专题03 二次根式重难点题型汇编（高效培优专项训练）数学浙教版新教材八年级下册

专题03 二次根式重难点题型汇编 【题型一：二次根式的概念】..............................................................................................................1 【题型二：二次根式有意义的条件】...................................................................................................1 【题型三：利用二次根式的性质化简】...............................................................................................2 【题型四：同类二次根式的概念】.......................................................................................................2 【题型五：二次根式的大小比较】.......................................................................................................3 【题型六：二次根式的混合运算】.......................................................................................................3 【题型七：二次根式的化简求值】.......................................................................................................4 【题型八：二次根式的应用】..............................................................................................................5 【题型九：二次根式中新定义问题】...................................................................................................7 【题型十：利用分母有理化化简求值】...............................................................................................8 【题型十一：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】..........................................10 题型一：二次根式的概念 1．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 2．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列代数式中，二次根式为（ ） A． B． C． D． 4．给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型二：二次根式有意义的条件 1．函数中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 3．若式子有意义，则x的取值范围是 ． 4．等式成立的条件是 ． 5．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 题型三：利用二次根式的性质化简 1．a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 2．如果，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 4．当时，代数式的值是（    ） A． B．1 C． D． 5．化简： 6．已知实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ． 题型四：同类二次根式的概念 1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（      ） A． B． C． D． 2．最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ． 题型五：二次根式的大小比较 1．比较大小：7 ．（选填“＞”或“＜”） 2．比较大小∶ ． 3．比较大小：（1） ，（2） ．（填“”，“”或“”） 4．比较大小： ． 题型六：二次根式的混合运算 1．计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 2．计算的结果是（    ） A．1 B．0 C． D． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1) (2) 5．计算： (1)； (2)． 6．计算： (1)； (2)； (3) 7．计算： (1)； (2)． 题型七：二次根式的化简求值 2．计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 3．已知． (1)求的值； (2)求的值． 4．已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 5．已知：，，求下列各式的值． (1) (2)． 题型八：二次根式的应用 1．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 2．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式.如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为.在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C． D．16 3．如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为 ． 4．汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为 ． 5． 电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线的电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足关系式，已知导线的电阻为，通电时间为时，导线产生的热量为，求电流．（结果用根式表示） 6．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 7．跨学科 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任． 据物理学研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式 （其中取9.8m/s2），高空抛物落地时的动能（焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米）． (1)当米时，求物体下落的时间（结果保留根号）； (2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害．某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？说明理由． 题型九：二次根式中新定义问题 1．定义一种新运算“△”，，则的值为(   ) A． B． C． D． 2．规定一种新运算：．例如：．则的计算结果是（   ） A．10 B． C． D． 3．对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 5．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新运算：，则 ． 6．定义新运算：，其中等号右边是常规的乘法和减法运算， 例如：． (1)计算：； (2)有同学说：若，则，你是否同意他的观点，请说明理由． 7．请观察下列式子： ；；； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：___________；___________； (2)猜想规律：___________（n为正整数）； (3)若定义（a，b都是正整数），利用上述定义及规律计算的值． 题型十：利用分母有理化化简求值 2．阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化． 解决问题： (1)将分母有理化得 ，分母有理化得 ． (2)利用上述方法，化简． 3．[核心素养]【观察】；． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】 (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（各写一个即可） (2)将下列各式分母有理化： ①______； ②______； (3)计算：． 4．先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是________； (2)化去式子分母中的根号：________；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算下列式子的值：． 5．阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)化简： (2)计算： (3)若求的值． 题型十一：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题 1．阅读下列两则材料，回答问题 材料一：我们将与称为一对“对偶式”，因为所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“”去掉．例如：已知，求的值． ∵，∴ 材料二：如图，点，点，以AB为斜边作Rt△ABC， 则，，，所以；反之，可将代数式的值看作点到点的距离，例如：， ∴可将的值看作点到点的距离． (1)利用材料一，解关于x的方程：，其中； (2)利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时x与y的关系式，写出x的取值范围． 2．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ； (2)化简：； (3)已知a为常数，点是关于x的函数图像上的一点，点是点M的“横负纵变点”，求点的坐标． 3.阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务． 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为 从而达到化去一层根号的目的． 例如化简且， (1)填上适当的数： ▲ （在▲处填空） (2)化简： 4．先阅读下面材料，再解答问题： 材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：若，其中，为有理数，是无理数，则，． 证明：∵，为有理数， ∴是有理数， ∵为有理数，是无理数， ∴， ∴， ∴． (1)若，其中、为有理数，则 ， ； (2)已知的整数部分为，小数部分为，求与的值； (3)在（2）的条件下，，为有理数，，，，满足，求，的值． 5．【阅读材料】如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：且仅当时取等号，我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： （1）已知，则当______时，式于取到最小值，最小值为______； （2）用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）已知，则______时，分式取到最大值，最大值为_____． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次根式重难点题型汇编 【题型一：二次根式的概念】...............................................................................................................1 【题型二：二次根式有意义的条件】....................................................................................................2 【题型三：利用二次根式的性质化简】...............................................................................................4 【题型四：同类二次根式的概念】.......................................................................................................6 【题型五：二次根式的大小比较】.......................................................................................................8 【题型六：二次根式的混合运算】.......................................................................................................9 【题型七：二次根式的化简求值】......................................................................................................12 【题型八：二次根式的应用】.............................................................................................................14 【题型九：二次根式中新定义问题】..................................................................................................18 【题型十：利用分母有理化化简求值】...............................................................................................21 【题型十一：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】..........................................25 题型一：二次根式的概念 1．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 【答案】D 【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义（形如（）的式子是二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负），逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义． 需依据“形如（），根指数为2且被开方数非负”的特征判断选项． 【详解】解：A选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式； B选项：的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C选项：中，当时，，式子无意义，不一定是二次根式； D选项：的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 故选：B． 3．下列代数式中，二次根式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，逐一分析各选项是否符合定义即可． 【详解】解：∵， ∴， 由二次根式的定义可知，四个式子中只有是二次根式（当时，没有意义）， 故选：C． 4．给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如且的式子为二次根式． 根据二次根式的定义，逐一判断每个式子是否满足根指数为2且被开方数非负的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：①：被开方数，是二次根式； ②：被开方数，式子无意义，不是二次根式； ③：∵，∴，被开方数恒为非负数，是二次根式； ④：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑤：∵，，∴，被开方数为非负数，是二次根式； ⑥：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑦：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑧：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； ∴一定是二次根式的有①③⑤，共3个． 故选：A． 题型二：二次根式有意义的条件 1．函数中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式型函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）列不等式求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴． 故选：C． 2．若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．先根据被开方数非负求出x的值，再代入求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，解得， 将代入中得：． ∴． 故选C 3．若式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件； 根据分式的分母不为零和二次根式的被开方数非负求解即可． 【详解】解：要使式子有意义，需满足分母且被开方数， 由得，即； 由得， 所以x的取值范围是， 故答案为：． 4．等式成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵要使等式成立，等式两边均需有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 5．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：式子 在实数范围内有意义， 有意义，即，解得， 且 ，解得 ． 故答案为：且． 题型三：利用二次根式的性质化简 1．a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确从数轴得到的大小关系以及符号． 由数轴可得，则可化为，再化简绝对值进行整式的加减计算即可． 【详解】解：由数轴可得 ∴ ， 故选：C． 2．如果，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，结合，得出，解得 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 即， 解得， 故选：C． 3．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观察数轴得，，，则，，再化简，即可作答． 【详解】解：由图知，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 4．当时，代数式的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键． 根据给定条件 ，可确定绝对值符号内的正负，从而化简表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ 原式， 故选：A． 5．化简： 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质．利用二次根式的性质将原式转化为绝对值形式，再根据与的大小关系去绝对值符号完成化简． 【详解】解：根据二次根式的性质，可得， 因为， 所以， 根据绝对值的性质，当时，， 因此． 故答案为：． 6．已知实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据数轴判断式子符号及二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．首先由实数在数轴上的位置，可得和的取值，再根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：根据实数在数轴上的位置， 得出，， ， 故答案为： ． 题型四：同类二次根式的概念 1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的判定．需先明确同类二次根式的定义，再将各选项中的二次根式化为最简二次根式，对比被开方数是否与的被开方数相同即可求解． 【详解】解：∵同类二次根式是指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式， A、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； B、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； C、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； D、 ，最简形式的被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式． 故选：D． 2．最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式．根据同类二次根式的定义，它们的根指数和被开方数均相同，据此列方程组求出的值，即可解答． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，， 解得，则， ∴， 故选：C． 3.下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意； B、，，故和是同类根式，该选项符合题意； C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意； D、和不是同类根式，该选项不符合题意； 故选：B． 4．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，化简后，令被开方数相等求解． 【详解】解：，所以被开方数为 3； 因为是最简二次根式，且与是同类二次根式， 所以， 解得， 故答案为：． 题型五：二次根式的大小比较 1．比较大小：7 ．（选填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次根式的大小，通过平方将无理数比较转化为有理数比较是解题的关键． 根据平方后的结果判断原数大小即可． 【详解】解：∵， ∴比较它们的平方：， ∵， ∴． 故答案为：． 2．比较大小∶ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，通过计算两个表达式的差值，并判断差值的正负来比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．比较大小：（1） ，（2） ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小： （1）首先把两个数平方，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大，据此解答即可； （2）先求出两个数的差，再比较差与0的大小关系，即可求解． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 故答案为： （2）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 4．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较、二次根式的混合运算等知识点，掌握分子有理化是解题的关键． 先对和分子有理化，然后比较分母即可解答． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型六：二次根式的混合运算 1．计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，本题可运用平方差公式进行简便计算，直接代入公式运算即可得到结果． 【详解】解： ， 故选：A． 2．计算的结果是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据“先乘除、后加减”的运算顺序，利用二次根式的乘除法则逐步计算． 【详解】解： ， 故选：C． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 4．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的混合运算计算即可； （2）先利用完全平方公式展开，再根据二次根式混合运算法则计算即可得答案． 【详解】（1）解： 原式 （2）解： 原式 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) 4 (2) 0 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）先将二次根式化简，除法化为乘法，再根据二次根式的乘法运算法则，从左往右依次计算； （2）先用平方差公式和零指数幂的运算法则分别计算，再进行加法运算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 6．计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算． （1）先算开方、绝对值，再算加减； （2）先计算括号内的，再根据二次根式除法计算即可； （3）先根据乘法公式计算，再算加减． 【详解】（1）解： （2）解： （3） 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，立方根，二次根式的乘法，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，有理数的乘方，立方根，然后从左到右进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后从左到右进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型七：二次根式的化简求值 2．计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由题意可得，，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 3．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键； （1）利用二次根式的运算法则进行计算即可； （2）将代数式化为，把（1）中结果，利用整体代入法代入计算即可． 【详解】（1）解：， ；， （2）由（1）可知：，． ． 4．已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； （）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 5．已知：，，求下列各式的值． (1) (2)． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）先因式分解，再将字母的值代入，即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 把，代入得： 原式 ； （2）解：） ． 题型八：二次根式的应用 1．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 故选：A． 2．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积公式，称为海伦—秦九韶公式.如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为.在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（   ） A． B． C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算以及化简二次根式． 先根据三角形三边长度计算出的值，再代入海伦—秦九韶公式计算三角形的面积即可． 【详解】∵，，， ∴， ∴的面积． 故选： 3．如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽是解题的关键． 分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为3和9， ∴它们的边长分别为：和3， 由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为3， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 4．汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握对应图形面积公式及周长公式是解题的关键．先利用长方形扇面的长和宽求出面积，设圆形扇面半径为，根据两种扇面的面积相等，求出半径，最后代入圆的周长公式求解即可． 【详解】解：由题可得， 长方形扇面的面积， 设圆形扇面半径为， 因为两种扇面的面积相等， 根据圆的面积公式， 解得（负值舍去）， 因此圆形扇面的周长． 故答案为：． 5．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线的电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足关系式，已知导线的电阻为，通电时间为时，导线产生的热量为，求电流．（结果用根式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简及应用，熟练掌握根据实际意义对平方根进行取舍是解题的关键．已知焦耳定律公式，将已知的、、代入公式，先解出，再根据电流为正数的实际意义，对开平方求出电流． 【详解】解：由，得． 答：电流为． 6．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了整式的混合运算以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化的面积即可； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题意得： 平方米； （2）解：当，时，原式平方米． 7．跨学科 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任． 据物理学研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式 （其中取9.8m/s2），高空抛物落地时的动能（焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米）． (1)当米时，求物体下落的时间（结果保留根号）； (2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害．某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？说明理由． 【答案】(1)下落的时间为秒； (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）把h的值代入计算求解； （2）先求出h的值，再计算判断． 【详解】（1）解：当米时： ， 答：下落的时间为秒； （2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当秒时，， 解得：米， ， 所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 题型九：二次根式中新定义问题 1．定义一种新运算“△”，，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给的新定义列式计算即可． 【详解】解：由题意得， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，正确理解新定义是解题的关键． 2．规定一种新运算：．例如：．则的计算结果是（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，新定义，根据新定义可得原式等于，据此根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选：B． 3．对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据新运算定义分别计算和，再求乘积即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 5．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新运算：，则 ． 【答案】3 【详解】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 按照定义的新运算，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：， 故答案为：3． 6．定义新运算：，其中等号右边是常规的乘法和减法运算， 例如：． (1)计算：； (2)有同学说：若，则，你是否同意他的观点，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】（1）根据定义的新运算结合平方差公式计算即可； （2）首先根据条件可得a＝−b，再结合所给的新定义运算公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）同意； 理由如下：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴这位同学说的正确，同意他的观点． 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，整式的运算，关键是掌握相关运算法则，理解所给运算公式． 7．请观察下列式子： ；；； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：___________；___________； (2)猜想规律：___________（n为正整数）； (3)若定义（a，b都是正整数），利用上述定义及规律计算的值． 【答案】(1)5，6 (2)n (3)102 【分析】本题考查数字变化的规律． （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）提取之后，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， ， ， 故答案为：5，6． （2）由（1）知，从1开始连续n个奇数的和等于n的平方， 又∵ ∴． 故答案为：n． （3）原式 题型十：利用分母有理化化简求值 2．阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化． 解决问题： (1)将分母有理化得 ，分母有理化得 ． (2)利用上述方法，化简． 【答案】(1)， (2)27 【分析】本题考查了二次根式混合运算，也考查了分母有理化，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用分母有理化直接求解； （2）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，； （2）解： ． 3．[核心素养]【观察】；． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】 (1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（各写一个即可） (2)将下列各式分母有理化： ①______； ②______； (3)计算：． 【答案】(1)，（答案均不唯一） (2)①，② (3)2025 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化，平方差公式： （1）根据有理化因式的定义进行求解即可； （2）根据分母有理化的方法进行求解即可； （3）根据分母有理化，原式可变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：；；（答案均不唯一） （2）解：①； ②； （3）解： ． 4．先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是________； (2)化去式子分母中的根号：________；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算下列式子的值：． 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据题意可知与的乘积不含二次根式，即互为有理化因式； （2）利用分母有理化及平方差公式即可得到本题答案； （3）将括号内每个分数进行化简，再相加继而得到，再利用平方差公式即可求出本题答案． 【详解】（1）解：∵两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式， ∵， ∴的有理化因式是：， 故答案为：； （2）解：∵， 故答案为：； （3）解： ， ， ， ． 5．阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)化简： (2)计算： (3)若求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）给分子分母同乘分母的有理化因式，结合平方差公式进行分母有理化化简； （2）对每个分式分别分母有理化后，利用中间项抵消的规律简便计算； （3）先将分母有理化，再利用完全平方公式变形所求式子后代入计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ∴ 题型十一：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题 1．阅读下列两则材料，回答问题 材料一：我们将与称为一对“对偶式”，因为所以构造“对偶式”相乘可以将与中的“”去掉．例如：已知，求的值． ∵，∴ 材料二：如图，点，点，以AB为斜边作Rt△ABC， 则，，，所以；反之，可将代数式的值看作点到点的距离，例如：， ∴可将的值看作点到点的距离． (1)利用材料一，解关于x的方程：，其中； (2)利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时x与y的关系式，写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)最小值为5， 【分析】（1）由阅读部分的提示可得到再把得到的方程与原方程相加即可得到答案； （2）把原式化为 可得的含义表示点与点之间的距离与点与之和，再利用数形结合的方法可得答案． 【详解】（1）解： ， 即 两个方程相加可得： 解得： 经检验符合题意． （2） ∴的含义表示点与点之间的距离与点与之和，如图示： 即 ， 所以，当Q在线段EF上时，QE+QF最短，即最小， 最小值为： 设直线EF为 解得： EF为： 【点睛】本题属于阅读题，考查学生的自主学习的能力，同时考查了二次根式的性质，方程组是解法，勾股定理的应用，两点之间，线段最短，完全平方式的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，综合性较强，对学生的学习能力要求较高． 2．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ； (2)化简：； (3)已知a为常数，点是关于x的函数图像上的一点，点是点M的“横负纵变点”，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可； （2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可； （3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ， ． ∵点是关于x的函数图像上的一点， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，一次函数的图像和性质，点的规律变换，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 3.阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务． 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为 从而达到化去一层根号的目的． 例如化简且， (1)填上适当的数： ▲ （在▲处填空） (2)化简： 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：，，； （2）解： ． 4．先阅读下面材料，再解答问题： 材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：若，其中，为有理数，是无理数，则，． 证明：∵，为有理数， ∴是有理数， ∵为有理数，是无理数， ∴， ∴， ∴． (1)若，其中、为有理数，则 ， ； (2)已知的整数部分为，小数部分为，求与的值； (3)在（2）的条件下，，为有理数，，，，满足，求，的值． 【答案】(1)， (2)， (3)的值为，的值为 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照材料的解题思路进行计算，即可解答； （2）根据完全平方数进行计算，即可解答； （3）利用（2）的结论，再按照材料的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵，其中、为有理数， ∴， 为有理数，为有理数， ∴是有理数， ∵为有理数，是无理数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴，； （3）解：∵， ∴， ， 整理得：， ∵，为有理数， ∴为有理数，为有理数， 又∵是无理数， ∴，， 解得：，， ∴的值为，的值为． 5．【阅读材料】如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：且仅当时取等号，我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： （1）已知，则当______时，式于取到最小值，最小值为______； （2）用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）已知，则______时，分式取到最大值，最大值为_____． 【答案】（1）1，2；（2）这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；（3）3， 【分析】（1）令a=x，b=，根据即可得答案； （2）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解； （3）设，则，根据可求出的最小值，即可得的最大值，即可得答案． 【详解】（1）令a=x，b=， ∵， ∴=2， ∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为2． 故答案为：1，2 （2）设这个矩形的长为米，所用的篱笆总长为米， ∵围一个面积为的长方形花园， ∴宽为米， ∴ ∵， ∴， 当且仅当时，即时有最小值，最小值为40． 时，=10， ∴当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米． （3）设，则， ∵， ∴≥=4， ∴当且仅当时，即x=3时，有最小值4， ∴当x=3时，的最大值为，即取到最大值为． 故答案为：3，． 【点睛】本题主要考查了阅读型问题，读懂题目中给出的已知信息，解题的关键是理解阅读材料介绍的知识． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $