板块一 习题讲评（四）利用导数研究函数的极值、最值-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略配套课件

利用导数研究函数的极值、最值 习题讲评（四） （1）函数的极值是高考的重点考查内容，近三年新课标卷选择、填空、解答题均有出现，难度中等偏上. 主要考查极值的意义及已知函数极值情况求参数. （2）函数的最值是函数的一个重要性质，有些复杂的函数最值只能借助导数来求， 考查题型：一是给出确定函数或含有参数的函数求最值，多以选择、填空形式出现，二是求解不等式恒成立问题，常常利用函数的最值来求解，此类问题难度较大，多以压轴题形式给出. 2 1 2 教学点(一)　函数的极值 教学点(二)　函数的最值 CONTENTS 目录 函数的极值 教学点（一） 4 [例1]　（2025·全国Ⅱ卷）若x=2是函数f（x）=（x-1）（x-2）（x-a）的极值点，则f（0）=________.  -4 解析：法一　因为f（x）=（x-1）（x-2）（x-a）=x3-（a+3）x2+（3a+ 2）x-2a，所以f'（x）=3x2-2（a+3）x+3a+2.因为x=2是f（x）的极值点， 所以f'（2）=12-4（a+3）+3a+2=0，解得a=2， （a=2是x=2是函数f（x）极值点的必要条件，需检验，尤其在解答题中） 经检验，符合题意，所以f（x）=（x-1）（x-2）2，所以f（0）=-4. 法二　f'（x）=（x-2）（x-a）+（x-1）（x-a）+（x-1）（x-2）， 因为x=2是f（x）的极值点，所以f'（2）=2-a=0，得a=2，经检验， 符合题意，所以f（x）=（x-1）（x-2）2，所以f（0）=-4. 5 教材溯源：（本题源自人教A版选择性必修②P104T9） 已知函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，求c的值. 两题均是由三次函数的极值点求参数的值，字母不同，解题思路一致，均需验证. 6 [例2]　（2024·新课标Ⅱ卷）已知函数f（x）=ex-ax-a3. （1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； 解：当a=1时，f（x）=ex-x-1，则f'（x）=ex-1，可得f（1）=e-2， f'（1）=e-1，即切点坐标为（1，e-2），切线斜率k=e-1， 所以切线方程为y-（e-2）=（e-1）（x-1），即（e-1）x-y-1=0. 7 （2）若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 解：法一　求导，分析a≤0和a>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得a2+ln a-1>0，构造函数解不等式即可. 因为f（x）的定义域为R，且f'（x）=ex-a，若a≤0，则f'（x）≥0对任意x∈R恒成立，可知f（x）在R上单调递增，无极值，不合题意；若a>0，令f'（x）>0，解得x>ln a.令f'（x）<0，解得x<ln a.可知 f（x）在（-∞，ln a）上单调递减，在（ln a，+∞）上单调递增，则f（x）有极小值f（ln a）=a-aln a-a3，无极大值. 8 由题意可得，f（ln a）=a-aln a-a3<0，即a2+ln a-1>0， 构造函数g（a）=a2+ln a-1，a>0，则g'（a）=2a+>0， 可知g（a）在（0，+∞）上单调递增，且g（1）=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g（a）>g（1），解得a>1， 所以a的取值范围为（1，+∞）. 法二　求导，可知f'（x）=ex-a有零点，可得a>0，进而利用导数求f（x）的单调性和极值，分析可得a2+ln a-1>0，构造函数解不等式即可. 9 因为f（x）的定义域为R，且f'（x）=ex-a，若f（x）有极小值，则f'（x）=ex-a有零点，令f'（x）=ex-a=0，可得ex=a，可知y=ex与y=a有交点，则a>0.令f'（x）>0，解得x>ln a.令f'（x）<0，解得x<ln a.可知f（x）在（-∞，ln a）上单调递减，在（ln a，+∞）上单调递增，则f（x）有极小值f（ln a）=a-aln a-a3，无极大值，符合题意，由题意可得，f（ln a）=a-aln a-a3<0，即a2+ln a-1>0，构造g（a）=a2+ln a-1，a>0，因为y=a2，y=ln a-1在（0，+∞）上单调递增，可知g（a）在（0，+∞）上单调递增，且g（1）=0，不等式a2+ln a-1>0等价于g（a）>g（1），解得a>1，所以a的取值范围为（1，+∞）. 10 |思|维|建|模| （1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点附近两侧的导数值异号.f'（x0）=0是x0为函数极值点的必要不充分条件，因此需要检验参数的值. （2）若函数y=f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y=f（x）在（a，b）内一定不具有单调性，反之，若函数在某区间上具有单调性，则函数没有极值. （3）对于函数无极值的问题，往往转化为f'（x）≥0或f'（x）≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立. 11 [练1]　若函数f（x）=-ax2+（2a2-4）x-3在x=2处取得极小值，则实数a=（　　） A.-2 B.2 C.2或0 D.0 即时训练 D 解析：由f'（x）=x2-2ax+2a2-4，则f'（2）=2a2-4a=0，得a=0或a=2.当a=2时，f'（x）=x2-4x+4=（x-2）2≥0，f（x）在R上单调递增，不满足；当a=0时，f'（x）=x2-4，在（-∞，-2），（2，+∞）上f'（x）>0，在（-2，2）上f'（x）<0，所以f（x）在（-∞，-2），（2，+∞）上单调递增，在（-2，2）上单调递减，满足题设，所以a=0. 易错提醒：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 12 [练2]　（多选）已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，当x>0时，f（x）=，则下列说法正确的是（　　） A.f（x）有三个零点 B.f（x）在x=-处切线的斜率为- C.当x>0时，f（x）有极大值 D.若f（x）的极小值为m，则m∈ AC 13 解析：对于A，当x>0时，令f（x）=0，得x=，因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0，f=0，故f（x）有三个零点，故A正确；对于B，当x<0时，-x>0，所以f（-x）==-f（x），得f（x）= ，此时f'（x）=，所以f'=，故B错误；对于C，当x>0时，f'（x）=，令h（x）=1+-ln 2x，因为函数y=1+，y=-ln 2x在（0，+∞）上单调递减，所以函数h（x）=1+-ln 2x 14 在（0，+∞）上单调递减.又h（2）=-ln 4=ln=ln>0，h（3）=- ln 6=ln=ln<0，故h（x）在区间（2，3）内存在唯一x0，使h（x0）=1+-ln 2x0=0，即f'（x0）=0，则x∈（0，x0）时，f'（x）>0；x∈（x0，+∞）时，f'（x）<0，所以f（x）在（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以f（x）在x=x0处取得极大值，故C正确； 对于D，由C得f（x）在x=x0处取得极大值，因为1+=ln 2x0， （注意隐零点满足的方程在解题中的应用） 15 所以f（x0）===.因为x0∈（2，3）， 所以极大值f（x0）=∈. 又因为f（x）为奇函数， 所以极小值f（-x0）=-∈，故D错误. 习得方略：若函数的零点虽客观存在，但难以直接求解，可设零点，利用函数的单调性及函数零点存在定理确定零点所在区间. 16 [练3]　已知函数f（x）=x[1+（ln x）2]. （1）判断函数f（x）在（0，+∞）上是否存在极值点.若存在极值点，求出极值；若不存在极值点，请说明理由； 解：（1）不存在.理由如下： ∵f（x）=x[1+（ln x）2]=x（ln x）2+x，x>0，∴f'（x）=（ln x）2+ 2ln x+1=（ln x+1）2，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，当且仅当 x=时，取得等号.∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）在 （0，+∞）上不存在极值点. 17 （2）若函数g（x）=f（x）-有三个极值点，求实数a的取值范围. 解：将问题转化为y=a与h（x）=的图象有三个交点，求导， 确定函数h（x）的单调性即可求解. ∵g'（x）=（ln x+1）2-ax，函数g（x）有三个极值点， ∴g'（x）=0有三个互不相等的正实数根. 由g'（x）=0，得a=. 18 令h（x）=（x>0），则问题转化为y=a与h（x）=的图象 有三个交点，而h'（x）=.令h'（x）=0，得x=或x=e， 则当x∈时，h'（x）<0，h（x）单调递减； 当x∈时，h'（x）>0，h（x）单调递增； 当x∈（e，+∞）时，h'（x）<0，h（x）单调递减. 19 又∵当x→0时，h（x）→+∞； 当x→+∞时，h（x）→0，且h=0，h（e）=， ∴0<a<，即实数a的取值范围为. 习得方略：函数f（x）在一个连续的开区间内有最值时，此开区间内一定有极值点. 20 函数的最值 教学点（二） 21 [例1]　设函数f（x）=（x-1）ln（x-a），若f（x）≥0恒成立，则y=的最大值为（　　） A.1 B.e C. D.不存在 C 解析：f（x）=（x-1）ln（x-a）可看作g（x）=x-1与h（x）=ln（x-a） 的积，又f（x）≥0恒成立，所以g（x），h（x）同号.又因为函数g（x） 与h（x）均是增函数，所以两个函数的零点重合，则g（1）=h（1）= ln（1-a）=0，解得a=0，所以y==，所以y'=.令y'=0得x=e， 则函数y=在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以 函数的最大值为. 22 [例2]　已知函数f（x）=a-2ax+ex， （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程； 解：当a=2时，f（x）=2-4x+ex， ∴f'（x）=-4+ex，故f（1）=e-2，f'（1）=e-4. ∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-（e-2）=（e-4）（x-1）， 即（e-4）x-y+2=0. 23 （2）若函数f（x）有最小值，且f（x）的最小值大于4a2+a，求实数a的取值范围. 解：∵f（x）的定义域为R，∴f'（x）=-2a+ex， 当a≤0时，f'（x）>0，则f（x）在R上单调递增，无最小值.不符合题意，故a>0.由f'（x）>0得x>ln（2a），由f'（x）<0得x<ln（2a）， ∴f（x）在（ln（2a），+∞）上单调递增，在（-∞，ln（2a））上单调递减，∴当x=ln（2a）时，f（x）有最小值f（ln 2a）=a-2aln 2a+ eln 2a=3a-2aln 2a. 24 依题意，3a-2aln 2a>4a2+a，即2a（1-ln 2a-2a）>0， ∵a>0，∴2a+ln 2a-1<0. 设g（t）=t+ln t-1（t>0），则g（t）<0，∵g'（t）=1+>0， 则g（t）在（0，+∞）上单调递增， 又g（1）=0，故由g（t）<0可得0<t<1， 即0<2a<1，解得0<a<，故实数a的取值范围是. 25 |思|维|建|模|　 （1）求函数最值时，不要想当然的认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论. （2）求函数无穷区间（开区间）上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性与极值情况画出函数图象，借助函数图象得到函数的最值. 26 即时训练 即时训练 [练1]　（2025·宿迁二模）若函数f（x）=有最大值，则k的最大值为（　　） A. B. C. D. C 27 解析：当x≥2时，f（x）=，则f'（x）=，当2≤x<e时，f'（x）>0，此时，函数f（x）单调递增，当x>e时，f'（x）<0，此时，函数f（x）单调递减，则函数f（x）在x=e处取得极大值，且极大值为f（e）=，因为函数f（x）有最大值，则解得0≤k≤，因此，实数k的最大值为. 习得方略：已知函数在某区间上的最值求参数的值（范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题. 28 [练2]　（2025·扬州三模）若函数f（x）=a（ex+a）-x的最小值为2，则实数a的值是________.  1 解析：由f（x）=a（ex+a）-x，求导得f'（x）=aex-1.当a>0时，令f'（x）=0，得x=-ln a.由f'（x）<0得x<-ln a；由f'（x）>0得x>-ln a，所以函数 f（x）在（-∞，-ln a）上单调递减，在（-ln a，+∞）上单调递增，故 f（x）min=f（-ln a）=a+ln a=2，解得a=1；当a=0时，f（x）=-x，函数f（x）在R上单调递减，故不合题意；当a<0时，f'（x）=aex-1<0，函数f（x）在R上单调递减，故不合题意. 29 [练3]　已知函数f（x）=ln x+-a（x+1）（a∈R）. （1）当a=0时，求f（x）的最小值； 解：当a=0时，f（x）=ln x+，定义域为（0，+∞）， 所以f'（x）=.当x>2时，f'（x）>0，当0<x<2时，f'（x）<0， 所以f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增， 所以f（x）的最小值为f（2）=1+ln 2. 30 （2）若x1，x2（x1<x2）是f（x）的两个极值点，且≥2，求a的最大值. 解：由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=. 因为x1，x2（x1<x2）是f（x）的两个极值点， 所以x1，x2（x1<x2）是方程ax2-x+2=0的两个正根， 则有解得0<a<. 31 且==，而==+2+，所以+=-2， 又≥2，下面证明y=t+在t∈[2，+∞）上单调递增， 证明如下：y'=1-=>0在t∈[2，+∞）上恒成立， 故y=t+在t∈[2，+∞）上单调递增，易知+=+≥， 即-2≥，所以0<a≤，故a的最大值为. 32 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $