专题01 三角函数的概念与诱导公式11种题型（专项训练）高一数学人教B版必修第三册

专题01 三角函数的概念与诱导公式 考点一：三角函数基本概念 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （4）象限角的集合表示方法： 2、弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． （3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 3、任意角的三角函数 （1）定义：若点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， （2）三角函数值在各象限内的符号 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 4、三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 考点二：同角三角函数基本关系 1、 同角三角函数基本关系式 （1） 平方关系：. （2） 商数关系：. 考点三：三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 题型一：终边相同的角的集合的表示 1、与给定角终边相同的所有角（包括本身）可表示为（角度制）或 （弧度制），其中。 2、利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数赋值来求得所需的角。 （1）注意“相等”与“终边相同”的区别：相等的角度数相同，终边相同；但终边相同的角不一定相等，它们之间相差整周角的整数倍； （2）注意区分，，的区别． 1．（2025高三下·全国·专题练习）与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）下列与角终边相同的角是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·天津和平·开学考试）终边在轴的非负半轴上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 4.（2025高三·全国·专题练习）与终边相同的最小正角是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，集合，集合，则集合，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 题型二：等分角的象限问题 求所在象限的方法： 1、写出的象限范围：例如，若在第一象限，则。 2、两边同时除以：得到； 3、对进行分类讨论确定所在象限。 （1）忽略的周期性：在确定所在象限时，需考虑取不同值时对范围的影响，尤其当时，的不同取值会导致落在不同象限； （2）写的象限范围时，忽略周期性：若为第二象限角，应表示为，而不能写出。 1．（2025高三·上海·专题练习）若为第四象限角，且，则为第______象限角. 2．（2025高三·全国·专题练习）如果角是第三象限角，角终边所在的位置是_____. 3．（2025高三·江苏·专题练习）已知角是第三象限角，则是第_________象限角. 4．（2025高三下·全国·专题练习）如果是第三象限的角，则角的终边所在位置是_______，角的终边所在位置是______________． 题型三：弧长公式与扇形面积的应用 涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程（组）求解。 （1）利用扇形的弧长公式和面积公式解题时，注意角的单位必须是弧度； （2）利用扇形的弧长公式和面积公式解题时，圆心角可正可负； （3）扇形的周长等于弧长加两个半径长 1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东·模拟预测）已知扇形的圆心角，半径．若仅将减小，则扇形的面积减小了（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广西·模拟预测）已知某扇形的周长为6，面积为2，圆心角为锐角，则其弧长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高三上·河南濮阳·月考）如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是___________．    5．（2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧的长为，则此扇面的面积为______． 6．（25-26高三上·山西太原·月考）如图，在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，若的长为，则图中阴影部分的面积为________． 题型四：弧长公式与扇形面积的最值问题 与扇形有关的弧长公式与扇形面积的最值问题一般转化为二次函数的最值问题或利用基本不等式求最值。 （1）忽略变量范围限制； （2）未统一角度制导致公式错用； 1．（25-26高三上·天津南开·开学考试）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 2．（24-25高一上·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·广东江门·模拟预测）已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是__________. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 题型五：利用三角函数的概念求三角函数值 利用三角函数的概念求三角函数值： （1）已知角的终边上一点，第一步：先计算；第二步：由，，求值； （2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论。 当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，忽略对参数的分类讨论。 1．（25-26高三上·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边为射线，已知点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东·月考）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南南阳·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·北京·月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山东青岛·期中）若角的终边上有一点，且，则______； 题型六：判断三角函数值的符号 （1）判断三角函数符号的常用方法： （2）确定角：根据题目给出的条件，确定角所在的象限； 1．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．（2026·山东·一模）“为第三象限角或第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（多选）（25-26高三上·安徽阜阳·月考）下列各三角函数值符号为负的有（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·天津西青·期中）若为第四象限角，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·天津·开学考试）如果是第一象限角，那么恒有（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知角是第四象限角，且，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型七：平方关系的应用 平方关系的变形： . 已知、和其中两个量求另外一个量时注意判断三角函数值的符号； 1．（25-26高三上·山西太原·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·陕西·期末）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·广东汕头·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·重庆·月考）若 ，则 的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 5．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）若角的终边在第二象限，则__________. 6．（25-26高三上·上海·开学考试）已知是第二象限的角，化简：=___________. 题型八：已知的值求或、或含、的分式或关于与的齐次式的值 与分式，多项式问题方法： （1）已知的值求或可用勾股法； （2）对于或的求值，将分子分母同除以或，化成关于的式子，从而达到求值的目的. （3）对于的求值，可看成分母是1，利用进行代替后分子分母同时除以，得到关于的式子，从而可以求值. （1）已知的值求或时注意确定三角函数值的符号； （2）对于的求值，注意加分母，再分子分母同时除以。 1．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·福建福州·期中）已知，则的值（   ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 3．（25-26高三上·四川内江·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川巴中·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河南周口·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河北保定·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型九：关于，的关系的求值 ，三个式子中，已知其中一个，可以求出其它两个，即“知一求一”，它们之间的关系是：。 注意求或的值，要注意根据角的终边位置，判断它们的符号； 1．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北衡水·期中）若，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北承德·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高三上·黑龙江·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十：诱导公式的应用 诱导公式的应用： （1）给角求值：步骤为：“负化正”“大化小”“小化锐”“锐求值”； （2）给值求值：策略为：首先要仔细观察条件式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系；再将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. （3）三角函数式的化简与求值. （1）符号判断易错：未根据“符号看象限”原则，忽略将角视为锐角后所在象限的三角函数符号； （2）忽略函数名的改变：在应用，，，等这类诱导公式时，忘记改变函数名称； （3）对含参数的表达式为分类讨论：如，需分为奇数或偶数分别处理。 1．（2025高三·全国·专题练习）的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三上·安徽亳州·专题练习）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·福建厦门·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·浙江金华·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·四川绵阳·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东烟台·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·安徽六安·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，将角的终边按照顺时针方向旋转后得到角，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 9．（25-26高三上·广东佛山·月考）（　　） A． B． C． D． 10．（2026高三·全国·专题练习）化简：______. 题型十一：同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活应用公式进行变形； 注意角的范围对三角函数值符合的影响。 1．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知，则（   ） A． B．3 C． D． 2．（25-26高三上·山西·月考）已知角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D．11 3．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知，则______． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知，且为第三象限角． (1)求的值； (2)求的值． 6．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知 (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求和的值． 7．（25-26高三上·江苏泰州·期中）（1）化简：； （2）已知，求的值． （3）已知为锐角，．求的值． 8.（25-26高三上·天津津南·月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点， (1)求tanα； (2)求的值； (3)求的值. 一、单选题 1．（25-26高三上·浙江金华·期末）已知弧长为1cm的扇形面积是，则其圆心角大小为（   ） A． B．1 C． D． 2．（2026·广西南宁·一模）若，则＝（   ） A．3 B． C． D．－3 3．（25-26高三上·河南·月考）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．（25-26高三上·北京顺义·月考）已知为角终边上一点，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，在的终边上，若在之间，则（   ） A．308° B．128° C．52° D．38° 6．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）扇子是引风用品，夏令必备之物：我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分．历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品．扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇，如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或线绢做扇面而制成的．完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，、分别在、上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8.（多选）（2025高三·全国·专题练习）是第二象限角的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D．且 9．（多选）（25-26高三上·黑龙江·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知，且，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（24-25高一上·河南郑州·期末）如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动.点的起始位置坐标为，角速度为，点的起始位置坐标为，角速度为，则（    ） A．在末，点的坐标为 B．在末，点在单位圆上第一次重合 C．在末，扇形的弧长为 D．面积的最大值为 三、填空题 12．（25-26高三上·河北沧州·期末）已知扇形（为圆心）的周长为4，弧的长为2，则该扇形的面积为______. 13．（25-26高三上·福建厦门·月考）若为第二象限角，且，则________． 14．（2026高三·全国·专题练习）已知，且，则________，________. 15．（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知，则______． 四、解答题 16．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知， (1)化简 (2)若，求的值 17．（25-26高三上·福建宁德·月考）如图，在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，．    (1)求的值； (2)已知，求的解析式． 18．（25-26高三上·天津·开学考试）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，且. (1)求，的值； (2)求的值. 19．（25-26高三上·辽宁大连·期中）计算求值. (1)已知，求的值. (2)若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数的概念与诱导公式 考点一：三角函数基本概念 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （4）象限角的集合表示方法： 2、弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． （3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 3、任意角的三角函数 （1）定义：若点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， （2）三角函数值在各象限内的符号 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 4、三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 考点二：同角三角函数基本关系 1、 同角三角函数基本关系式 （1） 平方关系：. （2） 商数关系：. 考点三：三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 题型一：终边相同的角的集合的表示 1、与给定角终边相同的所有角（包括本身）可表示为（角度制）或 （弧度制），其中。 2、利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数赋值来求得所需的角。 （1）注意“相等”与“终边相同”的区别：相等的角度数相同，终边相同；但终边相同的角不一定相等，它们之间相差整周角的整数倍； （2）注意区分，，的区别． 1．（2025高三下·全国·专题练习）与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】,所以角与角的终边相同, 所以与角终边相同的角的集合是. 故选：C 2．（2025高三·全国·专题练习）下列与角终边相同的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】与角终边相同的角为，即， 对于A：，不是的整数倍，故A错误； 对于B：，不是的整数倍，故B错误； 对于C：，不是的整数倍，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高三上·天津和平·开学考试）终边在轴的非负半轴上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】终边在轴的非负半轴上的角的集合为. 故选：D 4.（2025高三·全国·专题练习）与终边相同的最小正角是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以与终边相同的最小正角是． 故选：A 5．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，集合，集合，则集合，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方法一：集合表示终边在轴非负半轴上角的集合； 集合表示终边在轴上的角的集合； 集合表示终边在坐标轴上的角的集合． 故，，． 方法二：因为集合， 集合， 集合，所以，，． 故选：A. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为，终边在角的终边所在直线上的角的集合为，因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围是． 题型二：等分角的象限问题 求所在象限的方法： 1、写出的象限范围：例如，若在第一象限，则。 2、两边同时除以：得到； 3、对进行分类讨论确定所在象限。 （1）忽略的周期性：在确定所在象限时，需考虑取不同值时对范围的影响，尤其当时，的不同取值会导致落在不同象限； （2）写的象限范围时，忽略周期性：若为第二象限角，应表示为，而不能写出。 1．（2025高三·上海·专题练习）若为第四象限角，且，则为第______象限角. 【答案】四 【详解】为第四象限角，，， 则，.所以为第二、四象限角 又，则为第四象限角. 2．（2025高三·全国·专题练习）如果角是第三象限角，角终边所在的位置是_____. 【答案】第一、三、四象限 【详解】因为，所以. 当时，； 当时，； 当时，. 综上，的终边在第一、三、四象限. 3．（2025高三·江苏·专题练习）已知角是第三象限角，则是第_________象限角. 【答案】第一或第二，或终边在轴正半轴上的角 【详解】角是第三象限角，则，∴，， 当，时，是第一象限角， 当，时，是终边在轴正半轴上的角（轴间角）， 当，时，是第二象限角， 综上所述，是第一或第二象限角，或终边在轴正半轴上的角. 4．（2025高三下·全国·专题练习）如果是第三象限的角，则角的终边所在位置是_______，角的终边所在位置是______________． 【答案】第二象限 ；第一、二象限及y轴的非负半轴 【详解】由是第三象限的角得， ，即角的终边在第二象限． 由，得，角的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴． 题型三：弧长公式与扇形面积的应用 涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程（组）求解。 （1）利用扇形的弧长公式和面积公式解题时，注意角的单位必须是弧度； （2）利用扇形的弧长公式和面积公式解题时，圆心角可正可负； （3）扇形的周长等于弧长加两个半径长 1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为该扇形的圆心角为，面积为25， 根据，可得， 所以. 故选： 2．（2026·广东·模拟预测）已知扇形的圆心角，半径．若仅将减小，则扇形的面积减小了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，半径．且减小的部分也为扇形， 则由扇形面积公式可得则扇形的面积.    故选：D. 3．（2026·广西·模拟预测）已知某扇形的周长为6，面积为2，圆心角为锐角，则其弧长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设扇形的弧长为，扇形的半径为，圆心角为， 因为扇形的周长为6，面积为2， 所以，解得或， 当时，，不是锐角，故排除， 当时，，符合题意，故B正确. 故选：B 4．（25-26高三上·河南濮阳·月考）如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是___________．    【答案】 【详解】由题意知， 因为，由扇形面积公式得: 所以． 5．（2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧的长为，则此扇面的面积为______． 【答案】 【详解】设，因为圆心角，弧的长为，代入弧长公式可得，解得. 由扇形面积公式可得：， ， 所以此扇面的面积为. 6．（25-26高三上·山西太原·月考）如图，在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，若的长为，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【详解】连接，，因为在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E， 设，则，所以， 因为的长为，所以，即正方形的边长为， 所以的面积，扇形的面积为， 由图形的对称性知，扇形与扇形的面积相等， 所以图中阴影部分的面积. 题型四：弧长公式与扇形面积的最值问题 与扇形有关的弧长公式与扇形面积的最值问题一般转化为二次函数的最值问题或利用基本不等式求最值。 （1）忽略变量范围限制； （2）未统一角度制导致公式错用； 1．（25-26高三上·天津南开·开学考试）已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（   ） A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 【答案】A 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大. 故选：A 2．（24-25高一上·湖北·期末）已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 则由题意可得， ∴ ， 当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8. 故选：D. 3．（2025·广东江门·模拟预测）已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是__________. 【答案】弧度 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角的弧度数为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 题型五：利用三角函数的概念求三角函数值 利用三角函数的概念求三角函数值： （1）已知角的终边上一点，第一步：先计算；第二步：由，，求值； （2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论。 当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，忽略对参数的分类讨论。 1．（25-26高三上·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边为射线，已知点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为角的终边过点，所以. 故选：A 2．（25-26高三上·山东·月考）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得角α的终边经过点，， 根据三角函数的定义得. 故选：C 3．（25-26高三上·河南南阳·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据三角函数的概念，得，，所以. 故选：C. 4．（25-26高三上·北京·月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为终边上一点， 所以由三角函数点定义得，即， 所以， 故选：C. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点为其终边上一点，且， 由三角函数的定义，可得，解得或或， 又因为是第二象限角，所以，所以. 故选：D. 6．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，角的终边上有一点，可得， 根据三角函数的定义，可得，， 所以. 故选：C 7．（25-26高三上·山东青岛·期中）若角的终边上有一点，且，则______； 【答案】 【详解】，即，解得. 由于,故，则. 题型六：判断三角函数值的符号 （1）判断三角函数符号的常用方法： （2）确定角：根据题目给出的条件，确定角所在的象限； 1．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【详解】根据三角函数的定义，由，可得为第二或第四象限角； 由，可得为第一、第四象限及轴非负半轴上的角， 取交集可得，是第四象限角． 故选：D. 2．（2026·山东·一模）“为第三象限角或第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若为第三象限角或第四象限角，则，故充分性成立； 若，则为第三象限角或第四象限角或，故必要性不成立； 所以“为第三象限角或第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（多选）（25-26高三上·安徽阜阳·月考）下列各三角函数值符号为负的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，是第一象限角，则，A不是； 对于B，是第二象限角，则，B是； 对于C，，C不是； 对于D，，D是. 故选：BD 4．（25-26高三上·天津西青·期中）若为第四象限角，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由α为第四象限角，可得， 所以 此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以 故选：B 5．（25-26高三上·天津·开学考试）如果是第一象限角，那么恒有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是第一象限角，得，则， 当为奇数时，为第三象限角，，； 当为偶数时，为第一象限角，，， 因此恒有. 故选：C 6．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知角是第四象限角，且，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【详解】因为角是第四象限角，所以， 所以，所以角是第二象限角或第四象限角． 又因为，即，所以角是第四象限角． 故选：D． 题型七：平方关系的应用 平方关系的变形： . 已知、和其中两个量求另外一个量时注意判断三角函数值的符号； 1．（25-26高三上·山西太原·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， 所以 故选：A 2．（25-26高三上·陕西·期末）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，所以充分性成立， 反过来，，满足，但，故必要性不成立． 故选：A. 3．（2025·广东汕头·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，显然，则， 又，所以， 即，解得或； 当时，不符合题意； 所以，则， 所以. 故选：C 4．（25-26高三上·重庆·月考）若 ，则 的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【详解】因为，所以 ， 因为，所以， 所以根据基本不等式的性质可得， 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为. 故选：C. 5．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）若角的终边在第二象限，则__________. 【答案】1 【详解】由题设，则. 故答案为：1 6．（25-26高三上·上海·开学考试）已知是第二象限的角，化简：=___________. 【答案】 【详解】因为是第二象限角，所以， 所以. 题型八：已知的值求或、或含、的分式或关于与的齐次式的值 与分式，多项式问题方法： （1）已知的值求或可用勾股法； （2）对于或的求值，将分子分母同除以或，化成关于的式子，从而达到求值的目的. （3）对于的求值，可看成分母是1，利用进行代替后分子分母同时除以，得到关于的式子，从而可以求值. （1）已知的值求或时注意确定三角函数值的符号； （2）对于的求值，注意加分母，再分子分母同时除以。 1．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】（方法一：）（平方关系+商数关系）已知为锐角，且， ， ，解得（负值已舍去）， ． 故选：A． （方法二：）（勾股法）因为为锐角，所以，，又，所以，， ． 故选：A． 2．（25-26高三上·福建福州·期中）已知，则的值（   ） A．2 B．－2 C．3 D．－3 【答案】C 【详解】因为， 所以， 故选：C 3．（25-26高三上·四川内江·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 所以. 故选：C 4．（25-26高三上·四川巴中·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，解得， 所以， 故选：A. 5．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式 ， 因为， 所以. 故选：D 6．（25-26高三上·河南周口·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，两边平方得， 整理得，即， 由，得，所以. 故选：A 7．（25-26高三上·河北保定·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由，知， 由题意，即， 由，得， 所以. 故选：A. 题型九：关于，的关系的求值 ，三个式子中，已知其中一个，可以求出其它两个，即“知一求一”，它们之间的关系是：。 注意求或的值，要注意根据角的终边位置，判断它们的符号； 1．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又， 所以. 故选：B 2．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，即， 所以， 所以，所以，所以， 又因为， 所以， 所以. 故选：B. 3．（25-26高三上·河北衡水·期中）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设， 所以，即， 而，则， 所以，即. 故选：A 4．（25-26高三上·河北承德·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 两边平方，得，即. 所以. 故选：D. 5．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 代入得， 化简得， 解得，即或， 因为，所以， 所以. 故选：B. 6．（多选）（25-26高三上·黑龙江·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，得，所以， 又，所以，结合， 解得，所以. 故选：AC. 7．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，两边平方，得，即，所以，故B错误． 由上及二倍角正弦公式，得，因为， 所以，，，又， 所以．结合，解得，，故A错误． 因为，所以，故C正确，，故D错误． 故选：C． 题型十：诱导公式的应用 诱导公式的应用： （1）给角求值：步骤为：“负化正”“大化小”“小化锐”“锐求值”； （2）给值求值：策略为：首先要仔细观察条件式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系；再将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化. （3）三角函数式的化简与求值. （1）符号判断易错：未根据“符号看象限”原则，忽略将角视为锐角后所在象限的三角函数符号； （2）忽略函数名的改变：在应用，，，等这类诱导公式时，忘记改变函数名称； （3）对含参数的表达式为分类讨论：如，需分为奇数或偶数分别处理。 1．（2025高三·全国·专题练习）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60° ＝－＋＝． 故选：C. 2．（2025高三上·安徽亳州·专题练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意及诱导公式化简可得，， ， ， 故选：B. 3．（24-25高三上·福建厦门·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 4．（25-26高三上·浙江金华·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 故选：B. 5．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 又， 所以. 故选：A. 6．（2026·四川绵阳·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，故. 所以 . 故选：A. 7．（2025·山东烟台·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则. 故选：C. 8．（25-26高三上·安徽六安·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，将角的终边按照顺时针方向旋转后得到角，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】因为角终边经过点， 所以，且为第三象限角, 所以， 又将角的终边按照顺时针方向旋转后得到角，所以， 所以 故选：D 9．（25-26高三上·广东佛山·月考）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 故选：A. 10．（2026高三·全国·专题练习）化简：______. 【答案】 【详解】原式 . 题型十一：同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活应用公式进行变形； 注意角的范围对三角函数值符合的影响。 1．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】由， 解得：， 所以， 故选：C. 2．（25-26高三上·山西·月考）已知角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【详解】因为角的终边上有一点，则， 所以. 故选：A. 3．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由三角函数的诱导公式，可得， 即，所以，则， . 故选：D. 4．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知，则______． 【答案】 【详解】由可得， 则，整理得，其中， 故，解得， 于是 5．（2026高三·全国·专题练习）已知，且为第三象限角． (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）因为，且为第三象限角，结合， 可知. （2）由诱导公式知，，，， 由题意知，. 6．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知 (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求和的值． 【详解】（1） （2）， 当为第一象限角时，， 当为第四象限角时，， （3）因为， 所以 . 7．（25-26高三上·江苏泰州·期中）（1）化简：； （2）已知，求的值． （3）已知为锐角，．求的值． 【详解】（1） ； （2）因为 所以 解得 又因为 所以 所以； （3）， 又因为为锐角， 所以， 所以， 所以， 所以 8.（25-26高三上·天津津南·月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点， (1)求tanα； (2)求的值； (3)求的值. 【详解】（1）根据任意角三角函数的定义可得 （2）（方法一：）由（1）知. 因为，且， 所以. 所以的值为. （方法二：）根据任意角三角函数的定义可得. 所以. 所以的值为. （3）（方法一：）由（1）知. 因为，，且， 所以. 所以的值为. （方法二：）由（2）知，. 所以. 所以的值为. 一、单选题 1．（25-26高三上·浙江金华·期末）已知弧长为1cm的扇形面积是，则其圆心角大小为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】设扇形的半径为， 由扇形面积公式及题意得，解得， 由圆心角公式得圆心角大小为. 故选：A. 2．（2026·广西南宁·一模）若，则＝（   ） A．3 B． C． D．－3 【答案】A 【详解】因， 则，. 从而. 故选：A 3．（25-26高三上·河南·月考）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】因为，， 即点，所以是第三象限角. 故选：C. 4．（25-26高三上·北京顺义·月考）已知为角终边上一点，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，则，充分性成立， 当时，则，可得，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，在的终边上，若在之间，则（   ） A．308° B．128° C．52° D．38° 【答案】D 【详解】终边与单位圆的交点坐标为， 因为， ，， 所以终边与单位圆的交点坐标为，即. 故选：D. 6．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D 7．（2025高三·全国·专题练习）扇子是引风用品，夏令必备之物：我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分．历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品．扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇，如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或线绢做扇面而制成的．完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，、分别在、上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，的长为，， 设扇形的半径为，则，所以， 所以扇形的面积为， ， 所以扇形的面积， 所以折扇的扇面的面积． 故选：D． 二、多选题 8.（多选）（2025高三·全国·专题练习）是第二象限角的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D．且 【答案】AB 【详解】由“”可以推出“是第二象限角”，但“是第二象限角”不能推出“”，故A正确； 由，得，“”可以推出“是第二象限角”，但“是第二象限角”不能推出“”，故B正确； 由可得是第二象限角或第四象限角，所以“”不能推出“是第二象限角”，即“”不是“是第二象限角”的充分条件，故C错误； “且”为“是第二象限角”的充要条件，故D错误． 故选：AB． 9．（多选）（25-26高三上·黑龙江·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，得，所以， 又，所以，结合， 解得，所以. 故选：AC. 10．（多选）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知，且，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，， 因为，则有，故，A正确； 对于B，因为，则有，则， 则，故B错误； 对于C，， ， 则，故C正确； 对于D，，故D错误， 故选：AC. 11．（多选）（24-25高一上·河南郑州·期末）如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动.点的起始位置坐标为，角速度为，点的起始位置坐标为，角速度为，则（    ） A．在末，点的坐标为 B．在末，点在单位圆上第一次重合 C．在末，扇形的弧长为 D．面积的最大值为 【答案】BD 【详解】由题设，秒末的坐标为， 的坐标为， 对于A，在末，的坐标为，故A错误； 对于B，若重合，则，故， 故，故在末，点在单位圆上第一次重合，故B正确； 对于C，在末，在的终边上，在的终边上， 故扇形的弧长为，故C错误； 对于D，的面积为， 当且仅当即时等号成立， 故D正确； 故选：BD. 三、填空题 12．（25-26高三上·河北沧州·期末）已知扇形（为圆心）的周长为4，弧的长为2，则该扇形的面积为______. 【答案】1 【详解】设扇形的半径为，弧长为，周长为. 由题意可得，则该扇形的面积. 故答案为：. 13．（25-26高三上·福建厦门·月考）若为第二象限角，且，则________． 【详解】由，知， ， 因为为第二象限角，所以，且， 所以原式， 又，且，联立两式可得， 所以原式. 14．（2026高三·全国·专题练习）已知，且，则________，________. 【答案】 ； 【详解】因为，所以，所以， 则， ， 15．（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知，则______． 【详解】由题可得：， 因为，所以，则，即， 所以。 四、解答题 16．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知， (1)化简 (2)若，求的值 【详解】（1）由题意得. （2）由题意得，则， . 17．（25-26高三上·福建宁德·月考）如图，在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，．    (1)求的值； (2)已知，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知， ，且是第二象限角，得， ； （2）由于， 所以 则. 18．（25-26高三上·天津·开学考试）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，且. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1)，；(2). 【详解】（1）依题意，，解得， 所以，. （2）由（1）知，， 所以. 19．（25-26高三上·辽宁大连·期中）计算求值. (1)已知，求的值. (2)若，且，求下列式子的值. （i）；（ii）. 【详解】（1） （2）∵ ∴， 则 （i） （ii） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $