专题6.2 排列（9类必考点）讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

专题6.2 排列 【知识梳理】 1 【考点1：排列的意义理解】 2 【考点2：排列数的计算】 4 【考点3：用排列数公式证明】 5 【考点4： 排列数方程和不等式】 7 【考点5： 全排列问题】 8 【考点6： 元素（位置）有限制的排列问题】 10 【考点7：相邻问题的排列问题】 12 【考点8：不相邻排列问题】 13 【考点9：其他排列模型】 16 【知识梳理】 1．排列与排列数 (1)排列数定义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式：=n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn. 2．全排列和阶乘 (1)全排列：特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1. (2)阶乘：正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成=n!， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示：==. 3．排列应用问题的分类与求解思路： (1)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的 内部排列. (2)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空档中. (3)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在 实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (4)定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列. 【考点1：排列的意义理解】 1．（2025高二·全国·专题练习）从集合中任取两个元素，有以下五个问题： ①相加可得多少个不同的和？ ②相除可得多少个不同的商？ ③作为椭圆方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？ ④作为双曲线方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ ⑤作为对数中的a，b，可得到多少个不同的对数？其中属于排列问题的是（    ）． A．①②③④⑤ B．②④⑤ C．②③⑤ D．②④ 【答案】B 【分析】根据排列的定义，是否与顺序相关是确定一个问题是否为排列问题的关键，据此逐项判断即可． 【详解】对于①，两数的和与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，两数的商与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，因为椭圆的焦点在x轴上，故与取的两数顺序无关，故③是组合问题； 对于④，取得两数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，取得两数与顺序有关，故⑤是排列问题； 所以，②④⑤与两数的顺序有关，为排列问题. 故选：B. 2．（多选）（24-25高二下·福建福州·期末）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 【答案】BD 【分析】利用排列的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以A错误， 对于B，因为选取人后，4人排列有顺序要求，是排列问题，所以B正确， 对于C，因为选取人后没有顺序要求，不是排列问题，所以C错误， 对于D，因为地区不一样，选取人后有顺序要求，是排列问题，所以D正确， 故选：BD. 3．（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 【答案】AD 【分析】根据排列的定义，逐个选项判断即可. 【详解】选项A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关； 选项B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关； 选项C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关； 选项D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列． 故选：AD 4．（多选）（25-26高二·全国·假期作业）（多选）已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从中选出3个字母；④从这五个数字中取出2个数字组成一个两位数，其中是排列问题的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 【分析】根据排列的定义判断即可． 【详解】排列的定义：从n个不同对象中，任取个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列，由此可知①④为排列问题，而②③是组合问题，并非排列问题． 故选：AD． 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）判断下列问题是不是排列问题，并说明理由． (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二（1）班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上． 【答案】(1)是排列，理由见解析 (2)不是排列，理由见解析 (3)不是排列，理由见解析 (4)是排列，理由见解析 (5)是排列，理由见解析 【分析】（1）选出两个人参加两个不同的活动与顺序有关，所以是排列； （2）4名同学中选出2名参加一项活动，与顺序无关，所以不是排列； （3）选出两个三位数求和，交换两个结果不变，说明与顺序无关，不是排列； （4）选出两个互质的三位数求其商，交换两个数顺序，商的结果也不同，所以与顺序有关，所以是排列； （5）三名学生坐到4个空位，任意交换两个学生的位置，其结果也不相同，所以是排列. 【详解】（1）是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中． （2）不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分． （3）不是排列，因为选出的两个三位数求其和对顺序没有要求． （4）是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化， 且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列． （5）是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生． 【考点2：排列数的计算】 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】根据排列数的运算直接求解即可. 【详解】根据排列数的运算，. 故选：C. 2．（24-25高二下·北京顺义·期末）等于（   ） A．35 B．210 C． D．21 【答案】B 【分析】按照排列数计算即可. 【详解】由题可知：. 故选：B 3．（24-25高二下·河北邢台·月考）若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由排列数公式计算即可. 【详解】因为，所以，所以或（舍去）． 故选：B. 4．（24-25高二下·广东广州·期末）计算：______． 【答案】48 【分析】根据题意结合组合数公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：48. 5．（24-25高二下·山西·期末）__________（用数字作答）. 【答案】24 【分析】根据排列数的性质以及计算公式即可求解. 【详解】， 故答案为：24 【考点3：用排列数公式证明】 1．（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）（多选题）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用排列数公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 2．（25-26高二·江苏·课后作业）求证：． 【答案】证明见详解 【分析】利用排列数的计算公式即可证明. 【详解】左边， 右边， 所以，即证. 3．（2026高二·江苏·专题练习）求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用排列数公式将展开，即可证结论. 【详解】， ， ， 综上，. 4．（25-26高三·上海·随堂练习）（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】利用排列数的计算公式即可证明和化简； 【详解】（1）证明：； （2）原式． 5．（2026高三·全国·专题练习）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）根据排列数公式计算； （2）根据排列数公式计算可得左右两边相等. 【详解】（1）. （2），. 【考点4： 排列数方程和不等式】 1．（24-25高二下·吉林通化·期末）若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据排列数得到方程，求出答案. 【详解】由，得，解得． 故选：D． 2．（24-25高二下·安徽·月考）已知，则n的值为____. 【答案】4 【分析】利用排列数公式列式计算即得. 【详解】由，解得. 故答案为：4. 3．（24-25高二下·江苏泰州·月考）不等式，其中的解集为__________； 【答案】 【分析】根据排列数公式化简，即可求解. 【详解】由题知，，且， 又， 即， 解得，故或， 所以，原不等式的解集为. 故答案为： 4．（25-26高二上·上海·课后作业）解关于正整数n的方程：． 【答案】 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由排列数的定义，有由此解得． 此外，原方程可化为， 再化简，可得， 即，即．舍去非整数的根， 故． 5．（25-26高三·上海·课堂例题）求满足的整数的值. 【答案】8 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】因为得，解得， 又，为整数，所以. 【考点5： 全排列问题】 1．（25-26高三上·福建·月考）用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（    ） A．360 B．400 C．420 D．450 【答案】A 【分析】根据排列公式计算即可. 【详解】个位数字可以是，可得， 故选：A. 2．（24-25高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】根据全排列规则，计算结果即可. 【详解】可知4个数字组成没有重复数字的四位数的个数是， 故选：B. 3．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．6种 【答案】C 【分析】从四个当中选两个安排在不同日期，意味着有顺序需要用排列解决. 【详解】由题意可得不同的选择及安排方法有种. 故选：. 4．（24-25高三上·河南周口·期中）从标号分别为的四个不同圆形图标与标号分别为的三个不同方形图标中任取个图标排成一排，则不同的排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】根据条件，利用排列的定义及排列数的计算，即可求解. 【详解】由题知，不同的排法共有， 故选：D. 5．（24-25高二下·江苏连云港·月考）八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏páo、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“土”包括“缶fǒu、埙xūn”2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（   ） A．144种 B．72种 C．44种 D．48种 【答案】A 【分析】利用排列数及分步计数原理即可求解.. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①“土”包括“缶(fǒu)、埙(xūn)“2种乐器，在其中选出1种有2种选法， “丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器，在其中选出1种有4种选法， “竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器，在其中选出1种有3种选法， 测在三类乐器中各选1种乐器，有种选法； ②将选出的3种乐器安排给甲乙丙三人，有种情况， 则有种不同的分配方法； 故选：A. 【考点6： 元素（位置）有限制的排列问题】 1．（25-26高三上·上海青浦·期末）现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有__________种（用数字作答）. 【答案】72 【分析】由题意先安排学生甲，再对另外四名学生进行全排即得. 【详解】根据题意，可分两步完成：第一步，先在中间三个位置上安排学生甲，有3种方法； 第二步，在留下的四个位置上安排另外4名学生，有种方法. 由分步乘法计数原理，不同站法数为种. 故答案为：72. 2．（24-25高二下·江苏苏州·月考）两名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（    ）种． A．6 B．12 C．60 D．120 【答案】B 【分析】优先考虑特殊位置，先排辅导老师，再排学生即可. 【详解】由题意，2名教师分别站在两侧，则， 再排学生，，则不同的站法共有种. 故选：B 3．（24-25高二下·广东广州·期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】C 【分析】利用特殊元素优先法，结合计数原理以及排列数，即可求解. 【详解】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，这样的数有个， 若五位数的个位不为零，而个位仅有2，4两种选择，万位有3种选择，这样的数有， 所以五位的偶数有. 故选：C. 4．（2025·辽宁大连·一模）某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论，结合分类加法计数原理可得解. 【详解】分甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论， ①当甲站在第二位时，余下三人可以全排列，此时共有种情况； ②当甲不站在第二位时，甲有个位置可选，此时乙也有种情况可选，余下两人可以全排列，则此时共有种情况； 综上所述，一共有种情况， 故选：B. 5．（24-25高二下·广东汕头·期中）年春节档共有部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的《哪吒之魔童闹海》、《唐探》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》．为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《熊出没·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有（   ） A．种 B．种 C．10种 D．种 【答案】A 【分析】根据已知条件，分《哪吒之魔童闹海》排最后一场、《哪吒之魔童闹海》排第二场、《哪吒之魔童闹海》排第三场三种情况分别计算安排方法数，最后分类加法公式计算总数即可. 【详解】分三种情况： 第一种：《哪吒之魔童闹海》排最后一场，因为《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》 必须连续安排，所以用捆绑法有种可能，并看成一个元素， 剩下元素有种排法，所以共有种排法； 第二种：《哪吒之魔童闹海》排第二场， 因为《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，而且《熊出没·重启未来》不排最后一场， 所以《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》只能排在第四、第三两场，《唐探 》排第一场，这种情况共种排法； 第三种：《哪吒之魔童闹海》排第三场， 因为《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，而且《熊出没·重启未来》不排最后一场， 所以《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》排在前两场有种排法，《唐探》排最后一场，这种情况共有种排法. 综上符合条件的电影安排方法总数为种. 故选：A. 【考点7：相邻问题的排列问题】 1．（24-25高二下·河北保定·期中）有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有________种． 【答案】144 【分析】先利用捆绑法将3名女生看成一个整体，再将女生整体和3名男生一起排列. 【详解】先把3名女生捆绑到一起，有种排法， 再把她们与另外3名男生排列，有种排法， 则不同的坐法有种． 故答案为：144. 2．（24-25高二下·福建厦门·月考）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，当甲和乙相邻时，甲必须在乙的右边，则不同的排列方式共有______种. 【答案】24 【分析】利用捆绑法可得答案. 【详解】当甲和乙相邻时，，甲和乙看作一个元素，与余下的3名同学拍成一排， 甲必须在乙的右边，则不同的排列方式共有种. 故答案为：24. 3．（2026高三·全国·专题练习）一个家庭有5名成员，其中有父、母亲以及3个孩子，现安排他们站成一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队，则不同的站法种数为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法列式求解. 【详解】将父、母亲视为一个整体与3个孩子排列，则不同的站法种数为. 故答案为：48 4．（24-25高二下·全国·课后作业）6个人站成一排，甲、乙必须相邻，有多少种不同的站法？ 【答案】240 【分析】由捆绑法即可求解. 【详解】（种）. 5．（2026高三·全国·专题练习）某小组的7名成员站成一排，其中甲、乙相邻，且丙、丁相邻，不同的排法共有多少种？ 【答案】480 【分析】利用捆绑法求解即可. 【详解】可先将甲、乙两元素捆绑看成一个整体，同时丙、丁也看成一个整体，再与其余元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行全排列，如图所示. 由分步计数原理可得，不同的排法共有（种）. 【考点8：不相邻排列问题】 1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）甲、乙等6人排成一排照相，其中甲、乙两人不相邻的排法数为_______．（用数字表示） 【答案】480 【分析】根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式求解发. 【详解】依题意，甲、乙两人不相邻的排法数为. 故答案为：480 2．（24-25高二下·河南·月考）若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（    ） A．120 B．72 C．48 D．12 【答案】B 【分析】先排男生，再把女生排进男生间的空隙，结合分步计数原理可得结果． 【详解】先排男生共有种，男生排好后共有4个空隙， 再把2个女生排进去共有种排法， 所以符合条件的共有种排法． 故选：B. 3．（24-25高二下·山西·月考）一家物流公司计划在“长三角”地区部署5G无人配送车，需从上海、南京、杭州、合肥4个城市中各选出2个核心仓储点作为中转站．所有配送车必须从上海指定的仓储点出发，最终返回上海的仓储点；每辆配送车在另外3个城市中各选1个仓储点作为中转站，但中转时南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻，则符合条件的仓储点的排列种数为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】先选出中转站，在对南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻进行排序，即可求解. 【详解】第一步：先从3个城市中各选1个仓储点作为中转站，有种选法， 第二步：南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻，故中间排合肥，南京和杭州的仓储点在两段，排列方式有种， 所以符合条件的仓储点的排列种数为种． 故选：B. 4．（2026·贵州黔南·模拟预测）贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（   ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 【答案】A 【分析】利用插空法可求不同的排列方法. 【详解】先排饮食文化展板，有一种放置方法； 再排山地文化展板，民族文化，有种放置方法； 再利用插空法排阳明文化展板与红色文化展板，有种放置方法， 故共有种放置方法， 故选：A. 5．（24-25高二下·河北承德·期中）4名男生和3名女生共7人排成一排.（下列问题的结果全部用数字表示） (1)如果男生甲不站在队伍的两头，有多少种不同的排法； (2)如果全部男生相邻，有多少种不同的排法； (3)如果女生不能相邻，有多少种不同的排法； (4)如果队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有多少种不同的排法. 【答案】(1)3600 (2)576 (3)1440 (4)576 【分析】（1）应用特殊元素优先处理结合排列数及组合数运算求解； （2）应用捆绑法结合排列数及组合数运算求解； （3）应用插空法结合排列数及组合数运算求解； （4）应用特殊元素优先处理结合排列数及组合数运算求解. 【详解】（1）男生甲不站在队伍的两头，有种排法； （2）全部男生相邻，有种排法； （3）女生不能相邻，有种排法； （4）队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有种排法； 【考点9：其他排列模型】 1．（24-25高二下·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 【答案】D 【分析】利用排列中的定序问题的处理方法进行处理. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法，故A，B，C错误. 故选：D. 2．（24-25高二下·上海·期末）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．240 【答案】B 【分析】由分步乘法原理计算，先排甲乙，再从剩下4名同学任选2人排列即可. 【详解】分步完成： 甲不担任四辩，共有3种选择， 又因为乙也不担任四辩，共有2种选择， 从剩下4名同学任选2人，且任意排序，共有种， 所以一共有种. 故选：B. 3．（24-25高二下·河南洛阳·月考）如图,某手链由10颗较小的珠子(每颗珠子相同)和11颗较大的珠子(每颗珠子均不相同)串成,若10颗小珠子必须相邻,大珠子的位置任意,则该手链不同的串法有（    ） A．种 B．种 C．种 D． 种 【答案】B 【分析】相邻问题利用捆绑法解决即可. 【详解】将10颗小珠子看成一个整体,不同的串法有种. 故选:B. 4．（24-25高二下·新疆喀什·期中）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为__________.（结果用数字表示） 【答案】60 【分析】先不考虑收的顺序，有种方法，再考虑中间一列和右边一列在收取时的所有方法数，因挂在一列的只能先收下面的，故方法数为. 【详解】依题意，6串香蕉任意收取共有种方法， 考虑在收取最右边一列时有种取法，收取中间一列时有种取法， 而从下往上收取只是其中的一种，故按照从下往上的收取方法，不同取法数是种. 故答案为：60. 5．（25-26高二上·上海·课后作业）甲、乙、丙、丁4支篮球队举行单循环赛（即任意两支球队都要比赛一场）. (1)写出每场比赛的两支球队； (2)写出冠亚军的所有可能情况. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据组合知识列举所有情形即可； （2）根据排列知识列举所有情形即可. 【详解】（1）这是一个组合问题，将两支球队的组合用一个集合表示，共有6个组合： {甲，乙}、{甲，丙}、{甲，丁}、{乙，丙}、{乙，丁}、{丙，丁}. （2）这是一个排列问题，即从4支球队中任意选取2支，按照冠军和亚军顺序排列，共有12种排列方式 （符号（甲，乙）表示“甲是冠军，乙是亚军”）： （甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，丙）、（乙，丁）、（丙，丁）、 （乙，甲）、（丙，甲）、（丁，甲）、（丙，乙）、（丁，乙）、（丁，丙）. 6．（24-25高二下·江苏·月考）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课. (1)如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？ (2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？ (3)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 【答案】(1)480 (2)504 (3)504 【分析】（1）利用插空法可求答案； （2）分两种情况求解，结合分类计数原理可得答案； （3）利用定序缩倍法求解，先求总排法除去有要求的特定顺序可得答案. 【详解】（1）先排其它四科，共有种方法，再把数学和物理插入空中，有种方法，共有种. （2）第一节安排数学，则其余科目没有要求，共有种方法； 第一节不安排数学，先排第一节有种方法，再排第四节有种方法，最后安排其它节有种方法， 所以共有种方法. （3）九科随机排列共有种排法，六科在其中的排法有种，所以共有种. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 排列 【知识梳理】 1 【考点1：排列的意义理解】 2 【考点2：排列数的计算】 3 【考点3：用排列数公式证明】 3 【考点4： 排列数方程和不等式】 5 【考点5： 全排列问题】 5 【考点6： 元素（位置）有限制的排列问题】 6 【考点7：相邻问题的排列问题】 7 【考点8：不相邻排列问题】 7 【考点9：其他排列模型】 8 【知识梳理】 1．排列与排列数 (1)排列数定义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式：=n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn. 2．全排列和阶乘 (1)全排列：特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n，即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1. (2)阶乘：正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成=n!， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示：==. 3．排列应用问题的分类与求解思路： (1)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的 内部排列. (2)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空档中. (3)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在 实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (4)定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列. 【考点1：排列的意义理解】 1．（2025高二·全国·专题练习）从集合中任取两个元素，有以下五个问题： ①相加可得多少个不同的和？ ②相除可得多少个不同的商？ ③作为椭圆方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？ ④作为双曲线方程中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？ ⑤作为对数中的a，b，可得到多少个不同的对数？其中属于排列问题的是（    ）． A．①②③④⑤ B．②④⑤ C．②③⑤ D．②④ 2．（多选）（24-25高二下·福建福州·期末）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 3．（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 4．（多选）（25-26高二·全国·假期作业）（多选）已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从中选出3个字母；④从这五个数字中取出2个数字组成一个两位数，其中是排列问题的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）判断下列问题是不是排列问题，并说明理由． (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二（1）班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上． 【考点2：排列数的计算】 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 2．（24-25高二下·北京顺义·期末）等于（   ） A．35 B．210 C． D．21 3．（24-25高二下·河北邢台·月考）若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25高二下·广东广州·期末）计算：______． 5．（24-25高二下·山西·期末）__________（用数字作答）. 【考点3：用排列数公式证明】 1．（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）（多选题）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二·江苏·课后作业）求证：． 3．（2026高二·江苏·专题练习）求证： 4．（25-26高三·上海·随堂练习）（1）证明：； （2）化简：． 5．（2026高三·全国·专题练习）求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 【考点4： 排列数方程和不等式】 1．（24-25高二下·吉林通化·期末）若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（24-25高二下·安徽·月考）已知，则n的值为____. 3．（24-25高二下·江苏泰州·月考）不等式，其中的解集为__________； 4．（25-26高二上·上海·课后作业）解关于正整数n的方程：． 5．（25-26高三·上海·课堂例题）求满足的整数的值. 【考点5： 全排列问题】 1．（25-26高三上·福建·月考）用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（    ） A．360 B．400 C．420 D．450 2．（24-25高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 3．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．6种 4．（24-25高三上·河南周口·期中）从标号分别为的四个不同圆形图标与标号分别为的三个不同方形图标中任取个图标排成一排，则不同的排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．（24-25高二下·江苏连云港·月考）八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏páo、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“土”包括“缶fǒu、埙xūn”2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（   ） A．144种 B．72种 C．44种 D．48种 【考点6： 元素（位置）有限制的排列问题】 1．（25-26高三上·上海青浦·期末）现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有__________种（用数字作答）. 2．（24-25高二下·江苏苏州·月考）两名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（    ）种． A．6 B．12 C．60 D．120 3．（24-25高二下·广东广州·期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 4．（2025·辽宁大连·一模）某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．（24-25高二下·广东汕头·期中）年春节档共有部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的《哪吒之魔童闹海》、《唐探》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》．为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《熊出没·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有（   ） A．种 B．种 C．10种 D．种 【考点7：相邻问题的排列问题】 1．（24-25高二下·河北保定·期中）有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有________种． 2．（24-25高二下·福建厦门·月考）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，当甲和乙相邻时，甲必须在乙的右边，则不同的排列方式共有______种. 3．（2026高三·全国·专题练习）一个家庭有5名成员，其中有父、母亲以及3个孩子，现安排他们站成一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队，则不同的站法种数为______． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）6个人站成一排，甲、乙必须相邻，有多少种不同的站法？ 5．（2026高三·全国·专题练习）某小组的7名成员站成一排，其中甲、乙相邻，且丙、丁相邻，不同的排法共有多少种？ 【考点8：不相邻排列问题】 1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）甲、乙等6人排成一排照相，其中甲、乙两人不相邻的排法数为_______．（用数字表示） 2．（24-25高二下·河南·月考）若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（    ） A．120 B．72 C．48 D．12 3．（24-25高二下·山西·月考）一家物流公司计划在“长三角”地区部署5G无人配送车，需从上海、南京、杭州、合肥4个城市中各选出2个核心仓储点作为中转站．所有配送车必须从上海指定的仓储点出发，最终返回上海的仓储点；每辆配送车在另外3个城市中各选1个仓储点作为中转站，但中转时南京和杭州的仓储点的顺序不能相邻，则符合条件的仓储点的排列种数为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 4．（2026·贵州黔南·模拟预测）贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（   ） A．12种 B．14种 C．16种 D．18种 5．（24-25高二下·河北承德·期中）4名男生和3名女生共7人排成一排.（下列问题的结果全部用数字表示） (1)如果男生甲不站在队伍的两头，有多少种不同的排法； (2)如果全部男生相邻，有多少种不同的排法； (3)如果女生不能相邻，有多少种不同的排法； (4)如果队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有多少种不同的排法. 【考点9：其他排列模型】 1．（24-25高二下·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 2．（24-25高二下·上海·期末）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．240 3．（24-25高二下·河南洛阳·月考）如图,某手链由10颗较小的珠子(每颗珠子相同)和11颗较大的珠子(每颗珠子均不相同)串成,若10颗小珠子必须相邻,大珠子的位置任意,则该手链不同的串法有（    ） A．种 B．种 C．种 D． 种 4．（24-25高二下·新疆喀什·期中）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为__________.（结果用数字表示） 5．（25-26高二上·上海·课后作业）甲、乙、丙、丁4支篮球队举行单循环赛（即任意两支球队都要比赛一场）. (1)写出每场比赛的两支球队； (2)写出冠亚军的所有可能情况. 6．（24-25高二下·江苏·月考）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课. (1)如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？ (2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？ (3)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $