板块一 习题讲评（七）导数与函数的零点-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略配套课件

导数与函数的零点 习题讲评（七） 1 2 教学点(一)　利用导数研究函数 的零点个数 教学点(二)　由函数零点存在情况 求参数 CONTENTS 目录 利用导数研究函数的零点个数 教学点（一） 3 [典例]　（2025·秦皇岛三模）设函数f（x）=exsin x. （1）求f（x）的图象在（0，f（0））处的切线方程； 解：f'（x）=ex（sin x+cos x），所以f'（0）=1，又f（0）=0， 所以f（x）的图象在（0，f（0））处的切线方程为y=x. （2）记g（x）=f（x）-ax，若0<a≤1，试讨论g（x）在（0，π）上的零点个数. 解：由已知得g（x）=exsin x-ax，所以g'（x）=ex（sin x+cos x）-a， 令h（x）=g'（x），（无法判断g（x）的单调性，故二次求导） 则h'（x）=ex（sin x+cos x）+ex（cos x-sin x）=2excos x. 4 当0<x<时，h'（x）>0，函数h（x）单调递增， 当<x<π时，h'（x）<0，函数h（x）单调递减， 即g'（x）在上单调递增，在上单调递减. 当0<a≤1时，g'（0）=1-a≥0，g'=-a>0， g'（π）=-eπ-a<0，所以存在x0∈， 使得g'（x0）=0，（函数零点存在定理的应用） 5 当x∈（0，x0）时，g'（x）>0； 当x∈（x0，π）时，g'（x）<0， 所以函数g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，π）上单调递减. 因为g（0）=0，g（x0）>g（0）=0， 故函数g（x）在（0，x0）上无零点， 又因为g（π）=-aπ<0， 由函数零点存在定理可得g（x）在（x0，π）上有且只有一个零点. 综上所述，当0<a≤1时，函数g（x）在（0，π）上的零点个数为1. 6 |思|维|建|模|　确定函数零点个数的方法 （1）利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数. （2）图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）. 7 （2025·赤峰模拟）已知函数f（x）=（x+1）ex. （1）求f（x）的单调区间及最小值； 即时训练 解：由f（x）=（x+1）ex求导得f'（x）=（x+2）ex，当x<-2时，f'（x）<0；当x>-2时，f'（x）>0，即f（x）在（-∞，-2）上单调递减， 在（-2，+∞）上单调递增.故f（x）的单调递增区间为（-2，+∞）， 单调递减区间为（-∞，-2）；当x=-2时，f（x）min=f（-2）=-. 8 （2）令g（x）=f（x）-a，求g（x）的零点个数. 解：由g（x）=f（x）-a=（x+1）ex-a=0可得a=（x+1）ex，则g（x）的零点个数即函数f（x）=（x+1）ex的图象与直线y=a的交点个数. 由（1）知f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，+∞）上单调递增，且当x=-2时，f（x）min=f（-2）=-.又x→-∞时，f（x）→0-， 当x→+∞时，f（x）→+∞，（要作出f（x）的草图，只知道f（x）的单调性与最小值还不够，还需要极限思想，判断在自变量逼近∞时，函数值的极限）作出函数f（x）=（x+1）ex的图象. 9 由图知，当a<-时，直线y=a与函数f（x） =（x+1）ex的图象没有交点，此时函数 g（x）无零点；当-<a<0时，直线y=a与 函数f（x）=（x+1）ex的图象有2个交点，此时函数g（x）有2个零点； 当a=-或a≥0时，直线y=a与函数f（x）=（x+1）ex的图象有1个交点，此时函数g（x）有1个零点. 10 习得方略：三步求解函数零点（方程根）的个数问题 第一步：将方程根问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴（或直线y=k）在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值（最值）、端点值等性质； 第三步：结合图象求解. 11 由函数零点存在情况求参数 教学点（二） 12 [典例]　已知函数f（x）=x+asin x-xcos x. （1）当a=1时，求f（x）在点（π，f（π））处的切线方程； 解：因为a=1，所以f（x）=x+sin x-xcos x， 则f'（x）=1+cos x-cos x+xsin x=1+xsin x， 所以切线的斜率为k=f'（π）=1. 又f（π）=2π，所以切线方程为y-2π=x-π，即x-y+π=0. 13 （2）若f（x）在区间上有零点，求实数a的取值范围. 解：因为f（x）=x+asin x-xcos x，则f'（x）=1+（a-1）cos x+xsin x， ①当a≥1时，因为0<x<，所以（a-1）cos x≥0，sin x>0， 所以f'（x）>0在区间上恒成立，即f（x）在区间上单调递增. 所以f（x）>f（0）=0在区间上恒成立， 即f（x）在区间上无零点. 14 ②当a<1时，令h（x）=f'（x）=1+（a-1）cos x+xsin x，x∈，则h'（x）=（2-a）sin x+xcos x>0在区间上恒成立， 所以h（x）在区间上单调递增，易知h（0）=a. 当0≤a<1时，h（x）>a≥0，f（x）在区间上单调递增， 即f（x）>f（0）=0在区间上恒成立， 所以f（x）在区间上无零点. 15 当a<0时，h（0）=a<0，又h=1+>0， 所以存在x0∈，使得h（x0）=0， 所以当0<x<x0时，h（x）<0，f（x）单调递减， 当x0<x<时，h（x）>0，f（x）单调递增， 即当x=x0时，f（x）在区间上取得最小值， 因为f（0）=0，所以f（x0）<0. 16 因为f=+a，所以当a≤-时，f=+a≤0， 此时，f（x）<0在区间上恒成立， f（x）在区间上无零点. 当-<a<0时，f=+a>0，故存在x1∈，使得f（x1）=0， 所以实数a的取值范围是. 17 |思|维|建|模|　已知函数的零点情况求参数范围方法 分类 讨论法 将所有可能出现的情况进行分类，然后逐个论证，属于完全归纳 分离 参数法 分离参数，将原问题转化成函数最值问题加以解决 数形 结合法 先对函数解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解 18 即时训练 即时训练 （2025·广安二模）已知函数f（x）=e2x-ax2（a为常数）. （1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a的值； 解：因为f（x）=e2x-ax2，所以f'（x）=2e2x-2ax，所以f'（1）=2e2-2a， f（1）=e2-a，所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-（e2-a）=（2e2-2a）（x-1），即y=（2e2-2a）x-e2+a.令y=0，则2（e2-a）x=e2-a，若e2-a=0，则a=e2，则切点为（1，0），切线为y=0，不合题意；若e2-a≠0，则x=；令x=0，则y=a-e2.又切线在两坐标轴上的截距相等，即=a-e2，故a=+e2. 19 （2）是否存在实数a，使得f（x）有3个零点?若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：若函数f（x）=e2x-ax2有3个零点，等价于方程e2x=ax2有三个解. 其中x=0时，显然不是方程的根，当x≠0时，转化为g（x）=与y=a的图象有3个交点.又由g'（x）==， 令g'（x）>0，解得x<0或x>1；令g'（x）<0，解得0<x<1， 所以函数g（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增， 在（0，1）内单调递减，所以当x=1时，函数g（x）取得极小值， 20 极小值为g（1）=e2.又由x→0时，g（x）→+∞； 当x→-∞时，g（x）→0且g（x）>0； 当x→+∞时，g（x）→+∞， 故函数g（x）的大致图象如图所示， 所以a>e2，即实数a的取值范围为（e2，+∞）. 习得方略：已知零点求参数取值范围的步骤 （1）结合图象与单调性，分析函数的极值点； （2）依据零点确定极值的范围； （3）对于参数选择恰当的分类标准进行讨论. 21 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $