板块一 习题讲评（三）导数的几何意义及函数的单调性-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略配套课件

导数的几何意义及函数的 单调性 习题讲评（三） （1）导数的几何意义和计算是导数应用的基础，多以选择、填空题的形式考查，难度中等偏下. （2）应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，是研究函数极值、最值的基础.主要考查利用导数判断函数的单调性，进而比较大小或求参数值，选择、填空、解答题均有考查. 2 1 2 教学点(一)　导数的几何意义 教学点(二)　利用导数判断函数 的单调性 CONTENTS 目录 3 教学点(三)　单调性的简单应用 导数的几何意义 教学点（一） 4 [例1]　（2025·天津市和平区二调）曲线f（x）=与曲线g（x）=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线互相垂直，则实数a=（　　） A.2 B.0 C.- D.- D 5 解析：由题意知f'（x）=， ， ①处析难点，已知两曲线在某点处的切线互相垂直，先求f'（x），g'（x），得f'（0），g'（0），由导数几何意义列方程求解即可； 所以f'（0）==3， g'（0）=a+1.由于两曲线在点（0，1）处的切线， 所以a=-，故选D. ②处避易错，若两直线垂直，且斜率存在，则两直线的斜率之积为-1；若两直线垂直，则两直线的方向向量的数量积为0，不要混淆. 6 [例2]　（2022·新课标Ⅱ卷）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_________， _________.  思维路径：此题求过某点的切线方程，所以已知点不一定是切点，需要设出切点坐标；注意分x>0和x<0两种情况求解. y=x y=-x 解析：法一：化为分段函数，分段求y=ln|x| 当x>0时，y=ln x，设切点为（x0，ln x0），由y'=，得y'=，所以切线方程为y-ln x0=（x-x0）.又切线过坐标原点，所以-ln x0= （-x0），解得x0=e，所以切线方程为y-1=（x-e），即y=x； 7 当x<0时，y=ln（-x），设切点为（x1，ln（-x1）），由y'=， 得y'=，所以切线方程为y-ln（-x1）=（x-x1）. 又切线过坐标原点，所以-ln（-x1）=（-x1），解得x1=-e， 所以切线方程为y-1=（x+e），即y=-x. 8 法二：根据函数的对称性，数形结合 当x>0时，y=ln x，设切点为（x0，ln x0），由y'=，得y'=， 所以切线方程为y-ln x0=（x-x0），又切线过坐标原点， 所以-ln x0=（-x0），解得x0=e，所以切线方程为y-1=（x-e）， 即y=x；因为y=ln|x|是偶函数，图象如图所示，所以当x<0时的切线， 只需找到y=x关于y轴的对称直线y=-x即可. 9 |思|维|建|模|　求过某点的切线方程的策略 求过某点的切线方程时（不论这个点在不在曲线上，这个点都不一定是切点），应先设切点的坐标，再根据切点的“一拖三”（切点的横坐标与斜率相关、切点在切线上、切点在曲线上）求切线方程. 10 [例3]　已知函数f（x）=e2x，g（x）=（a>0）.若直线l：y=2x+m与曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都相切，则a的值为________.  8 解析：法一　设直线l：y=2x+m与曲线y=f（x）的切点坐标为（x0，y0），易知，则f'（x0）=2=2，得x0=0， ①处避易错，复合函数求导，注意x的系数2不要漏写； ②处析难点，求两曲线的公切线问题，牢牢抓住两曲线切线的方程相同，依据导数的几何意义分别求出切线方程，对比计算即可破解； 所以y0==1，则切点坐标为（0，1）. 所以直线l的方程为. 11 易知函数g（x）=的定义域为[0，+∞）， 设， 由g'（x）=，得g'（x1）==2，得a=16x1， 则直线l的方程为y-=2（x-x1），即y-=2（x-x1）， 即y=2x+2x1，所以2x1=1，解得x1=，所以a=8. ③处破瓶颈，要求a与x1，两个参数需寻找两个方程，可利用切线y=2x+1的斜率为2，以及其在y轴上的截距为1列方程求解； 12 法二　由法一知，直线l的方程为y=2x+1. 由得关于x的方程4x2+（4-a）x+1=0， ， 解得a=8或a=0（舍去）， 经检验，当a=8时，符合题意，所以a=8. ④处破瓶颈，因为曲线g（x）=的切线方程为y=2x+1，所以关于x的方程4x2+（4-a）x+1=0有两个相等实数根，只需利用判别式为0，得a的方程. 13 |思|维|建|模|　已知公切线求参数值（范围）的步骤 （1）分别设切点坐标，求出两曲线的切线方程. （2）根据斜率和纵截距相等列关于切点横坐标的方程组. （3）消元得含参数的方程. （4）分离参数，通过求函数的值域求参数的取值范围. 14 [练1]　（2025·聊城一模）曲线y=xln x在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 （　　） A.4 B.3 C.1 D. 即时训练 D 解析：对函数y=xln x求导得y'=ln x+1，故所求切线斜率为k=ln 1+1=1，切点坐标为（1，0），所以曲线y=xln x在x=1处的切线方程为y=x-1.该切线交x轴于点（1，0），交y轴于点（0，-1），因此，曲线y=xln x在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×12=. 15 [练2]　（2025·兰州二模）若函数f（x）=ln（x-1）+x2+ax的图象上存在两个不同点，使得f（x）在这两点的切线与直线y=-x垂直，则a的取值范围是（　　） A.（-∞，-2） B.（-∞，-2）∪（4，+∞） C.（-∞，3） D.R A 16 解析：由题意，函数的定义域为（1，+∞），f'（x）=+2x+a.因为函数f（x）的图象上存在两点处的切线与直线y=-x垂直，故f'（x）=+2x +a=2有两个不同的大于1的解，即2x2+（a-4）x-a+3=0有两个不同的大于 1的根.令g（x）=2x2+（a-4）x-a+3，则 即所以a<-2. 17 [练3]　已知函数f（x）=2ex，g（x）=2ln（x+2），请写出函数f（x）和g（x）的图象的一条公共切线的方程：______________________.（答案不唯一）  2x-ey+4=0（或2x-y+2=0） 解析：因为f（x）=2ex，g（x）=2ln（x+2），则f'（x）=2ex， g'（x）=，设函数f（x）上的切点坐标为（x1，2）， 切线斜率为2，函数g（x）上的切点坐标为（x2，2ln（x2+2））， 切线斜率为，由切线斜率可得2=，即x2=-2， 18 可得公切线方程为y-2=2（x-x1），代入点（x2，2ln（x2+2）） 可得2ln（x2+2）-2=2（x2-x1），代入x2=-2 可得-x1-=，整理得（x1+1）（-1）=0， 解得x1=-1或x1=0，所以切线方程为2x-ey+4=0或2x-y+2=0. 习得方略：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 19 利用导数判断函数的单调性 教学点（二） 20 [典例]　已知函数f（x）=ax2-（a+3）x+ln x，讨论函数f（x）的单调性. 解：函数f（x）=ax2-（a+3）x+ln x的定义域为（0，+∞）， 求导得f'（x）=3ax-（a+3）+=， 当a≤0时，由f'（x）>0，得0<x<；由f'（x）<0，得x>， 函数f（x）在上单调递增，在上单调递减； 当0<a<3时，由f'（x）>0，得0<x<或x>；由f'（x）<0，得<x<， 函数f（x）在，上单调递增，在上单调递减； 21 当a=3时，f'（x）≥0，当且仅当x=时取等号，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a>3时，由f'（x）>0，得0<x<或x>；由f'（x）<0，得<x<，函数f（x）在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当a≤0时，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减； 当0<a<3时，函数f（x）在，上单调递增，在上单调递减；当a=3时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a>3时，函数f（x）在，上单调递增，在上单调递减. 22 |思|维|建|模|　利用导数判断函数单调性的关键 （1）讨论函数的单调性是在函数定义域内进行的，千万不要忽略定义域的限制. （2）在能通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小分类讨论. （3）在不能通过因式分解求出不等式对应方程根的情况时，常根据对应方程的判别式分类讨论. 23 即时训练 即时训练 已知函数f（x）=x（1-ln kx）. （1）若曲线y=f（x）在x=e处的切线与直线y=x垂直，求k的值； 解：因为f（x）=x（1-ln kx），k≠0，所以f'（x）=-ln kx， 曲线y=f（x）在x=e处的切线与y=x垂直， 所以f'（e）=-ln ke=-1，得k=1. 24 （2）讨论f（x）的单调性. 解：由f（x）=x（1-ln kx）得f'（x）=-ln kx， 当k>0时，f（x）的定义域为（0，+∞）， 令f'（x）=0得x=， 当x∈时，f'（x）>0，当x∈时，f'（x）<0， 所以f（x）在上单调递增，在上单调递减； 25 当k<0时，f（x）的定义域为（-∞，0），令f'（x）=0得x=. 当x∈时，f'（x）<0，当x∈时，f'（x）>0， 所以f（x）在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当k>0时，f（x）在上单调递增， 在上单调递减；当k<0时，f（x）在上单调递减， 在上单调递增. 26 单调性的简单应用 教学点（三） 27 [例1]　已知函数f（x）=aex-ln x在（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围为 （　　） A.　 B. C. D. B 解析：法一　因为f（x）=aex-ln x（x>0），所以f'（x）=aex-， 因为函数f（x）=aex-ln x在（1，2）上单调  ， ①处，将函数的单调性转化为导函数值的正负问题，即转化为恒成立问题，进而分离参数或分类讨论求解； 28 显然a>0，所以问题转化为关于x的不等式xex ≥. 设g（x）=xex，x∈（1，2）， 所以g'（x）=ex+xex=（1+x）ex>0， 所以g（x）在（1，2）上单调递增， 所以g（x）>1×e1=e，故e≥，可得a≥.故选B. ②处，转化为恒成立问题之后是分离参数还是分类讨论是依题而定的，优先分参，若无法分参再考虑分类讨论.本题为单选题，可依据单选题的独特性，取特殊值排除错误选项. 29 法二：特殊值排除法　由题意知f'（x）=aex-，观察各选项，先取a=0，则f'（x）=-<0（x∈（1，2））恒成立，不满足题意，排除A、D.再取a=，则f'（x）=ex-2-，f'（1）=e-1-1<0，f'（2）=e0->0，则f'（x）=0在（1，2）上有解，不满足题意，排除C，故选B. 30 拓展延伸：（1）函数f（x）在区间D上单调递增（递减），可转化为 f'（x）≥0（f'（x）≤0）在x∈D上恒成立. （2）若函数y=f（x）在区间（a，b）上不具有单调性，则转化为f'（x）=0在（a，b）上有解（需验证解的两侧导数是否异号）. （3）函数f（x）在区间D上存在单调递增（递减）区间，可转化为f'（x）>0（f'（x）<0）在x∈D上有解. 31 [例2]　（2025·吕梁一模）设函数f（x）=x3-sin x+x+2，则满足f（x）+ f（2-3x）<4的x取值范围是 （　　） A.（1，+∞） B.（-∞，1） C.（3，+∞） D.（-∞，3） A 解析：令函数g（x）=f（x）-2=x3-sin x+x，其定义域为R，g（-x）= （-x）3-sin（-x）+（-x）=-（x3-sin x+x）=-g（x），函数g（x）是奇函数，求导得g'（x）=3x2-cos x+1≥0，当且仅当x=0时取等号，因此函数 g（x）在R上单调递增，不等式f（x）+f（2-3x）<4⇔f（x）-2<-[f（2-3x）-2]⇔g（x）<-g（2-3x）=g（3x-2），则x<3x-2，解得x>1，所以所求x取值范围是（1，+∞）. 32 |思|维|建|模| 1.根据函数单调性求参数的一般思路 （1）利用集合间的包含关系处理：y=f（x）在（a，b）上具有单调性，则区间（a，b）是相应单调区间的子集. （2）f（x）单调递增（减）的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f'（x）≥0（f'（x）≤0），且在（a，b）内的任一非空子区间上，f'（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. 2.利用导数解不等式或比较大小的思路 利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，再由单调性比较大小或解不等式问题. 33 [练1]　已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f（1）=e，当x>0时，f'（x）<+ex，则不等式>1的解集为（　　） A.（0，1） B.（0，+∞） C.（1，+∞） D.（0，1）∪（1，+∞） 即时训练 A 34 解析：不等式>1等价于f（x）-ln x>ex，即f（x）-ex-ln x>0，构造函数g（x）=f（x）-ex-ln x，x>0，所以g'（x）=f'（x）-ex-. 因为x>0时，f'（x）<+ex， 所以g'（x）<0对∀x∈（0，+∞）恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调递减.又因为g（1）=f（1）-e-ln 1=0，所以不等式f（x）-ex-ln x>0等价于g（x）>g（1），所以0<x<1， 即>1的解集为（0，1）.故选A. 35 [练2]　（2025·杭州模拟）定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）， 满足f'（x）+=，且f（e）=，若a=f（3），b=f（2），c= f（e），则a，b，c的大小关系是（　　） A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a C 36 解析：由已知可得x2f'（x）+2xf（x）=ln x，令g（x）=x2f（x）， 则g'（x）=x2f'（x）+2xf（x）=ln x，且f（x）=，所以f'（x）= =.再令h（x）=xln x-2g（x），则h'（x）=1+ ln x-2g'（x）=1-ln x，∴当x∈（0，e）时，h'（x）>0，即函数h（x）在（0，e）内单调递增；当x∈（e，+∞）时，h'（x）<0，即函数h（x）在（e，+∞）上单调递减，∴h（x）≤h（e）=e-2g（e）=e-2e2f（e） =0，∴f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数.∵2<e<3，∴f（2）>f（e）>f（3），即b>c>a. 37 [练3]　若函数f（x）=kx2-ex在区间（0，+∞）上单调递减，则k的取 值范围是_________.  解析：函数f（x）=kx2-ex，求导得f'（x）=2kx-ex，由f（x）在（0，+∞）上单调递减，得∀x∈（0，+∞），f'（x）≤0⇔2kx-ex≤0， 即2k≤，令g（x）=，x>0，求导得g'（x）=，当0<x<1时，g'（x）<0，当x>1时，g'（x）>0，因此函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，g（x）min=g（1）=e，则2k≤e，解得k≤，所以k的取值范围是. 38 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $