12 第三章 第四节 反比例函数的图象与性质 -【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学讲练本PPT课件

该初中数学中考复习课件聚焦反比例函数核心考点，依据中考说明系统梳理概念、图象性质、k的几何意义及表达式确定，分析近6年考点分布，如确定表达式6年5考、图象性质6年3考，归纳典例题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题解析+易错警示+思维训练”模式，如2025陕西真题通过对称性质求k值，培养推理能力，针对k的几何意义设计面积计算专题，强调绝对值应用，帮助学生掌握解题技巧，教师可依此强化考点突破，提升学生应试得分率。

1 2 第四节　反比例函数的图象与性质 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1　反比例函数的概念及表达式 1.一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.其中反比例函数的自变量x的取值范围是不为0的全体实数. 2.反比例函数表达式的三种形式(k≠0) (1)y=.(2)y=kx-1.(3)xy=k. 5 知识点2　反比例函数的图象与性质 1.反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是双曲线,它有两个分支且关于原点对称. 2.画反比例函数图象的一般步骤 (1)列表.(2)描点.(3)连线. 6 3.图象与性质 k的符号 k>0 k<0 图象的 位置 7 所在象限 第　 　象限  第　 　象限  性质 在同一象限内,y随x的增大 而　 　.  在不同象限内,第一象限的 y值大于第三象限的y值 在同一象限内,y随x的增大而 　.  在不同象限内,第二象限的y值大于 第四象限的y值 一、三　 减小 增大 二、四 8 知识点3　反比例函数k的几何意义 从双曲线y=(k为常数,k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线段,两垂线段 与坐标轴围成的矩形面积为　 　.  如图1和图2,S矩形OAPB=PA·PB=|y|·|x|=|xy|=|k|,同理可得S△OPA=S△OPB=|xy|=|k|. |k| 9 【易错警示】 利用反比例系数k求面积的注意点 ①因为反比例函数y=中的k有正负之分,所以在利用表达式求矩形、三角形的面积时,都应加上绝对值符号; ②若三角形的面积为|k|,则满足条件的三角形的三个顶点分别为原点、反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足. 10 知识点4　确定反比例函数的表达式 1.方法:待定系数法.(常常还会利用k的几何意义求表达式,具体见上述知识点) 2.步骤 (1)设所求反比例函数表达式为y=(k为常 数,k≠0); (2)找出满足反比例函数表达式的点P(a,b); (3)将P(a,b)代入表达式得k=ab; (4)确定反比例函数表达式y=. 11 命题点1　确定反比例函数的表达式6年5考　 1.【典例】 (2025·陕西)如图,过原点的直线与反比例函数y=(k>0)的 图象交于A(m,n),B(m-6,n-6)两点,则k的值为______.  9 12 【解析】 ∵过原点的直线与反比例函数y=(k>0)的图象交于A(m,n), B(m-6,n-6)两点, ∴A(m,n),B(m-6,n-6)两点关于原点O对称, 即点A的横坐标与点B的横坐标互为相反数,点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数, ∴-m=m-6,-n=n-6,∴m=3,n=3,∴A(3,3). 把A(3,3)代入y=得3=,解得k=9. 13 2.反比例函数y= 的图象经过点A(m,),则反比例函数的表达式为_________.  y= 14 3.(2025·德阳)如图,已知菱形OABC,点C在x轴上,反比例函数y=(x>0)的图象经过菱形的顶点A(3,4),连接OB,OB与反比例函数图象交于点D. (1)求反比例函数的表达式; (2)求直线OB的表达式和点D的坐标. (1)把点A(3,4)代入y=得k=3×4=12, ∴反比例函数的表达式为y=. 15 (2)∵A(3,4),∴OA==5. ∵四边形OABC是菱形, ∴AB=OA=5,∴B(8,4). 设直线OB的表达式为y=mx(m≠0). 把点B(8,4)代入得4=8m,∴m=, ∴直线OB的表达式为y=x. ∵点D是反比例函数图象与正比例函数图象的交点, 16 ∴联立 解得或 ∵x>0,∴D(2,). 17 命题点2　反比例函数的图象与性质 6年3考 4.【典例】 【一题多设问】 已知反比例函数y=(k≠-1). (1)若该反比例函数的图象在每一个象限内,y随x的增大而增大,则k的 取值范围为_________;  (2)当k=2时,此反比例函数图象在第_________象限,关于直线____________对称;  (3)若点A(3,2),B(a,6)在反比例函数y=(k≠-1)的图象上,则k=_________,a=_________;  k<-1 一、三 y=-x或y=x 5 1 18 (4)若k>0,点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)在反比例函数的图象上, 且x1<0<x2<x3,则y1,y2,y3的大小关系是_________;  (5)若点P(x,y)在反比例函数y= 的图象上,则点 Q(-x,-y)_______ (填“在”或“不在”)反比例函数y= 的图象上;  (6)当k=4时,对于反比例函数的函数值y>1时,x的取值范围为_________.  y1<y3<y2 在 0<x<5 19 【易错警示】 判断反比例函数增减性的注意点 　　正确理解反比例函数的增减性,注意自变量的取值范围,不能笼统地说y随x的增大而增大(或减小),应指明在某一象限内函数的增减变化情况. 20 5.(2023·济南)已知点A(-4,y1),B(-2,y2),C(3,y3)都在反比例函数y=(k<0) 的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为(　　) A.y3<y2<y1 B.y1<y3<y2 C.y3<y1<y2 D.y2<y3<y1 21 【解析】 ∵反比例函数y=中,k<0, ∴函数图象在第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大,且第四象限的y值恒小于第二象限的y值. ∵-4<-2<0<3,∴y3<0<y1<y2,即y3<y1<y2. 22 6.关于反比例函数y=,下列结论正确的是(　　) A.图象位于第二、四象限 B.图象与坐标轴有公共点 C.图象所在的每一个象限内,y随x的增大而减小 D.图象经过点(a,a+2),则a=1 23 【解析】 反比例函数y=的图象在第一、三象限,与坐标轴没有交点,故A选项错误,B选项错误; 反比例函数y=在每一个象限内,y随着x的增大而减小,故C选项正确; ∵反比例函数y=的图象经过点(a,a+2), ∴a(a+2)=3, 解得a=1或a=-3,故D选项错误. 24 7. 函数y=-ax+a与y=-(a≠0)在同一直角坐标 系中的图象可能是(　　) A B C D 25 命题点3　反比例函数k的几何意义6年0考 8.【典例】 (2025·威海)如图,点A在反比例函数y=的图象上,点B在反比例 函数y=-的图象上,连接OA,OB,AB.若AO⊥BO,则tan∠BAO=_________.  26 【解析】 如图,作BG⊥y轴,垂足为G,作AH⊥y轴,垂足为H. ∵点A在反比例函数y=的图象上,点B在反比例函数y=-的图象上, ∴S△BOG=1,S△AOH=2. ∵∠AOB=90°,∴∠BOG=∠OAH, ∴△BOG∽△OAH, ∴=()2=, ∴tan∠BAO==. 27 9.(2025·济南莱芜二模)如图,点A在双曲线y= 上,点B在双曲线y= 上, 且AB∥x轴,点C,D在x轴上.若四边形ABCD为矩形,则它的面积为______.  8 28 【解析】 如图,延长BA交y轴于点E,则BE⊥y轴. ∵点A在双曲线y=上, ∴四边形AEOD的面积为4. ∵点B在双曲线y=上,且AB∥x轴, ∴四边形BEOC的面积为12, ∴矩形ABCD的面积为12-4=8. 29 10.(2024·黑龙江龙东地区改编)如图,双曲线y=(x>0)经过A,B两点,连接 OA,AB,过点B作BD⊥y轴,垂足为D,BD交OA于点E,且点E为AO的中点, 则△AEB的面积是_________.  4.5 30 【解析】 如图,过点A作AM⊥y轴,垂足为M,连接OB,则S△AOM=S△OBD=|k|=×12=6. ∵点E是OA的中点,即OE=AE,且DE∥AM, ∴DE=AM,OD=OM. ∵S△AOM=S△OBD=6, 即AM·OM=OD·BD=6, ∴AM·OD=BD·OD, 31 ∴BD=2AM,∴DE=AM=BD,∴DE=BE. ∵S△ODE=S△BOD=×6=, ∴S△ABE=3S△ODE=3×=4.5. 32 【易错点加练】 易错点　忽略k的正负 1.如图,A是反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象上一点,过点A作AB⊥x轴于 点B,P是y轴上任意一点,连接PA,PB.若△ABP的面积等于3,则k的值为 _________.  6 33 【解析】 如图,连接OA. 由题意得△AOB的面积=△ABP的面积=3,△AOB的面积=|k|,∴|k|=3,∴k=±6. 又∵反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象位于第一象限, ∴k>0,∴k=6. 34 2.如图,点A在x轴的正半轴上,点C在反比例函数y=(x<0)的图象上,AC交 y轴于点B.若点B是AC的中点,△AOC的面积为5,则k的值为_________.  -10 35 【解析】 如图,过点C作CD⊥y轴,垂足为D.   在△AOB和△CDB中, ∴△AOB≌△CDB(AAS), ∴S△AOB=S△CDB, ∴S△OCD=S△AOC=5, ∴|k|=2S△OCD=10. ∵反比例函数y=(x<0)的图象在第二象限,∴k=-10. 36 1.(2025·兰州)若点A(2,y1)与B(-2,y2)在反比例函数y= 的图象上,则y1与y2的大小关系是(　　) A.y1<y2 B.y1≤y2 C.y1>y2 D.y1≥y2 1 3 5 题序 2 4 6 37 2.在同一平面直角坐标系中,函数y=kx+1(k≠0)和y=(k≠0)的图象可能 是(　　) A B C D 1 3 5 题序 2 4 6 38 【解析】 当k>0时,一次函数y=kx+1经过第一、二、三象限,反比例函数y=(k≠0)位于第一、三象限; 当k<0时,一次函数y=kx+1经过第一、二、四象限,反比例函数y=(k≠0)位于第二、四象限. 1 3 5 题序 2 4 6 39 3.(2025·连云港)如图,正比例函数y1=k1x(k1<0)的图象与反比例函数y2=(k2<0)的图象交于A,B两点,点A的横坐标为-1.当y1<y2时,x的取值 范围是(　　) A.x<-1或x>1 B.x<-1或0<x<1 C.-1<x<0或x>1 D.-1<x<0或0<x<1 1 3 5 题序 2 4 6 40 【解析】 由对称性得点B的横坐标为1, ∴当y1<y2时,x的取值范围为-1<x<0或x>1. 1 3 5 题序 2 4 6 41 4.在同一平面直角坐标系中,若正比例函数 y=k1x 与反比例函数y= 的图象没有交点,则k1k2的取值范围是(　　) A.k1k2<-1 B.k1k2>-1 C.k1k2<0 D.-1<k1k2<0 1 3 5 题序 2 4 6 42 【解析】 当k1>0时,正比例函数的图象经过第一、三象限, 当k1<0时,正比例函数的图象经过第二、四象限; 当k2>0时,反比例函数图象在第一、三象限,当k2<0时,反比例函数图象在第二、四象限. 若两个函数的图象没有交点,则k1,k2一定异号, ∴k1与k2的乘积为负,∴k1k2<0. 1 3 5 题序 2 4 6 43 5.(2025·深圳)如图,同一平面直角坐标系下的正比例函数y=ax与反比例函 数y= 相交于点A和点B.若点A的横坐标为1,则点B的坐标为_________.  (-1,-1) 1 3 5 题序 2 4 6 44 【解析】 令ax=. ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数y=ax与反比例函数y= 相交于点 A和点B,点A的横坐标为1,a·1=, ∴a=1,∴y=x, ∴当x=1时,y=x=1,∴A(1,1). ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称, ∴点A,B关于原点对称,∴B(-1,-1). 1 3 5 题序 2 4 6 45 6.(2025·齐齐哈尔)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=-x-1的图象与 反比例函数y=(k≠0)的图象在第二象限内交于点A,与x轴交于点B,点C 的坐标为(0,3),连接AC,BC.若AC=BC,则实数k的值为_________.  -6 1 3 5 题序 2 4 6 46 【解析】 当y=0时,0=-x-1,解得x=-1, ∴点B的坐标为 (-1,0). ∵点C的坐标为(0,3), ∴BC===. 设点A的坐标为(m,-m-1), ∴AC2=(m-0)2+(-m-1-3)2=2m2+8m+16. ∵AC=BC,∴AC2=BC2,∴2m2+8m+16=10, 解得m1=-3,m2=-1(不合题意,舍去),∴m=-3, ∴点A的坐标为(-3,2),∴2=,解得 k=-6. 1 3 5 题序 2 4 6 47 48 $