14 第三章 第五节 反比例函数的综合应用 -【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学讲练本PPT课件

该初中数学中考复习课件聚焦反比例函数综合应用核心考点，严格对接中考说明，分析了与一次函数结合、几何图形结合等高频考查方向，归纳出面积计算、最值求解、存在性问题等常考题型，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“母题引领+变式拓展+解题模板”模式，通过△AOB面积计算示范分割法等技巧，培养学生数学思维与推理能力，助力掌握中考高频题型突破方法，帮助学生高效备考，为教师提供系统复习指导，提升复习效果。

1 2 第五节　反比例函数的综合应用 第一、二章 3 目 录 难点分层透解 好题随堂演练 4 命题点1　反比例函数与一次函数结合　 【母题1】 如图,已知直线y=x+b与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A,B,点A的横坐标为-4,点B的横坐标为2. (1)求k和b的值. (2)观察图象,直接写出x+b≥的取值范围. (3)求△AOB的面积. 5 解:(1)设点A的坐标为(-4,t),代入反比例函数的表达式y=(k≠0)得k=-4t. ∵点B在反比例函数y=的图象上, ∴点B的坐标为(2,-2t). 将点A,B的坐标分别代入y=x+b得 解得∴k=-4t=12. 综上所述,b=3,k=12. 6 (2)-4≤x<0或x≥2. (3)如图,连接OA,OB,设直线与y轴交点为C. 由(1)易知直线AB的表达式为y=x+3. 当x=0时,y=3,∴C(0,3), ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×4+×3×2=9. 7 【思维路径】 8 【解题模板】 解题 方法 图形 面积 和差法 S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD 9 解题 方法 图形 面积 铅垂法 S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD·h1+BD·h2 =BD·(h1+h2),即S△ABC=×水平宽×铅垂高 等底 等高法 过△PBC的顶点P作所对的边BC的平行线l,则直线l上任一点P'与BC组成的三角形的面积等于△PBC的面积 10 【变式1】 求线段和最值 在母题1的条件下,若直线x=4上有一动点N,求当NA+NB的值最小时点N的坐标. 11 解:如图,作点B(2,6)关于直线x=4的对称点B'(6,6),连接AB', 交直线x=4于点N, 此时NA+NB=NA+NB'=AB',NA+NB的值最小,最小值为AB'的长. ∵A(-4,-3),B'(6,6), ∴易得直线AB'的表达式为y=x+, ∴当x=4时,y=×4+=,∴点N的坐标为(4,). 12 【变式2】 由面积比值求点坐标 在母题1的条件下,若点E在线段AB上,且S△AOE∶S△EOB=2∶3,求点E的坐标. 13 解:如图,过点B作x轴的垂线,过点A作y轴的垂线,两垂线交于点G,过点E作EF⊥AG于点F. ∵S△AOE∶S△EOB=2∶3, ∴=,∴=. ∵A(-4,-3),B(2,6),∴G(2,-3). 易知△AEF∽△ABG, ∴===,即 ==, ∴AF=,EF=,∴点E的坐标为(-,). 14 【变式3】 由图形面积的值求点坐标 在母题1的条件下,点Q在第一象限反比例函数的图象上,且点Q在点B左侧.若△ABQ的面积为 ,求点Q的横坐标. 15 解:如图,连接AQ,BQ,过点Q作QH∥y轴交AB于点H. 设Q(q,),则H(q,q+3), ∴QH=-(q+3)=-q-3. ∵S△ABQ=S△AQH+S△BQH=×6×(-q-3)=3(-q-3)=, ∴化简得3q2+11q-24=0, 解得q1=,q2=(舍去), ∴点Q的横坐标为. 16 【变式4】 由线段关系求点坐标 在母题1的条件下,若点K在反比例函数y=(k≠0)第一象限内的图象上,直线OK与直线AB交于点M,且BM=4AM,求点K的坐标. 17 解:易知直线AB的函数表达式为y=x+3. ∵直线OK与直线AB交于点M,∴点M在直线AB上. 设M(m,m+3). 18 ①如图1,当点M在线段AB上时,分别过点A,B作x轴和y轴的平行线,交于点N,过点M作MD⊥AN于点D, ∴MD∥BN,AD=m+4,AN=6, ∴△AMD∽△ABN. ∵BM=4AM,∴=. ∵△AMD∽△ABN, ∴===,解得m=-, ∴点M的坐标为(-,-). 19 设直线KM的函数表达式为 y=k'x, ∴-=-k',解得k'=, ∴直线KM的函数表达式为y=x. 联立解得(负值已舍去) ∴点K的坐标为(2,). 20 ②如图2,当点M在线段BA的延长线上时. ∵BM=4AM,∴=. 同理①得=,解得m=-6, ∴点M的坐标为(-6,-6). 同理可得直线KM的表达式为y=x. 联立解得(负值已舍去) ∴点K的坐标为(2,2). 21 ③由BM=4AM知BM>AM,则点M不在线段AB的延长线上,不符合题意. 综上所述,点K的坐标为(2,)或(2,2). 22 【变式5】 根据交点个数求平移距离 在母题1的条件下,已知点C为直线AB与y轴的交点,点E(1,0),作直线CE,将直线CE向下平移n(n>0)个单位长度后,与双曲线y=有唯一交点,求n的值. 23 解:∵C(0,3),E(1,0), ∴易知直线CE的表达式为y=-3x+3. ∵将直线CE向下平移n(n>0)个单位长度, ∴平移后的直线表达式为y=-3x+3-n. ∵平移后的直线与双曲线y=有唯一交点, ∴联立 整理得3x2+(n-3)x+12=0,∴Δ=(n-3)2-4×3×12=0, 解得n1=15,n2=-9(舍去),∴n=15. 24 命题点2　反比例函数与几何图形结合　 【母题2】 如图,在平面直角坐标系xOy中,▱OABC的 边OC在x轴上,点B的坐标为(9,3),点C的坐标为(5,0), 反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象经过点A,与OB交 于点E. (1)求该反比例函数的表达式. (2)将▱OABC向右平移,使它的对角线的交点M在反比例函数的图象上,求平移的距离. (3)反比例函数y=(x>0)的图象与线段OB交于点E,点G是y轴上的动点,连接GA,GE,求GA+GE的最小值. 25 解:(1)反比例函数的表达式为y=(x>0). (2)∵O(0,0),B(9,3),∴M(,). 设▱OABC向右平移m个单位长度, ∴平移后点M的坐标为(+m,). ∵平移后点M在反比例函数的图象上, ∴(+m)×=12,解得m=, ∴平移的距离为. 26 (3)如图,作点A关于y轴的对称点A',连接A'E交y轴于点G, 此时GA+GE的值最小,最小值为A'E的长. ∵点B的坐标为(9,3), ∴直线OB的表达式为y=x. ∵反比例函数y=(x>0)的图象与OB交于点E, ∴x=,∴x=6或x=-6(舍去),∴E(6,2). ∵A(4,3),∴A'(-4,3), ∴A'E==, ∴GA+GE的最小值为. 27 【变式1】 由面积倍数关系求点坐标 在母题2的条件下,若坐标轴上有一点N,满足△OCN的面积是▱OABC的面积的2倍,求点N的坐标. 解:∵A(4,3),C(5,0),∴S▱OABC=5×3=15. ∵△OCN的面积是▱OABC的面积的2倍, ∴S△OCN=15×2=30. ∵点C位于x轴上,∴点N只能位于y轴上, ∴×5|yN|=30,∴yN=±12, ∴点N的坐标为(0,12)或(0,-12). 28 【变式2】 由面积相等求点坐标 在母题2的条件下,连接AE,在反比例函数图象上是否存在点P(点P与点E不重合),使得S△OAP=S△OAE?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 29 解:反比例函数图象上存在点P(点P与点E不重合),使得S△OAP=S△OAE. 如图,过点E作EF⊥x轴于点F,过点A作AD⊥x轴于点D,过点P作PG⊥x轴于点G, ∴EF=2,OF=6,AD=3,OD=4,∴DF=OF-OD=2. 设P(n,), ∴S△OAP=S梯形ADGP+S△POG-S△AOD=(3+)(4-n)+n·-×4×3=-n+. ∵S△OAE=S梯形ADFE+S△AOD-S△EOF=×(2+3)×2+×4×3-×6×2=5+6-6=5, ∴S△OAP=-n+=5,整理得3n2+10n-48=0, ∴n=或n=-6(舍去),∴点P的坐标为(,). 30 【变式3】 由特殊三角形存在性求点坐标 在母题2的条件下,在x轴上是否存在点Q,使得△OAQ是直角三角形? 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 31 解:设点Q的坐标为(q,0). ∵点A的坐标为(4,3),点O的坐标为(0,0), ∴OA2=25,OQ2=q2,AQ2=(4-q)2+9. ①当∠OAQ=90°时,OA2+AQ2=OQ2,即25+(4-q)2+9=q2, 解得q=. ②当∠OQA=90°时,OQ2+AQ2=OA2,即q2+(4-q)2+9=25, 解得q1=0(不符合题意,舍去),q2=4. 综上所述,点Q的坐标为(,0)或(4,0). 32 1.【分类讨论思维】 (2025·眉山)如图,一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象相交于A(1,4),B(4,m)两点,与x轴交于点C,点D与点A关于点O对称,连接AD. (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)点P在x轴的负半轴上,且△AOC与 △POD相似,求点P的坐标. 1 题序 2 33 解:(1)反比例函数的表达式为y=.一次函数的表达式为y=-x+5. (2)设P(m,0). ∵点D与点A关于点O对称,A(1,4), ∴OD=OA==. ∵直线AB与x轴交于点C, 令0=-x+5得x=5,∴OC=5. 1 题序 2 34 ∵△AOC与△POD相似,∠AOC=∠POD, ∴= 或 =, ∴= 或 =, ∴OP=5或OP=,∴P(-5,0)或(-,0). 1 题序 2 35 2.如图,一次函数y=x+b的图象与反比例 函数y=(k>0)的图象分别交于点A(4,m) 和点B(n,-2),且与x轴交于点C(1,0). (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)如图1,将直线y=x+b向上平移d(d>0)个单位长度,平移后的直线与y=(k>0)的图象在第一象限交于点P,若S△PCA=,求平移距离d; (3)如图2,Q是第二象限内一点,∠QCO=45°,连接QB,将△QCB绕点O顺时针旋转90°,点Q的对应点恰好落在该反比例函数图象上,求点Q的坐标. 1 题序 2 36 解:(1)一次函数的表达式为y=x-. 反比例函数的表达式为y=. (2)如图,作PD∥y轴交直线AB于点D. ∵S△PCA=, ∴PD·|xA-xC|=, ∴PD×(4-1)=, ∴PD=,∴d=PD=. 1 题序 2 37 (3)如图,连接OQ,设点Q的对应点为点G,过点G作GN⊥x轴于点N,过点Q作QM⊥x轴于点M. 由旋转的性质可知OQ=OG,∠QOG=90°, ∴∠GON+∠QOM=90°. ∵QM⊥x轴,GN⊥x轴, ∴∠QMO=∠GNO=90°, ∴∠OQM+∠QOM=90°, ∴∠OQM=∠GON, ∴△QOM≌△OGN(AAS), ∴QM=ON,OM=GN. 1 题序 2 38 ∵C(1,0),∠QCO=45°, ∴OC=1,△QMC为等腰直角三角形. 设OM=t,则CM=QM=t+1, ∴ON=QM=t+1,GN=OM=t,∴点G的坐标为(t+1,t). ∵点G(t+1,t)在反比例函数y=的图象上, ∴t(t+1)=6,解得t1=2,t2=-3(不合题意,舍去), 当t=2时,t+1=3,∴点Q的坐标为(-2,3). 1 题序 2 39 40 $