板块三 习题讲评（四）数列中的综合问题-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略配套课件

数列中的综合问题 习题讲评（四） 2025年全国Ⅰ卷尽管未延续2024年新定义压轴考查数列的命题形式，但将数列与导数结合综合考查，反映了高考对数列考查形式的多样性与灵活性.考查的知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及两者之间的关系，在不等式证明中要注意放缩法的应用. 2 1 2 教学点(一)　不等式的证明 教学点(二)　不等式恒成立求参数问题 CONTENTS 目录 3 教学点(三)　数列的创新应用问题 不等式的证明 教学点（一） 4 [典例]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=（Sn+2）. （1）求数列{an}的通项公式； 解：由an=（Sn+2），可得Sn=2an-2. 当n=1时，a1=S1=2a1-2，解得a1=2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2-（2an-1-2）=2an-2an-1， 整理得an=2an-1（n≥2），∴数列{an}是以2为首项， 2为公比的等比数列，∴an=2·2n-1=2n. 5 解：观察通项为分式形式，且不易直接求解，利用分式放缩法解题→利用不等式性质将bn放缩为-，-→利用分组法求和及等比数列的前n项和公式求和进行化简，即可证明不等式成立. 证明：， ①处分式放缩，这里将分母2n+1-1变为2n+1，则整个分数变小，实现放缩，进而将变形为-，为后续的求和化简做好准备； 6 ②处先配凑再放缩，在分子中配凑出与分母2n+1-1相同的结构，从而分离常数，再进行放缩. 7 |思|维|建|模| （1）数列不等式的证明往往应用作差法或作商法，有时也会转化为求对应函数的最值大于（或小于）0，此时要注意自变量的取值只能是正整数，同时注意放缩法的应用. （2）数列中不等式的证明，往往分成两类，一类是先求和后放缩得到证明；另一类是先放缩成可求和形式，再求和后得到证明.对于后一类，主要是对通项进行变形与放缩，常用到的变形与放缩的式子有： ①>=-或<=-（n≥2）； 8 ②<=（n≥2）； ③=>=2（-） 或<=2（-）（n≥2）； ④ln<<=-（n≥2）等. 9 已知等差数列{an}的公差d>0，其前n项和为Sn，且a1，a6，2a18成等比数列，S17=153. （1）求数列{an}的通项公式； 即时训练 解：由题意，得S17==17a9=153，解得a9=9. 又∵a1，a6，2a18成等比数列，∴=a1·2a18， 即（9-3d）2=2（9-8d）（9+9d），解得d=1或d=-（舍去，d>0），∴a1=1，故数列{an}的通项公式为an=n. 10 （2）若bn=an+1，且{bn}的前n项和为Tn，求证：2Tn>bnbn-1（n≥2）. 解：证明：由（1）知an=n， 又bn=an+1=n+1，则bn-1=n（n≥2）， Tn==，（关键点：bn>0，Tn>0） ∴===>. ∵bn=n+1>0，∴2Tn>bnbn-1（n≥2）. 11 不等式恒成立求参数问题 教学点（二） 12 [典例]　（2025·哈尔滨二模）已知数列{an}满足a1=5，an+1-2an=3n（n∈N*）， 记bn=an-3n. （1）求证：{bn}是等比数列； 思维路径：（1）证明为常数即可证明{bn}为等比数列，从而得证； 解：证明：由已知，因为an+1-2an=3n，所以an+1=3n+2an， 所以bn=an-3n，bn+1=an+1-3n+1=3n+2an-3×3n=2an-2×3n=2（an-3n）=2bn. 又因为a1=5，所以b1=a1-31=5-3=2，所以数列{bn}中任意一项不为0， （也可以写作：因为b1≠0，所以bn≠0）=2， 所以数列{bn}是首项为2， 公比为2的等比数列. 13 （2）设cn=，数列{cn}的前n项和为Sn.若不等式（-1）nλ<Sn+对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 思维路径：（2）根据等比数列通项公式即可求{bn}的通项公式，从而可求出cn，根据{cn}通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和Sn，题设化简为（-1）nλ<5，通过讨论n为奇数或偶数，即可求出λ的范围. 解：由第（1）问知，bn=2×2n-1=2n，则cn=， 所以Sn=+++…+　①，Sn=+++…+　②， 14 所以①-②可得Sn=+++…+-=+-， 所以Sn=5-（2n+5）.由（-1）nλ<Sn+， 得（-1）nλ<5-（2n+5）+，化简得（-1）nλ<5. （关键点：恒成立问题常采用分离参数法，两边同时除以（-1）n，因而需要对n进行讨论，（-1）n的正负影响不等号方向） 15 当n 为奇数时，有-λ<5，即λ>5×-5， 而=5×-5=-，所以λ>-； 当n为偶数时，有λ<5=5-5×， 而=5-5×=，所以λ<. 综上，实数λ的取值范围为. 16 |思|维|建|模| 解数列的不等式恒成立求参数问题常用分离参数法，在分离参数时，注意与参数相乘代数式的正负，必要时需分类讨论. 17 即时训练 即时训练 （2025·济南三模）记等差数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，已知a1=1，S3=6. （1）求{an}的通项公式； 思维路径：（1）设数列{an}的公差为d，由a1=1，S3=6解出d即可求解； 解：设数列{an}的公差为d， 所以S3=a1+a2+a3=3a2=3（a1+d）=6⇒a1+d=2.又a1=1， 所以d=1，所以an=a1+（n-1）d=1+（n-1）×1=n，即an=n. 18 （2）求Tn； 思维路径：（2）由（1）得==2，利用裂项相消法即可求解； 解：由（1）得Sn=，所以==2， 所以Tn=++…+=2 =2=，所以Tn=. 19 （3）若∀n∈N*，an+≥3成立，求实数k的最小值. 思维路径：（3）化简式子，利用基本不等式或导数求解. 解：法一　由（1）（2）得an+=n+≥3⇒k≥， 令t=n+1⇒n=t-1（t≥2，t∈N*），所以k≥= =10-.由2t+≥2=8，当且仅当2t=，即t=2时等号成立， 所以k≥10-8=2，所以实数k的最小值为2. 20 法二　由（1）（2）得an+=n+≥3⇒k≥， 令f（x）=，可得f'（x）=， 令f'（x）≤0，得x≥1，所以f（x）=在[1，+∞）上单调递减， 所以f（x）=的最大值为f（1）==2. 所以k≥2，所以实数k的最小值为2. 21 数列的创新应用问题 教学点（三） 22 [典例]　设t>1，n∈N*，若各项均为正数的数列{an}满足an<an+1<an，则称数列{an}具有性质“P（t）”. （1）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=1-an（n∈N*），试判断数列{an}是否具有性质“P（4）”，并说明理由； 思维路径：（1）根据给定条件，利用数列前n项和与第n项的关系求出通项公式，再利用性质“P（4）”的定义推理判断. 解：数列{an}中，Sn=1-an， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-an+an-1，则an=an-1. 23 而a1=S1=1-a1，解得a1=， 因此数列{an}是首项和公比都为的等比数列， 则an=>0，an+1=<=an，an=·=<=an+1， 正项数列{an}满足an<an+1<an，所以数列{an}具有性质“P（4）”. 24 （2）若数列{an}满足a1=，且an+1=ln（-1）-ln an（n∈N*）.证明：数列{an}具有性质“P（3）”. 思维路径：（2）根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性再证明不等式. 解：证明：设函数f（x）=ln（ex-1）-ln x，x>0，令函数h（x）= x-ex+1，x>0，求导得h'（x）=1-ex<0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，则h（x）<h（0）=0，即ex-1>x，ln（ex-1）>ln x.任意x>0， f（x）=ln（ex-1）-ln x>0，而an+1=f（an），a1=>0，则an>0，n∈N*， 25 于是an+1-an=ln（-1）-ln an-an=-1）-ln（an）， 令g（x）=xex-（ex-1），x>0，求导得g'（x）=ex+xex-ex=xex>0， 函数g（x）=xex-（ex-1）在（0，+∞）上单调递增，g（x）>g（0）=0， 当x>0时，xex>ex-1>0，ln（xex）>ln（ex-1），而an>0，则an+1-an= ln（-1）-ln（an）<0，因此an+1<an.依题意，an+1-an=ln（-1）-ln an-an，令u（x）=ln（ex-1）-ln x-x=ln（ex-1）-ln（x），x>0， 令函数t（x）=ex-1-x，x>0， 26 则t'（x）=ex--x=， 令函数φ（x）=-1-x，x>0， 求导得φ'（x）=->0，函数φ（x）在（0，+∞）上单调递增， 当x>0时，φ（x）>φ（0）=0，t'（x）>0， 函数t（x）在（0，+∞）上单调递增， 当x>0时，t（x）>t（0）=0， 27 即当x>0时，ex-1>x>0，ln（ex-1）>ln， 因此当x>0时，u（x）>0.又an>0，则u（an）>0， 于是ln（-1）-ln an-an>0，an+1>an， 则an<an+1<an， 所以数列{an}具有性质“P（3）”. 28 |思|维|建|模| 数列与集合、函数、不等式，以及数列新定义的综合问题，是高考命题的一个方向，考查逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.解决此类问题，一是把数列看成特殊的函数，利用函数的图象、性质求解；二是将新数列问题转化为等差或等比数列，利用特殊数列的概念、公式、性质，结合不等式的相关知识求解. 29 若对于任意的k∈N*，bk为数列{an}中小于k的项的个数，则称数列{bn}是{an}的“生成数列”. （1）分别写出数列1，0，3，4及，，2，的“生成数列”的前4项； 即时训练 解：由生成数列的定义可知，数列1，0，3，4的“生成数列” 的前4项是1，2，2，3；数列，，2，的“生成数列” 的前4项是0，2，4，4. 30 （2）若数列{an}满足an=2n，且{an}的“生成数列”为{bn}，求{bn}的通项公式； 解：{an}为2，4，6，8，…， 则{an}中小于1的项的个数b1=0， 小于2的项的个数b2=0，小于3的项的个数b3=1， 小于4的项的个数b4=1，小于5的项的个数b5=2， 小于6的项的个数b6=2，…， 31 在{bn}中，当n为奇数时，设n=2k-1，k∈N*， 则小于（2k-1）的偶数有（k-1）个，所以bn=k-1=； 在{bn}中，当n为偶数时，设n=2k，k∈N*， 则小于2k的偶数有（k-1）个，所以bn=k-1=， 所以bn= 32 （3）若{an}为等比数列，且a1=2，公比q=3，{an}的“生成数列”为{bn}，{bn}的“生成数列”为{cn}，求{cn}的通项公式. 解：因为{an}为等比数列，且a1=2，公比q=3， 所以an=2×3n-1.下面我们来证明：cn=an. 因为bk表示{an}中小于k的项的个数， bk+1表示{an}中小于（k+1）的项的个数， 所以易得bk≤bk+1，即0≤b1≤b2≤b3≤…≤bn-1≤bn≤…， 设cn=t，由bt<n，bt+1≥n，可得an≥t，an<t+1. 又因为an∈N*，所以an=t=cn，所以cn=an=2×3n-1. 33 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn （2）记bn=，求证：-+<bi<-+. ∴bi>++…+=- =-+.∵bn===-， ∴bi<++…+=-=-+. 结论得证. $