同的数和,则数组是方程(其中,为未知数)的解的概率为_. 【答案】 【分析】根据题意,先对数据分成三类,①被3整除;②被3整除余1;③被3整除余2,再利用组合数进行选择,再用古典概型公式求解即可. 【详解】若数组是方程的解,则必定被3整除, 不妨考虑将集合S中的数分为三类:①被3整除;②被3整除余1;③被3整除余2. 设,,分别表示S中被3整除,被3整除余1,被3整除余2的数组成的集合, 则,, ,易知,, 要使被3整除,则a,b的选取方式有两种: ①a,b都从中选取,有种; ②a,b分别从,中选取,有种. 故数组是方程的解的概率. 故答案为:. 4.(2026高三 全国 专题练习)已知集合, (1)任取两个数,其和能被3整除的取法有_种; (2)任取三个数,能构成等差数列的取法有_种; (3)任取三个数,能构成等比数列的取法有_种. 【答案】 64 180 22 【分析】(1)集合中元素除以3的余数分三类:为0,1,2并求出相应的集合为,从集合中任取两个数、从集合中各取一个数可得答案; (2)设所取的三个数为,则由知,与的和为偶数,与的奇偶性相同.根据与的奇偶性分类可得答案; (3)设所取的三个数为,则有.按平方数分类,对其余的数进行质因数分解可得答案. 【详解】(1)3的余数分三类: 余数为0,这样的集合, 余数为1,这样的集合, 余数为2,这样的集合, ①可从集合中任取两个数,则有种; ②可从集合中各取一个数,则有种. 可得,故满足题意的取法有64种; (2)设所取的三个数为,则由知,与的和为偶数, 故与的奇偶性相同. 令集合,, 根据与的奇偶性分类如下. ①当与同为奇数时,从集合中任取两个数,有种; ②当与同为偶数时,从集合中任取两个数,有种. 考虑到为递增或递减两种情况,故共有(种); (3)设所取的三个数为,则有. 按平方数分类,令集合. 对其余的数进行质因数分解:2,3,5,,7,,,11, ,13,,,17,,19,, 满足题意的有:3与12;5与20;8与2;2与18;8与18. 故有,故满足题意的取法有22种. 故答案为:64;180;22. 5.(2026高二 全国 专题练习)用0,1,2,3,4,5这6个数字,可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数? (1)四位数是奇数; (2)四位数大于3125. 【答案】(1)144 (2)162 【分析】(1)结合排列数和组合数的应用,利用分步乘法原理求解即可; (2)结合排列数和组合数的应用,利用分类加法原理求解即可. 【详解】(1)第一步,从1.3.5这3个奇数中选择1个放在个位,有种; 第二步,从余下的除0外的4个数中选择1个放在千位上,有种; 第三步,从剩下的4个数中选择2个放在百位和土位,有种. 由分步乘法计数原理可得,共有个满足条件的四位数. (2)第一类,在千位和百位不变的情况下,十位可以是4或者5,共有6个; 第二类,在千位不变的情况下,需要百位大于1,则从2,4,5这3个数中任选1个,有种, 再从剩下的4个数中任选2个放在十位和个位,有种,故共有个; 第三类,千位是4或5,有种,再从余下的5个数中选出3个放在百位、十位和个位上,有种,则共有个. 由分类加法计数原理可得,满足条件的四位数有个. 【考点8:几何组合计数问题】 1.(2026高三 全国 专题练习)从正方体6个面的对角线中任取两条作为一对,这对对角线所成的角为的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】正方体的面对角线共有12条,能够数出每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为,得共有12 8对对角线所成角为60 ,并且容易看出有一半是重复的,得正方体的所有对角线中,所成角是的有48对,根据古典概型概率公式求解即可. 【详解】如图,在正方体中, 与上平面中一条对角线成的直线有,,,,,,,共8条直线, 总共12条对角线;. 从正方体6个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为的共有48对. 而正方体面的对角线共有12条,所以概率为. 故选:B. 2.(25-26高二下 全国 单元测试)圆周上有8个等分圆周的点,以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是( ) A.16 B.24 C.32 D.48 【答案】C 【分析】分析圆周上8个等分点可构成4条直径,由此得到所对应的直角三角形个数,用可以构成的总三角形个数减去直角三角形个数,可得锐角三角形或钝角三角形的个数. 【详解】圆周上8个等分点共可构成4条直径,而直径所对的圆周角是直角. 又每条直径对应着6个直角三角形,所以共有(个)直角三角形, 因为这8个等分点为顶点的三角形共有(个), 所以锐角三角形或钝角三角形的个数为(个). 故选:C. 3.(25-26高二上 河南驻马店 期末)已知直线,异面,上有,,,四个点,上有,,三个点,这七个点中任意两点可连成直线,其中异面直线有( )对 A.37 B.54 C.66 D.67 【答案】A 【分析】首先共可得条不同的直线,共有对直线,排除掉共面的即可得解. 【详解】从上,,,取一个点和上,,取一个点, 确定的直线数有条,再加上直线,,则共可得条不同的直线, 则共有对直线, 其中直线与新的条直线都共面,直线与新的条直线也都共面,共24对, 新的条直线中,若直线过点,则形成直线,共有对共面, 直线上有4个点,故共有对共面, 新的条直线中,若直线过点,则形成4条直线, 其中两两共面,有对, 直线上有3个点,故共有对共面, 故异面直线有对. 故选:A 4.(2026高三 全国 专题练习)如图,点,,,分别是四面体的顶点或其棱的中点,则在同一平面内的四点组共有_个. 【答案】33 【分析】先将四点组分成两类,一类在四面体的侧面上,一类在一条侧棱和其对棱中点组成的平面上,分别计数,再由分类加法计数原理即得. 【详解】因在同一平面内的四点组都含有点,故可以分成两类情况: ①四点组在四面体的侧面上,如在平面中,除去点,还剩5个点,选其中3点,有个, 同理在平面和平面中也各有10个,共有30个; ②四点组在一条侧棱和其对棱中点组成的平面上,如平面中,除去点还剩3个点,故有1个, 同理在平面和平面上,也各有1个,共有3个. 综上,在同一平面内的四点组共有33个. 故答案为:33. 5.(25-26高二下 全国 课堂例题)平面上有9个点,其中有4个点共线,除此外无3点共线. (1)经过这9个点,可确定多少条直线? (2)以这9个点为顶点,可以确定多少个三角形? (3)以这9个点为顶点,可以确定多少个四边形? 【答案】(1)31 (2)80 (3)105 【分析】(1)直接法按共线点的选取情况分类,结合分类加法计数原理计算;间接法先求9个点无限制确定直线的总组合数,再减去4个共线点多算的直线数,两种方法均可得到结果; (2)直接法按从4个共线点中选取2个、1个、0个点的情况分类,分别结合另5个点的选取计算有效三角形数;间接法先求9个点中任取3点的总组合数,再减去4个共线点中取3点的组合数。 (3)直接法按从4个共线点中选取0个、1个、2个点的情况分类,结合另5个点的选取计算有效四边形数;间接法先求9个点中任取4点的总组合数,再减去4个共线点中取3个、4个点的组合数。 【详解】(1)解:法一:(直接法),共线的4点记为. 第一类:确定1条直线; 第二类:以外的5个点可确定条直线; 第三类:从中任取1点,其余5点中任取1点可确定条直线. 根据分类加法计数原理,共有不同直线(条). 法二:(间接法): 可确定直线(条). (2)解:法一:(直接法),共线的4点记为. 第一类:从中取2个点,可得个三角形; 第二类:从中取1个点,可得个三角形; 第三类:从其余5个点中任取3点,可得个三角形.共有(个)三角形. 法二:(间接法): 可确定三角形(个). (3)解:法一:(直接法),共线的4点记为. 分三类:第一类,从5个不共线点中取4个点,有个; 第二类,从5个不共线点中取3个点和4个共线点中取1个点,有个; 第三类,从5个不共线点中取2个点和4个共线点中取2个点,有个。 故共有四边形(个)。 法二:(间接法): 可确定四边形(个). 【考点9: 分组分配问题】 1.(2026 黑龙江 一模)黑龙江省实验中学科技节活动,将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动,若每个地点至少需要1名学生,每位志愿者仅去一个地点,则不同的分配方法种数为( ) A.81 B.72 C.36 D.12 【答案】C 【分析】利用排列数与组合数定义计算即可得. 【详解】先从四人中选出两人当成一组,共种分法, 再将三组人进行分配,共种, 故共有种分配方法. 2.(25-26高二上 浙江宁波 期末)甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目,跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项,每人仅报一个项目,每个项目至少有一人报名,则不同的报名方法有( ) A.450 B.540 C.630 D.900 【答案】B 【分析】先将6人分成3组,即分为;或,再把三组分配到3个不同项目. 【详解】先将6人分成3组,即分为;或, 共有种分组方法, 再把三组分配到3个不同项目, 则有种不同的报名方法. 故选:B 3.(2026 安徽淮南 一模)2025年12月11日淮南市科技馆正式开馆,淮南市某中学有甲、乙、丙、丁等7位学生约好2026年1月1日去科技馆志愿服务.现将7位学生随机分为3组,每组至少一人,则甲乙同组且丙丁同组的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题意知不同的分组方法有5,1,1;4,2,1;3,2,2;3,3,1四种,利用不平均分组问题计算方法数,以及计算出符合题意的情况数,即可求得概率. 【详解】由题意,不同的分组方法有5,1,1;4,2,1;3,2,2;3,3,1四种, 当分组为5,1,1时,共有种,其中甲乙同组且丙丁同组有种; 当分组为4,2,1时,共有种,其中甲乙同组且丙丁同组有种; 当分组为3,2,2时,共有种,其中甲乙同组且丙丁同组有种; 当分组为3,3,1时,共有种,其中甲乙同组且丙丁同组有种; 甲乙同组且丙丁同组的概率为. 故选:A. 4.(25-26高二下 黑龙江 开学考试)某社区组织文化活动,现有书法艺术展示､传统戏曲表演､民间手工艺制作､古典诗词朗诵､现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织,若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责,每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织,则不同的分配方法种数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意分组分配,结合排列组合知识计算即可求解. 【详解】先将6名志愿者分成5组,从6人中选2人一组,其余4人各一组,共有种分法, 再将这5组全排列,对应5个项目,有种排法, 所以不同的分配方法种数为种. 故选:B. 5.(25-26高二下 全国 课堂例题)上海影城是国内和东南亚地区最大的影城,共有九座风格各异的电影放映厅,SR立体声音响效果震撼.第一放映厅:共有1080个座,红色基调热烈辉煌,银幕雄居全国之冠.上海影城建筑风格独特典雅,环境恢宏气派,功能设施齐全,作为世界九大电影节之一——上海国际电影节的主会场,已成为上海标志性的文化建筑. 某次电影展,有12部参赛影片,影展组委会两天在某一影院播映这12部电影,每天6部,其中有2部电影要求不在同一天放映,共有多少种不同的排片方案(同一天的影片不考虑播放顺序)? 【答案】504 【分析】先计算特殊的两部电影有多少分配方式,再计算剩下的电影怎么排 【详解】有2部电影要求不在同一天放映,先考虑这两部电影分别放在两天,有2种分配方式, 然后从剩下的10部电影中选5部与其中一部同一天,其余自然到另一天. 共有 种不同的排片方案. 【考点10: x+y+z=n的整数解的个数】 1.(25-26高二上 山东潍坊 月考)三元一次方程的正整数解的组数为( ) A.21 B.28 C.35 D.42 【答案】A 【分析】“将三元一次方程的正整数解的组数”转变为“等价于将8个相同的小球分成3组,每组至少1个小球的不同分法”,利用隔板法即可求得结果. 【详解】三元一次方程的正整数解的组数, 等价于将8个相同的小球分成3组,每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可, 则共有种分法, 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选:A. 2.(24-25高二下 广东东莞 月考)方程的正整数解的个数为( ) A.15 B.35 C.40 D.20 【答案】D 【分析】转化为将7个相同的小球装入4个不同的盒子里,每个盒子中至少有1个小球,利用隔板法进行求解. 【详解】原问题相当于将7个相同的小球装入4个不同的盒子里,每个盒子中至少有1个小球, 可采用隔板法,将7个相同的小球排成一排,在中间形成的6个空位上插入3个隔板, 故共有种方法. 故选:D 3.(24-25高二下 内蒙古 期末)方程的正整数解共有( ) A.组 B.组 C.组 D.组 【答案】C 【分析】转化为将21瓶相同的矿泉水分给5人,每人至少1瓶,利用隔板法求解即可. 【详解】原题等价于下面这个问题: 将21瓶相同的矿泉水分给5人,每人至少1瓶,有多少种不同的分法? 由隔板法可得,方程的正整数解共有组. 故选:C 4.(24-25高二下 山东 月考)方程的正整数解共有( ) A.50组 B.58组 C.60组 D.66组 【答案】B 【分析】将系数相同的变量合并换元,即设, 讨论和时的取值,利用隔板法求出解的组数,最后由分类加法计数原理即可得出答案. 【详解】对于方程, 设,则, 当时,,因为为偶数,则也为偶数,所以可以为, 时,只有一种解,此时, 由隔板法可知,将8个单位长度分成3个整数部分,一共有种分法, 所以共有组解,同理可得其他的组数, 所以当时,可得解的组数为; 当时,,因为为偶数,则为奇数,所以可以为, 利用隔板法可得解的组数为, 当时,因为,所以此时,不合题意, 综上,方程的正整数解共有组. 故选:B. 5.(24-25高二下 安徽安庆 月考)已知,,,则关于,,的方程共有( )组不同的解. A.36 B.45 C.50 D.24 【答案】A 【分析】根据题意将问题转化为把10个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少放入1个小球的不同放法,由挡板分析可得答案. 【详解】根据题意,对于方程将10看成10个相同的小球,将其分成3组,每组至少1个, 第一组有个,第二组有个,第三组有个,即可得一个方程的解, 所以10个相同的小球形成9个空,从中选2个,插入隔板即可, 所以共有组不同的解. 故选:A 【考点11: 其他组合计数模型】 1.(24-25高二下 江苏南京 期中)如图,有两堆同样的盒子,一堆3个,一堆7个,现需要将这些盒子搬走,每次只能从其中一堆搬走最上面的一个盒子,共有_种不同的搬法.(用数字作答) 【答案】120 【分析】根据题意10次搬盒子任选其中3次搬第一堆的3个盒子,应用组合数求不同的搬法数. 【详解】由题设,共需搬10次,选择其中3次搬走第一堆的3个盒子,故有, 故答案为:120 2.(24-25高二下 陕西 月考)已知集合A和集合B各含有12个元素,含有4个元素,集合C满足:①;②;③C中含有3个元素,则同时满足上面条件的集合C的个数为_. 【答案】1084 【分析】首先判断中的元素个数,再利用组合的定义,利用间接法,即可求解. 【详解】由条件可知, 因为,且集合中有3个元素,所以个, 因为满足的集合有个, 所以既满足,又满足的集合有个. 故答案为:1084 3.(25-26高三上 浙江 月考)已知数列共10项,且.若满足的共有奇数个,则满足条件的不同数列的个数为_. 【答案】1008 【分析】设分别有个,为奇数,由题意可得,进而得到,计算可得当时,;时,,进而结合组合知识求解即可. 【详解】设分别有个,为奇数, 则, 所以,即, 经过计算,当时,;时,,后续没有其他情况了, 则条件的不同数列的个数为. 故答案为:1008. 4.(2026高三 全国 专题练习)若三个正整数的位数之和为8,且组成的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8,则称为“幸运数组”,例如是一个幸运数组.满足的幸运数组的个数为_. 【答案】591 【分析】对幸运数组,,先分类,分是两位数,是三位数和是两位数,是四位数两类求解幸运数组的个数.再利用特殊元素(位置)优先法结合几率法求两类情况下幸运数组的个数,利用加法原理可得结果. 【详解】对于幸运数组 ,当时,分两类情形讨论. 情形1:是两位数,是三位数. 暂不考虑的大小关系,先在的非最高位(五个位置)中选三个位置填0,剩下五个位置还未填,任选其中两个填2, 最后三个位置填写4,8,9,这样的填法数为.再考虑其中的大小关系, 由于不可能有,因此与的填法各占一半,故有300个满足要求的幸运数组. 情形2:是两位数,是四位数. 暂不考虑的大小关系,类似于情形1,先在的非最高位(五个位置)中选三个位置填0, 剩下五个位置填2,2,4,8,9,这样的填法数为600.再考虑其中的大小关系. 若,则必有的四个数字是0,4,8,9的排列,且0不在首位,有种填法, 除这些填法外,与的填法各占一半,故有个满足要求的幸运数组. 综上,所求幸运数组的个数为. 故答案为:591 5.(2026高三 全国 专题练习)某种密码的传递常用手指敲击硬物传递声响的方式进行,三短(即连续敲击三下)表示“0”,三短一长(即连续敲击三下后短暂停顿再敲一下)表示“1”,若用手指敲击“三短”“三短”“三短一长”,则对方收到的密码指示为-“001”.现某人尝试用5个“0”和5个“1”传递密码,则每个“0”之前“1”的个数多于“0”的个数的概率为_. 【答案】 【分析】利用组合数求出传递密码的所有可能情况数,在应用图解点开始,每出现一个“1”则上升一节,每出现一个“0”则下降一节,进而标注出各节点对应的方法数,应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】根据题意,用5个“0”和5个“1”传递密码,有(种), 要满足“每个‘0’之前‘1’的个数多于‘0’的个数”,可以借助图形来解, 如图,从点开始,每出现一个“1”则上升一节,每出现一个“0”则下降一节, 因为总共有5个“0”和5个“1”, 所以最终一定会到达点,在虚线上方的方法都是符合题意的, 利用节点法计算,点到点有1种方法, 所以在点上方标“1”,到点有2种方法, 所以在点上方标“2”,依次标注到处为42, 因此符合题意的方法数为42, 因此,所求概率. 故答案为: 第 1 页 共 17 页 学科网(北京)股份有限公司 $