板块一 习题讲评（三）导数的几何意义及函数的单调性课时验收评价-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略配套课件

课时验收评价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1.（2025·湛江二模）已知函数f（x）=ex+2x，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（　　） A.y=2x+1 B.y=3x+1 C.y=2x D.y=3x B 解析：由f（x）=ex+2x，得f'（x）=ex+2，则f（0）=1，f'（0）=3， 所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=3x+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.函数f（x）=x-2ln（2x）的单调递减区间为 （　　） A.（-∞，1） B.（0，1） C.（0，2） D.（2，+∞） C 解析：f（x）=x-2ln（2x）的定义域为（0，+∞）， f'（x）=1-2··2=1-=，（函数f（x）=x-2ln（2x）为复合函数，求导不要出错）由f'（x）<0，可得x∈（0，2），故f（x）=x-2ln（2x）的单调递减区间为（0，2）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 3.（2025·兰州一模）若函数y=（e为自然对数的底数）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（　　） A.（1，0） B.（0，1） C.（1，1） D.（1，e） B 解析：设切点坐标为（x0，y0），因为函数y=，所以y'=. 因为切线与x轴平行，所以y'==0，解得x0=0， 则y0===1，故切点坐标为（0，1）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 4.已知函数f（x）=2x+cos 2x，则 （　　） A.f（e）<f（π）<f（3） B.f（e）<f（3）<f（π） C.f（π）<f（3）<f（e） D.f（π）<f（e）<f（3） B 解析：由f（x）=2x+cos 2x，求导得f'（x）=2-2sin 2x=2（1-sin 2x）. 对于x∈R，都有sin 2x≤1成立，故f'（x）≥0，即函数f（x）=2x+cos 2x在R上单调递增.又e<3<π，故f（e）<f（3）<f（π）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 5.（2025·金华三模）已知函数f（x）=a-ln x在区间（1，4）内单调递增，则a的最小值为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 B 解析：求导得f'（x）=·a·-=，要满足函数f（x）=a-ln x在区间（1，4）内单调递增，则当x∈（1，4）时，f'（x）=≥0，即a≥.因为x∈（1，4），所以∈（1，2），即a≥2，故选B. 拓展延伸：若函数f（x）在集合A上单调递增，f（x）的单调递增区间为B，则A与B的关系是A⊆B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 6.（2025·大庆模拟）已知函数f（x）=x2-mx，g（x）=（x+m）ex，两个函数图象至少有一个在区间（-1，2）上不具有单调性，则m的取值范围是 （　　） A.（-2，4） B.（-3，0） C.（-3，-2） D.（-3，4） D 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：由函数f（x）=x2-mx的对称轴为x=，若f（x）在（-1，2）上不具有单调性，则满足-1<<2，解得-2<m<4.又由函数g（x）=（x+m）ex，可得g'（x）=（x+m+1）ex，若g（x）在（-1，2）上不具有单调性，则满足-1<-m-1<2，解得-3<m<0.所以两个函数图象至少有一个在区间（-1，2）上不具有单调性，则有-2<m<4或-3<m<0，可得-3<m<4，所以实数m的取值范围为（-3，4）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 7.（2025·宁德三模）曲线C：y=在点P（x0，y0）处切线斜率的取值范围为，则x0的取值范围为（　　） A.[0，ln 2] B.[0，ln 2]∪[ln 4，3] C.[ln 2，ln 4] D.[0，ln 2]∪[ln 4，+∞） D 思维路径：转化为函数在x0处的导数值在之内，令g（x）=，研究g（x）的性质，解不等式即可. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：因为y'==，所以-≤≤0，即≥≥0. 令g（x）=，则g'（x）==0，解得x=1.当x<1时，g'（x）>0， g（x）单调递增；当x>1时，g'（x）<0，g（x）单调递减. 又g（ln 2）=g（ln 4）=，g（0）=0.当x>0时，g（x）>0， 故≥≥0的解集为[0，ln 2]∪[ln 4，+∞）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 8.已知f（x）=ex-1，g（x）=ln x+1，则f（x）与g（x）的公切线有 （　　） A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 C 解析：根据题意，设直线l与f（x）=ex-1相切于点（m，em-1）， 与g（x）相切于点（n，ln n+1），对于f（x）=ex-1，有f'（x）=ex，则直线l的斜率k=em，直线l的方程为y+1-em=em（x-m），即y=emx+（1-m）em-1.对于g（x）=ln x+1，有g'（x）=，则直线l的斜率k=， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 直线l的方程为y-（ln n+1）=（x-n），即y=x+ln n， 则可得（1-m）（em-1）=0，即m=0或m=1， 则切线方程为y=ex-1或y=x，故f（x）与g（x）的公切线有2条. 拓展延伸： 判断曲线公切线的条数，运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过函数零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 9.（2025·威海三模）已知函数f（x）=ax-loga（x+1）（a>1）在（0，+∞）上存在单调递减区间，则a的取值范围是 （　　） A.（1，e] B.（1，e） C.[e，+∞） D.（e，+∞） B 解析：求导可得f'（x）=axln a-，由题意知f'（x）=axln a-<0有解，即axln a<有解，即ax（x+1）（ln a）2<1 有解.令g（x）=ax（x+1）（ln a）2，因为a>1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 易知g（x）=ax（x+1）（ln a）2在（0，+∞）上单调递增， 此时g（0）=（ln a）2，所以（ln a）2<1.又a>1，ln a>0， 所以0<ln a<1，解得1<a<e， 所以a的取值范围是（1，e）. 拓展延伸：函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 10.（2025·合肥模拟）已知a=ln 1.2，b=0.2，c=-1，则a，b，c的大小关系为（　　） A.a<c<b B.c<a<b C.c<b<a D.a<b<c B 思维路径：构造函数f（x）=x-ln（1+x）（x>0），由导数得出单调性，即可得出b>a.构造函数g（x）=ln（1+x）-（-1），由导数得出单调性，即可得出a>c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：构造函数f（x）=x-ln（1+x）（x>0），f'（x）=1-=， 当x>0时，f'（x）>0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以f（0.2）=0.2-ln 1.2>f（0）=0，即b>a. 构造函数g（x）=ln（1+x）-（-1）， 则g'（x）=-=，当x∈（0，2）时， g'（x）>0，故g（x）在（0，2）内单调递增，所以g（0.2）=ln 1.2-（-1）>g（0）=ln 1-（1-1）=0，即a>c，所以c<a<b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 二、填空题 11.（5分）（2025·全国Ⅰ卷）若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a=_______.  4 解析：法一　对于y=ex+x+a，其导数为y'=ex+1.因为直线y=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2，令y'=ex+1=2，即ex=1，解得x=0.将x=0代入切线方程y=2x+5，可得y=2×0+5=5，所以切点坐标为（0，5）.因为切点（0，5）在曲线y=ex+x+a上，所以5=e0+0+a，即5=1+a，解得a=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 法二　对于y=ex+x+a，其导数为y'=ex+1. 假设y=2x+5与y=ex+x+a的切点为（x0，y0）， 则解得a=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 12.（5分）（2025·苏州三模）若f（x）=x（ln x+a）在[1，e]上不具有单调性，则实数a的取值范围是_________.  （-2，-1） 解析：由f（x）=x（ln x+a），可得f'（x）=ln x+a+1.因为f（x）= x（ln x+a）在[1，e]上不具有单调性，所以f'（x）=0在（1，e）上有解，即ln x+a+1=0在（1，e）上有解，即存在x∈（1，e）， 使得a=-ln x-1.又因为y=-ln x-1在（1，e）上单调递减， 所以-2<a<-1，所以实数a的取值范围是（-2，-1）. 拓展延伸：若函数y=f（x）在区间（a，b）上不具有单调性，则转化为f'（x）=0在（a，b）上有解（需验证解的两侧导数是否异号）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 13.（5分）若两曲线y=ln x与y=ax2+1存在公切线，则正实数a的取值范围为__________.  解析：设公切线与曲线y=ln x和y=ax2+1的交点分别为（x1，ln x1），（x2，a+1），其中x1>0，对于y=ln x，得y'=，则与y=ln x相切的切线方程为y-ln x1=（x-x1），即y=·x+ln x1-1.对于y=ax2+1， 得y'=2ax，则与y=ax2+1相切的切线方程为y-（a+1）=2ax2（x-x2）， 即y=2ax2x-a+1.由公切线，得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 则-=ln x1-2，即=2-ln x1（x1>0）.令g（x）=2x2-x2ln x（x>0），则g'（x）=3x-2xln x=x（3-2ln x）.令g'（x）=0，得x=. 当x∈时g'（x）>0，g（x）单调递增，当x∈时g'（x）<0，g（x）单调递减.所以g（x）max=g=e3，故≤e3，即a≥e-3. 拓展延伸：根据曲线的公切线求参数值或范围，要利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 三、解答题 14.（15分）（2025·武汉三模）已知函数f（x）=（x-2）. （1）若a=e2，求函数y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（5分） 解：∵a=e2，∴f（x）=（x-2）， ∴f（2）=0，f'（x）=ex++（x-2）， ∴f'（2）=2e2，∴切线方程为y=2e2（x-2），即2e2x-y-4e2=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 （2）讨论f（x）的单调性.（10分） 解：∵f（x）=（x-2），∴f'（x）=（x-1）（ex+a）. ①当a≥0时，ex+a>0，当x∈（-∞，1）时，f'（x）<0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f'（x）>0，f（x）单调递增. ②当a=-e时，当x∈（-∞，1）时，x-1<0，ex-e<0，f'（x）>0， 当x∈[1，+∞）时，x-1≥0，ex-e≥0，f'（x）≥0，x=1时等号成立， 所以f（x）在R上单调递增. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 ③当-e<a<0时，ln（-a）<1， 当x∈（-∞，ln（-a））时，f'（x）>0，f（x）单调递增， 当x∈（ln（-a），1）时，f'（x）<0，f（x）单调递减， 当x∈（1，+∞）时，f'（x）>0，f（x）单调递增. ④当a<-e时，ln（-a）>1， 当x∈（-∞，1）时，f'（x）>0，f（x）单调递增， 当x∈（1，ln（-a））时，f'（x）<0，f（x）单调递减， 当x∈（ln（-a），+∞）时，f'（x）>0，f（x）单调递增. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 综上所述：当a≥0时，f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当a=-e时，f（x）在R上单调递增；当-e<a<0时，f（x）在（-∞，ln（-a）），（1，+∞）上单调递增，在（ln（-a），1）内单调递减；当a<-e时，f（x）在（-∞，1），（ln（-a），+∞）上单调递增，在（1，ln（-a））内单调递减. 易错提醒：（1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. （2）划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 15.（15分）（2025·晋城二模）已知函数f（x）=ax-ln x+，g（x）= ax2+3x. （1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y=g（x）只有一个交点，求实数a的值；（8分） 思维路径：先求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程，再把切线与曲线y=g（x）只有一个交点，转化成方程ax2+3x=（a-3）x+5只有一个解，再分a=0和a≠0两种情况讨论，即可求出a的值； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 即ax2+（6-a）x-5=0只有一个解，当a=0时，方程6x-5=0只有一个解，符合题意；当a≠0时，Δ=（6-a）2+20a=0，即a2+8a+36=0，因为方程的Δ=82-4×36<0，所以方程a2+8a+36=0无解， 综上所述，实数a的值为0. 解：由题意得，f'（x）=a--，则f'（1）=a-3，又f（1）=a+2，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（a+2）=（a-3）（x-1），即y=（a-3）x+5.因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y= g（x）只有一个交点，所以方程ax2+3x=（a-3）x+5只有一个解， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 （2）若y=xf（x）在区间（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围. （7分） 思维路径：把y=xf（x）在区间（0，+∞）上单调递增，转化成y'≥0在（0，+∞）上恒成立，再通过分离常数2a≥，构造函数h（x）=，借助导数，求出h（x）在（0，+∞）上的最大值，即可求出实数a的取值范围. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 则h'（x）=，当0<x<1时，h'（x）>0，h（x）单调递增； 当x>1时，h'（x）<0，h（x）单调递减，所以h（x）max=h（1）=1，则2a≥1，a≥，故实数a的取值范围为. 解：由y=xf（x）=ax2-xln x+2，可得y'=2ax-1-ln x.因为y=xf（x）在（0，+∞）上单调递增，所以2ax-1-ln x≥0在（0，+∞）上恒成立， 即2a≥在（0，+∞）上恒成立. 令h（x）=，x∈（0，+∞）， 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $