解三角形微专题06有关三角形的面积问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版高中数学必修二微专题——06 有关三角形面积的问题 一、题型梳理 题型1、有关求解三角形面积的问题 题型2、有关“三角形面积”的范围问题 题型3、有关“三角形面积”的最值问题 题型4、已知三角形面积，求解其他值的问题 二、知识梳理 常见求面积的方法： 已知条件 求面积方法 一边及其对应高 . 两边及其夹角 . 三边 海伦公式：，其中. 两角一边 正弦定理 + 两边夹角公式 涉及内切、 外接圆半径 （为内切圆半径） （为外接圆半径） 三、典例讲解 题型1、有关求解三角形面积的问题 例1．在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据三角形的面积公式计算即可. 【详解】依题意，在中，，，， 则的面积为.故选：C. 例2．在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得，结合余弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得，即，解得或（舍）.由余弦定理可得，解得，故，因为，则角为锐角，所以，，因此，.故选：A. 例3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理角化边，得出，再根据同角三角函数的平方关系得出，由三角形面积公式即可求解． 【详解】由题意，在中，由正弦定理可得，又B为的内角，，的面积，故选：D． 例4、在中，已知角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积是 . 【答案】 【详解】已知，由正弦定理可得. 对于，，已知，，，代入可得，解得.因为，所以. 三角形面积公式为，代入可得. 例5、在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 【答案】(1)；(2)，. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角. （2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. （2）由（1）知，而，由正弦定理得， 由，得，则，， 所以的面积. 题型2、有关“三角形面积”的范围问题 例6．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件结合两角和的正切公式及诱导公式可求出角，再利用正弦定理可得，结合角的范围可得，从而可求出面积的取值范围 【详解】因为， 所以.因为，所以. 由正弦定理得. 由于为锐角三角形，故，.所以.所以. 所以.故选：D. 例7．在锐角中，分别是角所对的边，已知，且则锐角面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理进行边角转化，求得，再用角表示三角形面积，利用正弦函数的性质，结合二倍角公式和辅助角公式化简求值域即可. 【详解】且根据正弦定理得整理得解得 的面积， 为锐角三角形且，，则， ，则故选：C. 例8．在锐角中，角所对的边分别为.已知，则面积的取值范围为__________. 【答案】. 【分析】由正弦定理得，再由面积公式结合的范围可得答案. 【详解】由，得，由正弦定理得，得，又三角形为锐角三角形，所以，且，所以，则 . 题型3、有关“三角形面积”的最值问题 例9．古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为a，b，c，则其面积，其中．现有一个三角形的边长满足，则该三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入海伦公式之后，用基本不等式计算最大值. 【详解】由题意可知， ， ，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以ab的最大值为16，所以三角形面积的最大值． 故选：A． 例10．在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，根据三角形等面积可得；再根据基本不等式可得出，进而可求出面积的最小值. 【详解】 因为，，所以.又因为，所以，.根据等面积法可得：，即，整理得.由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立.则，解得：，此时，时等号成立.故.故选：D 例11．已知中，，，则面积的最大值为（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【分析】先根据余弦定理求出，进而得到的表达式，然后根据基本不等式的性质求出的最大值，最后根据三角形面积公式求出结果. 【详解】根据余弦定理得. 所以. 所以面积. 根据基本不等式的性质可得，所以.当且仅当时等号成立，此时取最大值为25，所以面积的最大值为.故选：C. 例12．在中，内角的对边分别是，且，则面积的最大值为______． 【答案】 【分析】解法1：应用面积公式结合基本不等式计算求解；解法2：应用余弦定理结合同角三角函数关系化简应用基本不等式计算求解；解法3,4：应用圆设三角函数结合三角函数值域计算求解；解法5：应用圆的方程及基本不等式计算求解. 【详解】解法1：由可得，设边上的中点为，连结，根据中线定理得．面积 ， 当且仅当等号成立． 解法2：，，其中为的面积．由余弦定理可知，， 所以 ．因为，所以， 所以，当且仅当且时取到等号． 解法3：因为，所以由余弦定理可知， 所以，等号当且仅当时取到，则， 所以．因为表示点与单位圆上的点连线的斜率，设，所以，所以，所以，所以，所以，且，所以．所以， 即面积的最大值为． 解法4：以的中点为原点，所在直线为轴，中垂线所在直线为轴建立坐标系，则，，设．因为，所以，即．所以点在以为圆心，半径为的圆上（不包括两点）． ，等号当且仅当时取到，所以面积的最大值为． 解法5：同解法4得点在以为圆心，半径的圆上（不包括两点），所以．因为，等号当且仅当时取到，所以面积的最大值为． 题型4、已知三角形面积，求解其他值的问题 例13、在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理计算易得. 【详解】由题意，，可得；由余弦定理，， 代入条件，可得，解得.故选：B. 例14．在中，角，，的对边分别为，，，为的面积.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理、三角形面积公式得，即可求解. 【详解】因为，， 若，则，而，所以，.故选：D. 例15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理及三角形面积公式分别求出即可. 【详解】在中，由三角形面积公式及，得，则，而，解得，，由三角形射影定理得，而，则，又，解得，解得，所以. 故选：B 例17．在中，内角的对边分别为，且，，其中为的面积，则______． 【答案】/ 【分析】先应用正弦定理结合两角差正弦得出，再应用余弦定理计算求解. 【详解】由及正弦定理得，得，又，所以，即．由知，所以，又，所以． 【跟踪训练】 专题06 有关三角形面积的问题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由余弦定理求出长，由求得，代入三角形面积公式计算即得. 【详解】因为，角是锐角，所以，由余弦定理，，解得，所以的面积.故选：B. 2．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B．10 C． D．20 【答案】A 【分析】根据余弦定理解三角形，根据正弦面积公式求出三角形面积. 【详解】，，，， 则，的面积为，故选：A． 3．在中，角的对边分别为，若的面积等于，则的大小为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用三角形的面积公式求得边，再利用余弦定理求得边. 【详解】的面积等于，，解得， 由余弦定理可得，.故选：A． 4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理角化边求出，然后利用基本不等式求出的范围，最后根据面积公式即可求解. 【详解】因为，所以，整理得， 则，解得.因为，所以，取等条件为， 则的面积.故选：A 5．已知在中，角的对边分别为，若，且，则的面积是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由结合题意先求出，再由余弦定理求出的值即可由面积公式得解. 【详解】因为，所以由得，所以，因为，又，则B为锐角，所以，所以，即， 化简为或，所以或，故选：D. 6．设的内角所对应的边分别为，，，其面积，若的周长为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，代入即可求得，再利用正弦定理将边转化为角即可求解. 【详解】由正弦定理有，为的外接圆半径， 所以， 所以，所以，即，又的周长为1，所以， 所以，故选：C. 7．已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，则面积的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意得出；再利用正弦定理、三角恒等变换和同角三角函数基本关系对三角形面积公式进行化简变形得出；最后结合即可得出结果. 【详解】因为在中， ，，所以.又因为为锐角三角形，所以，解得.又因为，所以由正弦定理可得：， 由三角形面积公式可得： . 又因为，所以，则.故，即. 所以面积的取值范围是.故选：B. 8．在中，分别为内角所对的边，已知.设为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件恒等式，求得，然后设，则，利用面积关系可以得到，从而求得；再利用面积关系可以得到，再利用基本不等式求出的取值范围，再根据面积公式计算可得. 【详解】由正弦定理可得,又，所以，由两角和正弦公式可得，，又，所以，所以，即，又，所以，所以即，设，则， ∵，，∴，即，化简得，即，又，解得或（舍去）， 所以，又，所以， 即，即，所以，当且仅当时取等号， 所以，即面积的最小值为.故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的面积，这个公式为海伦公式，是以古希腊数学家海伦的名字命名的．下列结论正确的是（   ） A．若△ABC内切圆的半径为r，则 B．若△ABC不是正三角形，则△ABC的面积S满足 C．△ABC的面积 D．若，，则△ABC面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据面积分割法得，结合海伦公式化简得判断A，结合面积公式利用辅助角公式和基本不等式求得判断B，结合面积公式利用数量积的定义化简得判断C，结合海伦公式利用基本不等式求解面积最值判断D. 【详解】因为△ABC内切圆的半径为r，所以．又， 所以，整理得，A正确． ，当且仅当△ABC是正三角形时，等号成立，所以当△ABC不是正三角形时，，B正确． △ABC的面积，C不正确． 因为，，所以， 则，当且仅当时，等号成立，D正确．故选：ABD 10．已知三个内角的对边分别是，且满足，则面积可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】取特值可判断A；由余弦定理以及三角形的面积公式可得，再利用两次基本不等式得到，可得面积的最大值为可判断B；由，，可判断CD . 【详解】对于A，因为，当时可得：，所以， 所以面积为：，故A正确； 对于B，因为，则，，即，由余弦定理可得：，又，所以①，②， ①＋②可得，又，即，则，即，即，解得，当且仅当时，即，时，等号成立，所以面积的最大值为，故B正确；对于CD，因为，，故CD错误；故选：AB． 11．在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，则面积的最大值为 B．若，，则面积的最大值为 C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，为的中点，且，则面积的最大值为 【答案】BCD 【分析】对A，先由余弦定理得到，再用基本不等式求出AB⋅AC的最大值，最后代入面积公式判断面积最大值；对B，先由余弦定理和b+c=8得到与bc的关系，再用基本不等式求出bc的最大值，最后代入面积公式求最大值；对C，先由角平分线和正弦定理得到b=2c，再代入余弦定理表示，最后通过换元法求面积的最大值；对D，先设BM=x 得到BA=BC=2x，再由余弦定理求出，最后代入面积公式并通过配方求最大值. 【详解】对于A，由余弦定理可得，即， 由基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，所以，A错误； 对于B，由余弦定理可得， 所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，即面积的最大值为，B正确； 对于C，设，，则，，在和中，分别运用正弦定理，得和．因为，所以，即，所以，由余弦定理可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为3，C正确； 对于D，设，则，在中，由余弦定理得， 解得，则，所以 ，所以当即时，，D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，若面积的最大值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式及基本不等式可得面积的最大值，列方程可解得. 【详解】由三角形的面积公式可得，， 当且仅当时取“=”，令，解得. 13．在中，已知角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积是_____. 【答案】 【分析】先根据正弦定理得出边与边的关系，再结合余弦定理求出边的值，进而得到边的值，最后根据三角形面积公式求出的面积. 【详解】已知，由正弦定理可得. 对于，，已知，，，代入可得： ，解得.因为，所以. 三角形面积公式为，代入可得. 14．已知的外接圆半径为，角，，所对的边分别为，，，若，则面积的最大值是________． 【答案】 【分析】根据题意利用正弦定理可得，结合余弦定理可得，，再根据面积公式可得，结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，即，通过正弦定理化角为边可得，又，所以，即，可得，由可得，且，则， 可得面积 ，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求a； (3)若，求△ABC面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化简，再由求解即可. （2）由余弦定理求解即可. （3）由余弦定理以及基本不等式求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理得，． 因为，所以，则，即．因为，所以． （2）根据余弦定理得，即，解得或（舍去），故． （3）由余弦定理得，∴， 解得，当且仅当时取等号， 的面积，所以面积最大值为. 16．如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边． (1)设，求三角形铁皮的面积； (2)设为，请用函数表示铁皮三角形的面积，并求出面积的最大值． 参考公式： 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设交交于点由，利用锐角三角函数可求，，进而可求，，代入可求 （2）设，由，结合三角函数的定义可求，，代入三角形的面积公式展开利用换元法，令，转化为二次函数的最值求解. 【详解】（1）设，则， 则，，故； （2）设，，，则， ， 令，则， ，，则，所以 ，即三角形面积的最大值为. 17．在中，，，分别为内角，，的对边，且，. (1)若，求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解. （2）余弦定理可得，所以，令， 则，即，即，所以， 解得，即可得解. 【详解】（1）若则，由余弦定理得 （2）由余弦定理：且，，可得，， 而，令，则，即， 可得，，其中，的终边经过点， 因此，取为锐角，所以，所以，解得.所以最大值为. 18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）应用正弦边角关系，结合诱导公式、二倍角正弦公式化简得，即可求角； （2）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【详解】（1）由已知及正弦边角关系得，因为，所以，而，所以，，，所以，，故，即； （2）因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以，设，，在中，由正弦定理，所以，即，，所以 ，因为，为锐角三角形，所以，即，所以，即， 则，所以面积的取值范围为. 19．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立； （2）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即，由余弦定理可得，所以，所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2）由正弦定理可得，所以，， 所以 ，因为，所以， 令，函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数，所以，即，因此， 即面积的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高中数学必修二微专题——06 有关三角形面积的问题 一、题型梳理 题型1、有关求解三角形面积的问题 题型2、有关“三角形面积”的范围问题 题型3、有关“三角形面积”的最值问题 题型4、已知三角形面积，求解其他值的问题 二、知识梳理 常见求面积的方法： 已知条件 求面积方法 一边及其对应高 . 两边及其夹角 . 三边 海伦公式：，其中. 两角一边 正弦定理 + 两边夹角公式 涉及内切、 外接圆半径 （为内切圆半径） （为外接圆半径） 三、典例讲解 题型1、有关求解三角形面积的问题 例1．在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 例2．在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（    ） A． B． C． D．3 例3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积（    ） A．1 B． C． D． 例4、在中，已知角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积是 . 例5、在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 题型2、有关“三角形面积”的范围问题 例6．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例7．在锐角中，分别是角所对的边，已知，且则锐角面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例8．在锐角中，角所对的边分别为.已知，则面积的取值范围为__________. 题型3、有关“三角形面积”的最值问题 例9．古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为a，b，c，则其面积，其中．现有一个三角形的边长满足，则该三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 例10．在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 例11．已知中，，，则面积的最大值为（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 例12．在中，内角的对边分别是，且，则面积的最大值为______． 题型4、已知三角形面积，求解其他值的问题 例13、在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 例14．在中，角，，的对边分别为，，，为的面积.若，则（    ） A． B． C． D． 例15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 例17．在中，内角的对边分别为，且，，其中为的面积，则______． 【跟踪训练】 专题06 有关三角形面积的问题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 2．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B．10 C． D．20 3．在中，角的对边分别为，若的面积等于，则的大小为（    ） A． B． C．4 D． 4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．已知在中，角的对边分别为，若，且，则的面积是（     ） A． B． C．或 D．或 6．设的内角所对应的边分别为，，，其面积，若的周长为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 7．已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，则面积的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．在中，分别为内角所对的边，已知.设为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的面积，这个公式为海伦公式，是以古希腊数学家海伦的名字命名的．下列结论正确的是（   ） A．若△ABC内切圆的半径为r，则 B．若△ABC不是正三角形，则△ABC的面积S满足 C．△ABC的面积 D．若，，则△ABC面积的最大值为 10．已知三个内角的对边分别是，且满足，则面积可能是（   ） A． B． C． D． 11．在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，则面积的最大值为 B．若，，则面积的最大值为 C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，为的中点，且，则面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，若面积的最大值为，则的值为 ． 13．在中，已知角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积是_____. 14．已知的外接圆半径为，角，，所对的边分别为，，，若，则面积的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求a； (3)若，求△ABC面积的最大值. 16．如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边． (1)设，求三角形铁皮的面积； (2)设为，请用函数表示铁皮三角形的面积，并求出面积的最大值． 17．在中，，，分别为内角，，的对边，且，. (1)若，求； (2)求面积的最大值. 18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 19．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)若，求三角形面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $