07 第二章 第三节 分式方程及其应用 -【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学讲练本PPT课件

该初中数学中考复习课件聚焦“分式方程及其应用”核心考点，严格对接中考说明，分析命题点分布，如分式方程解法（6年2考）、应用（6年3考）等权重，归纳解分式方程、参数范围确定、工程/行程应用题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+易错警示+解题通法”模式，以2025威海真题为例，示范去分母、验根步骤，强调符号处理和双检验，培养运算能力与推理意识。通过易错点加练（如漏乘常数项）和随堂演练，帮助学生掌握得分技巧，教师可依此精准指导，提升复习效率。

1 2 第三节　分式方程及其应用 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1　分式方程及其解法 1.分式方程的概念:分母中含有　 　的方程叫作分式方程.  未知数 5 2.分式方程的解法 (1)解分式方程的一般步骤: (2)增根:使原分式方程的　 　的根称为原方程的增根.  (3)产生增根的原因:将分式方程化为整式方程时,在方程的两边同乘了 一个使分母为0的整式. 分母为零 6 知识点2　分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤与列整式方程的步骤类似:审题、设未知数、列分式方程、解方程、双检验、作答.(注:双检验是指既要检验是不是分式方程的根,还要检验是否符合实际意义.) 7 2.常见应用类型(从题目中找到一个量,分别用两个代数式表示.这两个代数式相等.) 常见 类型 基本数量关系 常见等量关系 打折 销售 问题 销售量=; 售价=标价×折扣 -=单价差 (根据数量差也可列等量关系) 8 常见 类型 基本数量关系 常见等量关系 工程 问题 工作时间= (注:题干中未告诉工作总量 时,工作总量可以看作整体 “1”,则=工作效率) -= 提前完成的时间; -=时间差 行程 问题 时间= -=时间差 9 命题点1　分式方程及其解法6年2考　 1.【典例】 (2025·威海)解分式方程:-1=. 解:原方程去分母得x-2-(2x-1)=-1, 解得x=0. 检验:当x=0时,2x-1≠0, ∴原方程的解是x=0. 10 【易错警示】 解分式方程的注意点 ①解分式方程去分母时,不要漏乘常数项; ②去括号时,括号前面是负号时,括号内要变号; ③解得根后,要代入原分式方程或最简公分母检验. 11 2.(2022·济南)代数式与代数式的值相等,则x=______.  7 【解析】 由题意得=, ∴3(x-1)=2(x+2),解得x=7. 经检验,x=7是原方程的解. 12 3(2025·北京)方程+=0的解为 　　 　.  x=2 【解析】 方程两边乘最简公分母x(x-6)得2x+x-6=0,解得x=2, 经检验,x=2是原方程的解. 13 4.(2025·济南钢城一模)已知关于x的分式方程=的解是x=6, 则k的值为____.  2 【解析】将x=6代入分式方程=可得=, ∴3(6-k)=12,解得k=2. 14 命题点2　由解的情况求参数的值或范围 6年0考 5.【典例】 若关于x的方程-2=的解为正数,则m的取值范围 是(　　) A.m>- B.m< C.m>-且m≠0 D.m<且m≠ 15 【解析】 解分式方程得x=,且x≠1, ∴m≠. 又∵分式方程的解为正数,∴>0,解得m<, ∴m的取值范围是m<且m≠. 16 【解题通法】 (1)把参数当作数字解分式方程. (2)用含参数的代数式表示x. (3)依据题意分类讨论,确定字母参数的值或取值范围: ①正根:含参代数式>0. ②负根:含参代数式<0. ③增根:含参代数式使分式方程的分母为0. 17 6.(2025·遂宁)若关于x的分式方程=-1无解,则a的值为(　　) A.2 B.3 C.0或2 D.-1或3 【解析】 =-1, 3-ax=-a-(2-x), 3-ax=-a+x-2, ax+x=a+5, (a+1)x=a+5, x=. ∵关于x的分式方程无解,∴=2或a+1=0,解得a=3或a=-1. 18 7.已知关于x的分式方程 -=1的解为负数,则k的取值范围是 ____________.  k>且k≠1 【解析】 去分母得(x+k)(x-1)-k(x+1)=x2-1, 去括号得x2-x+kx-k-kx-k=x2-1, 移项合并得x=1-2k. 根据题意得1-2k<0,且1-2k≠±1,解得k>且k≠1. 19 8.若关于x的分式方程 += 的解大于1,则m的取值范围是 ____________.  m>0且m≠1 【解析】 分式方程两边同时乘最简公分母(x+2)(x-2)得x+2+2(x-2)=x+2m, 去括号得x+2+2x-4=x+2m, 解方程得x=m+1. 检验:当m+1≠2,m+1≠-2, 即m≠1且m≠-3时,x=m+1是原分式方程的解. 根据题意可得m+1>1,∴m>0且m≠1. 20 命题点3　分式方程的应用6年3考　 9.【典例】 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中,八(1)班负责校园某绿化角的设计、种植与养护,同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植,已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元,且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同. (1)求绿萝和吊兰的单价各是多少元. (2)若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍,且资金不超过600元,则购买吊兰的数量最多是多少盆? 21 解:(1)设绿萝的单价为x元,则吊兰的单价为(x+5)元. 由题意得 =,解得x=10. 经检验,x=10是原方程的解,且符合题意, 则x+5=15. 答:绿萝的单价为10元,吊兰的单价为15元. (2)设购买吊兰的数量为m盆,则购买绿萝的数量为2m盆. 由题意得15m+10×2m≤600, 解得m≤. ∵m为正整数,∴m的最大值为17. 答:购买吊兰的数量最多是17盆. 22 【归纳总结】 　　解分式方程的实际应用问题时,所得的解必须经过双重检验:①是否是所列分式方程的解;②是否符合实际意义. 23 10.(2024·山东)为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造.改造后比改造前每天多生产100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为(　　) A.200 B.300 C.400 D.500 【解析】 设改造后每天生产的产品件数为x,则改造前每天生产的产品件数为(x-100). 根据题意得 =, 解得x=300, 经检验,x=300是分式方程的解,且符合题意. 24 11.(2024·威海)某公司为节能环保,安装了一批A型节能灯,一年用电16 000千瓦·时.后购进一批相同数量的B型节能灯,一年用电9 600千瓦·时.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时.求一盏A型节能灯每年的用电量. 25 解:设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时,则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦·时. 根据题意得 =,解得x=96. 经检验,x=96是原分式方程的解,且符合题意, ∴2x-32=160. 答:一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时. 26 12.(2025·济南历城二模)为满足儿童对某电影人物的喜爱,某玩具店决定购 进A,B两种玩偶.已知一个B种玩偶比一个A种玩偶价格贵10元,玩具店用 2 500元购进A种玩偶的数量是用1 500元购进B种玩偶数量的2.5倍.求购进 A,B两种玩偶的单价各是多少元. 解:设A种玩偶的单价为x元,则B种玩偶的单价为(x+10)元. 根据题意得 =×2.5, 解得x=20. 经检验,x=20是所列方程的解,且符合题意,∴x+10=30. 答:A种玩偶的单价为20元,B种玩偶的单价为30元. 27 13.甲、乙两个筑路队,甲队每天比乙队每天多筑路100米,甲队筑路18 000米所用时间与乙队筑路15 000米所用时间相等. (1)求甲、乙两个筑路队每天各筑路多少米. (2)甲、乙两个筑路队合作筑路30 000米,若要求乙队筑路工作时间不超过30天,甲队至少筑路多少天? 28 解:(1)设甲筑路队每天筑路x米,则乙筑路队每天筑路(x-100)米. 由题意可得=, 解得x=600.经检验,x=600是原方程的解, ∴x-100=600-100=500. 答:甲筑路队每天筑路600米,乙筑路队每天筑路500米. (2)设甲队筑路a天. 由题意可得≤30,解得a≥25. 答:甲队至少筑路25天. 29 【易错点加练】 易错点1　去分母时漏乘整数项 1.分式方程 =1的解是_________.  x=2 【解析】 =1, 方程两边同乘(2x-1)得3=2x-1,解得x=2. 检验:将x=2代入2x-1=3≠0, ∴分式方程的解为x=2. 30 易错点2　去分母时忽视符号问题 2.分式方程1-= 的解是_________.  x=-1 【解析】 1-=, 方程两边同乘(3x-1)得3x-1-1=-5,解得x=-1. 检验:把x=-1代入3x-1=-4≠0, ∴分式方程的解为x=-1. 31 易错点3　求解分式方程忽视题干其他要求 3.某校初三年级学生参加捐款活动,甲班捐款200元,乙班30名学生捐款200元,两班人均捐款比甲班人均捐款多1元,甲班有多少名学生参加这次捐款活动?(规定班级人数不超过60人) 32 解:设甲班有x名学生参加这次捐款活动. 根据题意得 =-1, 整理得x2-170x+6 000=0, 解得x1=50,x2=120. 经检验,x1=50,x2=120均为原方程的根. ∵120>60,不符合题意,舍去,∴x=50. 答:甲班有50名学生参加这次捐款活动. 33 1.解分式方程1-=,去分母后得到的方程正确的是(　　) A.1-(2-x)=-2x B.(2-x)+1=2x C.(x-2)-1=2x D.(x-2)+1=2x 【解析】 ∵1-=,∴方程两边同乘(x-2)得 (x-2)+1=2x. 1 3 5 题序 2 4 6 34 2.(2024·广东)方程=的解是(　　) A.x=-3 B.x=-9 C.x=3 D.x=9 【解析】 ∵=,∴方程两边同乘x(x-3)得 2x=3(x-3),解得x=9. 检验:当x=9时,x(x-3)≠0,∴x=9是原方程的解. 1 3 5 题序 2 4 6 35 3.已知关于x的分式方程 =+1 的解是正数,则m的取值范围 是(　　) A.m>4 B.m<4 C.m>4且m≠5 D.m<4且m≠1 1 3 5 题序 2 4 6 36 【解析】 方程两边同时乘(x-1)得2x-m=-3+x-1, 解得x=m-4. ∵x为正数,∴m-4>0,解得m>4. ∵x≠1,∴m-4≠1,即m≠5, ∴m的取值范围是m>4且m≠5. 1 3 5 题序 2 4 6 37 4.(2025·绥化)用A,B两种货车运输化工原料,A货车比B货车每小时多运输15吨,A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x吨,则可列方程为(　　) A.= B.= C.= D.= 1 3 5 题序 2 4 6 38 【解析】 由题意知B货车每小时运输化工原料x吨,则A货车每小时运输化工原料(15+x)吨. 由题意得 =. 1 3 5 题序 2 4 6 39 5.解方程:-=1. 解:去分母得x+(x-3)=x-2, 去括号得2x-3=x-2,解得x=1. 经检验,x=1是原方程的解. 1 3 5 题序 2 4 6 40 6.某学校在商场购买甲、乙两种足球,购买甲种足球共花费2 000元,购买乙种足球共花费1 400元,购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍,且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元. (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元. (2)为响应“足球进校园”的号召,这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.如果此次购买甲、乙两种足球的单价不变,总费用不超过2 750元,那么这所学校最多可购买多少个乙种足球? 1 3 5 题序 2 4 6 41 解:(1)设购买一个甲种足球需x元,则购买一个乙种足球需(x+20)元. 由题意得 =2×,解得x=50. 经检验,x=50是原方程的解,且符合题意,∴x+20=70. 答:购买一个甲种足球需50元,购买一个乙种足球需70元. (2)设学校购买乙种足球m个,则购买甲种足球(50-m)个. 由题意得50(50-m)+70m≤2 750, 解得m≤12.5,∴m的最大值为12. 答:这所学校最多可购买12个乙种足球. 1 3 5 题序 2 4 6 42 43 $