第10讲 正态分布（知识清单+7题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（苏教版选择性必修第二册）数学高二重难点讲义与测试

第10讲 正态分布 知识清单 知识点01：正态曲线及性质 知识点02：正态分布 题型讲解 （举一反三） 题型1：正态曲线的性质 题型2：标准正态分布的应用 题型3：特殊区间的概率 题型4：指定区间的概率 题型5：正态分布的实际应用 题型6：根据正态曲线的对称性求参数 题型7： 3δ原则 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ＞0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时， 曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定： 知识点02正态分布 定义及 表示 如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2) 三个常 用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4 [方法技巧] 利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断． 对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知： (1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)； (2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0); (3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．　　 　[方法技巧] 解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴x＝μ. (2)标准差σ. (3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．　 题型1：正态曲线的性质 【例1-1】（24-25高二下·江苏无锡·月考）若随机变量X服从正态分布，随机变量Y服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布的期望和方差公式以及对称性，即可判断选项. 【详解】由正态分布的性质可知，，则，故A错误； ，则，故B错误； 随机变量所服从的正态分布密度曲线关于轴对称，所以，故C正确； ， ，，故D错误. 故选：C 【变式1-1】已知随机变量，，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得到，再由得到，最后根据得出. 【详解】由于服从正态分布，且， 故其均值. 而服从二项分布，故， 再由，就有，得. 故选：C. 【变式1-2】函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   【答案】A 【分析】函数图象的对称轴为直线，由判断各选项.. 【详解】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高二下·江苏南通·月考）若随机变量，且，则 . 【答案】1 【分析】根据正态分布的对称性可求代数式的值. 【详解】由题意有正态分布曲线的对称轴是，所以， 故答案为：. 题型2： 标准正态分布的应用 【例2-1】已知两个随机变量，满足，且，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】结合正态分布的方差，以及方差的性质求解即可 【详解】由题，，则，又，， 故选：D 【变式2-1】记（k，b为实常数），若，，则 . 【答案】-3或3 【分析】随机变量 正态分布，则均值为，方差为；若，随机变量服从正态分布，则的均值为，方差为，代入公式计算即可. 【详解】由题知，，则随机变量（为实常数），服从的分布为 ，而又因为，所以有，解得或，所以-3或3. 故答案为-3或3. 【变式2-2】随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则 . 【答案】/ 【分析】由标准正态分布的定义结合期望和方差的性质计算即可. 【详解】随机变量Y服从正态分布，所以， 因为随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布， 所以， 所以，. 即，解得，则. 故答案为：. 【变式2-3】设，求，. 【答案】；． 【分析】根据随机变量，，得，由标准正态分布表，即可求得结论． 【详解】根据随机变量，，得， 题型3： 特殊区间的概率 【例3-1】在某项测验中，假设测验数据服从正态分布.如果按照，，，的比例将测验数据从大到小分为，，，四个等级，则等级为的测验数据的最小值可能是（    ） 【附：随机变量服从正态分布，则，，】 A．75 B．79 C．83 D．91 【答案】B 【分析】设测验数据为，依题意，根据正态分布的性质可得，即可得解. 【详解】设测验数据为，依题意，则，， 设等级为的测验数据的最小值为，则， 因为，所以， 所以，所以的可能取值为. 故选：B 【变式3-1】已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布N，则此次考试成绩在区间内的学生大约有（    ） A．477人 B．136人 C．341人 D．131人 【答案】B 【分析】求得此次考试成绩在区间的概率，再求在此区间的人数即可. 【详解】根据题意，， 则， 故此次考试成绩在区间内的学生大约有人. 故选：B. 【变式3-2】对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差，为使误差在内的概率不小于0.683，至少要测量 次.（附：若，则） 【答案】16 【分析】依题意根据正态曲线的性质，即可得到不等式，解得即可. 【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差在内的概率不小于0.683， 则且，，所以，可得. 故答案为：16. 【变式3-3】已知，则 . 附：若，则，. 【答案】 【分析】根据已知条件，利用正态曲线的对称性，即可求得答案. 【详解】， . 故答案为： 题型4： 指定区间的概率 【例4-1】（24-25高二下·江苏徐州·期末）若随机变量，且，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性可求概率. 【详解】因为，故， 故， 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二下·江苏连云港·期末）如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，且， 则. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知随机变量，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】随机变量， 正态分布图象关于对称， ， ， ， . 故答案为： 【变式4-3】设，试求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)0.683 (2)0.1355 (3)0.023 【分析】 根据题意，结合正态分布曲线的对称性，这个计算，即可求解. 【详解】（1）解：因为随机变量，可得， 则. （2）解：由， 所以. （3）解：因为, 所以. 题型5： 正态分布的实际应用 【例5-1】某体育器材厂生产一批足球，单个足球的质量Y（单位：克）服从正态分布，从这一批足球中随机抽检500个，则被抽检的足球的质量不小于396克的个数约为（    ） 附：若随机变量X服从正态分布，则 A．341 B．421 C．477 D．489 【答案】D 【分析】根据题意，结合正态分布曲线的对称性，求得量不小于396克的概率为，进而求得个数，得到答案. 【详解】由题意，随机变量，可得， 根据正态分布曲线的对称性，可得质量不小于396克的概率为:， 所以被抽检的足球的质量不小于396克的个数约为人. 故选：D. 【变式5-1】（24-25高二下·江苏扬州·期末）某所高中高一、高二、高三学生人数占全校总人数的比分别为，和．在某次期中考试中，各年级数学成绩均近似服从正态分布：高一成绩，高二成绩，高三成绩，现从全校学生中随机抽取一名学生，记其成绩为X，则最接近的值是（    ） 参考数据：若，则，． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的性质结合条件即得. 【详解】由随机变量服从正态分布， 所以 同理； 由随机变量服从正态分布，， 所以 . 故选：A. 【变式5-2】某中学 1600 名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩近似服从正态分布 ，已知成绩小于 130的有 300 人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在 次之间的人数约为 . 【答案】500 【分析】利用正态曲线的对称性可求答案. 【详解】因为成绩服从正态分布 ，即正态曲线关于对称， 因为成绩小于 130的有 300 人，所以， 所以，人数约为. 故答案为:500 【变式5-3】在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩ξ近似服从正态分布.已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名. (1)此次参赛的学生总数约为多少人？ (2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，则设奖的分数线约为多少分？ 【答案】(1)526人 (2)83.1分 【分析】（1）根据正态分布的性质，求解成绩在90分以上(含90分)的概率，即可求解总人数； （2）先求解受奖人数的概率，再通过查表计算分数即可. 【详解】（1）因为，所以． 由条件知，. 这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的， 所以参赛总人数约为. （2）假定设奖的分数线为x分，则，故． 又. 即，查表得，解得. 故设奖的分数线约为分． 题型6： 根据正态曲线的对称性求参数 【例6-1】（24-25高二下·江苏南通·期末）已知随机变量，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据正态分布均值的含义，利用正态曲线的对称性求解即可． 【详解】由随机变量，且， 则，求得，故C正确. 故选：C. 【变式6-1】（24-25高二下·江苏南京·期末）设随机变量，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由正态分布曲线的性质可知，正态分布密度曲线关于对称， 所以，得. 故选：C 【变式6-2】（2024高二上·江苏·专题练习）已知随机变量，且，则 ． 【答案】12 【分析】根据正态分布曲线的对称性可解． 【详解】因为随机变量， 则该正态分布曲线的对称轴为， 又， 则， 则． 故答案为：12． 【变式6-3】某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩，标准差，总体服从正态分布，若全市重点学校录取率为，那么重点学校录取分数线可能划在多少分？（已知） 【答案】分 【分析】根据可得，由此可解得结果. 【详解】由题意知：， 设重点学校录取分数线可能划在分， 则，， 又，，解得：， 重点学校录取分数线可能划在分. 题型7： 3δ原则 【例7-1】（24-25高二下·江苏·期末）某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．已知时，有，则下列说法正确的是（   ） A．该地小麦的平均株高约为10cm B．该地小麦株高的方差约为10 C．该地株高超过110cm的小麦约占 D．该地株高低于130cm的小麦约占 【答案】D 【分析】应用正态分布的性质判断A，B，应用概率值及对称性计算对应概率值判断C，D. 【详解】某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布． 该地小麦的平均株高约为cm，A选项错误； 该地小麦株高的方差约为，B选项错误； 因为，该地株高超过110cm的小麦约占，C选项错误； 因为，该地株高超过130cm的小麦约占， 则该地株高低于130cm的小麦约占，D选项正确. 故选：D. 【变式7-1】某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布，则 ．（精确到0.01） 参考数据：若，则，，． 【答案】 【分析】根据正态分布的参数，结合参考数据，利用对称性，即可求解. 【详解】， . 故答案为： 【变式7-2】（24-25高二下·江苏·课后作业）设，试求. 【答案】0.023 【分析】首先利用对称性，得到，再结合原则，求解概率. 【详解】由可知，， , , 【变式7-3】设，试求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 根据原则和正态分布曲线的对称性依次求解即可. 【详解】（1），，， . （2） . （3）. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知随机变量，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】随机变量，由，得， 所以. 故选：C 2．（24-25高二下·江苏无锡·月考）已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【分析】根据正太分布的对称性和性质直接求出即可. 【详解】因为随机变量服从的正态分布曲线的对称轴为. 因为，所以. 又，所以. 故选：B. 3．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）如果随机变量，且，那么的值为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.8 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性和性质求出某区间的概率. 【详解】因为随机变量，， 所以. 根据正态分布的对称性可得. 所以. 故选：A. 4．（24-25高二下·江苏连云港·期中）设随机变量服从正态分布，记，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【分析】根据正态曲线的对称性，可得，即可由求得答案. 【详解】因，则， 由和正态曲线的对称性，可得， 故. 故选：B. 5．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数（    ） A．－2 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性可求实数的值. 【详解】因为， 故，故， 故选：D. 6．（24-25高二下·江苏徐州·期中）对某市数学考试成绩的数据分析，成绩服从正态分布.从该市中任选1名参加考试的学生，则这名学生数学成绩在分之间的概率约为（    ） 参考数据：若随机变量，则，. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为，所以，， 所以 ， 即这名学生数学成绩在分之间的概率约为. 故选：A 7．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用正态分布对称性和概率性质计算即可. 【详解】解：对于，，故A错误； 对于，因为， 所以 ，故B错误； 对于C，显然， 所以， 所以，故C正确； 对于，因为， 所以，故D错误． 故选：C． 8．（24-25高二下·江苏南京·月考）若随机变量，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由正态分布的对称性有，再应用“1”的代换和基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由题设，则， 当且仅当时取等号，即的最小值为2. 故选：D 二、多选题 9．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量X服从正态分布且，则下列选项中一定正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】由期望的性质求判断A；由已知及正态分布的对称性有判断B；利用正态分布的对称性得，即可求判断C；令判断D. 【详解】由题设，则，A对； 由及正态分布的对称性，有，可得，B错； 由，结合对称性，则， 所以，C对； 当，有，D错. 故选：AC 10．（24-25高二下·江苏南京·期中）下列命题中，真命题有（   ） A．若随机变量 则 B．若随机变量，且 则 C．若随机变量则 D．若事件满足且则与独立 【答案】BCD 【分析】对于A：利用二项分布的方差公式求解；对于B：通过分布概率公式计算即可；对于C：利用正态分布的对称性计算；对于D：利用独立事件的概念判断. 【详解】选项A：因为， 所以， 故A错误；     选项B：因为随机变量且， 所以，所以， 故B选项正确； 选项C：因为， 所以， 故C选项正确； 选项D：因为， 所以与相互独立，则 A 与 �� 独立. 故选项D正确； 故选：BCD. 11．（24-25高二下·江苏苏州·期末）设随机变量，则（   ） A． B． C． D．在上单调递增 【答案】BD 【分析】由正态分布的性质判断ABC，结合函数单调性的定义判断D. 【详解】对于A，随机变量，则随机变量的方差为1，均值为0， 所以正态分布曲线关于轴对称，则，错误； 对于B，， ， 所以，即，正确； 对于C，， ，错误； 对于D，，且随机变量， 则函数在上是单调增函数，正确． 故选：BD 三、填空题 12．已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 【答案】 【分析】根据条件，得到，再利用正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由，得到， 所以， 故答案为：. 13．（24-25高二下·江苏南京·月考）已知随机变量X服从正态分布，且，则_________． 【答案】/ 【分析】根据正态分布的对称性可求指定区间上的概率. 【详解】因为，故，故， 故答案为： 14．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某次调研测试中考生成绩X服从正态分布若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为_________． 【答案】/0.15625 【分析】首先利用正态分布的性质求出考生成绩高于90的概率，然后可求出至少2名考生成绩高于90的概率. 【详解】因为，服从正态分布， 所以，所以. 所以从3名考生中，至少有2名考生的成绩高于90的概率为： . 故答案为：. 四、解答题 15．（22-23高二下·江苏·课后作业）已知随机变量，且其正态密度曲线在上单调递增，在上单调递减，且. (1)求参数的值； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正态分布曲线单调性可得，由特殊区间概率值可求得； （2）根据原则和正态分布曲线的对称性直接求解即可. 【详解】（1）正态密度曲线在上单调递增，在上单调递减，， 又，，解得：. （2）. 16．（24-25高二上·江苏·假期作业）某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼． (1)为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率； (2)经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为，标准差记为，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？ 附：若随机变量，则，，． 【答案】(1)． (2)该校高二年级学生体能检测成绩合格． 【分析】（1）利用条件概率计算公式即可求得甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率； （2）利用正态分布的性质即可求得全年级不合格人数总人数的百分比，与比较后即可得到该年级体能检测是否达标． 【详解】（1）设“甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜”为事件， “甲以或或获胜”分别记为事件，，， “甲前3局比赛均获胜”为事件． 则， ， ， ． ， ， 所以甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下， 前3局比赛均获胜的概率． （2）设该校高二年级学生体能检测的成绩为，则． ， 所以， 所以高二年级学生体能检测不合格的人数约为人， 而，所以该校高二年级学生体能检测成绩合格． 17．某批待出口的水果罐头，每罐净重（单位:）服从正态分布，求: (1)随机抽取1罐，其净重超过的概率; (2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率. （参考数据:） 【答案】(1)0.4207 (2)0.9544. 【分析】将正态分布转化为标准正态分布形式，结合正态分布的对称性求概率即可. 【详解】（1）. 故随机抽取1罐，其净重超过的概率是0.4207. （2） . 故随机抽取1罐，其净重在与之间的概率为0.9544. 18．第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕.某校为了解学生对新闻大事的关注度，在该校随机抽取了100名学生进行问卷调查，问卷成绩近似服从正态分布，且. (1)估计抽取学生中问卷成绩在90分以上的学生人数； (2)若本次问卷调查的得分不低于80分，则认为该学生对新闻大事关注度极高，在该校随机抽取10名学生，记对新闻大事关注度极高的学生人数为，求的期望. 【答案】(1)10； (2) 【分析】（1）结合正态分布密度曲线的对称性求出问卷成绩在90分以上的学生概率，由此可求问卷成绩在90分以上的学生人数； （2）先求出问卷成绩在80分以上的学生概率，结合二项分布定义和期望公式求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以， 即抽取学生中问卷成绩在90分以上的学生的概率为, 所以抽取学生中问卷成绩在90分以上的学生的人数为， （2）由（1）， 所以任意抽取一学生，该学生对新闻大事关注度极高的概率为， 由已知， 所以的分布列为：，， 所以. 19．《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2023年远景目标纲要》指出：要加强原创性、引领性科技攻关，坚决打赢关键核心技术攻坚战.某企业集中科研骨干力量，攻克系列关键技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，工艺段覆盖至，为我国芯片制造产业链补上重要一环.该企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进. (1)该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在改进生产工艺前，前三道工序的次品率分别为. ①求改进生产工艺前，该款芯片的次品率； ②在第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，求证：； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间. ①若，以使得的最大值作为的估计值，求； ②记这个芯片的质量指标的标准差为，其中个芯片的质量指标的平均数为，标准差为，剩余芯片的质量指标的平均数为，标准差为，试写出的计算式. 参考数据：. 【答案】(1)①；②证明见解析. (2)①；② 【分析】（1）①根据相互独立事件及对立事件求解即可； ②利用条件概率公式及性质证明即可. （2）①由已知可推得，， 根据已知以及正态分布的对称性，可求得.则，，设， 求出函数的最大整数值，即可得出答案. ②利用样本平均数及方差公式化简即可求解. 【详解】（1）①改进生产工艺前，该款芯片的次品率为 . ②由题意，所以，所以， 又， 所以，即， 所以，即，所以. （2）①由已知可得，. 又， 所以，. 设， 令， 所以，所以. 令， 所以，所以. 所以使得最大的M值作为M的估计值，则M为. ②记，这个芯片的质量指标的平均数为：，则 又 同理， 所以 ， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 正态分布 知识清单 知识点01：正态曲线及性质 知识点02：正态分布 题型讲解 （举一反三） 题型1：正态曲线的性质 题型2：标准正态分布的应用 题型3：特殊区间的概率 题型4：指定区间的概率 题型5：正态分布的实际应用 题型6：根据正态曲线的对称性求参数 题型7： 3δ原则 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ＞0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时， 曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定： 知识点02正态分布 定义及 表示 如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2) 三个常 用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4 [方法技巧] 利用正态曲线的对称性求概率是常见的正态分布应用问题．解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断． 对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知： (1)对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)； (2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0); (3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．　　 　[方法技巧] 解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴x＝μ. (2)标准差σ. (3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．　 题型1：正态曲线的性质 【例1-1】（24-25高二下·江苏无锡·月考）若随机变量X服从正态分布，随机变量Y服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知随机变量，，且，，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   【变式1-3】（24-25高二下·江苏南通·月考）若随机变量，且，则 . 题型2： 标准正态分布的应用 【例2-1】已知两个随机变量，满足，且，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-1】记（k，b为实常数），若，，则 . 【变式2-2】随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则 . 【变式2-3】设，求，. 题型3： 特殊区间的概率 【例3-1】在某项测验中，假设测验数据服从正态分布.如果按照，，，的比例将测验数据从大到小分为，，，四个等级，则等级为的测验数据的最小值可能是（    ） 【附：随机变量服从正态分布，则，，】 A．75 B．79 C．83 D．91 【变式3-1】已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩服从正态分布N，则此次考试成绩在区间内的学生大约有（    ） A．477人 B．136人 C．341人 D．131人 【变式3-2】对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差，为使误差在内的概率不小于0.683，至少要测量 次.（附：若，则） 【变式3-3】已知，则 . 附：若，则，. 题型4： 指定区间的概率 【例4-1】（24-25高二下·江苏徐州·期末）若随机变量，且，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【变式4-1】（24-25高二下·江苏连云港·期末）如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知随机变量，若，则 ． 【变式4-3】设，试求： (1)； (2)； (3). 题型5： 正态分布的实际应用 【例5-1】某体育器材厂生产一批足球，单个足球的质量Y（单位：克）服从正态分布，从这一批足球中随机抽检500个，则被抽检的足球的质量不小于396克的个数约为（    ） 附：若随机变量X服从正态分布，则 A．341 B．421 C．477 D．489 【变式5-1】（24-25高二下·江苏扬州·期末）某所高中高一、高二、高三学生人数占全校总人数的比分别为，和．在某次期中考试中，各年级数学成绩均近似服从正态分布：高一成绩，高二成绩，高三成绩，现从全校学生中随机抽取一名学生，记其成绩为X，则最接近的值是（    ） 参考数据：若，则，． A． B． C． D． 【变式5-2】某中学 1600 名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩近似服从正态分布 ，已知成绩小于 130的有 300 人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在 次之间的人数约为 . 【变式5-3】在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩ξ近似服从正态分布.已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名. (1)此次参赛的学生总数约为多少人？ (2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，则设奖的分数线约为多少分？ 题型6： 根据正态曲线的对称性求参数 【例6-1】（24-25高二下·江苏南通·期末）已知随机变量，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】（24-25高二下·江苏南京·期末）设随机变量，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】（2024高二上·江苏·专题练习）已知随机变量，且，则 ． 【变式6-3】某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩，标准差，总体服从正态分布，若全市重点学校录取率为，那么重点学校录取分数线可能划在多少分？（已知） 题型7： 3δ原则 【例7-1】（24-25高二下·江苏·期末）某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．已知时，有，则下列说法正确的是（   ） A．该地小麦的平均株高约为10cm B．该地小麦株高的方差约为10 C．该地株高超过110cm的小麦约占 D．该地株高低于130cm的小麦约占 【变式7-1】某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布，则 ．（精确到0.01） 参考数据：若，则，，． 【变式7-2】（24-25高二下·江苏·课后作业）设，试求. 【变式7-3】设，试求： (1)； (2)； (3). 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知随机变量，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2．（24-25高二下·江苏无锡·月考）已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.8 3．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）如果随机变量，且，那么的值为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.8 4．（24-25高二下·江苏连云港·期中）设随机变量服从正态分布，记，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 5．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数（    ） A．－2 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高二下·江苏徐州·期中）对某市数学考试成绩的数据分析，成绩服从正态分布.从该市中任选1名参加考试的学生，则这名学生数学成绩在分之间的概率约为（    ） 参考数据：若随机变量，则，. A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏南京·月考）若随机变量，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 9．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量X服从正态分布且，则下列选项中一定正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 10．（24-25高二下·江苏南京·期中）下列命题中，真命题有（   ） A．若随机变量 则 B．若随机变量，且 则 C．若随机变量则 D．若事件满足且则与独立 11．（24-25高二下·江苏苏州·期末）设随机变量，则（   ） A． B． C． D．在上单调递增 三、填空题 12．已知随机变量服从正态分布，若，则__________. 13．（24-25高二下·江苏南京·月考）已知随机变量X服从正态分布，且，则_________． 14．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某次调研测试中考生成绩X服从正态分布若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为_________． 四、解答题 15．（22-23高二下·江苏·课后作业）已知随机变量，且其正态密度曲线在上单调递增，在上单调递减，且. (1)求参数的值； (2)求. 16．（24-25高二上·江苏·假期作业）某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼． (1)为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率； (2)经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为，标准差记为，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？ 附：若随机变量，则，，． 17．某批待出口的水果罐头，每罐净重（单位:）服从正态分布，求: (1)随机抽取1罐，其净重超过的概率; (2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率. （参考数据:） 18．第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕.某校为了解学生对新闻大事的关注度，在该校随机抽取了100名学生进行问卷调查，问卷成绩近似服从正态分布，且. (1)估计抽取学生中问卷成绩在90分以上的学生人数； (2)若本次问卷调查的得分不低于80分，则认为该学生对新闻大事关注度极高，在该校随机抽取10名学生，记对新闻大事关注度极高的学生人数为，求的期望. 19．《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2023年远景目标纲要》指出：要加强原创性、引领性科技攻关，坚决打赢关键核心技术攻坚战.某企业集中科研骨干力量，攻克系列关键技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，工艺段覆盖至，为我国芯片制造产业链补上重要一环.该企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进. (1)该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在改进生产工艺前，前三道工序的次品率分别为. ①求改进生产工艺前，该款芯片的次品率； ②在第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，求证：； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间. ①若，以使得的最大值作为的估计值，求； ②记这个芯片的质量指标的标准差为，其中个芯片的质量指标的平均数为，标准差为，剩余芯片的质量指标的平均数为，标准差为，试写出的计算式. 参考数据：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $