专题07 倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学讲义通过框架图系统梳理“8”字模型、“A”字模型与三角板模型的知识体系，按“模型来源-真题呈现-提炼结论-应用拓展”递进组织，用对比表格呈现各模型的条件、结论及证明过程，清晰展现角度计算的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“真题情境化”练习设计，如结合三角板摆放的动态旋转题，培养几何直观与推理意识，通过“基础模型-变式拓展”分层例题（如“8”字模型加角平分线的角度关系推导），帮助学生从直观感知到逻辑论证，教师可据此实施分层教学，提升复习效率。

专题07.倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.“8”字模型 5 模型2.“A”字模型 8 模型3.三角板模型 10 15 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴；故选：B． （24-25七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：； (2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______； ②若，，求的度数（用含，的代数式表示）； (3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析(2)①，；② (3) 【详解】（1）证明：，，； （2）①，，； ，，； 故答案为：，； ②如图所示：和的平分线和相交于点，，， 由(1)得，，，． ，，； （3）解：，理由如下：与分别平分与， ，， 和的平分线和相交于点，，， ，， ，， ，，， 四边形，， ，， ，，， ，，． （2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 【答案】A 【详解】解：∵，，∴，即，故选：． 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（24-25七年级下·成都·校考期中）如图，与相交于点O，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、对顶角相等可得，A说法正确，不符合题意； B、，，说法正确，不符合题意； C、与是对顶角，，不能得出，说法错误，符合题意； D、，，，， ，说法正确，不符合题意；故选：C． 例2（24-25八年级·山东·培优）如图，已知，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，在图中标记，由图可知，，， ∵，∴在中，，∴， 在中，，∴， ∴，故答案为：． 例3（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图： ． 【答案】 【详解】连接，为与的交点， 在和中，，， 那么． 而正好是四边形的内角和． 根据多边形内角和公式：边形内角和为，四边形内角和为， 所以．故答案为：． 例4（24-25七年级下·成都·专题练习）【原题重现】如图1，相交于点O，求证：． 某数学兴趣小组的同学们对此题展开了探究讨论． 【解法再探】（1）利用“三角形的内角和是”和“对顶角相等”对此题进行了证明，小明同学提出了另外一种证明方法，其思路框图如下： 完成框图填空：① ，② ，③ ． 【变式拓展】（2）小慧同学把图1中线段与相交所组成的结构称为“8字形”，她对原题进行了改编：如图2，相交于点和的平分线交于点，求的度数（用含，的式子表示）．请你帮助小慧完成以下问题：小慧看到图2中有两个与相关的“8字形”，请你根据（1）中的结论写出关于的两个关系式：① ；② ； 小慧进一步思考：设，，由∠，得，即③，由①③（或②③）联立、转化、整理可得结论： ． 【发现生成】（3）小慧同学为了寻找规律，再次改变条件：如图3，相交于点，求的度数．（用含的式子表示） （4）若把（3）中的“”都改为“”，则 （用含的式子表示）． 【答案】（1）①三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；②；③；（2）①；②，；（3）；（4） 【详解】（1）①三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和    ②    ③ （2）①    ②   提示：因为的平分线交于点P，所以．由①，得，由③，得．所以． （3）解：由“8字形”，得．所以，所以． （4）  提示：由“8字形”，得．所以，所以． 例5（24-25·重庆·八年级专项训练）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O． 求证：（1）； （2）． （1）在中，，在中，， 两不等式相加得，∴即 （2）应用上题的结论：，， ∴． 模型2.“A”字模型 例1（2025·甘肃·一模）有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∴，故选：A． 例2（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在四边形中，，则 ；若沿图中虚线剪去，则 ．    【答案】 【详解】解：四边形中，∴内角和的度数为， ∵，∴； 剪去，则变为五边形，∴五边形的内角和为， ∵，∴，故答案为：，． 例3（24-25七年级下·广东·期末）如图，的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，∵， 又∵，∴．故选：A． 例4（24-25八年级下·浙江·专题练习）探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　． A．  90°   B．  315°   C．  135°   D. 270° (2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则　　度． (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是　　． (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是　　． 【答案】(1)D(2)240(3)(4) 【详解】（1）解：，， ，故选：D． （2）解：，， ，故答案为：240． （3）解：，， ，故答案为：． （4）解：连接，，， ， ，，故答案为：． 模型3.三角板模型 例1（24-25七年级下·山东聊城·期末）把一副三角尺如图所示放置，如果不计三角尺的厚度，图中的度数是 ． 【答案】/75度 【详解】解：由图可得，，， ∴，故答案为：． 例2（24-25福建厦门·八年级统考期末）将一副三角板如图摆放，若，点F在边上，顶点A，C，D在同一直线上，则下列角的大小为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由三角板可知：，，， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴角的大小为的是，故选B． 例3（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴的大小为．故选：B． 例4（24-25·四川·七年级校联考期中）如图所示，将一副三角板按如图放置，有下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：①，，，故①正确； ②，，，， ，，，故②正确；    ③如图，，， ，， ，，与不垂直，故③错误； ④，，， ，，，故④正确， ①②④正确，故选：． 例5（24-25·七年级下·四川成都·期末）一副三角板按图1所示方式摆放，其中，，.固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角 (1)如图2，当时，的度数为__________；(2)当的一边与平行时，求的度数； (3)如图3，连结，当时，试判断的大小是否改变?并说明理由 【答案】(1)(2)或或(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴； （2）①当时, 如图所示, ，，即 ， ②当时， 如图所示，过点作，∴， ∴， ∴，， ∴；∴； 当时， 如图所示，如图，则； 综上所述，的度数为或或； （3）当,, 保持不变，理由如下： 如图, 设分别交、于点,在中,, ∵,∴， ∵,∴. 1．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，按图中虚线剪去，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ，，故选D． 2．（24-25山东·七年级校考阶段练习）如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1+∠2与∠3+∠4的数量关系为(   ) A．∠1+∠2>∠3+∠4 B．∠1+∠2<∠3+∠4 C．∠1+∠2=∠3+∠4 D．数量关系取决于∠C的度数 【答案】C 【详解】解：∵∠1+∠2=180°-∠C，∠3+∠4=∠CEF+∠CFE=180°-∠C，∴∠1+∠2=∠3+∠4，故选：C． 3．（24-25·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中，，，若相交于点E，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，， ∴，∴．故选：B． 4．（24-25·山西·七年级统考期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整大小，使，则应调整为（     ） A．30° B．25° C．20° D．10° 【答案】A 【详解】解：延长交于H， ∵ ，∴，∴， ∵，∴，选A． 5．（24-25·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形中，，若沿图中虚线剪去，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵三角形的内角和等于，∴可得和的邻补角之和等于， ∴，故选：C． 6．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，中，若沿图中虚线剪去后，，则 ． 【答案】/100度 【详解】解：如图， ∵，∴． 在中，由三角形内角和定理，得．故答案为：． 7．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝ 度． 【答案】540 【详解】解：连接DG、AC．在四边形EFGD中，得∠E＋∠F＋∠EDG＋∠DGF＝360°， 又∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠B＝180°， ∴∠GAB＋∠B＋∠BCD＋∠EDC＋∠E＋∠F＋∠AGF＝540°．故答案为540． 8．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）如图，将纸片剪去一个角得到四边形，则 【答案】 【详解】解：在四边形中，根据四边形内角和为，可得． 在中，根据三角形内角和为，即，∴， 将代入到中，得到： ，∴． 9．（24-25绵阳·八年级校考期中）如图，已知， ． 【答案】/240度 【详解】连接，， ∴ 又，∴ ．故答案为：． 10．（24-25浙江宁波·七年级校考期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使CDOB，则∠BAD＝ 【答案】15°或165° 【详解】解：设∠BAD=α，∵CDOB，∴∠AEC=∠B=45°， ∵∠D=30°，∴α=∠BAD=45°-30°=15°，∴当α=15°时，CDOB，∴∠BAD=15°， 当CD在点A的上方时，DC边与OB边平行时，∴∠CEA=∠B=45°， ∴∠DAE=∠CEA-∠D=45°-30°=15°，∴α=∠BAD=180°-15°=165°， ∠BAD=135°+30°=165°，故答案为：15°或165°． 11．（24-25广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 【答案】见解析 【详解】解：和是的外角，． 又，． 12．（24-25江苏·八年级期中）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【答案】540° 【详解】解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°． 13．（24-25河南·八年级校联考期末）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；    （2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________； （4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由见解析 【详解】（1）为直角三角形，，∴， ∵，，∴， ∴，故答案为：．       （2）∵，∴， ∵，，∴， ∴，故答案为：． （3）由（1）和（2）得，， ∵，∴，∴． （4），理由见下：由题意得，，∴，， ∴，，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴． 14．24-25江西七年级南昌二中校考期末）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，与的大小是否满足某种确定的数量关系？    (1)特殊探究：若，则　 　度，　 　度，　 　度； (2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，请直接写出与满足的数量关系式． 【答案】(1)125，90，35 (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，结论：或，理由见解析 【详解】（1）解：由题意：，， ．故答案为125，90，35． （2）猜想：．理由：在中，， ∵，∴， ∴， 又∵在中，，∴， ∴，∴． （3）判断：（2）中的结论不成立． ①如图3﹣1中，结论：． 理由：设交于O．        ∵，∴，∴． ②如图4﹣2中，结论： ③如图3﹣7中，结论：． 理由：∵， ∴，∴． 15．（24-25湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°． (1) 若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数； (2) 若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．              【答案】（1）47°；（2）43° 【详解】解：（1），，， ，，，． 平分交于，平分交于， ，． ，， ，． （2），平分交直线于， ， ，， ． 16．（24-25重庆·七年级校考期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起；如图，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．    (1)在旋转过程中，当为 度时，；当为 度时，． (2)当时，连接，利用图探究值的大小变化情况，并说明理由． 【答案】(1)，(2)不变，理由见解析 【详解】（1）解：如图，记与的交点为点，与的交点为点，            ，     ，，   ，即， 如图，记与的交点为， ， ，， ，即， （2）当，，保持不变，理由如下： 如图3，设分别交、于点、，在中，， ，， ，，． 17．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）[问题背景] （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明； [简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论） （2）如图2，、分别平分、，①若，，求的度数； ②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间的数量关系为 ． [问题探究] （3）如图3，直线平分的邻补角，平分∠ADC的邻补角，若，，则的度数为 ． [拓展延伸]（4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ．（用x、y的代数式表示）    【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）；（4） 【详解】解：（1）如图1中，    ∵，，，∴； （2）①如图2中，设，， 则有，∴，∴， ∴；②由①得：； （3）如图3中，设，， 则有，，∴， ∴；故答案为：； （4）如图4中，设，，则，，    则有，∴ ，∴，故答案为：． 18．（24-25七年级上·吉林长春·期中）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． （1）已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点F，并过点C作． （已作），_________（两直线平行，内错角相等）， _________（两直线平行，同位角相等）， __________________（平角的定义），（等量代换）． 【实践运用】（2）如图，线段相交于点O，连接，试证明：． 【拓展提升】（3）如图，，则的度数为_________． （4）如图，若和的平分线和相交于点P．若，则的度数为_________． 【答案】（1），，；（2）见详解；（3）；（4） 【详解】（1）证明：延长线段至点F，并过点C作． （已作），（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， （平角的定义），（等量代换）． 故答案为：，，． （2）证明：在中，， 在中，，，． （3）解：如图： 则， ，，故答案为：． （4）解：如图，连接并延长，∵和分别平分和，∴， 根据（2）可得，即，∴． 根据图象可得：，， ∴．故答案：． 19．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究：如果两个三角形各有一个角互为对顶角，那么这两个三角形叫做“对顶三角形”．如图1，与互为“对顶三角形”． 【问题发现】（1）如图1，请说明． 【拓展研究】（2）如图2，若是的平分线，是的平分线，，求的度数．（用含x，y的代数式表示） 【解决问题】（3）如图3，在（2）的条件下，延长，至点M，N．若与分别平分与，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1），，， ． （2），． 是的平分线，是的平分线，． 由（1）知，， ∵， ∴的度数为． （3）与分别平分与，是的平分线，是的平分线， ， ，即， ． ，，∴． 20．（24-25七年级下·重庆江北·期末）综合与实践 【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，小明在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角相等，例如：在图1中，有．如图2，小明同学用了两块镜子形成一个镜子组合体．镜子与形成．他发现改变的大小，入射光线和反射光线的位置关系会发生改变． 【初步探究】（1）当______时，入射光线与反射光线是平行的，并说明理由． 【深入探究】（2）如图3，设，入射光线与反射光线的夹角．若，探索与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（3）如图4，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射后的光线与入射光线平行时，请直接写出x的度数．（可用含有m的代数式表示） 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）或 【详解】解：当时，．理由如下： 如图，在中，，∴， ∵，∴， ∵，，∴，∴； （2），理由如下：在中，，∴， ∵，∴，∴， 同理可得，，在中，， ∴； （3）或．理由如下：①当时，如图所示：， ∵，∴， ∴， ∵，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴． ②当时，如果在边反射后与平行，由（2）知，，与题意不符； 则只能在边反射后与平行，如图所示： 根据三角形外角性质得，，∵，∴， 由，且由（1）的结论可得，，则． 综上所述：x的度数为或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07.倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.“8”字模型 5 模型2.“A”字模型 8 模型3.三角板模型 10 15 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． （24-25七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：； (2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______； ②若，，求的度数（用含，的代数式表示）； (3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围． （2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（24-25七年级下·成都·校考期中）如图，与相交于点O，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级·山东·培优）如图，已知，则 ． 例3（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图： ． 例4（24-25七年级下·成都·专题练习）【原题重现】如图1，相交于点O，求证：． 某数学兴趣小组的同学们对此题展开了探究讨论． 【解法再探】（1）利用“三角形的内角和是”和“对顶角相等”对此题进行了证明，小明同学提出了另外一种证明方法，其思路框图如下： 完成框图填空：① ，② ，③ ． 【变式拓展】（2）小慧同学把图1中线段与相交所组成的结构称为“8字形”，她对原题进行了改编：如图2，相交于点和的平分线交于点，求的度数（用含，的式子表示）．请你帮助小慧完成以下问题：小慧看到图2中有两个与相关的“8字形”，请你根据（1）中的结论写出关于的两个关系式：① ；② ； 小慧进一步思考：设，，由∠，得，即③，由①③（或②③）联立、转化、整理可得结论： ． 【发现生成】（3）小慧同学为了寻找规律，再次改变条件：如图3，相交于点，求的度数．（用含的式子表示） （4）若把（3）中的“”都改为“”，则 （用含的式子表示）． 例5（24-25·重庆·八年级专项训练）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O． 求证：（1）； （2）． 模型2.“A”字模型 例1（2025·甘肃·一模）有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在四边形中，，则 ；若沿图中虚线剪去，则 ．    例3（24-25七年级下·广东·期末）如图，的度数（   ） A． B． C． D． 例4（24-25八年级下·浙江·专题练习）探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　． A．  90°   B．  315°   C．  135°   D. 270° (2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则　　度． (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是　　． (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是　　． 模型3.三角板模型 例1（24-25七年级下·山东聊城·期末）把一副三角尺如图所示放置，如果不计三角尺的厚度，图中的度数是 ． 例2（24-25福建厦门·八年级统考期末）将一副三角板如图摆放，若，点F在边上，顶点A，C，D在同一直线上，则下列角的大小为的是（    ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 例4（24-25·四川·七年级校联考期中）如图所示，将一副三角板按如图放置，有下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 例5（24-25·七年级下·四川成都·期末）一副三角板按图1所示方式摆放，其中，，.固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角 (1)如图2，当时，的度数为__________；(2)当的一边与平行时，求的度数； (3)如图3，连结，当时，试判断的大小是否改变?并说明理由 1．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，按图中虚线剪去，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25山东·七年级校考阶段练习）如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1+∠2与∠3+∠4的数量关系为(   ) A．∠1+∠2>∠3+∠4 B．∠1+∠2<∠3+∠4 C．∠1+∠2=∠3+∠4 D．数量关系取决于∠C的度数 3．（24-25·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中，，，若相交于点E，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25·山西·七年级统考期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整大小，使，则应调整为（     ） A．30° B．25° C．20° D．10° 5．（24-25·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形中，，若沿图中虚线剪去，则等于（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，中，若沿图中虚线剪去后，，则 ． 7．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝ 度． 8．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）如图，将纸片剪去一个角得到四边形，则 9．（24-25绵阳·八年级校考期中）如图，已知， ． 10．（24-25浙江宁波·七年级校考期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使CDOB，则∠BAD＝ 11．（24-25广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证． 12．（24-25江苏·八年级期中）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 13．（24-25河南·八年级校联考期末）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；    （2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________； （4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 14．24-25江西七年级南昌二中校考期末）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，与的大小是否满足某种确定的数量关系？    (1)特殊探究：若，则　 　度，　 　度，　 　度； (2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，请直接写出与满足的数量关系式． 15．（24-25湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°． (1) 若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数； (2) 若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．              16．（24-25重庆·七年级校考期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起；如图，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．    (1)在旋转过程中，当为 度时，；当为 度时，． (2)当时，连接，利用图探究值的大小变化情况，并说明理由． 17．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）[问题背景] （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明； [简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论） （2）如图2，、分别平分、，①若，，求的度数； ②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间的数量关系为 ． [问题探究] （3）如图3，直线平分的邻补角，平分∠ADC的邻补角，若，，则的度数为 ． [拓展延伸]（4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ．（用x、y的代数式表示）    18．（24-25七年级上·吉林长春·期中）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． （1）已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点F，并过点C作． （已作），_________（两直线平行，内错角相等）， _________（两直线平行，同位角相等）， __________________（平角的定义），（等量代换）． 【实践运用】（2）如图，线段相交于点O，连接，试证明：． 【拓展提升】（3）如图，，则的度数为_________． （4）如图，若和的平分线和相交于点P．若，则的度数为_________． 19．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究：如果两个三角形各有一个角互为对顶角，那么这两个三角形叫做“对顶三角形”．如图1，与互为“对顶三角形”． 【问题发现】（1）如图1，请说明． 【拓展研究】（2）如图2，若是的平分线，是的平分线，，求的度数．（用含x，y的代数式表示） 【解决问题】（3）如图3，在（2）的条件下，延长，至点M，N．若与分别平分与，，请直接写出的取值范围． 20．（24-25七年级下·重庆江北·期末）综合与实践 【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，小明在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角相等，例如：在图1中，有．如图2，小明同学用了两块镜子形成一个镜子组合体．镜子与形成．他发现改变的大小，入射光线和反射光线的位置关系会发生改变． 【初步探究】（1）当______时，入射光线与反射光线是平行的，并说明理由． 【深入探究】（2）如图3，设，入射光线与反射光线的夹角．若，探索与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（3）如图4，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射后的光线与入射光线平行时，请直接写出x的度数．（可用含有m的代数式表示） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $