板块三 习题讲评（四）数列中的综合问题 课时验收评价-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略配套课件

课时验收评价 1 2 3 4 1.（13分）（2025·济南模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn= 2an-n，n∈N*， （1）求数列{an}的通项公式；（6分） 解：因为Sn=2an-n（n∈N*）　①，所以a1=2a1-1，解得a1=1. 对任意的n∈N*，Sn+1=2an+1-n-1　②，②-①得an+1=2an+1-2an-1， 即an+1=2an+1，所以an+1+1=2an+1+1=2（an+1）.又因为a1+1=2， 所以数列{an+1}中的项不为0，所以=2，所以数列{an+1}是以 2为首项，2为公比的等比数列，所以an+1=2×2n-1=2n，即an=2n-1. 1 2 3 4 （2）设cn=，记数列{cn}的前n项和为Mn，求证：≤Mn<1.（7分） 解：证明：因为cn===-， 所以Mn=1-+-+…+-=1-（n∈N*）. 因为cn>0，数列{Mn}为递增数列， （说明数列的单调性及项大于0） 所以=M1≤Mn<1，即≤Mn<1. 1 2 3 4 2.（15分）（2025·合肥三模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，其中a4=8，S6=42，数列{bn}的前n项积为Tn，且Tn=（. （1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（8分） 解：设数列{an}的公差为d，则故a1=d=2， 则an=a1+（n-1）d=2n，Sn=na1+=n2+n.依题意，Tn=（， 当n≥2时，Tn=（，Tn-1=（，可得bn==2n，当n=1时，b1=T1==2，符合上式，所以bn=2n.综上所述，an=2n，bn=2n. 1 2 3 4 （2）设Qn为数列{bn}的前n项和，若不等式[（-1）n·λ-Qn]·Qn≤14对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.（7分） 解：由（1）知bn=2n，可得Qn==2n+1-2>0， 故[（-1）n·λ-Qn]·Qn≤14对任意n∈N*恒成立， 即（-1）n·λ≤Qn+对任意n∈N*恒成立， 当n为偶数时，原式化为λ≤Qn+，即λ≤. 1 2 3 4 因为Q2=6>，当n=2时，可得=，所以λ≤； 当n为奇数时，原式化为-λ≤Qn+，即-λ≤， 因为Q1=2<<Q3=14，所以n=1时，Qn+的取值最小，故-λ≤9， 即λ≥-9，综上可得，-9≤λ≤，即实数λ的取值范围为. 1 2 3 4 3.（15分）（2025·新乡模拟）已知数列{an}各项均为正数，且满足a1=1，an≠2，an+1=an（4-an）. （1）求数列{an}的通项公式；（7分） 解：正项数列{an}中，an≠2，a1=1，由an+1=an（4-an）， 得an+1=-+2an，则an+1-2=-，即2-an+1=>0， 2-a1=1>0，于是2-an>0.令cn=2-an，则有cn+1=. 1 2 3 4 因此ln cn+1=-ln 2+2ln cn，即ln cn+1-ln 2=2（ln cn-ln 2）， ln c1-ln 2=ln（2-a1）-ln 2=-ln 2， 则{ln cn-ln 2}是以2为公比，-ln 2为首项的等比数列， 于是ln cn-ln 2=-ln 2·2n-1， 即ln cn=（1-2n-1）ln 2=ln ，解得cn=， 所以数列{an}的通项公式是an=2-. 1 2 3 4 （2）记bn=log2（2-an），数列{bn}的前n项和为Sn，试证明：Sn≤0.（8分） 解：证明：由（1）知2-an=>0，bn=log2（2-an）=1-2n-1，显然 {2n-1}是等比数列，即Sn=b1+b2+…+bn=n-（1+2+…+2n-1）=n-= n+1-2n.令函数f（x）=x-2x+1（x≥1），求导得f'（x）=1-2xln 2， 当x≥1时，2xln 2≥2ln 2=ln 4>ln e=1，则1-2xln 2<0，f'（x）<0， 函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递减，f（x）≤f（1）=0，所以Sn≤0. 1 2 3 4 4.（15分）（2025·天津二模）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，bn∈N*，a2+a8=18，b2b4=81. （1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（5分） 解：设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q， 则有⇒d=2， 所以an=1+（n-1）×2=2n-1.因为⇒q=±3， 又bn∈N*，所以q=3，所以bn=1×3n-1=3n-1，所以an=2n-1，bn=3n-1. 1 2 3 4 （2）求数列的前n项和Sn；（4分） 解：令dn====+ =+， 所以Sn=d1+d2+…+dn=n+ =n+=. 1 2 3 4 （3）已知cn=，数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，不等式 1-Tn<恒成立，求实数λ的取值范围.（6分） 解：由（1）知cn===（2n-1）， 所以Tn=c1+c2+c3+…+cn=1×+3×+5×+…+（2n-1）　①， Tn=1×+3×+…+（2n-1）×　②， 所以①-②得Tn=+2-（2n-1）=+2× -（2n-1）×，解得Tn=1-（n+1）×. 1 2 3 4 由1-Tn<，得1-Tn=（n+1）×<，即λ>（n+1）. 令en=（n+1），所以en-en-1=（n+1）-n=， 所以当n>2时，en-en-1<0，即en<en-1， 所以当n>2时，数列{en}递减. 又e1=e2=，所以λ>，所以λ∈. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $