05 第二章 第一节 一次方程(组)及其应用 -【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学讲练本PPT课件

该初中数学中考复习课件聚焦一次方程(组)及其应用核心考点，严格对接中考说明，系统梳理一元一次方程解法步骤、二元一次方程组消元方法及行程、利润、工程等应用题型，分析考点权重如应用类6年3考，归纳常考题型及解题关键。 课件亮点在于融合中考真题训练与核心素养培养，收录2025年贵州、烟台等地中考题及数学文化题，通过一题多解、步骤规范示范提升运算能力，以应用题等量关系构建培养模型意识，助力学生掌握解题技巧，为教师提供针对性复习指导，高效提升中考得分率。

1 2 第一节　一次方程(组)及其应用 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1　一元一次方程及其解法 1.方程:含有　 　的等式叫作方程.  2.方程的解:使方程左、右两边的值相等的　 的值,叫作方程的解.  3.一元一次方程:在一个方程中,只含有　　　未知数,而且方程中的代数 式都是整式,未知数的指数都是　 　,这样的方程叫作一元一次方程.  未知数 未知数 一个 1 5 4.等式的基本性质 (1)等式两边同时加(或减)同一个代数式,所得的结果仍是等式,即若a=b, 则a±c=　 　;  (2)等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是 等式,即若a=b,则ac=　　 　,=_________(c≠0).  b±c bc 6 5.解一元一次方程的一般步骤 步骤 注意事项 去分母 ①不能漏乘不含分母的项; ②分子是多项式时,去分母后加括号  去括号 ①括号前的数要乘括号内的每一项; ②括号前是负号时,去括号后原括号内的每一项都要变号 移项 移项要改变符号 合并同类项 系数相加时,不能漏掉符号 系数化为1 分子、分母不能颠倒 注:解一元一次方程的实质是利用等式的基本性质将方程两边进行恒等变形 7 知识点2　二元一次方程(组)及其解法 1.二元一次方程:含有　 　未知数,并且所含未知数的项的次数都是 　 　的方程叫作二元一次方程.  2.二元一次方程组:共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程 叫作二元一次方程组. 3.二元一次方程组的解:二元一次方程组中各个方程的公共解,叫作二元 一次方程组的解. 两个 1 8 4.二元一次方程组的解法 (1)代入消元法(代入法):把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解. (2)加减消元法(加减法):当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程. 9 知识点3　一次方程(组)的应用 1.常见问题及关系式 (1)行程问题 10 11 2.列方程(组)解应用题的一般步骤 (1)审:审清题意,分清题中的已知量和未知量. (2)设:设出关键未知数. (3)列:找出题干中的等量关系,列方程(组). (4)解:解方程(组). (5)验:检验结果是否正确或是否有实际意义. (6)答:回归题中,规范作答. 12 命题点1　一元一次方程的解法6年0考　 1.【典例】 代数式与代数式3-2x的和为4,则 x=　 　.  -1 【解析】 根据题意得+3-2x=4,去分母得2x-1+9-6x=12,移项、合并同类项得-4x=4,解得x=-1. 13 2.(2025·贵州)已知x=2是关于x的方程x+m=7的解,则m的值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】 已知x=2是关于x的方程x+m=7的解, 则2+m=7,解得m=5. 14 3.【原创题】 关于x的一元一次方程-=1经历去分母、去括号步骤 后,下面结果正确的是(　　) A.3x-2x-2=1 B.3x-2x-2=6 C.9x-2x-2=6 D.9x-2x+2=6 【解析】 -=1, 去分母得9x-2(x-1)=6, 去括号得9x-2x+2=6. 15 4.解方程:(1)4(2x-3)-(5x-1)=7; (2)-=1. 解:(1)去括号得8x-12-5x+1=7, 移项合并得3x=18, 系数化为1得x=6. 16 (2)-=1, 2(2x+1)-(5x-1)=6, 4x+2-5x+1=6, 4x-5x=6-2-1, -x=3, x=-3. 17 命题点2　二元一次方程(组)及其解法 6年0考 5.【典例】 【一题多解】 解方程组: 解: ①+②得4x=12,解得x=3. 把x=3代入①得3-2y=1,解得y=1, ∴原方程组的解是 18 6.【一题多解】 【原创题】 已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x-y=8,则m的值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 方法一:∵关于x,y的二元一次方程组为 ①-②得2x-2y=4m+12,∴x-y=2m+6. ∵x-y=8,∴2m+6=8,解得m=1. 19 方法二:直接解得方程组的解为 ∴x-y=2m+6. ∵x-y=8,∴2m+6=8,∴m=1. 20 7.已知x,y满足方程组则x+y的值为______.  -2 【解析】 将两个方程相减得2x+2y=-4,∴x+y=-2. 21 8.解方程组: 解: 由②×2得10x-2y=42,③ 由①+③得13x=52,解得x=4. 把x=4代入②得y=-1, ∴原方程组的解是 22 9.解方程组: 解: ②×2-①得y=,解得y=1. 将y=1代入①得x-2=3,解得x=5, ∴原方程组的解是 23 命题点3　一次方程(组)的应用6年3考　 考法❶　一元一次方程的应用 10.【典例】 (2025·烟台)某商场打折销售一款风扇,若按标价的六折出售,则每台风扇亏损10元;若按标价的九折出售,则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为(　　) A.350元　 B.320元　 C.270元　 D.220元 【解析】 设这款风扇每台的标价为x元. 由题意得0.6x+10=0.9x-95,解得x=350, ∴这款风扇每台的标价为350元. 24 11.【数学文化】 (2024·烟台) 《周髀算经》是我国现存最早的数理天文著作.书中记载这样一道题:“今有女子不善织,日减功迟.初日织五尺,末日织一尺,今三十日织讫,问织几何.”意思是现有一个不擅长织布的女子,织布的速度越来越慢,并且每天减少的数量相同.第一天织了五尺布,最后一天仅织了一尺布,30天完工,一共织了多少布?(　　) A.45尺 B.88尺 C.90尺 D.98尺 25 【解析】 设每天减少x尺布. 由题意得5-29x=1, 解得x=, ∴5+5-+5-+…+1=5×29+1-×=90(尺), ∴一共织了90尺布. 26 12.(2025·陕西)草莓熟了,学校组织同学们参加劳动实践,帮助果农采摘草 莓.小康和小悦采摘的时长相同,采摘结束后,小康采摘的草莓比小悦多 2.4 kg.已知小康平均每小时采摘6 kg,小悦平均每小时采摘4 kg,小康采摘 的时长是__________小时.  1.2 【解析】 设小康采摘的时长是x小时. 由题意得6x-4x=2.4,解得x=1.2, ∴小康采摘的时长是1.2小时. 27 考法❷　二元一次方程组的应用 13.【典例】 【数学文化】 (2025·山东)明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题,大意是有3个头6只手的哪吒若干,有1个头8只手的夜叉若干,两方交战,共有36个头,108只手.问:哪吒、夜叉各有多少?设哪吒有x个,夜叉有y个,则根据条件所列方程组为(　　)　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 【解析】 由题意得 28 14.(2025·自贡)某小区人行道地砖铺设图案如图所示.用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形.若大平行四边形短边长40 cm,则小地砖短边长为(　　) A.7 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm 29 【解析】 设小地砖的长边长为x cm.短边长为y cm. 由题意得解得 ∴小地砖短边长为8 cm. 30 15.(2024·安徽)乡村振兴战略实施以来,很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地,采用新技术种植A,B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表: 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金(万元) A 4 8 B 3 9 已知农作物种植人员共24位,且每人只参与一种农作物种植,投入资金共60万元,问:A,B这两种农作物的种植面积各是多少公顷? 31 解:设A种农作物的种植面积是x公顷,B种农作物的种植面积是y公顷. 根据题意得解得 答:A种农作物的种植面积是3公顷,B种农作物的种植面积是4公顷. 32 1.(2025·深圳改编)若关于x的方程x+a=5的解为 x=1,则a的值为(　　) A.4 B.-4 C.2 D.-2 【解析】 ∵关于x的方程x+a=5的解为x=1, ∴1+a=5,解得a=4. 1 3 5 7 题序 2 4 6 33 2.【核心素养·抽象能力】 (2025·内江)学校准备添置一批课桌椅,原订购60套,每套100元.店方表示:如果多购,可以优惠.结果校方购了72套,每套减价3元,但商店获得同样多的利润,求每套课桌椅的成本.设每套课桌椅的成本为x元,则可列方程为(　　) A.72(100-x)=60(100+3-x) B.60(100-x)=72(100-3-x) C.60(100+x)=72(100-3+x) D.= 【解析】 根据题意得60(100-x)=72(100-3-x). 1 3 5 7 题序 2 4 6 34 3.(2024·宜宾)某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售,其中每个大箱装4千克荔枝,每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘32千克荔枝,根据市场销售需求,大小箱都要装满,则所装的箱数最多为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 1 3 5 7 题序 2 4 6 35 【解析】 设可以装x个大箱,y个小箱. 根据题意得4x+3y=32,∴x=8-y. 又∵x,y均为自然数,∴或或 ∴x+y=8或9或10, ∴所装的箱数最多为10. 1 3 5 7 题序 2 4 6 36 4.已知关于x的方程3x+a=ax-7的根是负数,则实数a的取值范围是____________.  -7<a<3 【解析】 3x+a=ax-7, ax-3x=a+7,(a-3)x=a+7. 当a-3≠0,即a≠3时,方程的解为x=. ∵关于x的方程3x+a=ax-7的根是负数, ∴或解得-7<a<3. 1 3 5 7 题序 2 4 6 37 5.解下列方程(组): (1)=-x;(2)1-=;(3)(4) 解:(1)去分母得3(1-3x)=2-6x,∴3-9x=2-6x, 移项得-9x+6x=2-3, ∴-3x=-1,∴x=. 1 3 5 7 题序 2 4 6 38 (2)去分母得6-2(x+2)=3(x-1), 去括号得6-2x-4=3x-3, 移项得-2x-3x=-3+4-6, 合并同类项得-5x=-5, 系数化为1得x=1. 1 3 5 7 题序 2 4 6 39 (3) ②+①×2得10x=5,∴x=. 把x=代入①得1+y=0,∴y=-1, ∴原方程组的解是 1 3 5 7 题序 2 4 6 40 (4)整理得 ①+②得6x=18,∴x=3. 把x=3代入①得9-2y=8,∴y=, ∴原方程组的解是 1 3 5 7 题序 2 4 6 41 6.(2025·吉林)吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的发展,某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售,甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙两种商品共10盒,花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数. 1 3 5 7 题序 2 4 6 42 解:设该游客购买甲种商品x盒,购买乙种商品y盒. 根据题意得 解得 答:该游客购买甲种商品6盒,购买乙种商品4盒. 1 3 5 7 题序 2 4 6 43 7.某商场投入13 800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱,矿泉水的成本价和销售价如表所示: 类别 成本价(元/箱) 销售价(元/箱) 甲 24 36 乙 33 48 (1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱? (2)全部售完500箱矿泉水,该商场共获得利润多少元? 1 3 5 7 题序 2 4 6 44 解:(1)设该商场购进甲种矿泉水x箱,购进乙种矿泉水y箱. 由题意得解得 答:该商场购进甲种矿泉水300箱,购进乙种矿泉水200箱. (2)300×(36-24)+200×(48-33)=3 600+3 000=6 600(元). 答:该商场共获得利润6 600元. 1 3 5 7 题序 2 4 6 45 46 $