06 第二章 第二节 一元二次方程及其应用 -【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学讲练本PPT课件

该初中数学中考复习课件系统覆盖一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数关系及应用等核心考点，严格对接中考说明，分析6年考情（如根的判别式6年2考、应用6年1考），归纳解方程、参数取值、面积与利润应用等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题解析+技巧指导+素养培养”模式，精选2024-2025年济南、东营等地中考真题，如用三种方法解一元二次方程培养运算能力，通过面积问题建模发展抽象能力与模型意识。设易错点警示（如忽略二次项系数），助力学生掌握解题技巧，教师可依此制定精准复习计划，提升冲刺效率。

1 2 第二节　一元二次方程及其应用 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1　一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程:只含有　 　个未知数x的整式方程,并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫作一元二次方程.  2.一般形式:ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0).其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数. 3.一元二次方程的解(根):使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(根). 一 5 知识点2　一元二次方程的解法 直接开 平方法 形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,两边同时开平方,转化为两个一元 一次方程求解 配方法 把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方化成(x+m)2=n(n≥0) 的形式,再直接开平方 公式法 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b2-4ac≥0,利用求根公式 x=____________求解  因式分 解法　 将一元二次方程的一边化为0,另一边分解成两个一次因式的 乘积,即可化为a(x+m)(x+n)=0(a≠0)的形式,再通过解一元一次 方程求解 6 【解题通法】 　　配方法:借助公式a2±2ab+b2=(a±b)2将代数式整体或局部转化成平方的形式解决问题. 　　常用于比较大小、化简二次根式、探究二次函数的性质等.运用此方法的技巧在于“折”与“添”,关键是一次项系数一半的平方. 7 知识点3　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系　　　　　 1.　 　叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用 希腊字母“Δ”来表示,即Δ=b2-4ac.判别式的符号决定了方程根的情况,即  (1)Δ>0⇔方程有两个　 　的实数根;  (2)Δ=0⇔方程有两个　 　的实数根;  (3)Δ<0⇔方程　 　实数根.  2.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=__________,x1x2=__________.  b2-4ac 不相等　 相等 没有 - 8 【归纳总结】 口诀记忆 遇两根,想“韦达”,韦达定理前提仨,一般形式是其一,a不为0是其二,第三要想Δ. 9 3.根与系数关系常见的变形:+=(x1+x2)2-2x1x2;+=; (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;|x1-x2|=. 10 知识点4　一元二次方程的应用 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 (1)审:审清题意,找出题中的已知量、未知量. (2)设:设出关键未知数. (3)列:找出等量关系,列方程. (4)解:解方程. (5)验:检验结果是否正确或是否有实际意义. (6)答:回归题中,规范作答. 11 2.应用题中常见的等量关系 (1)增长率等量关系:增长率=增长量÷基础量×100%. 一般类型:设原来量为a,平均增长(下降)率为x,增长(降低)n次后数量为b,则增长率公式为a(1+x)n=b;降低率公式为a(1-x)n=b. 12 (2)利润等量关系:每件利润=每件售价-每件成本(进价), 总利润=每件利润×销售总件数.(总利润=销售总额-成本总额) 利润率=×100%. 购买问题中的“每每模型”:总利润=单件利润×数量; 成本每件a元,售价为m元时的销量是n件,售价每降低d元,则可多卖出c件.设售价降低了x元,则每件的利润为(m-x-a)元,销量增加 件,销量变为(n+)件,则降价后的利润为w=(m-x-a)(n+)元. 13 (4)利息等量关系:利息=本金×利率×期数, 本息和=本金+利息. (5)行程等量关系:路程=速度×时间. (6)数字问题:三位数100+10+ 14 (7)循环问题: ①单循环问题(比赛、握手):设x个队进行m场比赛,每两个队进行1场比赛,则m=(x≥2). ②双循环问题(送礼物):设全班x人,每人向其他人赠送一张照片,共赠送m张照片,则m=x(x-1)(x≥2). 15 (8)面积问题:如图1,设空白部分的宽为x,则S阴影=____________; 如图2,设阴影部分的宽为x,则S空白=____________; 如图3,设阴影部分的宽为x,则S空白=____________.  (a-2x)(b-2x) (a-x)(b-x) (a-x)(b-x) 16 命题点1　一元二次方程的解法6年0考　 1.【典例】 已知关于x的一元二次方程(m-2)x2-4x+3=0,请回答下列问题: (1)m的取值范围是_________;  (2)若m的值为3,请用三种方法求出此方程的解. 思维导引:(1)先思考二次项系数不能为0→再由m-2≠0求m的取值范围; (2)先将m=3代入方程→再用三种方法解方程. 17 解:(1)m≠2 (2)当m=3时,一元二次方程为x2-4x+3=0. 公式法:∵a=1,b=-4,c=3, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×3=4, ∴x===,∴x1=3,x2=1. 配方法:∵x2-4x+3=0,∴x2-4x=-3,∴x2-4x+4=-3+4, ∴(x-2)2=1,∴x-2=±1,∴x1=3,x2=1. 因式分解法:∵x2-4x+3=0,∴(x-3)(x-1)=0, ∴x1=3,x2=1. 18 【解题通法】 灵活选择适当的方法解方程 ①用直接开平方法或因式分解法; ②用公式法(通用解法); ③有特殊要求的,按指定方法解方程. 19 2.(2024·东营改编)用配方法解一元二次方程x2-2x-2 025=0时,将它转化为(x+a)2=b的形式,则ab的值为(　　) A.-2 026 B.2 026 C.-1 D.1 【解析】 x2-2x-2 025=0, 移项得x2-2x=2 025, 配方得x2-2x+1=2 025+1, 即(x-1)2=2 026, ∴a=-1,b=2 026,∴ab=(-1)2 026=1. 20 3.(2024·滨州)解方程:x2-4x=0. 解:∵x2-4x=0,∴x(x-4)=0, ∴x=0或x-4=0,∴x1=0,x2=4. 21 4.解方程:2x2-7x+6=0. 解:∵方程2x2-7x+6=0,∴a=2,b=-7,c=6. ∵Δ=49-48=1>0,∴x=,则x1=2,x2=. 22 命题点2　一元二次方程根的判别式6年2考　 5.【典例】 (2024·济南)若关于x的方程x2-x-m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是(　　) A.m<- B.m>- C.m<-4 D.m>-4 【解析】 ∵关于x的方程x2-x-m=0有两个不相等的实数根, ∴Δ>0,即(-1)2+4m>0,∴m>-. 23 【易错警示】 求字母取值范围时的注意事项 　　对于二次项系数含有字母的方程,由根的情况求字母的取值范围时,若指明是一元二次方程,则牢记二次项系数不为0这一条件;若未指明方程类型,则需分二次项系数为0和不为0两种情况讨论. 24 6.(2025·广安)关于x的一元二次方程x2+3x+1=0的根的情况是(　　) A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 【解析】 ∵一元二次方程为x2+3x+1=0, ∴Δ=32-4×1×1=5>0, ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根. 25 7.(2025·北京)若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根,则实数a的值为(　　) A.-4 B.-1 C.1 D.4 【解析】 ∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根, ∴Δ=0且a≠0,∴22-4a=0且a≠0,∴a=1. 26 8.【新设问·结果开放】 (2023·济南)关于x的一元二次方程x2-4x+2a=0 有实数根,则a的值可以是_________________.(写出一个即可)  1(答案不唯一) 【解析】 ∵关于x的一元二次方程x2-4x+2a=0有实数根, ∴Δ=(-4)2-4×2a=16-8a≥0,解得a≤2, ∴a=1符合题意.(答案不唯一) 27 9.(2025·山东)若关于x的一元二次方程x2+4x-m=0有两个不相等的实数 根,则实数m的取值范围是_________.  m>-4 【解析】 ∵方程x2+4x-m=0有两个不相等的实数根,∴Δ=42-4×1×(-m)>0, 解得m>-4. 28 命题点3　一元二次方程根与系数的关系6年1考 10.【典例】 (2021·济南)关于x的一元二次方程 x2+x-a=0的一个根是2, 则另一个根是______.  -3 【解析】 由一元二次方程根与系数的关系知x1+x2=-1.∵一个根为2,∴另一个根为-1-2=-3. 29 【易错警示】 运用根与系数关系的注意点 (1)当一元二次方程不是一般形式时,要先化成一般形式. (2)运用x1+x2=-时,不要漏“-”. (3)运用根与系数关系公式的前提:①二次项系数a≠0;②判别式b2-4ac≥0. 30 11.(2025·济南市中一模)已知x1,x2分别是一元二次方程x2-3x+1=0的两个根, 则+的值为_______.  3 【解析】 ∵x1,x2分别是一元二次方程x2-3x+1=0的两个根,∴x1+x2=3,x1x2=1, ∴+===3. 31 12.(2025·绥化)已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2 025x+1=0的两个根, 则(m+1)(n+1)=_________.  2 027 【解析】 ∵m,n是关于x的一元二次方程x2-2 025x+1=0的两个根,∴m+n=2 025,mn=1, ∴(m+1)(n+1)=mn+m+n+1=1+2 025+1=2 027. 32 13.(2024·烟台)若一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m,n,则3m2-4m+n2的值 为______.  6 【解析】 ∵一元二次方程2x2-4x-1=0的两个根为m,n,∴m+n=2,mn=-,2m2-4m=1, ∴3m2-4m+n2=2m2-4m+m2+n2=1+m2+n2=1+(m+n)2-2mn=1+22-2×(-)=6. 33 命题点4　一元二次方程的应用6年1考　 14.【典例】 【核心素养·抽象能力】 (2020·济南)如图,在一块长15 m、 宽10 m的矩形空地上,修建两条同样宽的相互垂直的道路,剩余部分栽种 花草,要使绿化面积为 126 m2,则修建的路宽应为______m.  1 【解析】 设修建的路宽为x m.根据题意可得 (15-x)(10-x)=126,解得x=1或x=24(舍去). 34 15.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排21场比赛,则参赛球队的个数是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】 设有x个队,每个队都要赛(x-1)场,但两队之间只有一场比赛. 由题意得x(x-1)÷2=21,解得x=7或-6(舍去), ∴参赛球队的个数是7. 35 16.(2025·威海)如图,某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理,在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块,请你求出小路的宽度. 解:设小路的宽度为x m. 由题意得(20-4x)(14-4x)=24×9, 整理得2x2-17x+8=0,解得x=或x=8(舍去). 答:小路的宽度为 m. 36 17.列方程(组)解应用题. 某商场响应国家消费品以旧换新的号召,开展了家电惠民补贴活动.四月份投入资金20万元,六月份投入资金24.2万元,现假定每月投入资金的增长率相同. (1)求该商场投入资金的月平均增长率; (2)按照这个增长率,预计该商场七月份投入资金将达到多少万元. 37 解:(1)设商场投入资金的月平均增长率为x. 依题意得20(1+x)2=24.2, 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去). 答:该商场投入资金的月平均增长率为10%. (2)由题意得24.2×(1+10%)=26.62(万元). 答:预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元. 38 18.列方程(组)解应用题 端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况.下面是调查员的对话: 小王:该水果的进价是每千克22元. 小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160千克;每千克的销售价每降低3元,每天的销售量将增加120千克. 根据他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3 640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的销售价为每千克多少元. 39 解:设这种水果降价3x元. 根据题意可列方程为(38-22-3x)(160+120x)=3 640, 整理得x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3. ∵要尽可能让顾客得到实惠,∴x=3,即降价9元销售,此时这种水果的销售价为每千克38-9=29(元). 答:这种水果的销售价为每千克29元. 40 【易错点加练】 易错点1　误用等式的基本性质导致漏解 1.一元二次方程(x-2)2=2(x-2)的解是____________.  2.一元二次方程x(x-3)=x-3的解是____________.  易错点2　由根的情况求参数的取值范围时忽略二次项系数 3.若关于x的方程(m-1)x2+4x+1=0有实数解,则m的取值范围是________.  4.若一元二次方程ax2-2x+3=0有两个实数根,则a的取值范围是____________.  x1=2,x2=4 x1=1,x2=3 m≤5 a≤且a≠0 41 1.(2025·济南市中一模)已知关于x的一元二次方程x2+5x-m=0的一个根是 -6,则另一个根是(　　) A.-2 B.2 C.-1 D.1 【解析】 设方程的另一个为根为t. 由根与系数的关系得-6+t=-5,解得t=1, ∴方程的另一个根为1. 1 3 5 7 题序 2 4 6 42 2.(2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则这个三角形的周长为(　　) A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 【解析】 x2-10x+21=0, (x-3)(x-7)=0,解得x1=3,x2=7. 当等腰三角形的边长是3,3,7时,3+3<7,不符合三角形的三边关系,应舍去; 当等腰三角形的边长是7,7,3时,这个三角形的周长是7+7+3=17. 1 3 5 7 题序 2 4 6 43 3.(2025·福建)为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟用总长为5米的篱笆,在两边都足够长的直角围墙的一角,围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地,如图所示.设矩形的一边长为x米,根据题意可列方程(　　) A.5x2=6 B.5(1+x2)=6 C.x(5-x)=6 D.5(1+x)2=6 【解析】 由题意可列方程x(5-x)=6. 1 3 5 7 题序 2 4 6 44 4.(2025·广州)关于x的方程x2-x+k2+2=0根的情况为(　　) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 【解析】 由题意得Δ=(-1)2-4(k2+2)=-4k2-7<0, ∴方程无实数根. 1 3 5 7 题序 2 4 6 45 5.已知x=1是关于x的一元二次方程(m-1)x2-3x+1=0的一个根,则该方程的 另一个根为_________.  【解析】 ∵x=1是关于x的一元二次方程(m-1)x2-3x+1=0 的一个根,∴(m-1)×12-3×1+1=0,∴m=3, ∴关于x的一元二次方程为2x2-3x+1=0, ∴(2x-1)(x-1)=0,∴2x-1=0或x-1=0, ∴x=或x=1,∴该方程的另一个根是. 1 3 5 7 题序 2 4 6 46 6.解方程:(1)x2+4x-12=0; (2)x(2x+1)=4x+2; (3)(y+1)(y-1)=y. 解:(1)∵x2+4x+4-12=4,∴(x+2)2-12=4, ∴(x+2)2=16,∴x+2=±4,∴x1=2,x2=-6. (2)x(2x+1)=4x+2, 去括号、移项得2x2+x-4x-2=0, 合并同类项得2x2-3x-2=0, ∴(x-2)(2x+1)=0,∴x1=2,x2=-. 1 3 5 7 题序 2 4 6 47 (3)(y+1)(y-1)=y, 去括号得y2-1=y, 移项得y2-y-1=0. ∵a=1,b=-1,c=-1,∴b2-4ac=1+4=5, ∴y===, ∴y1=,y2=. 1 3 5 7 题序 2 4 6 48 7.某服装专卖店在销售中发现,一款服装每件进价为80元,销售价为120元时,每天可售出20件,为了迎接“五一”国际劳动节,商店决定采取适当的降价措施,以扩大销售量,增加利润. 经市场调查发现,若每件服装降价1元,则平均每天可多售出2件.设每件服装降价x元. (1)每天可销售_________件,每件盈利________元.(用含x的代数式表示)  (2)求每件服装最多降价多少元时,平均每天可盈利1 200元. (3)若店长希望平均每天能盈利2 000元,这个愿望能实现吗?请说明理由. 1 3 5 7 题序 2 4 6 49 解:(1)(20+2x)　(40-x) (2)根据题意得(40-x)(20+2x)=1 200, 整理得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20. ∵10<20,∴x=20. 答:当每件服装最多降价20元时,平均每天可盈利1 200元. 1 3 5 7 题序 2 4 6 50 (3)这个愿望不能实现.理由如下: 假设这个愿望能实现, 根据题意得(40-x)(20+2x)=2 000, 整理得x2-30x+600=0. ∵Δ=(-30)2-4×1×600=-1 500<0, ∴原方程没有实数根, ∴假设不成立,即这个愿望不能实现. 1 3 5 7 题序 2 4 6 51 52 $