5.3.2(2)含参函数的极值课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“含参函数的极值”，系统覆盖极值判定、含参函数极值求解及已知极值求参数等核心内容，通过从基础极值求法过渡到含参情境，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接导数应用的前后知识脉络。 其亮点在于以分层例题（如含参函数求极值、已知极值点求参数）和分类讨论（参数不同取值下的单调性分析）为主线，培养学生逻辑推理与数学运算素养。方法总结明确极值点与导数关系，强化数学思维。助力学生提升参数问题分析能力，为教师提供系统教学案例与训练资源。

第五章 一元函数的导数及应用 5.3.2(2) 含参函数的极值 ·选择性必修第二册· 1.7.2013 同学们好，今天我们将开始学习第五章“一元函数的导数及应用”的第一节课——“变化率问题”。导数是微积分中的核心概念，它为我们研究函数的变化提供了强大的工具。通过这节课的学习，我们将从实际问题出发，理解变化率的含义，并逐步引入导数的概念。希望大家能够积极思考，深入理解，为后续的学习打下坚实的基础。 ‹#› 学习目标 1.巩固函数极值的判定及求法.（逻辑推理、数学运算） 2.会求含参数的函数的极值.（逻辑推理、数学运算） 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 新知探究 已知函数，求函数 的极值. [解析] 由 知， ①当时，，函数为上的增函数，函数 无极值； ②当时，令，解得 ， 又当时， ，当时， ， 所以函数在处取得极小值，且极小值为 ，无极大值. 综上所述，当时，函数无极值； 当时，函数在 处取得极小值，极小值为 ，无极大值. 例题1 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 新知探究 例题2 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 新知生成 含有参数的函数极值的解题技巧 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 新知运用 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 巩固训练 1.已知函数 . （1）若，求函数 的极值； （2）求函数 的极值. [解析] （1）当时，，则 . 令，解得；令，解得 . 所以在上单调递增，在 上单调递减， 故在处取得极大值，极大值为 ，无极小值. （2）因为，所以 . 当时，恒成立，所以在 上单调递增，无极值. 当时，令，解得；令，解得 . 因此，在，上单调递增，在，上单调递减，所以在 处取得极 大值，极大值为 ，无极小值. 综上，当时，无极值；当时，有极大值，极大值为 ，无极小值. 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 巩固训练 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知探究 已知极值（点）求参数 例题 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 新知运用 若函数在处有极大值，则实数 的值为( ). D A.1 B.或 C. D. [解析] 函数，则 ， 因为函数在处有极大值，所以 ， 解得或 . 当时，， 当,时，，当 时， ， 所以在,上单调递减，在上单调递增，所以在 处有极小值， 不符合题意. 当时，，当时，，当 时， ，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在 处有极大值，符合题意. 综上可得， .故选D. 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 方法总结 若可导函数<m></m>在<m></m>处取得极大（小）值，则<m></m>， 且在<m></m>左侧</m>，在<m></m>右侧<m></m>， 即可导函数的极值点一定是导数值为0的点，但导数值为0的点不一定是 该函数的极值点，还需检验两侧导函数的正负是否发生改变. 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 巩固训练 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 巩固训练 2. 已知是函数的极小值点，则 的值为( ). A.0 B. C.0或4 D.0或 [解析] 对函数 求导得 ， 又是函数 的极小值点，所以 ， 即，解得或 ， 当时， ， 当时，，在区间 上单调递减， 当时，，在区间 上单调递增， 所以是的极小值点，故 满足题意； 当时， ， 当时，，在区间 上单调递增， 当时，，在区间 上单调递减， 所以是的极大值点，故 不满足题意.综上所述， . 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 已知函数的极值求参数的方法 课堂小结 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 课后作业 第98页习题5.3 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 课后作业 第98页习题5.3 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 课后作业 第98页习题5.3 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某 一刻的运动状态；需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态. 课后作业 若函数有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是_____. ， [解析] 因为函数 有两个不同的极值点， 所以在 上有2个不同的零点， 所以方程在上有两个不同的实根, ， 所以解得 . 1.7.2013 好，我们来引入今天的新知识。在之前的学习中，我们通过函数的单调性，对不同函数的增长速度有了一个定性的认识。比如，我们知道对数函数增长得越来越慢，而指数函数的增长速度远远快于一次函数。但是，仅仅定性描述是不够的，在实际问题中，我们常常需要更精确地知道一个函数在某一点的变化速度到底有多快。那么，我们能否找到一种方法，来精确定量地刻画这种变化速度的快慢呢？这就是我们今天这节课要研究的核心问题——变化率问题。 ‹#› 解：定义域为， ，， 当，即时， 故恒成立，此时在上单调递增，无极值点； 当，即时，有两个变号零点， 故有2个极值点， 故当时，极值点个数为0； 当时，极值点个数为2. 已知函数,讨论函数极值点的个数． (1)研究含参数的函数的极值问题，要依据参数函数单调性的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． (3)含参数的二次不等式问题，一般从最高次项的系数、判别式及根的大小关系等方面进行讨论. 解：由已知,则， 对于方程，， ①当时，，则， 在上单调递增，此时没有极值点； ②当时，设方程的两根为，， 不妨设，则，，即， 所以当或时，， 当时，，即函数在和上单调递增， 在上单调递减，此时，是函数的两个极值点； ③当时，设方程的 两根为，，则， ，故，， 所以当时，， 单调递增，此时没有极值点； 综上所述，当时，函数有两个极值点； 当时，函数没有极值点； 1．已知函数，若函数， 求函数极值点的个数； 解：因为， 则， 当时，， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为， 所以，函数的极小值点为，无极大值点； 当时，，则， 由可得或， 由可得， 此时，函数的增区间为、 减区间为， 所以，函数的极大值点为， 极小值点为； 当时，， 当时，，则， 当时，，则， 此时，函数在上单调递增，无极值点； 当时，，则， 由可得或， 由可得， 此时，函数的增区间为 、， 减区间为， 所以，函数的极大值点为， 极小值点为. 2．已知函数,求的极值点； 解：函数，求导得， 依题意，，解得， 此时， 当时，，当时，， 函数在处取得极大值，符合题意， 所以的值分别为，. 已知函数在处取得 极值2，求a，b的值； 此时， 当，，当，， 则满足在处取得极小值，故； 解：由题意可得， 因为在处取得极小值，且极小值为， 所以，解得， 1．已知函数在处取得极小值， 且极小值为，求，的值； (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． 4. 导函数的图象如图所示,在标记的点中,在哪一点处 (1)导函数有极大值？(2)导函数有极小值？ (3)函数有极大值？ (4)函数有极小值？ (3)由图知，，，函数单增； ，，函数单减； ，，函数单增； 则函数在处取极大值； (4)由(3)知，函数在处取极小值； 解：(1)由图知，极大值点左右两侧的单调性是先增后减的点， 即为极大值点； (2)由图知，极小值点左右两侧的单调性是先减后增的点， 即，为极小值点； 解：(1)，则， ∴时,,单调递减;时,,单调递增； ∴有极小值，无极大值. (2)，则有， ∴时,,单调递增;时;,单调递减； 时,,单调递增； ∴极大值，极小值. 5. 求下列函数的极值： (1) (2)； (3) (4) (3)，则有， ∴时,,单调递增;时,,单调递减； 时,,单调递增； ∴极大值，极小值. (4)，则有， ∴时,,单调递减;时,,单调递增； 时,,单调递减； ∴极小值，极大值. 5. 求下列函数的极值： (1) (2)； (3) (4) $