16 第三章 方法专题二二次函数的最值问题 -【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学讲练本PPT课件

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数最值这一核心考点，严格对接中考考查要求，系统梳理全体实数内最值、定轴定区间、动轴定区间等5种类型，通过分析近三年考点分布明确高频考查方向，归纳典型题型及解题路径，体现备考的针对性与实用性。 课件亮点在于融合中考真题训练与应试技巧指导，如结合2025济南历城一模等真题，示范动轴定区间问题中对称轴位置分类讨论方法，培养学生数学思维与几何直观。通过“方法总结+例题解析”模式帮助学生掌握最值求解策略，助力中考冲刺，为教师提供系统复习框架，提升教学效率。

1 2 3 类型1　已知函数表达式,在全体实数内求最值 【学会方法】 依据:二次函数图象的顶点纵坐标为最大值或最小值 方法一 方法二 方法三 转化为顶点式y=a(x-h)2+k 利用坐标公式 (-,) 先求出对称轴x=-,再代入 表达式求值 4 【运用方法】 1.二次函数y=2x2-8x-2的最小值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A.-2 B.-10 C.-6 D.6 【解析】 ∵二次函数y=2x2-8x-2=2(x-2)2-10, ∴二次函数y=2x2-8x-2的最小值是-10. 5 2.若二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点的坐标是(-1,-3),则b,c的值 分别是(　　) A.b=2,c=4 B.b=-2,c=-4 C.b=2,c=-4 D.b=-2,c=4 【解析】 ∵二次函数y=-x2+bx+c的二次项系数-1<0, ∴该函数图象的开口方向向下, ∴二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点坐标为(-1,-3)就是该函数图象的顶点坐标, ∴-1=-,即b=-2;① -3=,即b2+4c+12=0,② 由①②解得b=-2,c=-4. 6 类型2　定轴定区间(对称轴确定,在自变量取值范围内的最值) 【学会方法】 定轴定区间是区间最值的最基础部分,涉及方法共三种. ①数形结合:根据二次函数的表达式进行描点作图,在图象中标注二次函数在x取值范围内的函数图象范围,进行y值的大小比较. ②代入法:代入x的端点值和顶点,进行判断. ③性质:通过二次函数的性质比较大小 7 判断增减性 根据函数在自变量取值范围内的增减性: ①开口向下时,在对称轴左侧,y随x的增大而增大,在对称轴右侧,y随x的增大而减小. ②开口向上时,在对称轴左侧,y随x的增大而减小,在对称轴右侧,y随x的增大而增大 8 根据与对称轴的 距离判断大小 ①开口向下时,离对称轴越远,y值越小; ②开口向上时,离对称轴越远,y值越大 9 【运用方法】 3.二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(1,0),(2,3),在a≤x≤6范围内的最大值为4,最小值为-5,则a的取值范围是(　　) A.a≥6 B.3≤a≤6 C.0≤a≤3 D.a≤0 10 【解析】 将(1,0),(2,3)分别代入y=-x2+bx+c 得解得 ∴二次函数的表达式为y=-x2+6x-5. ∵y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4, ∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=3,函数有最大值4. 把y=-5代入y=-x2+6x-5得-5=-x2+6x-5, 即-x2+6x=0,解得x1=0,x2=6. ∵在a≤x≤6范围内的最大值为4,最小值为-5, ∴0≤a≤3. 11 4.已知二次函数y=2x2-8x+1. (1)当0≤x≤1时,函数的最大值为_________,最小值为_________;  (2)当1≤x≤3时,函数的最大值为_________,最小值为_________;  (3)当3≤x≤6时,函数的最大值为_________,最小值为_________.  1 -5 -5 -7 25 -5 12 类型3　动轴定区间(对称轴不确定,在自变量取值范围内的最值) 【学会方法】 图形(以开口 向上为例) 结论(m≤x≤n, 需将表达式进 行顶点式转 化) 当对称轴在m左侧时(-<m),y在x=m时取最小值,在x=n时取最大值 当对称轴在m,n之间时(m<-<n),y在x= -时取最小值(顶点纵坐标),在x=m 或x=n时取最大值 当对称轴在n右侧时(->n),y在x=n时取最小值,在x=m时取最大值 13 【运用方法】 5.已知二次函数y=-x2+2mx-3(m>0)在自变量-1≤x≤3时,其对应的函数值y 的最大值为1,则m的值为(　　) A.4 B. C.2 D.1 14 【解析】 对于二次函数y=-x2+2mx-3(m>0), 其图象的对称轴是直线x=-=m,且抛物线开口向下,当x<m时,y随x的增大而增大,当x>m时,y随x的增大而减小. ①若-1<0<m<3,则当x=m时,y取得最大值-m2+2m2-3=m2-3=1,∴m=2或m=-2(舍去). ②若m≥3,则当x=3时,y取得最大值-9+6m-3=1, ∴m=<3,不合题意. 综上所述,m=2. 15 6.已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下, 与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为(　　) A.3或5 B.-1或1 C.-1或5 D.3或1 16 【解析】 ∵1>0,∴当x>h时,y随x的增大而增大,当x<h时,y随x的增大而减小. ①若h<1≤x≤3,则当x=1时,y取得最小值5, ∴(1-h)2+1=5,解得h=-1或h=3(舍去). ②若1≤x≤3<h,则当x=3时,y取得最小值5, ∴(3-h)2+1=5,解得h=5或h=1(舍去); ③当1≤h≤3时,y的最小值为1,不符合题意. 综上所述,h的值为-1或5. 17 类型4　定轴动区间(对称轴确定,自变量取值范围不确定) 【学会方法】 定轴动区间恰好与动轴定区间相反,即抛物线的对称轴固定,x的取值范围在变化,所以这部分的内容只是动轴定区间的逆运用,在已知抛物线的对称轴的前提下,考虑区间在对称轴的两侧或对称轴在区间内 18 图形(以开口 向上为例) 结论(t2≤x≤t1) 当-<t2<t1时,y在x=t2时取最小值,在x=t1时取最大值 当t2<-<t1时,y在x= -时取最小值,最大值需根据对称轴与t2,t1的距离进行判断 当t2<t1<-时,y在x=t1时取最小值,在x=t2时取最大值 19 【运用方法】 7.(2024·济南历下二模)已知点M(x1,y1),N(x2,y2)是二次函数y=ax2-6ax+2 (a>0)图象上的任意两点.若对于t<x1<t+1,t+1<x2<t+2,都有y1<y2<2, 则t的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1≤t≤ B.≤t≤4 C.1≤t≤3 D.3≤t≤4 20 【解析】 ∵二次函数y=ax2-6ax+2(a>0), ∴图象开口向上,对称轴为直线x=3, ∴点(0,2)和(6,2)关于对称轴对称. ∵点M(x1,y1),N(x2,y2)是二次函数y=ax2-6ax+2(a>0)图象上的任意两点,且y1<y2, ∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离. ∵t<x1<t+1,t+1<x2<t+2, ∴≥3且6≥t+2,∴≤t≤4. 21 8.在平面直角坐标系xOy中,若点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为雅系点.已知二次函数y=ax2-4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个雅系点(-,-),且当m≤x≤0时,函数y=ax2-4x+c+(a≠0)的最小值为-6,最大值为-2,则m的取值范围是(　　) A.-1≤m≤0 B.-<m≤-2 C.-4≤m≤-2 D.-≤m<- 22 【解析】 令ax2-4x+c=x,即ax2-5x+c=0. 由题意得Δ=(-5)2-4ac=0,即4ac=25. 又∵方程的根为=-,解得a=-1,c=-, ∴函数表达式为y=ax2-4x+c+=-x2-4x-6. ∵y=-x2-4x-6=-(x+2)2-2, ∴函数图象开口向下,顶点为(-2,-2),与y轴交点坐标为(0,-6),由对称性知该函数图象也经过点(-4,-6),如图. 23 由于函数图象在对称轴直线x=-2左侧时,y随x的增大而增大,在对称轴直线x=-2右侧时,y随x的增大而减小,且当m≤x≤0时,函数y=-x2-4x-6的最小值为-6,最大值为-2, ∴-4≤m≤-2. 24 类型5　含参区间范围问题 【学会方法】 解题 步骤 ①明确开口方向:利用题目给的条件推出图象的开口方向. ②利用函数增减性反推对称轴位置:利用题目给定的增减性信息,无论开口方向如何,给定的增减性条件都能确定对称轴相对于自变量x取值的位置范围 (在左边或在右边),求出对称轴满足的不等式,这是分类讨论的基础. ③分类讨论动态区间与对称轴的相对位置:对称轴在区间左侧;对称轴在区间内部;对称轴在区间右侧.(注意:根据得到的对称轴范围的限制,排除掉不可能出现的情况) ④分情况求最值: 在每一种分类情形下,利用二次函数在区间上的增减性规律或顶点位置,直接写出该区间上的最大值或最小值 25 图形(以 开口向 上为例) 结论(m≤x≤n) 当x=n时,y取最大值;当x=m 时,y取最小值 当x=n时,y取最大值;当x=-时,y取最小值 当x=m时,y取最大值;当x=-时,y取最小值 当x=m时,y取最大值;当x=n 时,y取最小值 26 【运用方法】 9.已知抛物线y=x2+(2m-6)x+m2-3 与y轴交于点A,与直线x=4交于点B,当 x>2时,y值随x值的增大而增大.记抛物线在线段AB下方的部分为G(包含 A,B两点),M为G上任意一点, 设点M的纵坐标为t,若t≥-3,则m的取值范围 是( ) A.m≥ B.≤m≤3 C.m≥3 D.1≤m≤3 27 【解析】 将y=x2+(2m-6)x+m2-3化为顶点式为y=(x+m-3)2+6m-12,则对称轴为直线x=3-m. ∵当x>2时,y值随x值的增大而增大, ∴3-m≤2,解得m≥1. ∵M为G上任意一点,点M的纵坐标为t,t≥-3, ∴当x=3-m时,y≥-3,即6m-12≥-3,解得m≥, ∴m的取值范围为m≥. 28 10.(2025·济南历城一模)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a<0)经过(-1,1), (m,1)两点,且m>-1.点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,当x1+x2≥-且x1>x2时, 总有y1<y2,则m的取值范围是(　　) A.-1<m≤ B.-1<m< C.m≥ D.m> 29 【解析】 ∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a<0)经过(-1,1),(m,1)两点, ∴抛物线的对称轴为直线x=,抛物线上的点离对称轴越远,则函数值越小. ∵x1>x2,总有y1<y2, ∴点A(x1,y1)离对称轴的距离远,点B(x2,y2)离对称轴的距离近,则点A(x1,y1) 一定在对称轴右侧. 又∵x1+x2≥-,即≥-, ∴对称轴直线x=<-,可得m<. ∵m>-1,∴-1<m<. 30 11.(2025·济南历下二模)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是二次函数y=x2-bx+c的图象上任意两点,设x2-x1=t.若当-2<x1<2且-1<b<4时,都有y2>y1,则t的取值范围是(　　) A.t<-4或t>7 B.t≤-5或t≥8 C.t<-5或t>7 D.t<-4或t>8 31 【解析】 ∵y=x2-bx+c, ∴函数图象开口向上,对称轴为直线x=-=. ∵-1<b<4,∴-<<2. ∵x2-x1=t,-2<x1<2,∴x2=t+x1, ∴t-2<x2<t+2,∴t-4<x1+x2<t+4. ①当t>0时,x2>x1. ∵当-2<x1<2且-1<b<4时,都有y2>y1, ∴点A(x1,y1),B(x2,y2)的中点在对称轴的右侧, 则≥2,即x1+x2≥4,∴t-4≥4,∴t≥8. 32 ②当t<0时,x2<x1. ∵当-2<x1<2且-1<b<4时,都有y2>y1, ∴点A(x1,y1),B(x2,y2)的中点在对称轴的左侧, 则≤-,即x1+x2≤-1, ∴t+4≤-1,∴t≤-5. 综上所述,t的取值范围是t≤-5或t≥8. 33 34 $