解三角形微专题07 与平面四边形交汇问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版高中数学必修二解三角形微专题——07 与平面四边形交汇问题 一、题型梳理 题型1、有关四边形中的面积问题 题型2、与四边形有关的面积最值问题 题型3、有关四边形中的边长问题 题型4、与四边形有关的边长最值问题 题型5、有关四边形中的角度问题 题型6、四边形与圆交汇的问题 二、典例讲解 题型1、有关四边形中的面积问题 例1．在凸四边形ABCD中，，E，F分别是边AD，BC的中点，，若以AB，CD为边分别画两个正方形，，再画一个长度、宽度分别为AB，CD的长方形，则所画三个图形，，的面积之和为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 【答案】D 【分析】连接取的中点,连接,构造，在中，再利用余弦定理转化得，从而得解. 【详解】如图， 延长与交于点由，得连接取的中点,连接, 则由三角形中位线定理知，, 在中，由余弦定理得 ,即所以三个图形，，的面积之和为 故选： 例2．在平面四边形中，已知，，，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式可得，在、中分别利用余弦定理可得出关于的等式，求出的值，再利用三角形的面积公式可求得四边形的面积. 【详解】因为，则，在中，由余弦定理可得，① 在中，由余弦定理可得，② 由①②可得，即，故，因此，四边形的面积是 ，故选：B. 例3．已知如图，在平面四边形ABCD中，，，，则平面四边形ABCD的面积为______． 【答案】 【分析】连接，由余弦定理求得，得到，结合， ，得到，得到，即可求得四边形的面积. 【详解】如图所示，连接，在中，因为且， 由余弦定理可得，所以，所以，在中，因为且，可得，又因为，所以， 所以，所以四边形的面积为. 题型2、与四边形有关的面积最值问题 例4．如图，在平面四边形中，为钝角三角形，，则四边形的面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】（方法一）设，利用余弦定理求出，由，求出四边形的面积为，求出最大值； （方法二）四边形的面积，求出最大值. 【详解】（方法一）设，则， 在中，，因为，所以. 四边形的面积为 ，当，即时， 四边形的面积取得最大值，最大值为. （方法二）四边形的面积.故选：B 例5．如图，的内角的对边分别为，且满足，，设，，则四边形面积的最大值为______. 【答案】 【分析】根据条件，利用正弦定理边角转换得到，从而有，由余弦定理得到，再利用三角形面积公式，得到，即可求解. 【详解】由，得到， 整理得到， 所以，得到，所以，又，所以， 又，，所以， 则， 所以四边形的面积为，又， 则，当，即时，四边形的面积最大，最大值为， 例6．如图，在平面四边形中，，，记，． (1)求的值； (2)若的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理，进行转换即可； （2）根据题意，由（1）知，进而计算可求得的最大值. 【详解】（1）在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 所以，所以，所以. （2）由题意知，， 所以， 由（1）知，，所以， 所以 ，所以当时，取得最大值，最大值为. 题型3、有关四边形中的边长问题 例7．如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在和中利用余弦定理和正弦定理即可求解. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得，， 即，，又在中，，，， 由正弦定理得，，即，解得.故选：B. 例8．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的长为（    ） A．9 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】设，利用已知条件得到各边的长度和的大小，代入余弦定理求解即可. 【详解】由题可知在中，，则，不妨设，由知，则，又因为与全等，所以， 由余弦定理可知，解得，而，所以，所以，故选：A 例9．如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，，在中，利用正弦定理可得出，然后在中应用余弦定理可求出的值，由此可求得的长. 【详解】因为，，则，设，则，， 在中，，，故，由正弦定理可得，则，在中，由余弦定理可得， 即，解得，故.故选：C. 题型4、与四边形有关的边长最值问题 例10．如图，在凸四边形ABCD中，，当变化时，对角线BD的最大值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设，求出，利用正弦定理和余弦定理计算表示出，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】设，则，所以，由正弦定理得，则，在中，由余弦定理得 ，所以当时，取到最大值，此时.故选：D 例11．如图所示，边长为1的正三角形中，点，分别在线段，上，将沿线段进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点在线段上，则线段的最小值为_______． 【答案】 【分析】设，，在中利用正弦定理得出关于的函数，从而可得的最小值． 【详解】设，，则，，∴， 在中，由正弦定理可得，即，∴，∴当即时，取得最小值． 例12．如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，，，则_______；若，则的最大值为_______． 【答案】 / / 【分析】连接，由已知结合余弦定理可得，，可填第一空；设，在中，有，利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式化简求解可填第二空. 【详解】连接，中，，， 由余弦定理得， 则，所以是等腰三角形，所以，所以； 设，在中，，所以是等腰三角形， 在中，有，所以，在中，， 由余弦定理得：， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，，所以的最大值是. 题型5、有关四边形中的角度问题 例13．如图，四边形中，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由锐角三角函数可得，再由余弦定理及降幂公式即可求解. 【详解】设，，则， 由余弦定理可得，所以，解得． 故选：B． 例14．如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数，…的图形之一，此图形中的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在BCD中，利用余弦定理求出,再在BAD中，利用余弦定理求出的余弦值. 【详解】在△ABC中，,在BCD中，， 在BAD中，.故选：C 【点睛】方法点睛：解三角形需要三个条件，且至少有一个为边，对于未知的元素可以放到其它三角形中去求解. 例15．如图，在平面四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在△中，由正弦定理，建立的等量关系；再在△中，由正弦定理，再次建立的关系，从而解方程组，消去，即可求得的正切值. 【详解】设，在△中，，则， 又，故由正弦定理可得：，即； 在中，，故，， 故， 又，故由正弦定理可得：，即，； 联立，消去可得：，即，也即，，整理得：，故.故选：B. 题型6、四边形与圆交汇的问题 例16．如图，四边形四点共圆，其中为直径，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用令可得，，在、应用正弦定理，结合三角恒等变换可得，进而求外接圆直径，最后应用勾股定理求. 【详解】令，则，故，， 中，中，又， 故，所以，即，所以外接圆直径，则. 故选：B 例17．如图，四边形的顶点都在圆上，且经过圆的圆心，若圆的半径为4，，四边形的面积为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】因为圆的半径为4，且，所以的等边三角形，得到，所以.用的三角函数表示出四边形的面积，从而求出，计算弦长即可. 【详解】连接，，则是等边三角形，.四边形的面积为 ， 解得.因为，所以.所以是等边三角形，所以. 故选： 例18．已知四边形是圆O的内接四边形，且，，的长是方程的两根，记四边形的面积为，圆O的面积为，则______． 【答案】/ 【分析】解方程求出、，在与中，由余弦定理求出、，再由正弦定理求出圆O的半径，求出、可得答案. 【详解】解方程，可得，， 不妨令，．因为四边形是圆O的内接四边形，所以， 则在与中，由余弦定理可得 ， 整理得，则，则，，．设圆O的半径为R，则，则， ，则． 【跟踪训练】 专题07 与平面四边形交汇问题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在公元前500年左右的毕达哥拉斯学派的数学家们坚信，“万物皆（整）数与（整）数之比”，但后来的数学家发现了无理数，引发了数学史上的第一次数学危机.下图是公元前400年古希腊数学家泰特拖斯用来构造无理数、、，……的图形，此图形中的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理求解. 【详解】在中，， 在中，.故选:D. 2．如图，在四边形ABCD休闲区域中，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC，，且，，，则氢能源环保电动步道AC的长为（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据二倍角的余弦公式，求得，再在△中，由余弦定理，即可求得结果. 【详解】，，，，， ∴由余弦定理得，，. 故选：B. 3．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量､画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，首先用矩测量其直径，如图，矩的较长边为10cm，较短边为5cm，然后将这个圆形木板截出一块四边形木板，该四边形ABCD的顶点都在圆周上，如图，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得圆的直径，结合正弦定理，即可求得的长. 【详解】因为，所以为圆的直径，根据题意，可得，又因为在以为直径的圆上，即以为直径的圆为的外接圆，由正弦定理，可得.故选：A. 4．如图，在四边形中，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，再利用三角函数表示，，再在中利用余弦定理求出，最后求三角函数的最值即可. 【详解】设，则，， 则在中利用余弦定理得， 当，即时，取得最小值.故选：C 5．如图，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，则四边形OPDC面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据余弦定理得到，再利用四边形OPDC面积结合三角函数的性质即可求解. 【详解】设， 在中，由余弦定理得：， 所以四边形OPDC面积 因为，所以，所以当，即时，四边形OPDC面积的最大值为 .故选：D 6．如图，在平面四边形中，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】首先在中，根据已知条件求出的长度.然后在中，利用余弦定理建立的关系，最后结合基本不等式求出的最小值. 【详解】在中，已知，，，即.所以， 同时. 在中，，根据余弦定可得：， 即. 由基本不等式（当且仅当时取等号）. 将代入中，得到.设，则.解得，即.当且仅当取得最值.故选：B. 7．如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】连接，在中，，， 由余弦定理可得， 在中，，由余弦定理可得 ，即，当且仅当时，等号成立， 所以，，即面积的最大值为.故选：A. 8．已知四边形ABCD满足，且其外接圆半径为，四边形ABCD的周长记为L，若的面积，则当L取最大值时，四边形ABCD的面积为（   ） A．10 B．15 C． D． 【答案】A 【分析】利用面积可求，利用余弦定理结合不等式可求周长最大时四边形ABCD的面积. 【详解】因为，所以， 由余弦定理，代入上式可得， 不妨设,则由可得或（舍），所以， 在中，由可得；由可得，所以，即,当且仅当时，取等号.又，所以.同理可求，当且仅当时，取等号. 所以当L取最大值时，四边形ABCD的面积为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在圆的内接四边形中，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．四边形的面积为 【答案】AD 【分析】连接，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出判断A；利用数量积的定义、余弦定理、三角形面积公式求解判断BCD. 【详解】在圆内接四边形中，连接，，， 对于A，由余弦定理得，， 即，解得，而，则，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，解得，C错误； 对于D，四边形的面积，D正确. 故选：AD 39．在扇形中，，点在弧上运动且不与点重合，于点，与点，则（     ） A．的长为定值 B．的大小为定值 C．面积的最大值为 D．四边形的面积的最大值为 【答案】ABC 【分析】连结，利用几何性质可判断AB，利用余弦定理和基本不等式可求面积的最大值，可判断C，记，利用三角恒等变换结合正弦函数性质求得四边形面积最值即可判断D. 【详解】如图，连结，则，故， 故选项A正确；又， 故选项B正确；在中，， 所以，即， 当且仅当时等号成立，所以， 而，故，故，故选项C正确； 记，则，所以四边形ODCE的面积 ，所以当即时，四边形ODCE的面积取得最大值为，因此选项D错误. 故选：ABC 11．如图，在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点且B、D在直线AC异侧，，，则下列说法正确的是（    ） A．是等边三角形 B．若，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形ABCD面积的最小值为 D．四边形ABCD面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由正弦定理的边角互化即可得到，从而判断A，由余弦定理即可得到，从而判断B，由三角形的面积公式代入计算，即可判断CD. 【详解】，根据正弦定理得， 即，，显然，则，根据题意，有， 又，可得，，为等边三角形，故A正确； ，，在中，， 当时，，，即，A，B，C，D共圆，B正确． 又， 四边形ABCD面积， ，，，则， 所以四边形ABCD的面积没有最小值，C错误．当，即时，四边形ABCD面积取最大值，故D正确．故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在平面四边形中，已知，，，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】以为变量，在和中，分别利用余弦定理和正弦定理将表示为关于的函数，再利用三角恒等变换和三角函数的最值进行求解． 【详解】设，在中，由正弦定理，得，即， 即，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ，其中，为锐角，则，即的最小值为． 13．如图，在平面四边形中，，，，，则_________. 【答案】/ 【分析】设，由正弦定理得，，两式相除即可求出. 【详解】设，在中，由正弦定理可得①， 由可得，则，， 在中，由正弦定理可得②，①②两式相除，得， 即，整理得，故. 14．在圆内接四边形中，，，，则四边形面积为 ____． 【答案】． 【分析】利用余弦定理可求，解得，结合范围，利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】因为为圆内接四边形，所以，则， 利用余弦定理得，， 所以，解得，所以， 由，，得，因为，所以， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某小区拟在一个圆形的空地上，规划一个形状为四边形的花园，如图，四边形内接于圆，为草坪区，为花卉区，根据规划已知米，米，． (1)当时，求边的长； (2)若小径从点直通点，当线段最长时，求花卉区的面积． 【答案】(1)米；(2)平方米. 【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得到，根据余弦定理求出，再使用正弦定理求解即得. （2）当为圆的直径时，最长，在中，由正弦定理求出直径长，并在和中，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）由四边形内接于圆，，得， 在中，由余弦定理得， 则，在中，由正弦定理得，所以（米）. （2）当为圆的直径时，最长，在中，， 由正弦定理得， 在中，， 在中，，， 所以花卉区的面积为平方米. 16．如图，在四边形中，，，平分且与相交于点． (1)若的面积为，求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，再在中，利用三角形的面积公式，列出方程，求得，结合余弦定理，即可求解； （2）根据题意，求得，结合正弦定理，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）在中，，且，可得， 在中，， 可得，， 在中，，， 可得，由， 可得，解得， 又由余弦定理得：， 所以，所以. （2）因为， 在中，，，可得，， 所以， 由正弦定理，可得，解得， 所以，所以. 17．为助力第四届湖南旅游发展大会，提高游客舒适度，岳阳政府决定新增若干休闲区域.如图，某休闲区域是四边形，其四周是步道，中间是花卉种植区域，为方便观赏，中间穿插了步道，已知，，，. (1)求步道的长； (2)若________；求花卉种植区域总面积. 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【分析】（1）在三角形中，由余弦定理求解即可； （2）若选①，先求出，再由展开可求出，再由面积公式得出结果，若选②，在中由余弦定理得，再由三角形面积公式得解. 【详解】（1）∵，∴，∴.∵，， ∴由余弦定理得，∴. （2）若选①：，在中，由正弦定理得 ∵，∴.由（1）知.代入上式可得，解得， ∵. ∴. ∵，∴.∴. ∴花卉种植区域总面积为. 若选②：∵，∴. 在中，由余弦定理得：，∴① ∵，∴② ①-②得：，∴ ∵，∴.∴. ∴花卉种植区域总面积为. 18．如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，． (1)证明：； (2)若. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求线段长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）; （Ⅱ） 【分析】（1）结合图形，先找到的数量关系式，再运用诱导公式推理即得； （2）（Ⅰ）在中，运用正弦定理得到，结合（1）结论，联立解方程即可求得； （Ⅱ）在中，分别运用正、余弦定理得到，两式，结合式，在中，利用余弦定理将用的三角函数表示，并运用辅助角公式化成正弦型函数，利用三角函数的值域即得. 【详解】（1）证明：∵，∴， 在中，， 可得， ∴，即. （2）（Ⅰ）在中，由正弦定理得，可得，∴， ∵，∴，可得，即，                          解得或（舍去），∵，∴.                                                    （Ⅱ）在中，由正弦定理得，即，          由余弦定理得， ∵，，∴，∴， 在中，由余弦定理得 ，    ∵，∴，∴，    ∴，解得. 19．如图，在平面四边形中，，与交于点，记. (1)用表示； (2)求四边形面积的取值范围； (3)当为何值时，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理求得，由四点共圆得到，再由正弦定理求得； （2）由题意得四边形的面积，代入边后由三角恒等变换化简，由取值范围求得四边形面积的取值范围； （3）由题意得，然后得分别求得，由此得到它们之间的关系.由题意建立方程后解得的值. 【详解】（1）由及正弦定理，得，即，解得.又，所以.又，所以四点共圆， 所以.因为，所以由正弦定理，得， 即，所以. （2）由题意得四边形的面积. 易知是四边形外接圆的直径，所以，所以，所以， 所以. 因为，所以，所以， 所以四边形面积的取值范围是. （3）由题意，得，， ，所以. 因为，所以.又，所以， 所以当，即时，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高中数学必修二解三角形微专题——07 与平面四边形交汇问题 一、题型梳理 题型1、有关四边形中的面积问题 题型2、与四边形有关的面积最值问题 题型3、有关四边形中的边长问题 题型4、与四边形有关的边长最值问题 题型5、有关四边形中的角度问题 题型6、四边形与圆交汇的问题 二、典例讲解 题型1、有关四边形中的面积问题 例1．在凸四边形ABCD中，，E，F分别是边AD，BC的中点，，若以AB，CD为边分别画两个正方形，，再画一个长度、宽度分别为AB，CD的长方形，则所画三个图形，，的面积之和为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 例2．在平面四边形中，已知，，，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 例3．已知如图，在平面四边形ABCD中，，，，则平面四边形ABCD的面积为______． 题型2、与四边形有关的面积最值问题 例4．如图，在平面四边形中，为钝角三角形，，则四边形的面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 例5．如图，的内角的对边分别为，且满足，，设，，则四边形面积的最大值为______. 例6．如图，在平面四边形中，，，记，． (1)求的值； (2)若的面积为，的面积为，求的最大值． 题型3、有关四边形中的边长问题 例7．如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（    ） A．1 B． C． D． 例8．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的长为（    ） A．9 B． C．3 D． 例9．如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型4、与四边形有关的边长最值问题 例10．如图，在凸四边形ABCD中，，当变化时，对角线BD的最大值为（   ） A．3 B．4 C． D． 例11．如图所示，边长为1的正三角形中，点，分别在线段，上，将沿线段进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点在线段上，则线段的最小值为_______． 例12．如图，在平面四边形中，点与点分别在直线的两侧，，，则_______；若，则的最大值为_______． 题型5、有关四边形中的角度问题 例13．如图，四边形中，，，，，则（   ） A． B． C． D． 例14．如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数，…的图形之一，此图形中的余弦值是（    ） A． B． C． D． 例15．如图，在平面四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 题型6、四边形与圆交汇的问题 例16．如图，四边形四点共圆，其中为直径，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 例17．如图，四边形的顶点都在圆上，且经过圆的圆心，若圆的半径为4，，四边形的面积为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 例18．已知四边形是圆O的内接四边形，且，，的长是方程的两根，记四边形的面积为，圆O的面积为，则______． 【跟踪训练】 专题07 与平面四边形交汇问题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在公元前500年左右的毕达哥拉斯学派的数学家们坚信，“万物皆（整）数与（整）数之比”，但后来的数学家发现了无理数，引发了数学史上的第一次数学危机.下图是公元前400年古希腊数学家泰特拖斯用来构造无理数、、，……的图形，此图形中的余弦值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形ABCD休闲区域中，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC，，且，，，则氢能源环保电动步道AC的长为（    ） A．1 B． C．3 D．2 3．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，用来测量､画圆和方形图案的工具.有一圆形木板，首先用矩测量其直径，如图，矩的较长边为10cm，较短边为5cm，然后将这个圆形木板截出一块四边形木板，该四边形ABCD的顶点都在圆周上，如图，若，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 5．如图，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，则四边形OPDC面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 6．如图，在平面四边形中，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 7．如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．已知四边形ABCD满足，且其外接圆半径为，四边形ABCD的周长记为L，若的面积，则当L取最大值时，四边形ABCD的面积为（   ） A．10 B．15 C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在圆的内接四边形中，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．四边形的面积为 10．在扇形中，，点在弧上运动且不与点重合，于点，与点，则（     ） A．的长为定值 B．的大小为定值 C．面积的最大值为 D．四边形的面积的最大值为 11．如图，在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点且B、D在直线AC异侧，，，则下列说法正确的是（    ） A．是等边三角形 B．若，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形ABCD面积的最小值为 D．四边形ABCD面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在平面四边形中，已知，，，，则的最小值为__________． 13．如图，在平面四边形中，，，，，则_________. 14．在圆内接四边形中，，，，则四边形面积为 ____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某小区拟在一个圆形的空地上，规划一个形状为四边形的花园，如图，四边形内接于圆，为草坪区，为花卉区，根据规划已知米，米，． (1)当时，求边的长； (2)若小径从点直通点，当线段最长时，求花卉区的面积． 16．如图，在四边形中，，，平分且与相交于点． (1)若的面积为，求； (2)若，求的面积． 17．为助力第四届湖南旅游发展大会，提高游客舒适度，岳阳政府决定新增若干休闲区域.如图，某休闲区域是四边形，其四周是步道，中间是花卉种植区域，为方便观赏，中间穿插了步道，已知，，，. (1)求步道的长； (2)若________；求花卉种植区域总面积. 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 18．如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，． (1)证明：； (2)若. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求线段长度的取值范围． 19．如图，在平面四边形中，，与交于点，记. (1)用表示； (2)求四边形面积的取值范围； (3)当为何值时，. 学科网（北京）股份有限公司 $