09 第三章 第一节 平面直角坐标系与函数初步 -【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学讲练本PPT课件

该初中数学中考复习课件聚焦“平面直角坐标系与函数初步”核心考点，严格对接中考说明，分析平面直角坐标系（6年1考）、函数图象分析（6年1考）等考点权重，归纳点的坐标特征、距离计算、函数图象判断等常考题型，突出备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+解题通法+分层透解”模式，如2025年河南中考题分析轮胎摩擦系数函数图象，培养学生几何直观与推理意识。通过“求对称点技巧”“动点问题解题模板”等，帮助学生掌握答题方法，教师可依此高效规划复习，提升学生中考得分率。

1 2 第一节　平面直角坐标系与函数初步 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 难点分层透解 好题随堂演练 4 知识点1　平面直角坐标系 1.定义:在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系.其中,水平的数轴叫作x轴或横轴,铅直的数轴叫作y轴或纵轴. 2.有序实数对:平面直角坐标系中的点和有序实数对是　 　对应的.经一点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别叫作点P的横坐标和纵坐标.有序实数对(a,b)叫作点P的坐标.  一一 5 3.各象限内点的坐标特征 (1)若点P(a,b)在第一象限,则a>0,b>0. (2)若点P(a,b)在第二象限,则a<0,b>0. (3)若点P(a,b)在第三象限,则a<0,b<0. (4)若点P(a,b)在第四象限,则a>0,b<0. 6 4.与坐标轴有关的点的坐标特征 (1)若点P(a,b)在x轴上,则b=0. (2)若点P(a,b)在y轴上,则a=0. (3)若点P(a,b)是原点,则a=0且b=0. (4)若多个点在平行于x轴的直线上,则　 　相同,　 　不同.  (5)若多个点在平行于y轴的直线上,则　 　相同,　 　不同.  (6)点P在第一、三象限的夹角平分线上,则横、纵坐标相等,即x=y. (7)点P在第二、四象限的夹角平分线上,则横、纵坐标互为相反数,即x=-y. 纵坐标 横坐标 横坐标 纵坐标 7 5.对称点的坐标特征 (1)点P(a,b)关于x轴的对称点P1的坐标为　 　.  (2)点P(a,b)关于y轴的对称点P2的坐标为　 　.  (3)点P(a,b)关于原点的对称点P3的坐标为　 　.  (4)点P(a,b)关于直线y=x的对称点P4的坐标为　 　.  (5)点P(a,b)关于直线y=-x的对称点P5的坐标为　 　.  (6)点P(a,b)关于直线x=m对称的点P6的坐标为____________.  (7)点P(a,b)关于直线y=m对称的点P7的坐标为____________.  (a,-b) (-a,b) (-a,-b) (b,a) (-b,-a) (2m-a,b) (a,2m-b) 8 6.坐标与距离 (1)点P(a,b)到x轴的距离为　 　;到 y轴的距离为　 　.  (2)点P(a,b)到原点的距离为 　 .  (3)平行于x轴的直线上两点P(x1,y1),Q(x2,y1)(x1<x2)之间的距离为　 　; 平行于y轴的直线上两点P(x1,y1),Q(x1,y2)(y1<y2)之间的距离为　 　.  7.平面内两点P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ中点G的坐标为(,), P,Q两点间距离PQ=. |b| |a| x2-x1 y2-y1 9 8.点的平移 (1)点P(a,b)水平向右平移m(m>0)个单位长度后的坐标为(a+m,b);点P(a,b)水平向左平移m(m>0)个单位长度后的坐标为(a-m,b). (2)点P(a,b)竖直向上平移n(n>0)个单位长度后的坐标为(a,b+n);点P(a,b)竖直向下平移n(n>0)个单位长度后的坐标为(a,b-n). 10 知识点2　函数及其相关概念 1.常量与变量:在变化过程中数值始终不变的量叫作常量,数值变化的量叫作变量. 2.函数:一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量. 11 3.自变量取值范围的确定 函数表达式的形式 自变量的取值范围 整式型 全体实数 分式型y= 使分母不为0的全体实数,即B≠0 二次根式型y= 使被开方数大于或等于0的实数,即A≥0 零次幂或负整数次幂型 底数不为0 12 分式与二次根式结合型 y= B≠0且A≥0 y= B>0 注:①在实际问题中,自变量的取值范围应使该问题有实际意义. ②兼其中两种或两种以上情况时,分别求出各自的取值范围,再求公共部分 13 4.函数的三种常见表示方法: 、 、　 , 这三种方法有时可以互相转化.  5.函数的图象 (1)把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出相应的点,所有这些点组成的图形叫作该函数的图象. (2)画函数图象的一般步骤:列表、描点、连线. 关系式法 列表法 图象法 14 6.分析函数图象的基本要点 (1)分清函数图象的横、纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围. (2)找转折点、交点(与坐标轴的交点或两条线的交点)等特殊点,并弄清楚该点的含义. (3)判断不同段函数图象的增减性,注意平行于横轴的线的纵坐标是一个常数. 15 命题点1　平面直角坐标系6年1考　 考法❶　探索点的坐标特征 1.【典例】 【一题多设问】 已知P(m,2m-3)是平面直角坐标系内的一点,试分别根据下列条件,直接求出点P的坐标. 16 (1)若点P在y轴上,则点P的坐标为_________;  (2)若点P在x轴上,则点P的坐标为_________;  (3)若点P在第四象限内,则m的取值范围是_________;  (4)若点P的纵坐标与横坐标互为相反数,则点P的坐标为________;  (5)若点P在第一、三象限角平分线所在的直线上,则点P的坐标为_______;  (6)若m=2,则点P关于y轴的对称点为________,关于x轴的对称点为_________, 关于原点的对称点为_________;  (7)若m=-2,将点P向上平移2个单位长度,再向右平移2个单位长度得到 对应点的坐标为_________.  (0,-3) (,0) 0<m< (1,-1) (3,3) (-2,1) (2,-1) (-2,-1) (0,-5) 17 【解题通法】 求对称点的技巧 ①对于坐标轴,关于谁对称谁不变,另一个取相反数; ②关于原点对称,互为相反数; ③关于直线y=x对称,横、纵坐标互换; ④关于直线y=-x对称,横、纵坐标互换且分别互为相反数. 18 2.(2024·济南钢城一模)已知点P(m+2,2m-4)在x轴上,则点P的坐标是(　　) A.(4,0) B.(0,4) C.(-4,0) D.(0,-4) 【解析】 ∵点P(m+2,2m-4)在x轴上, ∴2m-4=0,解得m=2,∴m+2=4, ∴点P的坐标是(4,0). 19 3.(2025·广安)在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(a,b),且a,b满足 (a-2)2+|b+3|=0,则点A在第_________象限.  四 【解析】 ∵(a-2)2+|b+3|=0, ∴a-2=0,b+3=0,∴a=2,b=-3, ∴点A的坐标为(2,-3),∴点A在第四象限. 20 考法❷　计算点的距离 4.【典例】 【一题多设问】 已知,点P(2,3). (1)点P到x轴的距离是_____;到y轴的距离是_____;到原点的距离是______.  (2)若点P和点Q所在直线与x轴平行,且PQ=3,则点Q的坐标是______________.  (3)若点P和点M所在直线与y轴平行,且PM=5,则点M的坐标是______________.  (4)若点H(3,6),则PH的长为_______.若点Q为线段PH的中点,则点Q的坐标 为_________.  3 2 (-1,3)或(5,3) (2,8)或(2,-2) (,) 21 5.在平面直角坐标系中,点P在y轴的负半轴上,且点P到x轴的距离为7, 则点P的坐标为_________.  (0,-7) 【解析】 设点P坐标为(0,m). ∵点P到x轴的距离为7,∴|m|=7,m=±7. ∵点P在y轴的负半轴上,∴m=-7, ∴点P的坐标为(0,-7). 22 6.已知平面直角坐标系内不同的两点A(4,3a+2)和B(2a+2,3)到y轴的距离 相等,则a的值为__________.  1或-3 【解析】 ∵A(4,3a+2)和B(2a+2,3)到y轴的距离相等,∴2a+2=±4, 解得a=1或-3. 23 命题点2　 函数自变量的取值范围6年0考　 7.【典例】 函数y=中,自变量x的取值范围是____________.  x≥-2且x≠1 【解析】 根据题意得 解得x≥-2且x≠1. 24 【易错警示】 与二次根式有关的函数自变量 　　当二次根式在分子位置时,需要满足被开方数(式)是非负数;而二次根式在分母位置时,需要满足被开方数(式)是正数,这是最容易出错的地方. 25 8.(2024·滨州)若函数y= 的表达式在实数范围内有意义,则自变量x的 取值范围是________.  9.函数y=+(x-5)-2中,自变量x的取值范围是____________.  x≠1 x>3且x≠5 【解析】 由题意得x-3>0且x-5≠0, 解得x>3且x≠5. 26 命题点3　 函数图象的分析与判断6年1考　 10.【典例】 【新考法·学科融合】 (2025·河南)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素,在一定条件下,它会随车速的变化而变化.研究发现,某款轮胎的摩擦系数μ与车速v(km/h)之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是(　　) A.汽车静止时,这款轮胎的摩擦系数为0.9 B.当0≤v≤60时,这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71,车速应不低于60 km/h D.若车速从25 km/h增大到60 km/h,则这款轮胎的摩擦系数减小0.04 27 【解析】 由题图可得汽车静止时,这款轮胎的摩擦系数为0.9,故选项A说法正确,不符合题意; 当0≤v≤60时,这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小,故选项B说法正确,不符合题意; 要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71,车速应不超过60 km/h,故选项C说法错误,符合题意; 若车速从25 km/h增大到60 km/h,则这款轮胎的摩擦系数减小0.04,故选项D说法正确,不符合题意. 28 11.(2025·广东)在理想状态下,某电动摩托车充满电后以恒定功率运行,其电池剩余的能量y(W·h)与骑行里程x(km)之间的关系如图.当电池剩余能量小于100 W·h时,摩托车将自动报警.根据图象,下列结论正确的是(　　) A.电池能量最多可充400 W·h B.摩托车每行驶10 km消耗能量300 W·h C.一次性充满电后,摩托车最多行驶25 km D.摩托车充满电后,行驶18 km将自动报警 29 【解析】 由题图可得当x=0 km时,y=500 W·h, ∴电池能量最多可充500 W·h,故选项A错误. 500÷25=20(W·h),20×10=200(W·h), ∴摩托车每行驶10 km消耗能量200 W·h,故选项B错误. 由题图可得当x=25 km时,y=0 W·h, ∴一次性充满电后,摩托车最多行驶25 km,故选项C正确. (500-100)÷20=20(km), ∴摩托车充满电后,行驶20 km将自动报警,故选项D错误. 30 12.【新考法·学科融合】 (2024· 青海)化学实验小组查阅资料了解到:某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降,从而达到净水的目的.实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示,下列说法正确的是(　　) A.加入絮凝剂的体积越大,净水率越高 B.未加入絮凝剂时,净水率为0 C.絮凝剂的体积每增加0.1 mL,净水率 的增加量相等 D.加入絮凝剂的体积是0.2 mL时,净水 率达到76.54% 31 【解析】 由题图可知加入絮凝剂的体积在0.5 mL时,达到最大净水率,之后净水率开始降低,故选项A错误,不符合题意.未加入絮凝剂时,净水率为12.48%,故选项B错误,不符合题意.当絮凝剂的体积从0.2 mL增加到0.3 mL时,净水率增加量为84.60%-76.54%=8.06%,絮凝剂的体积从0.3 mL增加到0.4 mL时,净水率增加量为86.02%-84.60%=1.42%,∴絮凝剂的体积每增加0.1 mL,净水率的增加量不相等,故选项C错误,不符合题意.由题图可知加入絮凝剂的体积是0.2 mL时,净水率达到76.54%,故选项D正确,符合题意. 32 命题点4　平面直角坐标系中点的规律6年1考　 13.【典例】 【新题型·代数推理】(2024·山东)任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次运算后,必进入循环圈1→4→2→1,这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy中,将点(x,y)中的x,y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标,其中x,y均为正整数.例如,点(6,3)经过第1次运算得到点(3,10),经过第2次运算得到点(10,5),以此类推,则点(1,4)经过2 024次运算后得到点_________.  思维导引:先利用“冰雹猜想”对点(1,4)进行运算→再分析得到的点坐标找到循环周期→最后得出结果. (2,1) 33 【解析】 点(1,4)经过1次运算后得到点(1×3+1,4÷2),即(4,2), 经过2次运算后得到点(4÷2,2÷1),即(2,1), 经过3次运算后得到点(2÷2,1×3+1),即(1,4), … 发现规律,点(1,4)经过3次运算后还是(1,4). ∵2 024÷3=674……2, ∴点(1,4)经过2 024次运算后得到点(2,1). 34 【解题通法】 　　探究点的坐标变化规律,关键是分析出“变”的规律,即点的横、纵坐标与序数之间存在的关系.解题步骤一般为①求第一个点的横、纵坐标;②求第二、三、四个点的横、纵坐标;③观察横、纵坐标的变化,找到规律;④得出规律,解决问题. 35 14.(2022·济南)规定:在平面直角坐标系中,一个点作“0”变换表示将它向右 平移一个单位长度,一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°,由 数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换.例如:如图, 点O(0, 0)按序列“011…”作变换,表示点O先向右平移一个单位长度得到 O1(1,0),再将O1(1,0)绕原点顺时针旋转90°得到O2(0,-1),再将O2(0,-1)绕原 点顺时针旋转90°得到O3(-1,0),……依次类推.点(0,1)经过“011 011 011” 变换后得到点的坐标为_________.  (-1,-1) 36 【解析】 点(0,1)经过“0”变换得到(1,1),点(1,1)经过“1”变换得到(1,-1),点(1,-1)经过“1”变换得到(-1,-1),点(-1,-1)经过“0”变换得到(0,-1),点(0,-1)经过“1”变换得到(-1,0),点(-1,0)经过“1”变换得到(0,1),点(0,1)经过“0”变换得到(1,1),点(1,1)经过“1”变换得到(1,-1),点(1,-1)经过“1”变换得到(-1,-1). 37 15.(2025·济南历下二模改编)如图,将折线O-A1-A2-A3-A4绕点A4顺时针旋转 180°得到一段新的折线A4-A5-A6-A7-A8,再将新的折线绕点A8顺时针旋转 180°……以此类推,得到一段连续的折线,则点A2 025的坐标为___________.  (1 266,) 38 【解析】 如图.  由题意可知A4,A8,A12…在x轴上,且OA4=A4 A8=A8 A12=,An的纵坐标以,,,0,-,-,-,0为一组进行循环, ∴OA8=5,即一个循环,横坐标增加5,且在一个循环内横坐标的变化为+1,+,+,+,+,+,+,+1, ∴A8(5,0),A16(10,0),A24(15,0),…,∴A8k(5k,0). ∵2 025÷8=253……1, ∴A2 025的纵坐标为 ,横坐标为5×253+1=1 266, ∴A2 025(1 266,). 39 命题点5　动点问题的函数图象6年1考　 考法❶　判断动点函数图象 【母题1】 (2025·甘肃)如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,点D为边AB的中点.动点P从点A出发,沿边AC→CB方向匀速运动,运动到点B时停止.设点P的运动路程为x,△APD的面积为y,y与x的函数图象如图2所示,当点P运动到CB的中点时,PD的长为(　　)　　　　　　　　　　　　 A.2 B.2.5 C.2 D.4 40 【解析】 根据题意得动点P从点A出发,沿边AC→CB方向匀速运动过程中,△APD的面积先增大,再减小,当点P运动到点C时,△APD的面积最大,根据函数图象可得此时△APD的面积为4,如图.  ∵点D为边AB的中点,△ABC是等腰直角三角形, ∴S△ABC=2S△ADP=8=AC2,∴AC=4. 当点P运动到CB的中点时,如图.  ∵点D为边AB的中点,∴DP=AC=2. 41 【思维路径】 42 【解题模板】 43 【变式1】 单动点,判断函数图象 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,动点E从点B出发,其运动速度为每秒1个单位长度,沿B→C→D→A的路线匀速运动,记点E的运动时间为t秒,△ABE的面积为S,则下列能大致反映S与t之间关系的图象是(　　) A B C D 44 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形,AB=6,BC=4, ∴CD=AB=6,AD=BC=4. ①当0≤t≤4时,点E在BC上运动,BE=t, S△ABE=AB·BE =×6t=3t, 即S随t的增大而增大,且符合一次函数的图象; ②当4<t≤10时,点E在CD上运动, S△ABE=AB·BC =×6×4=12; ③当10<t≤14时,点E在AD上运动,AE=BC+CD+AD-t=14-t, S△ABE=AB·AE =×6×(14-t)=-3t+42, 即S随t的增大而减小,且符合一次函数的图象. 综上所述,只有选项A符合题意. 45 【变式2】 双动点,判断函数图象 (2024·安徽)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=2,BD是边AC上的高.点E,F分别在边AB,BC上(不与端点重合),且DE⊥DF.设AE=x,四边形DEBF的面积为y,则y关于x的函数图象为(　　) A B C D 46 【解析】 如图,过点D作DH⊥AB于点H. ∵∠ABC=90°,AB=4,BC=2, ∴AC==2. ∵BD是边AC上的高, ∴BD===, ∴CD==,AD=AC-CD=, ∴DH===, 47 ∴S△ADE=AE·DH=x×=x,S△BDE=BE·DH=(4-x)×=-x. ∵∠BDE=90°-∠BDF=∠CDF,∠DBE=90°-∠CBD=∠C, ∴△BDE∽△CDF,∴=()2=()2=, ∴S△CDF=S△BDE=(-x)=-x, ∴y=S△ABC-S△ADE-S△CDF=×2×4-x-(-x)=-x+. ∵-<0,∴y随x的增大而减小,且y与x的函数图象为线段(不含端点),观察各选项图象可知,A符合题意. 48 【变式3】 动图,判断函数图象 (2024·烟台)如图,水平放置的矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,菱形EFGH的顶点E,G在同一水平线上,点G与AB的中点重合,EF=2 cm,∠E=60°.现将菱形EFGH以1 cm/s的速度沿BC方向匀速运动,当点E运动到CD上时停止,在这个运动过程中,菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系图象大致是(　　) 49 A B C D 50 【解析】 如图,连接EG,HF,设EG,HF交于点O. ∵四边形EFGH是菱形,∴EF=EH=HG=GF. ∵∠HEF=60°,∴△EFH和△HFG是等边三角形. ∵EF=2 cm,∠OEF=30°, ∴EG=2EO=2EF·cos 30°=EF=6 cm, ∴S菱形EFGH=EG·FH=×6×2=6 (cm2). 51 如图,当0≤t≤3时,重合部分为△MNG.   依题意得△MNG为等边三角形,运动时间为t s, 则MN=×2=t cm,∴S=MN·t=t2. 如图,当3<t≤6时,连接EG交AB于点M. 52 依题意得EM=EG-t=(6-t)cm, 则EK===(6-t) cm, ∴S△EKJ=KJ·EM=×(6-t)2=(6-t)2, ∴S=S菱形EFGH-S△EKJ=6-(6-t)2=-t2+4t-6. ∵EG=6 cm<BC, ∴当6<t≤8时,S=6 cm2. 如图,当8<t≤11时,同理可得S=6-(t-8)2. 53 如图,当11<t≤14时,同理可得S=[6-(t-8)]2=(14-t)2.   综上所述,当0≤t≤3时,函数图象为开口向上的一段抛物线;当3<t≤6时,函数图象为开口向下的一段抛物线;当 6<t≤8时,函数图象为一条线段;当8<t≤11时,函数图象为开口向下的一段抛物线;当11<t≤14时,函数图象为开口向上的一段抛物线. 54 考法❷　由动点函数图象解决问题 【母题2】 (2024·济南)如图1,△ABC是等边三角形,点D在边AB上,BD=2,动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发,沿折线BC-CA匀速运动,到达点A后停止,连接DP.设点P的运动时间为t(s),DP2为y.当动点P沿BC匀速运动到点C时,y与t的函数图象如图2所示.有以下四个结论:①AB=3;②当t=5时,y=1;③当 4≤t≤6时,1≤y≤3;④动点P沿BC-CA匀速运动时,两个时刻t1,t2(t1<t2)分别对应y1和y2.若t1+t2=6,则y1>y2.其中正确结论的序号是(　　) 55 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 图1　　　　　　　图2 A.①②③ B.①② C.③④ D.①②④ 56 【解析】 由题意知当点P运动到点C时, DP2=y=7,即DC2=7. 如图1,过点D作DH⊥BC于点H. ∵∠B=60°,BD=2, ∴BH=BD=1,DH==, ∴CH===2, ∴BC=BH+CH=1+2=3, ∴AB=BC=3,故①正确. 图1 57 当t=5时,点P在AC上,且PC=2. 如图2,AD=AP=1. ∵∠A=60°,∴△ADP是等边三角形, ∴DP=AD=AP=1, ∴y=DP2=1,故②正确. 图2 58 如图3,过点D作DH⊥AC于点H. 当4≤t≤6时,此时点P从如图的位置运动到点A. ∵AD=1,PC=1, ∴AH=AD=, ∴DH=,此时点P运动到点H时y=DH2取最小值,最小值为. ∵HP=AC-AH-PC=3--1=, ∴DP==, ∴此时y=DP2取最大值,最大值为3, 图3 59 ∴当4≤t≤6时,≤y≤3,故③错误. ∵t1+t2=6,t1<t2,∴t2=6-t1,∴t1<3,t2>3. 由题意得当0≤t≤3时,y=(t-1)2+3; 当3≤t≤6时,y=(t-5.5)2+, ∴y1=(t1-1)2+3,y2=(t2-5.5)2+=(t1-0.5)2+, ∴y1-y2=(t1-1)2+3-(t1-0.5)2-=3-t1>0, ∴y1>y2,故④正确. 60 【解题模板】 61 【变式1】 动点在三角形上运动,探索函数图象 (2025·烟台)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD是角平分线.点E从点A出发,沿AB方向向点B运动,连接CE,点F在BC上,且∠CEF=45°.设AE=x,FD=y,若y关于x的函数图象过点(0,2-),则该图象上最低点的坐标为(　　) A.(,-) B.(,-) C.(,3-2) D.(,3-2) 62 【解析】 ∵∠ACB=90°,AC=BC,AD是角平分线, ∴∠CAB=∠CBA=45°,∠CAD=∠BAD=22.5°. 设AC=BC=m,∴AB==m. 如图,在AC上取点Q,使AQ=DQ,连接DQ, ∴∠QDA=∠QAD=22.5°, ∴∠CQD=∠CDQ=45°, ∴CQ=CD=QD=AQ, ∴CQ+CQ=m, 63 解得CD=CQ=(-1)m. ∵∠CAB=45°=∠CEF,∠ACE+∠CAE=∠CEF+∠BEF, ∴∠ACE=∠BEF,∴△ACE∽△BEF, ∴=,∴=,∴BF=, ∴DF=y=m-(-1)m-=(2-)m-. ∵y关于x的函数图象过点(0,2-), ∴(2-)m=2-,解得m=1, 64 ∴y=2--(-x)x=x2-x+2-. 当x=-=时,y=-, ∴该图象上最低点的坐标为(,-). 65 【变式2】 双动点在四边形上运动,分析图象 【数形结合思维】 如图1,在平行四边形ABCD中,∠ABC=120°,已知点P在边AB上,以1 m/s的速度从点A向点B运动,点Q在边BC上,以 m/s的速度从点B向点C运动.若点P,Q同时出发,当点P到达点B时,点Q恰好到达点C处,此时两点都停止运动.图2是△BPQ的面积y(m2)与点P的运动时间t(s)之间的函数关系图象(点M为图象的最高点),则平行四边形ABCD的面积为(　　) A.12 m2 B.12 m2 C.24 m2 D.24 m2 66 【解析】 由题意可知AB∶BC=1∶. 设AB=a m,则BC=a m. 如图,过点P作PE垂直于CB的延长线于点E. PA=t m,则PB=(a-t)m,BQ=t m. 在Rt△PBE中,∠PBE=180°-∠ABC=60°, ∴PE=(a-t) m,∴y=×t×(a-t),化简得y=-t2+at. 由二次函数图象可知函数的顶点纵坐标为3, ∴=a2=3,∴a2=16. 67 ∵a为正数,∴a=4,∴AB=4 m,则BC=4 m. 过点A作AF垂直于CB的延长线于点F. 在Rt△ABF中,∠ABF=60°, ∴AF=×4=2 (m), ∴S▱ABCD=BC·AF=4×2=24 (m2). 68 1.函数y=+ 中,自变量x的取值范围是(　　) A.x≤2 B.x≤2且x≠1 C.x<2且x≠1 D.x≠1 1 3 5 题序 2 4 6 69 2.已知点A(-6,m+2),B(-3,m),C(3,m)在同一个函数图象上,则这个函数图象 可能是(　　) A B C D 1 3 5 题序 2 4 6 70 3.(2024·滨州)若点P(1-2a,a)在第二象限,那么a的取值范围是(　　) A.a> B.a< C.0<a< D.0≤a< 【解析】 ∵点P(1-2a,a)在第二象限, ∴解得a>. 1 3 5 题序 2 4 6 71 4.(2025·成都)小明从家跑步到体育馆,在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书,然后步行回家(小明家、书店、体育馆依次在同一直线上),如图表示的是小明离家的距离与时间的关系.下列说法正确的是(　　) A.小明家到体育馆的距离为2 km B.小明在体育馆锻炼的时间为45 min C.小明家到书店的距离为1 km D.小明从书店到家步行的时间为40 min 1 3 5 题序 2 4 6 72 【解析】 由图象可知, A.小明家到体育馆的距离为2.5 km,故本选项不符合题意; B.小明在体育馆锻炼的时间为45-15=30(min),故本选项不符合题意; C.小明家到书店的距离为1 km,故本选项符合题意; D.小明从书店到家步行的时间为100-80=20(min),故本选项不符合题意. 1 3 5 题序 2 4 6 73 5.如图1,在△ABC中,∠ABC>90°,动点P从点A开始出发向点C运动,连接BP,设AP=x,BP=y,如图2是y关于x的函数图象,点Q是函数图象上的最低点.观察图象,对于以下结论:①AC=9,BC=4;②∠A=30°;③当△BCP是直角三角形时,x的值为7;④当7<x<9时,△BCP是钝角三角形.其中正确的是(　　) A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 1 3 5 题序 2 4 6 74 【解析】 如图,过点B作BD⊥AC于点D. 当点P运动到点D处时,BP最短,此时x=7,即AD=7, 当点P运动到点C处时,x=9,y=4,即AC=9,BC=4,故①正确. ∴CD=2,∴sin∠CBD=, ∴∠DBC=30°,∴∠C=60°. ∵∠ABC>90°, ∴∠A<30°,故②错误. 当△BCP为直角三角形,且当∠BPC=90°,即∠BDC=90°, ∴AD=7,x=7; 1 3 5 题序 2 4 6 75 当△BCP为直角三角形,且当∠PBC=90°时, ∵∠C=60°,BC=4, ∴PC=8,∴AP=1,即x=1, ∴当△BCP是直角三角形时,x的值为7或1,故③错误. 当7<x<9时,点P在DC上运动(不含点D), ∵当x=7时,∠BDC=90°, ∴当7<x<9时,∠BDC>90°, ∴△BCP是钝角三角形,故④正确. 综上所述,正确的是①④. 1 3 5 题序 2 4 6 76 6.【新题型·新定义】 (2025·山东期末)在平面直角坐标系中,若a,b均为整 数,对于点A(a,b),规定: 当a为奇数时,将其减1后除以2作为点B的横坐标,当a为偶数时,将其除以2作 为点B的横坐标;同时对b进行和a同样的处理作为点B的纵坐标.由点A到点 B这样的坐标变换称为一次“归一变换”.经过数次“归一变换”后,平面直角坐 标系内所有横、纵坐标均为整数的点终将变换为(-1,-1),(-1,0),(0,-1),(0,0)中 的一个.当a,b均为整数且|a|≥20,|b|≥20时,经过数次“归一变换”后最终变换 为(-1,0)的(a,b)是_____________________.(写出一个满足题意的点即可)  (-20,20)(答案不唯一) 1 3 5 题序 2 4 6 77 【解析】 ∵a,b均为整数且|a|≥20,|b|≥20,且最后变换为(-1,0),∴a≤-20,b≥20, ∴(a,b)可以为(-20,20), 对(-20,20)进行“归一变换”可得(-10,10), 对(-10,10)进行“归一变换”可得(-5,5), 对(-5,5)进行“归一变换”可得(-3,2), 对(-3,2)进行“归一变换”可得(-2,1), 对(-2,1)进行“归一变换”可得(-1,0), ∴经过数次“归一变换”后最终变换为(-1,0)的(a,b)可以是(-20,20).(答案不唯一) 1 3 5 题序 2 4 6 78 79 $