山东省泰安市2026年一轮复习图形的性质专题----三角形专项训练

山东省泰安市2026年一轮复习图形的性质专题----三角形专项训练 一、单选题 1．小明将一副直角三角板按如图所示摆放，点在边上，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，是的垂直平分线与边的交点，是边上一点，连接，，将的面积平分．若，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 5．小花将三角形纸片按照下面四种方式折叠，得到，则是的高的是（   ） A．B．C． D． 6．下列事实中，利用了数学知识“垂线段最短”的是（   ） A．把弯曲的公路改直可以缩短路程 B．工人师傅通常给刚装的门框上斜着钉一个木条来固定门框 C．直角三角形中斜边大于直角边 D．把一根木条固定在墙上至少需要两根钉子 7．如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点 B对应点，点刚好落在边上，，，则等于（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 8．如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：①；②点P在的平分线上；③．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 9．如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 10．如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，直线交于点，连接，以为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于，再分别以为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 11．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A． B．或 C． D．或 12．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．如图，是的外角，则的值为_________． 14．如图，在中，平分，D是的中点，，则的长度为__________． 15．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，则的长为___． 16．如图，在中，是上一点，连接，点在上，且，为中点，且．若，，则 _______________ ． 17．如图，在港口的南偏东方向有一座小岛，一艘船从港口出发沿正东方向行驶24海里后到达处，在处测得小岛恰在其西南方向，那么小岛与港口相距___________海里．（结果保留根号） 18．如图，在中，，．D，E，F分别是边上的点，．若，则的最小值是__________． 三、解答题 19．如图所示，，，求证：． 20．如图，是的中点，，． (1)求证：； (2)连接，则与的关系是 ． 21．如图，在△ABC中，，，求边AC上的高． 22．如图是合肥某商场的扶梯示意图．已知为，为，，求长（结果精确到，参考数据：，，） 23．如图，在中，P是的中点，于点D，于点E，且，求证：是等腰三角形． 24．如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 25．如图，在中，是的平分线，点D在上（不与点A，B重合），连接CD交于点O． (1)若是边上的中线，，的周长为，求的周长． (2)若于点D，，求的度数． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查三角板中求角度，涉及平行线的性质、直角三角形两锐角互余、三角形外角性质等知识，数形结合，准确找到相关角度关系是解决问题的关键． 先由平行线的性质得到，再由直角三角形两锐角互余得到，最后根据外角性质表示出即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 点在边上，，， ， 在中，，，则， 是的一个外角， ， 故选：B． 2．B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长， 的周长， ∴的周长的周长． 3．D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；解题的关键是熟练掌握等边对等角． 先根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后三角形内角和定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 4．C 【分析】本题考查了三角形中线等分面积，线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形中线等分面积得到，最后根据即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线与边的交点， ∴， ∵将的面积平分， ∴， ∴， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的高，正确理解三角形的高的定义是解题关键．根据三角形高的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，垂直于， 则当点、共线时，是的高， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查两点之间线段最短，三角形的稳定性，垂线段最短，两点确定一条直线等基本事实，根据以上知识逐项判断即可． 【详解】解：A、利用了数学知识“两点之间线段最短”； B、利用了数学知识“三角形的稳定性”； C、利用了数学知识“垂线段最短”； D、利用了数学知识“两点确定一条直线”． 故选：C 7．B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握旋转的性质是解答关键. 由旋转的性质求得，，，再利用等腰三角形的性质和外角性质求解. 【详解】解：由绕顶点旋转得到可知： ，，， ∴. ∵， ∴， 故． 故选：B． 8．B 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质和判定、全等三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和判定． 作可通过角平分线的性质判断①；根据角平分线的判定判断②；利用和推得，，再根据即可判断③，综上即可得解． 【详解】解：作于点， 、分别平分、， 且、、， ，， ， 正确； 且、， 在的平分线上， 正确； 四边形中，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， 错误； 综上，正确． 故答案为：2． 9．A 【分析】此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键． 延长交于点F，通过证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理得出，即可得出结果． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴是的中位线， ∴ ∴， 故选：A． 10．C 【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，是的平分线，，，，设，,根据三角形内角和定理求得，根据三角形外角定理即可得到答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， 由作图过程可知，是的平分线， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11．C 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性，三角形三边之间的关系，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，由，得，解得，然后分为腰长时，为腰长时两种情况分析即可，熟练掌握相关性质以及运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，解得：， 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴不能构成三角形； 当为腰长时，该等腰三角形三边为、、， ∵， ∴该等腰三角形存在， ∴此等腰三角形的周长， 综上：此等腰三角形的周长为， 故选：． 12．D 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确做出辅助线是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，，可判断④正确． 【详解】解：①∵平分，，， ∴， 故结论①正确； ②过点D作于点H，如图所示： ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴平分， 故结论②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故结论③正确； ④在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， 即， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 13．360 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，则， ，进而可得． 【详解】解：由三角形外角的性质可得， ， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将已知边的长度关系转化为新线段的长度，再利用中点条件确定中位线，进而求出目标线段长度． 延长、相交于点F，利用平分得到，结合得出，再根据公共边，通过判定定理证明；由全等三角形的性质可得、，结合已知、，计算出；因为D是的中点且，所以符合三角形中位线的定义，即是的中位线，最后根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”，求出． 【详解】解：延长，相交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点，， ∴是的中位线， ， 故答案为：． 15． 【分析】先利用勾股定理求出的长度，再根据线段垂直平分线的性质得到，设，用含的式子表示和，最后在中利用勾股定理列方程求解． 本题主要考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的内容以及线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题的关键． 【详解】解：连接． ∵在中，，，， ∴根据勾股定理． ∵是的垂直平分线， ∴． 设，则，． 在中，， 即， 解得， 所以． 故答案为： ． 16． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加正确的辅助线，逐步推理是解题的关键．首先，根据题意，过点作的平行线交的延长线于点，进一步证明，接着，再证出，最后，利用相似的性质、全等三角形的性质进行线段的转换，即可解答． 【详解】解：如图，过点作的平行线交的延长线于点， ∵， ∴. ∵， ∴，. ∴. ∵， ∴. ∴. ∴. ∵为中点， ∴． 在和中， ， ∴. ∴，. ∴. ∵，， ∴. ∴. ∴. ∴. ∴. 故答案为：． 17． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过Q作于B，在和中，根据正切的定义可得出，，结合，可求出，然后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过Q作于B， ， 根据题意，得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即小岛与港口相距海里， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算．连接，作，截取，连接，作，利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理求得的长，再证明，推出，得到当共线时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：连接，作，截取，连接，作，垂足为， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴当共线时，取得最小值，最小值为， ∴， 即的最小值是． 故答案为：． 19．详见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明，即可得到结论． 【详解】解：，， 20．(1)见解析 (2)与互相平分 【分析】（1）根据中点的定义求出，根据平行线的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质求证即可； （2）根据全等三角形的性质求出，，则，再根据平行四边形的判定与性质求解即可． 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分， 故答案为：与互相平分． 21．边AC上的高为3． 【分析】本题考查了三角函数特殊值与直角三角形性质的应用，解题关键是通过作高构造直角三角形，结合已知条件转化求解． 作边上的高，构造；由得；利用直角三角形中角对的直角边是斜边的一半，结合，得高． 【详解】解：过点B作的垂线，垂足为M． 在中，， ∴． ∵， ∴． ∴边上的高为3． 22． 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，分别解和，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， 在中，， ． 故的长为 23．见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意得到，再证明，得到即可求证． 【详解】解：∵， ∴， ∵P是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 24．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质求得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质求得，利用三角形内角和定理求得，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是全等三角形判定定理的应用． 25．(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的中线、高、角平分线、外角等知识点，熟练掌握相关概念是解题的关键． （1）由三角形中线的概念可得，由的周长为得，再根据三角形的周长公式进行计算，即可得出答案； （2）由三角形的高的概念可得，由三角形角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，于是得解． 【详解】（1）解：是的中线， ， ∵的周长为， 的周长， ∴， ∵， ∴， ∴的周长 ； （2）解：， ， 是的角平分线，， ， ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $