东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学2026届高三第一次联合模拟考试数学试卷

东北师大附中 2026年高三第一次联合模拟考试 哈尔滨师大附中 数学试卷 辽宁省实验中学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中 选项是符合题目要求的 1.已知集合A={x1<x<1},B={x0≤x≤2，则AUB= A.{x-1<x<2 B.{x-1<x≤2 C.{xl0≤x<1} D.{x0≤x≤2} 2.复数2的共靶复数是 A.i+2 B.-2-i C.-2+i D.2-i 3.样本数据2,8,14,16,20的第60百分位数是 A.14 B.15 C.16 D.18 4.命题“3x∈R,e>lnx+1”的否定是 A.∀x∈R,e≤lnx+1 B.3x∈R,e≤lnx+1 C.VxgR,e*>Inx+1 D.xR,e*>Inx+1 5.设1，m是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，以下说法正确的是 A.若l⊥m,m//a,则1⊥a B.若l/1B,a⊥B,则1⊥a C.若l⊥m,m⊥B,⊥B,则1⊥ D.若l⊥B,m⊥B,m⊥a,则l⊥a 6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1，P为抛物线上一点，作PM⊥1于点M, 为等边三角形，则P点的横坐标为 A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知数列{an},{b}为等差数列，其前n项和分别为Sn,T,且满足(n+1)an=(2n+1)b1,则 S1- t A乌 B号 c.4 只有一个 D.3 8.若定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=f(2),f(x+1)是奇函数， =,则 k A.-1 B.0 C.1 D.2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列关于函数f(x)=sin2x+2sinx（x∈R)的说法正确的是 A.f(x)为奇函数 B.x=元是∫)图象的一条对称轴 3V33V3 C.f(x)为周期函数，且最小正周期为π D.f(x)的值域为[- 2,2 10.己知(2-x)3=a+ax+a2x2+…+agx8,则 A.a0=28 B.41+a2+…+ag=1 C.|a|+|a2|+…+as=38 D.a1+2a2+3a3…+8a3=-8 1.已知双线C手景=e>06>0的离心率为5，其在、右袋点分别为5，月，点4在C 的右支上，直线AF,与C交于另一点B,AB的中点为M,O为坐标原点，则下列说法错误的是 A.存在点A,使得直线AF,的斜率为2 若△PMF -1- B.存在点A,使得∠FAF,=90 C.存在点A,使得OA<AF D.存在点A,使得点M的横坐标为2a 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若向量a,满足a=(（3,4),b=(m,5),且a/,则在a上的投影向量的坐标为 13.圆台母线长为3，上、下底面半径比为1：2，当圆台体积最大时，以此圆台的上、下底面为截面 的球的表面积为 14.有n个编号分别为1,2，，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中为1个红 球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒 子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ,从第n个盒子中取到白球的概率 是 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,且asin A-csin C=(b-c)sinB. (1)求角A: 0 (2)若△ABC为锐角三角形，求二的取值范围， 16.(15分) 截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%.某城市研究 小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联 表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的 偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人. 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 女性驾驶员 合计 300 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析对 燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响， (2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈， 然后从这8人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X,求X的 分布列及数学期望， n(ad-be)2 参考公式及数据：父=a+bc+d)(a+cb+d n=a+b+c+d. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 a 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(15分) 在△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，满足DE∥BC, 且CD=2.将△ADE沿DE折起到△ADE的位置，使AC⊥CD,存在动点M使 AM=1AD(几>0)，如图所示. (1)求证：平面A,CB⊥平面BCDE; (2)当元=二时，求平面CMB与平面MBE夹角的余弦值： (3) 设直线BM与平面A,BE所成角为O，当sinO取得最大值时，求三棱锥VM-cE的体积. D M D 18.(17分) a (1)求椭圆Γ的方程； (2)设A,B,C均为椭圆Γ上的动点. (i)若直线AC、直线BC分别过T的左右焦点，记直线AC、AB、BC的斜率分别为k1,k2,k3, 当k1,k2,k3成等差数列时，求点C的坐标： (ii)若△ABC的重心是坐标原点O,证明：△ABC的面积是定值. 19.(17分) 已知函数f(x)=e-(a∈R). (1)若函数f(x)过原点(0,0)的切线为y=ex,求实数a的值； (2)若函数f(x)的图象与⊙O:x2+y2=r2(r>0)相交于两个不同点A,B,记直线AB的斜率 为k. (i)当r=√2时，求实数a取值范围； ()当r=名时，证明：k< 3 3-东北师大附中 2026年高三第一次联合模拟考试 哈尔滨师大附中 数学参考答案 辽宁省实验中学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的. 题号 2 3 4 6 7 8 答案 心 C B A D C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AD AD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12 13.171π 4近 四、解容题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)由asin A-csinC=(b-c)sinB, 则根据正弦定理有a2-c2=(b-c)b,即a2=b2+c2-bc, --2分 又由余弦定理有a2=b2+c2-2bcc0SA,得2c0sA=1, ---4分 所以在△4BC中，得A= 3 --6分 0<C< (2)由△ABC为锐角三角形，且A= 3,则有 2 得C∈ ππ --8分 62 0< 2-C< 3 即tanC∈ tanc() 即、1 ---10分 根据正弦定理， -1- sin +C b sinB 3 2 cosC+1 ---13分 c sinC sin C sin C 2 16.(15分) 解：(1)由题意，列联表补充如下： -2分 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 120 100 220 女性驾驶员 30 50 80 合计 150 150 300 零假设为H。：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联. --3分 根据列联表数据，计算得 300×(120×50-100×30)2 X2= -5分 220×80×150×150 ≈6.818>6.635=x0.01 根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以推断H。不成立，即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏 好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01. --6分 男性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为100 ≈0.455，女性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为 220 0-0.625,前者明显小于后者.根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女性驾驶员偏好新能源 8 汽车的概率更大。 -7分 (2)由题意，抽取的8人中偏好燃油汽车的人数为3人，偏好新能源汽车的人数为5人.随机变量X 的可能值为0,1,2,3. ---8分 x-08-右-)答- C356 Pr-y智袋mr-88 C 5 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 15 5 56 56 28 28 ----13分 X的数学期望E(X)）=1×15+2× 15 --15分 56 2- 17.(15分) (1)证明：因为∠C=90°，则AC⊥BC,且DE//BC,可得AC⊥DE, 将△ADE沿DE折起到△ADE的位置，始终有DE⊥AD,DE⊥CD, 因为AD∩CD=D,AD,CDc平面ACD,所以DE⊥平面ACD, -2分 由ACC平面ACD,可得DE⊥AC, 且AC⊥CD,CD∩DE=D,CD,DEC平面BCDE, 所以AC⊥平面BCDE. -4分 又ACC平面ACB, 所以面ACB⊥平面BCDE. -5分 解：(2)由(1)可知，AC,CD,CB两两垂直，翻折前，因为DE∥BC,且CD=2, DE AD 4 2 所以AD4,BCAG63所D%8C=2 A 翻折后AD=4, 由勾股定理得AC=VA,D2-CD2=√42-22=2√5， M 所以以C为原点，直线CD,CB,CA分别为x,y,二轴建立 如图所示的空间直角坐标系， -6分 当元=时，C(0,00),4(00,2)，D(20,0,B03,0,E22,0), M1,0,5),可得CM=(1,0,V5),MB=（-1,3,-V5),BE=(2,-1,0), 设平面BMC的法向量m=(,,),则 m.CM=3=0 m-MB=-x+3y-V32,=0 令2，=√3，则x=-3,y=0,可得m=（-3,0V5),7分 nMB=-x2+3y2-V3z2=0 设平面BME的法向量=(x2,2,2),，则 nBE=2x,-y2=0 ---8分 设平面CMB与平面MBE夹角为P -3- mn 3w1-02+5是 则cosp=cos<i,i>= +5可5+ 20 所以平面CMB与平面MBE夹角的余弦值为 ---10分 20 (3)由(2)可知BA=(0-3,25),BE=(2,-1,0),AD=(2,0,-25) p:BA=-3y+23z,=0 设平面ABE的法向量p=(x,为，三3)，则 p·BE=2x-⅓=0 令x=1,则为=2，=5，可得D=1,2,3): --11分 且M22,0,25-25),BM=(2,-3,25-2V5), ----12分 因为直线BM与平面ABE所成角为6， p·BM 则sin=cos<p,BM> DBM 4元 V2 √5 √14 ≤ 2W2×√1622-24元+21 2124 +16 14)2 64 8 V22 21) 7 当且仅当元=乙时，等号成立，sn0取最大值 ----14分 4 g-3由4-子4D得，点到平面C8的距离为3y5,-片×3x3 7 3W535 4 2 3 2 2 所以三楼锥-o的体积为35 --15分 18.(17分) 9-1 解：(1)由题意， 2b=25,解得a=2,b=V3, ---3分 a2=b2+c2 所以箱圆方程为兰+二 =1. -4分 43 D设C则X口曰+力士乃_2= x。-1 x。+1x-1x6-1 -4- 。1 设A,bB34x=4y-1,sx=5+1,其中4二人FK x=y-1 由 3x2+4y=12'消去x,得6+402-6fy-9=0, -9 则yy -9 -9y -3y 31+4 3西+1)2 3x4+6+36525P为2x+5 +4 从而=-1=51,3%.-1=5西。+8 2x+52x。+5 3yo 5x-8 興，可得5” 3y 3yo =k=占业=2。+52x5 则 -x,-5+85x。-8 2x。+52x-5 --8分 3y(2x。-5+2x。+5) 3Xo.Yo (5x。+8)(2x。-5)+(5x。-8)(2x。+5)5(x-4) 由店，k,k成等差数列，得北+k,=2k,即2=2 3xovo x6-15(x6-4) 解得x0,或y,E0合)，或式 >4(舍).相应的，y6=3 所以点C的坐标为(0，±√3) -10分 (i)设C(xo,yo)，A(x,y),B(x2,y2), 当直线AB的斜率不存在时，易得C(2,O),直线AB的方程为x=-1,或C(-2,0),直线AB的方程为 王=1.将x三1代入椭圆的方程，可得川) 所以△ABC的面积S= 3-号 --11分 2 当百线8的解率布在时，A8的中点女子空如=一 2(点差法可得)， 所以直线AB的方程为y+=-3 2 4(2 -5- 即y 3 --12分 令x=0,可得直线AB在y轴上的截距为- 1 将y=3x 代入椭圆的方程，得2+9x+%x+ 3 9 -12=0, 4y。2 4 y 3 40,则+=一65=346 ---14分 3 所以片-s有G+x广-4-9好+8听36 V36-12哈+48-36 3 3 =2ly -16分 又因为0是△ABC的重心，所以Sa4ac=3Sas=2 9 综上，△4C的面积是定值 9 ---17分 19.(17分) 解：(1)在x=x处的切线为y-e-a=ea(x-x),将(0,0)代入得x。=1,a=0-2分 (2)(i)当r=√2时，原问题一x2+2-2a=2有两个不等实根 ---3分 法：设4(-(5<同.分 则0x=2x-2(-2_2x-2]x+ e2x 当-V2<x<-l时，t(x)<0,当-1<x<V2时，1(x)>0 ∴4(x)在(-V2,-1递减，（-1，V2)递增， u(x小值=4(-l)=-e2,4V2)=0,.-e20∈(e2,0）a>-17分 法二：g(x)=x2+e2-2a-2-V5<x<V2)-4分 g'(x)=2x+2e2-2,g"(x)=2+4e2x-2a>0,∴g(x)在R上递增， 3x,∈R,使得g(x)=0,.当x<x时，g(x)<0,当x>x时，g(x)>0 -6- g(x)在当(-o0,x)递减，(x+o)递增， 8(x)横小值=8(x)=七)2-，-2<0→-1<x<V2 5分 又-e2a=点。 e2xo 设(1<<同则r)-2 当-1<<时，1小0，当<5时1k0, 2-方al --7分 2a (i)设A(x,片)，B(x2,y2),不妨设x<x2 则0<e-a<e-a，即0<y<y2,.k>0 X= 2cos8x2=3c0s日2 3 令 2 （6,62e(0,π) 2 2 h/3in0Ecos0-ai=1,2)P8,6是方程a=3co8x 。-8分 3 2cos日+6，） sinoe 又“k= sine-sine, 2 、2 ->0 cose-cos e. -2sin e+02 8-02 tan (2 (2 (2 欲证斥<3 只需正 15.m8k万 n8+02 “气2 tan (2 58,品<号r⊙元<8+0< 4 ----9分 2 2 3 设-x x(xs(.- 则H(x)=- sinx-cosx 2 2(1-cos2x)+3cosx (2cosx+1)(cosx-2) 3 sinx 3sinx 3sinx 当0<x号知时，<0：当号<x<云时，()小0： 3 -7- ---12分 版M闲行-后r< --13分 下面证明4（倒=龙(+（得和-小0 pi-行-r〔 台】 4sin xsin 4 5 》m(}3 3mx-6 6 2sin xsin 6sin xsin 3) 设a=x- π 6 ∈ 26 ,则sina∈ 4sin xsin π）】 X- sinx- =4sin asin a- 6》 3 6 1 =4sina >sin2 a--cos2a =4sin a ina-sina(ina1)<3 故p(x)>0. ---15分 a,)小a到-M4信r-0 又0号威8<r8a+8号.数t --17分 3 -8-