15 第三章 第六节 二次函数的图象与性质 -【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学讲练本PPT课件

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数核心考点，严格对接中考说明，系统梳理表达式、图象性质、平移对称及与方程不等式关系等内容，分析6年6考的确定表达式、图象性质等高频考点权重，归纳表达式求解、最值计算等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于中考真题训练与分层透解，如2024济宁真题示范抛物线平移后与x轴交点问题，用根的判别式转化方程解的个数，培养数学思维。易错点加练帮助学生规避忽视自变量范围等问题，教师可依此设计专题复习，助力学生掌握解题通法，提升中考冲刺效率。

1 2 第六节　二次函数的图象与性质 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 难点分层透解 好题随堂演练 4 知识点1　二次函数的概念及表达式 1.一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数. 2.二次函数表达式的三种形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0),顶点坐标是(h,k). (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是二次函数的图象与x轴交点的横 坐标,a≠0. 5 知识点2　二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象与性质 表 达 式 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 对 称 轴 直线x=- 顶　　点 ________________ a的符号 a>0 a<0 图　　象 (-,) 6 开口方向 开口向上 开口向下 最　　值 当x=-时,y最小= 当x=-时,y最大= 最　　点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增 减 性 当x<-时,y随x的增大而 　;  当x>-时,y随x的增大而 　  当x<-时,y随x的增大 而 　;  当x>-时,y随x的增大 而 　  减小 增大 增大 减小 7 【解题通法】 求函数最值的常用方法 　　求函数的最值时,若自变量的取值范围为x1≤x≤x2: ①若对称轴在该范围内,则最大、最小值都存在,分别在顶点和一端点处取得. ②若对称轴不在该范围内,则最大、最小值随函数的增减性知分别在端点处取得. 8 2.二次函数图象的特征与a,b,c的关系 字母 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧 9 字母 字母的符号 图象的特征 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点) b2-4ac>0 与x轴有两个交点 b2-4ac<0 与x轴没有交点 10 知识点3　抛物线的平移与对称 平移与对称 原表达式 变换形式 变换后的表达式 将二次函数表达式转化成顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标,再保持抛物线形状不变,根据情况变换a的符号和顶点坐标即可 y=a(x-h)2+k 向左平移m(m>0) 个单位长度 y=a(x-h+m)2+k 向右平移m(m>0) 个单位长度 ______________ 向上平移m(m>0) 个单位长度 y=a(x-h)2+k+m y=a(x-h-m)2+k 11 平移与对称 原表达式 变换形式 变换后的表达式 将二次函数表达式转化成顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标,再保持抛物线形状不变,根据情况变换a的符号和顶点坐标即可 y=a(x-h)2+k 向下平移m(m>0) 个单位长度 ______________ 关于x轴对称 ______________ 关于y轴对称 y=a(x+h)2+k 绕顶点旋转180° y=-a(x-h)2+k 绕原点旋转180° ______________ y=a(x-h)2+k-m y=-a(x-h)2-k y=-a(x+h)2-k 12 平移与对称 原表达式 变换形式 变换后的表达式 将二次函数表达式转化成一般式y=ax2+bx+c,进行对称变换 y=ax2+bx+c 关于x轴对称 ______________ 关于y轴对称 y=ax2-bx+c 关于原点对称 ______________ y=-ax2-bx-c y=-ax2+bx-c 13 知识点4　二次函数与方程、不等式的关系 1.与方程的关系 (1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0); 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横 坐标. (2)①b2-4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根,抛物线与x轴有　 　个交点;  ②b2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根,抛物线与 x轴有且只有　 　个交点;  ③b2-4ac<0⇔方程没有实数根,抛物线与x轴　 　交点.  两 一 没有 14 2.与不等式的关系 ax2+bx+c>0的解集是x<x1或x>x2 ax2+bx+c<0的解集是x1<x<x2 ax2+bx+c>0的解集是x1<x<x2 ax2+bx+c<0的解集是x<x1或x>x2 15 命题点1　确定二次函数的表达式6年6考　 1.【典例】 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标为(-1,0), (3,0),且过点(1,-2),则该二次函数的表达式为__________.  y=x2-x- 16 【解析】 ∵该二次函数的图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0), ∴设其表达式为y=a(x+1)(x-3). 将(1,-2)代入解得a=, ∴该二次函数的表达式为y=(x+1)(x-3)=x2-x-. 17 【解题通法】 确定二次函数表达式的步骤 ①根据条件设表达式:对于二次函数y=ax2+bx+c,若系数a,b,c中有一个 未知,则代入图象上任意一点坐标;若有两个未知,则代入图象上任意两点坐标;若三个都未知,则根据表中所给点的坐标选择适当的表达式. 18 已知 所设表达式 顶点+其他点 y=a(x-h)2+k 与x轴的两个交点+其他点 y=a(x-x1)(x-x2) 与x轴的一个交点+对称轴+其他点 任意三个点 y=ax2+bx+c ②代入点坐标:将已知点坐标代入相应表达式中,得到关于系数的方程(组). ③求解:解方程(组)求出系数的值,从而得出函数的表达式. 19 2.已知二次函数图象的顶点坐标为(-2,4),且与y轴交点的纵坐标是8,则该 二次函数的表达式为________________.  y=x2+4x+8 【解析】 ∵该二次函数图象的顶点坐标为(-2,4),∴设其表达式为y=a(x+2)2+4. 由题意知其函数图象经过点(0,8), ∴8=a(0+2)2+4,解得a=1, ∴该二次函数的表达式为y=(x+2)2+4=x2+4x+8. 20 3.已知二次函数图象的对称轴为直线x=2,且经过点(3,1),(0,-5),则该二次 函数的表达式为________________.  y=-2x2+8x-5 【解析】 设y=ax2+bx+c. 由题意得解得 ∴该二次函数的表达式为y=-2x2+8x-5. 21 4.已知二次函数图象的对称轴为直线x=2,且在x轴上截得的线段长为6, 与y轴的交点为(0,-2),则该二次函数的表达式为_____________.  y=x2-x-2 【解析】 ∵二次函数图象的对称轴为直线x=2,且在x轴上截得的线段长为6, ∴图象与x轴的两个交点坐标为(-1,0)和(5,0). 设该二次函数的表达式为y=a(x+1)(x-5), 将(0,-2)代入得-2=-5a,∴a=, ∴该二次函数的表达式为y=(x+1)(x-5)=x2-x-2. 22 5.已知一个二次函数图象的形状与抛物线y=2x2-3的相同,但开口方向相 反,且它的顶点坐标是(-2,5),则这个二次函数的表达式为____________.  y=-2x2-8x-3　 【解析】 设该二次函数的表达式为y=a(x+2)2+5. ∵其图象的开口大小与抛物线y=2x2-3相同且开口方向相反, ∴a=-2,∴y=-2(x+2)2+5=-2x2-8x-3. 23 命题点2　二次函数的图象与性质6年6考　 6.【典例】 【一题多设问】 已知二次函数y=ax2+bx+c,下表给出了两个变量x,y的几组数值. x … -1 0 1 2 3 4 … y … 0 -3 -4 -3 0 5 … 24 (1)该函数的图象开口向____,对称轴为直线_____,顶点坐标为_______, 函数的最小值为____,该二次函数的图象与y轴的交点坐标为_______, 与x轴的交点坐标为____________.  (2)-3≤x≤0时,y的最大值为____,最小值为____.  (3)当-1≤x≤2时,y的最大值为___,最小值为_____.  (4)如果(-3,y1),(2,y2),(6,y3)在该二次函数图象上,那么y1,y2,y3之间的大小关 系是__________.  上 x=1 (1,-4) -4 (0,-3) (3,0)和(-1,0) 12 -3 0 -4 y3> y1> y2 25 (5)已知A(m,n)是该二次函数图象上一点. ①若点A关于对称轴对称的点为B,且点B的坐标为(5,12),则点A的坐标为 _________.  ②若点A与对称轴的距离为5,则点A的坐标为_______________;当n=4时, 满足条件的点A有____个.  (6)若(3,y1),(d,y2)是该二次函数图象上不同的两点,且y2=y1+5,则d的值为 ________.  (7)二次函数的图象与x轴所围成的区域内(不含边界)整点(横、纵坐标都 为整数的点)的个数为__.  (-3,12) (6,21)或(-4,21) 2 4或-2 7 26 7.已知抛物线y=ax2-2ax-2+a2(a≠0). (1)求这条抛物线的对称轴; (2)若抛物线的顶点在x轴上,求其表达式; (3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若y1<y2,求m的取值范围. 27 解:(1)∵抛物线y=ax2-2ax-2+a2=a(x-1)2+a2-a-2, ∴抛物线的对称轴为直线x=1. (2)∵y=a(x-1)2+a2-a-2, ∴抛物线的顶点坐标为(1,a2-a-2). ∵抛物线的顶点在x轴上, ∴a2-a-2=0,∴a=2或-1. ①当a=2时,y=2x2-4x+2; ②当a=-1时,y=-x2+2x-1. (3)易知点Q关于抛物线对称轴对称的点为(-1,y2). ①当a>0时.∵y1<y2,∴-1<m<3. ②当a<0时.∵y1<y2,∴m>3或m<-1. 28 命题点3　二次函数与方程、不等式的关系 6年0考 8.【典例】 【转化思维】 (2024·济宁)将抛物线y=x2-6x+12向下平移 k个单位长度.若平移后得到的抛物线与x轴有公共点,则k的取值范围是 _________.  思维导引:表示出平移后抛物线的表达式→将新抛物线与x轴有公共点转化为一元二次方程的解的个数→利用根的判别式求解. k≥3 29 【解析】 抛物线y=x2-6x+12向下平移k个单位长度得到抛物线y=x2-6x+12-k. ∵平移后得到的抛物线与x轴有公共点, ∴x2-6x+12-k=0有解,∴Δ=b2-4ac=-12+4k≥0, 则k≥3. 30 9.已知二次函数y=a(x+k)2+h(a,k,h均为常数,a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标分别为-2和5,则关于x的一元二次方程a(x+k+2)2+h=0 的两个实数根分别是(　　) A.x1=-4,x2=3 B.x1=3,x2=7 C.x1=0,x2=7 D.x1=0,x2=3 31 【解析】 设二次函数y1=a(x+k+2)2+h. ∵y=a(x+k)2+h, ∴y的图象向左平移2个单位长度得到y1的图象. ∵二次函数y的图象与x轴的交点的横坐标分别为-2和5, ∴二次函数y1的图象与x轴的交点的横坐标分别为-4和3, ∴一元二次方程a(x+k+2)2+h=0的两个实数根分别是x1=-4,x2=3. 32 10.如图,二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=mx+n的图象交于A(-2,p), B(1,q)两点,则关于x的不等式ax2-mx+c>n的解集是_________.  -2<x<1 33 【解析】 ∵二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=mx+n的图象交于 A(-2,p),B(1,q)两点, ∴当-2<x<1时,ax2+c>mx+n, ∴关于x的不等式ax2-mx+c>n的解集是-2<x<1. 34 11.【新设问·结果开放】 二次函数y=x2+3x+n的图象与x轴有一个交点 在y轴右侧,则n的值可以是_________________.(填一个值即可)  -3(答案不唯一) 【解析】 设二次函数y=x2+3x+n的图象与x轴交点的横坐标为x1,x2, 即一元二次方程x2+3x+n=0的根为x1,x2, 由根与系数的关系得x1+x2=-3,x1x2=n. ∵二次函数y=x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧, ∴x1,x2异号,∴n<0,∴n可以为-3. 35 命题点4　二次函数图象与系数a,b,c的关系 6年2考 【母题1】 在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示,有下列4个结论:①abc>0;②b2>4ac;③2a-b=0;④a-b+c<0.其中 正确的结论是_______.  ②④ 36 【解题模板】 灵活探究二次函数图象与系数关系的技巧 (1)由开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a,b,c的符号; (2)由抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac与0的关系; (3)由对称轴的位置判断2a±b的符号; (4)判断a±b+c,4a±2b+c的符号,令x=±1,x=±2,观察纵坐标; 37 (5)判断a,c或b,c的关系,利用对称轴与x等于某个值时y的式子联立求解; (6)判断 (a+c)2与b2 的大小:先因式分解,再利用x等于某两个值的式子联立求解; (7)比较m(am+b)与其他值的大小,借助二次函数的增减性求解; (8)判断二次函数与一元二次方程结合的根的情况,转化为抛物线与平行于x轴的直线的交点问题来求解. 38 【变式1】 判断与a,b,c有关的式子的符号 在母题1的条件下,判断下列结论的正误,正确的在括号内画“√”,错误的 在括号内画“✕”. ⑤3a+c>0(　　) ⑥(a+c)2<b2(　　) ⑦4a-2b+c<0(　　) ⑧4a+2b+c>0(　　) × √ √ √ 39 【变式2】 与增减性结合判断正误 在母题1的条件下,判断下列结论的正误,正确的在括号内画“√”,错误的 在括号内画“✕”. ⑨若m为任意实数,则有a+b≥m(am+b)(　　) ⑩若y≥0,则0≤x≤2(　　) √ × 40 【变式3】 与一元二次方程结合考查根的情况 在母题1的条件下,判断下列结论的正误,正确的在括号内画“√”,错误的 在括号内画“✕”. ⑪关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-1,x2=3(　　) ⑫关于x的方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根(　　) ⑬关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根大于-1小于0,一个根大于2小于3(　　) × √ √ 41 命题点5　二次函数图象的几何变换与交点问题 6年4考 【母题2】 【数形结合思维】 已知直线y=x+4与抛物线y=-(x-1)2+4. (1)直线与抛物线有交点吗? (2)将抛物线向上平移8个单位长度,向左平移2个单位长度,得到新的抛物线y',求y'的表达式. (3)抛物线y=-(x-1)2+4+b与直线y=x+4有2个交点,求b的取值范围. 42 解:(1)令-(x-1)2+4=x+4,整理得x2-x+1=0. ∵Δ=b2-4ac=1-4×1=-3<0, ∴直线y=x+4与抛物线y=-(x-1)2+4没有交点. (2)∵将抛物线y=-(x-1)2+4向上平移8个单位长度,向左平移2个单位 长度得到新的抛物线y', ∴y'=-(x-1+2)2+4+8=-(x+1)2+12. (3)∵抛物线y=-(x-1)2+4+b与直线y=x+4有2个交点, ∴一元二次方程-(x-1)2+4+b=x+4有两个不相等的实数根,整理得 x2-x+1-b=0,∴Δ=1-4(1-b)>0,解得b>. 43 【解题通法】 ①求交点个数时,联立两个函数组成一元二次方程,利用判别式判断交点个数; ②求平移后的抛物线表达式时牢记“左加右减,上加下减”. 44 【变式1】 求交点坐标 直线y=kx+2与抛物线y=-(x-1)2+4交于两点 M(x1,y2),N(x2,y2)(x1<x2), 当|x1-x2|最小时,求抛物线与直线的交点M和N的坐标. 45 解:联立整理可得x2+(k-2)x-1=0, ∴x1+x2=-(k-2),x1x2=-1, ∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(k-2)2+4, ∴当k=2时,(x1-x2)2取得最小值4, 即|x1-x2|的最小值为2, ∴x2-1=0,由x1<x2可得x1=-1,x2=1,则y1=0,y2=4, ∴当|x1-x2|最小时,抛物线与直线的交点为M(-1,0),N(1,4). 46 【解题通法】 　　设而不求用韦达:联立函数组成一元二次方程;用韦达定理表示出 (x1-x2)2的值;用二次函数的最值性质求出最小值,进而求出k值及交点坐标. 　　找临界点:通过直线的移动,找到与抛物线出现交点个数的临界点;确定出现交点个数时,m的取值范围就在临界点内. 47 【变式2】 结合增减性求平移距离的范围 将抛物线y=-(x+1)2+4向右平移k(k>0)个单位长度,得到二次函数y1=mx2+nx+q的图象,使得当-1<x<3时,y1随x的增大而增大;当4<x<5时, y1随x的增大而减小,则实数k的取值范围是(　　) A.1≤k≤3 B.2≤k≤3 C.3≤k≤4 D.4≤k≤5 48 【解析】 将二次函数y=-(x+1)2+4的图象向右平移k(k>0)个单位长度得到y1=-(x-k+1)2+4的图象, ∴新图象的对称轴为直线x=k-1. ∵当-1<x<3时,y1随x的增大而增大;当4<x<5时,y1随x的增大而减小,且抛物线开口向下, ∴3≤k-1≤4,解得4≤k≤5. 49 【变式3】 与翻折结合,由交点个数确定参数的取值范围 将抛物线y=(x+1)2位于直线y=9以上的部分向下翻折,得到如图图象.若直线y=x+m与此图象有四个交点,则m的取值范围是(　　) A.<m<7 B.<m<5 C.<m<9 D.<m<7 50 【解析】 如图,令y=9,则9=(x+1)2, 解得x=-4或x=2,∴A(2,9). 平移直线y=x+m可知直线位于l1和l2时,它与新图象有三个交点. ①当直线位于l1时,此时直线l1过点A(2,9), ∴9=2+m,即m=7. 51 ②当直线位于l2时,此时直线l2与函数y=(x+1)2的图象有一个公共点. 令x+m=x2+2x+1, 即x2+x+1-m=0有两个相等的实数根, ∴Δ=1-4(1-m)=0, 解得m=. 由①②知若直线y=x+m与新图象有四个交点,m的取值范围为<m<7. 52 【易错点加练】 易错点1　忽视题目中的隐含条件 1.若二次函数y=mx2+4x+m-1的图象有最高点,且最高点的纵坐标为-4, 则m的值为_________.  -4 【解析】 ∵二次函数y=mx2+4x+m-1的图象有最高点,∴m<0. ∵最高点的纵坐标为-4,∴=-4, 整理得m2+3m-4=0,解得m1=-4,m2=1(舍去), ∴m的值为-4. 53 易错点2　求函数最值时,忽略自变量的取值范围 2.抛物线L:y=ax(x+4)+5a的顶点的纵坐标为2,若-5≤x≤-1,则该函数的 最值情况,下列说法正确的是(　　) A.最大值为2,最小值为-20 B.最大值为20,最小值为2 C.最大值为20,最小值为4 D.a值不确定,故无法求最值 54 【解析】 y=ax(x+4)+5a=ax2+4ax+5a=a(x+2)2+a. ∵抛物线L:y=ax(x+4)+5a的顶点的纵坐标为2, ∴a=2,∴y=2x(x+4)+10=2(x+2)2+2, ∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=-2, ∴在-5≤x≤-1内,函数有最小值2. 把x=-5代入y=2x(x+4)+10得y=20, 把x=-1代入y=2x(x+4)+10得y=4, ∴若-5≤x≤-1,则该函数最大值为20,最小值为2. 55 3.已知二次函数y=x2-2bx(b为常数),当2≤x≤5时,函数y有最小值-1,则b的 值为________.  56 【解析】 二次函数y=x2-2bx图象的对称轴为直线x=b. ①当b>5时,y在x=5处取得最小值, ∴52-10b=-1,解得b=(舍去); ②当2≤b≤5时,y在x=b处取得最小值, ∴-b2=-1,解得b1=1(舍去),b2=-1(舍去); ③当b<2时,y在x=2处取得最小值, ∴22-4b=-1,得b=. 综上所述,b的值是. 57 1.(2024·广东)若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数y=x2的图象上,则(　　)　　　　　　　　　　 A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2 【解析】 ∵二次函数y=x2的图象开口向上,且对称轴为y轴,∴当x≥0时,y随x的增大而增大. ∵0<1<2,∴y1<y2<y3. 1 3 5 题序 2 4 58 2.(2024·包头)将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位长度后,所得新抛物线的顶点式为(　　) A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2-2 C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)2-2 【解析】 y=x2+2x=(x+1)2-1. 将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位长度后,所得新抛物线的顶点式为y=(x+1)2-3. 1 3 5 题序 2 4 59 3.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=-在同一坐标系内的大致图象为(　　) 1 3 5 题序 2 4 60 【解析】 ∵抛物线开口向上,∴a>0. ∵抛物线对称轴在y轴左侧,∴b>0. ∵抛物线与y轴交点在x轴下方,∴c<0, ∴直线y=ax+b经过第一、二、三象限,反比例函数y=-图象经过第一、三象限. 1 3 5 题序 2 4 61 4.(2025·济南)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)图象的顶点 坐标是(-1,n),且经过(1,0),(0,m)两点,3<m<4.有下列结论: ①关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根; ②当x>-1时,y的值随x值的增大而减小;③-<a<-1;④4a-2b+c>0; ⑤对于任意实数t,总有(t+1)·(at-a+b)≤0. 以上结论正确的有(　　) A.5个 B.4个　　　 C.3个　　　 D.2个 1 3 5 题序 2 4 62 【解析】由题意得二次函数图象的顶点坐标为(-1,n), 且过点(1,0), ∴二次函数图象的对称轴为直线x=-1,图象与x轴的另 一个交点的坐标为(-3,0). ∵图象过(0,m),且3<m<4, ∴二次函数的图象开口向下,a<0,函数有最大值n,函数图象如图所示. 一元二次方程ax2+bx+c-n+1=0经过变形得ax2+bx+c=n-1,可看作二次函数图象与直线y=n-1的交点情况. 1 3 5 题序 2 4 63 ∵n-1<n,∴有两个交点,即该一元二次方程有两个不相等的实数根,故①结论正确. ∵图象开口向下,对称轴为直线x=-1,∴当x>-1时,y的值随x值的增大而减小,故②结论正确. ∵二次函数图象的对称轴为直线x=-1,∴-=-1,∴b=2a, ∴该二次函数的表达式为y=ax2+2ax+c. 将(1,0)代入得a+2a+c=0,∴c=-3a. ∵图象经过(0,m),∴c=m,∴m=-3a. ∵3<m<4,∴3<-3a<4,即-<a<-1,故③结论正确. 1 3 5 题序 2 4 64 当x=-2时,二次函数的图象在x轴上方, ∴4a-2b+c>0,故④结论正确. (t+1)(at-a+b)=at2-at+bt+at-a+b=at2+bt-(a-b). 当x=t时,y=at2+bt+c;当x=-1时,y=a-b+c. ∵顶点坐标为(-1,n),∴x=-1时,y取最大值, 即at2+bt+c≤a-b+c,∴at2+bt≤a-b, ∴at2+bt-(a-b)≤0,即(t+1)(at-a+b)≤0,故⑤结论正确. 综上可知,结论正确的有5个. 1 3 5 题序 2 4 65 5.(2025·连云港)已知二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3,a为常数. (1)若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点,求a的取值范围; (2)若该二次函数的图象与x轴有交点,求a的值; (3)求证:该二次函数的图象不经过原点. 1 3 5 题序 2 4 66 (1)解:∵二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3中,1>0, ∴二次函数的图象开口向上. ∵二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点, ∴函数的最小值小于2a2, 则 =2a2-4a+2<2a2,解得a>. 1 3 5 题序 2 4 67 (2)解:∵二次函数的图象与x轴有交点, ∴一元二次方程x2+2(a+1)x+3a2-2a+3=0有实数根, ∴Δ=4(a+1)2-4(3a2-2a+3)=-8(a-1)2≥0,∴8(a-1)2≤0. 又∵8(a-1)2≥0,∴8(a-1)2=0,解得a=1. (3)证明:∵当x=0时,y=3a2-2a+3=3(a-)2+>0, ∴二次函数的图象不经过原点. 1 3 5 题序 2 4 68 69 $