19.1二次根式及其性质（第1课时）课时训练2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.1 二次根式及其性质 一、二次根式的定义 一般地，把形如的式子叫作二次根式. 二次根式也是代数式. 特别注意：a可以是数，也可以是代数式. 二次根式必备特征：①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数. 基础训练： 一、选择题 1．下列各式中，是二次根式的是（　　） A．8 B． C． D． 2．若是二次根式，则a的值不能是（　　） A． B．3.14 C．﹣2 D．0 3．下列是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．下列各式中，不一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．请任意写一个二次根式：　 　 ． 6．当x＝9时，二次根式的值为　 　 ． 7．有下列各式：①；②；③；④；⑤12，，其中一定是二次根式的有 个 三、解答题 8．下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 二、二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是：被开方数0. 特别注意：考查代数式有意义往往把分式有意义与二次根式有意义结合在一起考查，分式有意义的条件是分母. 基础训练： 一、选择题 1．若二次根式有意义，则实数x的取值范围为（　　） A．x≥0 B．x≤0 C．x＜0 D．x＞0 2．若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 3．下列各数中，能使有意义的x的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．二次根式有意义的条件为（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1 5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2且x≠0 B．x≠0 C．x≥﹣2 D．x≥﹣2且x≠0 6．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x≥1 C．x＞1 D．x≥1且x≠3 7．要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x＝1 D．全体实数 二、填空题 8．请写出一个二次根式　 　 ，使它满足只含有一个字母x，且当x≥3时有意义． 9．请写出一个含x的二次根式，且x取任意实数二次根式都有意义 　 ． 10．式子有意义时，x的取值范围是　 　 ． 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　 ． 三、解答题 12．已知a、b是等腰△ABC的两边，且满足． （1）求6a+2b的算术平方根； （2）求等腰△ABC的周长． 13．（1）【问题情景】请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求x、y的值． 解：由已知得：，解得x＝　 　 ，y＝　 　 ； （2）【尝试应用】若x，y为实数，且，则　 　 ； （3）【拓展创新】已知，求（m+n）2的值． 14．已知，，且x、y均为整数，求x+y的值． 三、二次根式的双重非负性 对于二次根式，其中被开方数，这是第一重非负性；表示非负数a的算术平方根，所以这就是说，. 基础训练： 1.若，求的值. 2．已知实数x，y满足，求x2024y2025的值． 3．已知实数a满足a，求a﹣20252的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.1 二次根式及其性质 一、二次根式的定义 一般地，把形如的式子叫作二次根式. 二次根式也是代数式. 特别注意：a可以是数，也可以是代数式. 二次根式必备特征：①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数. 基础训练： 一选择题 1．下列各式中，是二次根式的是（　　） A．8 B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义逐项进行判断即可，即把形如的式子叫二次根式． 【解答】解：A．8不是二次根式，不符合题意； B．是三次根式，不符合题意； C．是二次根式，符合题意； D．二次根式的被开方数是非负数，该选项不是二次根式，不符合题意． 故选：C． 2．若是二次根式，则a的值不能是（　　） A． B．3.14 C．﹣2 D．0 【分析】根据二次根式的定义得出a≥0，由此判断即可． 【解答】解：若是二次根式，则a≥0， 所以a的值不能是﹣2， 故选：C． 3．下列是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的被开方数必是非负数逐项判定即可． 【解答】解：根据二次根式的被开方数必是非负数逐项分析判断如下： A、无意义，不符合题意； B、，当a＜0时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、，当a＜﹣1时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； D、，a为任意实数，a2+1＞0，是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 4．下列各式中，不一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可． 【解答】解：A．当a≤0时﹣a≥0，即是二次根式，故此选项不符合题意； B． ，（a﹣1）2≥0，即是二次根式，故此选项不符合题意； C．a2+1＞0，即是二次根式，故此选项不符合题意； D．当a＜0时a3＜0，即不一定是二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 5．请任意写一个二次根式：　 　 ． 【分析】根据二次根式的定义即可求解． 【解答】解：由题意得，一个二次根式可写为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 6．当x＝9时，二次根式的值为　 　 ． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝9时，2． 故答案为：2． 7．有下列各式：①；②；③；④；⑤12，，其中一定是二次根式的有 个 【解答】解：①，根指数是3，是三次根式，不是二次根式，不符合题意； ②是二次根式，符合题意； ③，当m2﹣1＜0时，式子无意义，不能保证m2﹣1≥0恒成立，不一定是二次根式，不符合题意； ④，﹣1＜0，不满足被开方数非负，式子无意义，不是二次根式，不符合题意； ⑤12，是整数，不是形式，不是二次根式，不符合题意． 故选：A． 三、解答题 8．下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】（1）被开方数是8＞0，是二次根式； （2）被开方数﹣15为负数，不是二次根式； （3）根指数是3，不是二次根式； （4）先化简，再根据非负数的性质判断即可； （5）根据绝对值的非负性判断即可； （6）根据x的取值范围判断被开方数为负数，不是二次根式． 【解答】解：（1）是二次根式； （2），被开方数为负数，不是二次根式； （3），根指数是3，不是二次根式； （4），（x+2）2≥0，是二次根式； （5），|m|≥0，是二次根式； （6），此时1+4x＜0，不是二次根式． 二、二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是：被开方数0. 特别注意：考查代数式有意义往往把分式有意义与二次根式有意义结合在一起考查，分式有意义的条件是分母. 基础训练： 一、选择题 1．若二次根式有意义，则实数x的取值范围为（　　） A．x≥0 B．x≤0 C．x＜0 D．x＞0 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，即可得出结论． 【解答】解：要使二次根式有意义，必须x≥0， 故选：A． 2．若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可． 【解答】解：若二次根式有意义，则x﹣6≥0， 解得x≥6， 故选：B． 3．下列各数中，能使有意义的x的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围即可． 【解答】解：依题意有3﹣2x≥0， 解得x≤1.5， 选项中只有A中1满足x≤1.5． 故选：A． 4．二次根式有意义的条件为（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，进行求解即可． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件得，x﹣1≥0， 解得x≥1， 故选：C． 5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2且x≠0 B．x≠0 C．x≥﹣2 D．x≥﹣2且x≠0 【分析】根据分式、二次根式有意义的条件即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：， ∴x≥﹣2且x≠0， 故选：D． 6．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x≥1 C．x＞1 D．x≥1且x≠3 【分析】根据代数式有意义，则，然后求解即可． 【解答】解：∵代数式有意义， ∴， ∴x≥1且x≠3， 则实数x的取值范围是x≥1且x≠3， 故选：D． 7．要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x≤1 C．x＝1 D．全体实数 【分析】需根据被开方数为非负数列出不等式组，求解不等式组的公共解即可得到x的取值范围． 【解答】解：∵有意义， ∴， 解得x＝1． 故选：C． 二、填空题 8．请写出一个二次根式　 　 ，使它满足只含有一个字母x，且当x≥3时有意义． 【分析】根据二次根式的定义解答即可． 【解答】解：二次根式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 9．请写出一个含x的二次根式，且x取任意实数二次根式都有意义 　 ． 【分析】根据二次根式的定义解答即可． 【解答】解：符合条件的二次根式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 10．式子有意义时，x的取值范围是　 　 ． 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件作答即可． 【解答】解：由题意得，且x≥0， 即x≠0且x≥0， ∴x＞0． 故答案为：x＞0． 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　 ． 【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件作答即可． 【解答】解：由条件可知x﹣2≥0且， 即x﹣2≥0且x﹣2≠0， 解得：x≥2且x≠2， ∴x＞2． 故答案为：x＞2． 三、解答题 12．已知a、b是等腰△ABC的两边，且满足． （1）求6a+2b的算术平方根； （2）求等腰△ABC的周长． 【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，进而求出a的值，再计算6a+2b的值，最后求出其算术平方根； （2）根据等腰三角形的性质，分情况讨论腰长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出等腰△ABC的周长． 【解答】解：（1）由题意得，， 解得b＝3， 将b＝3代入， 可得， 由条件可得6×5+2×3＝36， ∴36的算术平方根是6， 即6a+2b的算术平方根是6． （2）当a为腰长时，等腰△ABC的三边长分别为5，5，3， ∵5+5＝10＞3，5+3＝8＞5， ∴能构成三角形， 此时周长为13， 当b为腰长时，等腰△ABC的三边长为3，3，5， ∵3+3＝6＞5，3+5＝8＞3， ∴能构成三角形， 此时周长为11， ∴等腰△ABC的周长为11或13． 13．（1）【问题情景】请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求x、y的值． 解：由已知得：，解得x＝　 　 ，y＝　 　 ； （2）【尝试应用】若x，y为实数，且，则　 　 ； （3）【拓展创新】已知，求（m+n）2的值． 【分析】（1）由被开方数的非负性质可求得x，再代入x的值即可求得y的值； （2）由被开方数的非负性质可求得x，再代入x的值即可求得y的取值范围，即可确定1﹣y的符号，从而化简绝对值，最后求解； （3）由被开方数的非负性质可求得mn的值，再代入mn的值即可求得n+m＝7，最后即可求得代数式的值； 【解答】解：（1）由被开方数的非负性质可求得x＝2024，y＝2025； 故答案为：2024；2025； （2）由题意得， 解得x＝3， ∴y＞2， ∴； 故答案为：1； （3）由题意得， 解得mn＝10， ∴m+n＝7， ∴（m+n）2＝72＝49． 14．已知，，且x、y均为整数，求x+y的值． 【分析】先求出x的取值范围，再根据x，y均为整数，可得x的值，再分情况得到x+y的值． 【解答】解：由题意知：20≤x≤30， 又因为x，y均为整数， 所以x﹣20，30﹣x均需是一个整数的平方， 所以x﹣20＝1，30﹣x＝1， 故x只能取21或29， 当x＝21时，y＝4，x+y的值为25； 当x＝29时，y＝4，x+y的值为33． 故x+y的值为25或33． 三、二次根式的双重非负性 对于二次根式，其中被开方数，这是第一重非负性；表示非负数a的算术平方根，所以这就是说，. 1. 若，求的值. 【分析】根据非负数的性质列出方程求出abc的值即可． 【解答】解：∵， ∴a-2=0，b+1=0，c-4=0， 解得a=2，b=-1，c=4， ∴a-b+c=2+1+4=7. 2．已知实数x，y满足，求x2024y2025的值． 【分析】先结合二次根式的非负性，得x﹣2025≥0，2025﹣x≥0，即x＝2025，又因为，得，整理x2024y2025＝（xy）2024×y，最后代入数值计算，即可作答． 【解答】解：根据题意可知，x﹣2025≥0，2025﹣x≥0， ∴x≥2025，2025≥x， 即x＝2025， ∴， 原式＝x2024y2024×y ＝（xy）2024×y ． 3．已知实数a满足a，求a﹣20252的值． 【分析】根据二次根式的意义求出a的取值范围，再去绝对值，最后进行计算即可． 【解答】解：由题可知，a﹣2026≥0， 解得a≥2026， ∵， ∴， ∴a﹣2026＝20252， ∴a﹣20252＝2026． 学科网（北京）股份有限公司 $