第10讲 向量的坐标表示（知识清单+8题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（沪教版必修二）数学高一重难点讲义与测试

第10讲 向量的坐标表示 知识清单 知识点01：平面向量的基底、坐标、坐标表示、特殊向量的坐标 知识点02：平面向量的加减法坐标运算 知识点03：平面向量数乘运算的坐标表示 知识点04：平面向量共线的坐标表示与中点坐标公式 知识点05：两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 知识点06：与向量的模、夹角相关的三个重要公式 题型讲解 （举一反三） 题型1：基底的概念及辨析 题型2：利用平面向量基本定理求参数 题型3：平面向量线性运算的坐标表示 题型4：数量积的坐标表示 题型5：向量垂直的坐标表示 题型6：利用向量垂直求参数 题型7：向量夹角的坐标表示 题型8：由向量共线（平行）求参数 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 平面向量的基底、坐标、坐标表示、特殊向量的坐标 （1）基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底. （2）坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对（x，y）叫做向量a的坐标. （3）坐标表示：a＝（x，y）. （4）特殊向量的坐标：i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）. 知识点02 平面向量的加减法坐标运算 设向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），λ∈R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2） 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝（x 1－x 2，y 1－y 2） 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则＝（x 2－x 1，y 2－y 1） 知识点03 平面向量数乘运算的坐标表示 设向量a＝（x，y），则有λa＝（λx，λy），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识点04 平面向量共线的坐标表示与中点坐标公式 设a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），其中b≠0.向量a，b（b≠0）共线的充要条件是x 1 y 2－x 2 y 1＝0. 中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段P 1P 2的中点P的坐标为（x，y），则.此公式为线段P 1 P 2的中点坐标公式. 知识点05 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ. 数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x 1 x 2＋y 1 y 2 向量垂直：a⊥b⇔x 1 x 2＋y 1 y 2＝0 知识点06 与向量的模、夹角相关的三个重要公式 ①向量的模：设a＝（x，y），则|a|＝. ②两点间的距离公式：若A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则||＝. ③向量的夹角公式：设两非零向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ，则 题型1：基底的概念及辨析 【例1-1】（24-25高一下·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-1】已知、是平面向量的一组基底．则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【变式1-2】已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，，当______时，向量，不能作为平面向量的一组基底. 题型2：利用平面向量基本定理求参数 【例2-1】（24-25高一下·上海青浦·期中）已知、为两个不平行的非零向量，则是的（    ）条件 A．充要 B．既不充分也不必要 C．充分非必要 D．必要非充分 【变式2-1】（24-25高一下·上海·期中）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点， ，则 _____. 【变式2-2】（24-25高一下·上海·期中）如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=____ 【变式2-3】已知的夹角为，，是否存在实数k，使？并说明理由. 题型3：平面向量线性运算的坐标表示 【例3-1】（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知向量，则_____. 【变式3-1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则_________． 【变式3-2】（24-25高一下·上海·月考）已知，点满足，则点的坐标为________． 【变式3-3】已知向量，．求，，． 题型4：数量积的坐标表示 【例4-1】剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD的边长为4，点P在四段圆弧上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·上海·期末）若，则在方向上的投影是_____ 【变式4-2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为_________． 【变式4-3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知点， (1)求； (2)若，求的取值范围； (3)若为直线上一动点，问：在什么位置时取到最小值？且最小值是多少？ 题型5：向量垂直的坐标表示 【例5-1】（24-25高一下·上海·月考）已知，则与垂直的单位向量的坐标为________． 【变式5-1】设向量，若，则__________． 【变式5-2】在中，已知A、B、C三点的坐标分别为、、，求证：是直角三角形． 【变式5-3】已知向量，． (1)求； (2)若向量与互相垂直，求的值． 题型6：利用向量垂直求参数 【例6-1】已知向量，如果向量与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式6-1】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，，若，则______. 【变式6-2】已知向量，，若，则实数_________. 【变式6-3】已知向量，，且与垂直，求实数的值． 题型7：向量夹角的坐标表示 【例7-1】（24-25高一下·上海黄浦·期末）若向量，则___________． 【变式7-1】若，，则______. 【变式7-2】（24-25高一下·上海宝山·月考）已知向量满足. (1)求与的夹角余弦值； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标. 【变式7-3】（24-25高一下·上海·课堂例题）已知，，若与的夹角为钝角，求的取值范围. 题型8：由向量共线（平行）求参数 【例8-1】（24-25高一下·上海·期末）设， 已知向量 若 则x=（   ） A．2 B．- 2 C． D． 【变式8-1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量，且，则实数的值为_________． 【变式8-2】（24-25高一下·上海松江·月考）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_____ 【变式8-3】（24-25高一下·上海·期末）已知向量； (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的大小. 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，，若，，三点共线，则________． 2．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知向量，，若，则等于______． 3．已知x、y是实数，向量，不平行，若，则______． 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量，若，则的值为___________. 5．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，若，则___________． 6．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，则在上的投影向量为_________．（用坐标形式表示） 7．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知向量，向量在方向上的投影向量为，则______________． 8．（24-25高一下·上海·月考）若向量，则在方向上的投影向量的坐标为______． 9．（24-25高一下·上海松江·月考）已知点是的重心，若存在实数使得成立，则的值是_____ 10．（24-25高一下·上海·期中）已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为_________． 11．（24-25高一下·上海·期中）已知平面向量，，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________． 12．（23-24高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______. 二、单选题 13．（24-25高一下·上海·期中）向量在上的投影为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·上海·期中）设平面向量，若与不能作为平面向量的一组基底，则（    ） A．2 B． C． D．0 15．（24-25高一下·上海·期中）已知，，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知集合是平面直角坐标系内的点集，为坐标原点.若任取，，均存在不全为0的实数，，使得，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知两个向量和满足，； (1)求的模； (2)求和的夹角； 18．（24-25高一下·上海·期末）已知平面上的两个向量． (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值． 19．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知中三点的坐标分别是， (1)求； (2)求证：直角三角形． 20．（24-25高一下·上海·月考）如图，扇形所在圆的半径为2，，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动（包含端点），且总有，设，． (1)若，用，表示； (2)求的取值范围． 21．（24-25高一下·上海·期中）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量的数量积记作，定义为，复向量的模定义为.记为虚数单位. (1)设，求复向量与的模； (2)对两个复向量与，若时，称与平行.设，，是否存在实数，使与平行，若存在，求出；若不存在，请说明理由. (3)我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 向量的坐标表示 知识清单 知识点01：平面向量的基底、坐标、坐标表示、特殊向量的坐标 知识点02：平面向量的加减法坐标运算 知识点03：平面向量数乘运算的坐标表示 知识点04：平面向量共线的坐标表示与中点坐标公式 知识点05：两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 知识点06：与向量的模、夹角相关的三个重要公式 题型讲解 （举一反三） 题型1：基底的概念及辨析 题型2：利用平面向量基本定理求参数 题型3：平面向量线性运算的坐标表示 题型4：数量积的坐标表示 题型5：向量垂直的坐标表示 题型6：利用向量垂直求参数 题型7：向量夹角的坐标表示 题型8：由向量共线（平行）求参数 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 平面向量的基底、坐标、坐标表示、特殊向量的坐标 （1）基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底. （2）坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对（x，y）叫做向量a的坐标. （3）坐标表示：a＝（x，y）. （4）特殊向量的坐标：i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）. 知识点02 平面向量的加减法坐标运算 设向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），λ∈R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2） 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝（x 1－x 2，y 1－y 2） 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则＝（x 2－x 1，y 2－y 1） 知识点03 平面向量数乘运算的坐标表示 设向量a＝（x，y），则有λa＝（λx，λy），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识点04 平面向量共线的坐标表示与中点坐标公式 设a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），其中b≠0.向量a，b（b≠0）共线的充要条件是x 1 y 2－x 2 y 1＝0. 中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段P 1P 2的中点P的坐标为（x，y），则.此公式为线段P 1 P 2的中点坐标公式. 知识点05 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ. 数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x 1 x 2＋y 1 y 2 向量垂直：a⊥b⇔x 1 x 2＋y 1 y 2＝0 知识点06 与向量的模、夹角相关的三个重要公式 ①向量的模：设a＝（x，y），则|a|＝. ②两点间的距离公式：若A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则||＝. ③向量的夹角公式：设两非零向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ，则 题型1：基底的概念及辨析 【例1-1】（24-25高一下·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由基的定义可判断选项正误. 【详解】因、是平面上的一组基，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基， D选项，与共线，则不可以作为一组基. 故选：D 【变式1-1】已知、是平面向量的一组基底．则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【分析】验证四个选项中的两向量是否共线，从而得到答案. 【详解】A选项，、是平面向量的一组基底，故、为不共线的非零向量， 设，故，无解，故、为不共线的非零向量， 故可以作为一组基底，A错误； B选项，设，解得，无解，故、为不共线的非零向量，B错误； C选项，设， 故，无解，故，为不共线的非零向量，C错误； D选项，，故、共线，故不能作为基底，D正确. 故选：D 【变式1-2】已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可以作为一组基底的条件为两个向量不共线，分别判断选项中的向量是否共线即可. 【详解】对于A，，故共线，故A错误； 对于B，，故共线，故B错误； 对于C，，故共线，故C错误； 对于D，设，，则， 所以，无解，故不共线，故D正确. 故选：D. 【变式1-3】已知，，当______时，向量，不能作为平面向量的一组基底. 【答案】 【分析】利用向量共线即可求解. 【详解】要使向量，不能作为平面向量的一组基底，则向量，共线， ， ， ， ， 即当向量，不能作为平面向量的一组基底. 故答案为： 题型2：利用平面向量基本定理求参数 【例2-1】（24-25高一下·上海青浦·期中）已知、为两个不平行的非零向量，则是的（    ）条件 A．充要 B．既不充分也不必要 C．充分非必要 D．必要非充分 【答案】A 【分析】根据平面向量的基本定理，结合基底的性质确定参数值，即可得条件间的关系. 【详解】由、为两个不平行的非零向量，且，则必有，反之亦成立， 所以是的充要条件. 故选：A 【变式2-1】（24-25高一下·上海·期中）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点， ，则 _____. 【答案】 【分析】根据平面向量共线定理及加法的三角形法则得到向量的表达式，再由平面向量基本定理得到的值，即可求出的值. 【详解】 如图，在平行四边形中， 因为为边上靠近点的三等分点， 所以， 所以， 所以，即. 故答案为： 【变式2-2】（24-25高一下·上海·期中）如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=____ 【答案】 【分析】结合图形，由向量的加法和减法法则以及基本定理计算即可. 【详解】因为为的中点，所以， 所以． 又因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 【变式2-3】已知的夹角为，，是否存在实数k，使？并说明理由. 【答案】存在，，理由见解析. 【分析】依题意可得，可以作为平面内一组基底，再根据平面向量共线定理计算可得； 【详解】解：因为的夹角为，所以与不共线，则，可以作为平面内一组基底， 因为且， 所以，解得， 故当时； 题型3：平面向量线性运算的坐标表示 【例3-1】（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知向量，则_____. 【答案】 【分析】根据向量坐标运算求解. 【详解】，， . 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则_________． 【答案】 【分析】设向量，得到，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设向量，因为，可得， 因为，所以，解得，所以. 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高一下·上海·月考）已知，点满足，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】由 知 为 、 的中点，由中点坐标公式求解. 【详解】由 可得 ，所以 为 、 的中点，又 、. 所以点 的坐标为 . 故答案为：. 【变式3-3】已知向量，．求，，． 【答案】，， 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， ， . 题型4：数量积的坐标表示 【例4-1】剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD的边长为4，点P在四段圆弧上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出点的横坐标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围. 【详解】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点，易知，点的横坐标的取值范围是， 又因为，，所以，. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一下·上海·期末）若，则在方向上的投影是_____ 【答案】2 【分析】由投影公式计算即可. 【详解】由题意可知在方向上的投影为：. 故答案为： 【变式4-2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】先求出特定情况下向量的坐标，再根据向量夹角为锐角的条件列出不等式组求解. 【详解】因为，所以，所以，． 因为和的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得, 又，即，所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知点， (1)求； (2)若，求的取值范围； (3)若为直线上一动点，问：在什么位置时取到最小值？且最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）直接计算向量坐标，进行线性运算即可； （2）利用平面向量数量积的坐标运算，将点积表达式转化为单一三角函数形式，利用正弦函数的有界性求范围。 （3）求出直线AP的方程，设出点的坐标，利用两点间距离公式，将问题转化为二次函数求最小值. 【详解】（1） （2） 因为， 所以， 则 （3）因为，所以直线AP的斜率为， 直线AP的方程为， 设，则， 即点C坐标为 当，即时，最小值为： 题型5：向量垂直的坐标表示 【例5-1】（24-25高一下·上海·月考）已知，则与垂直的单位向量的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据向量垂直坐标表示、与共线的单位向量的求法直接求解即可. 【详解】设与垂直的向量的坐标为，则，， ， 则与共线的单位向量为， 即与垂直的单位向量的坐标为或. 故答案为：或. 【变式5-1】设向量，若，则__________． 【答案】 【分析】由两向量垂直公式即可得到答案. 【详解】，， ，. 故答案为：. 【变式5-2】在中，已知A、B、C三点的坐标分别为、、，求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【分析】利用向量的数量积即可证明，进而得到，则是直角三角形． 【详解】中，A、B、C三点的坐标分别为、、， 则， 则，则 则，则是直角三角形． 【变式5-3】已知向量，． (1)求； (2)若向量与互相垂直，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据平面向量数量积的定义计算即可； （2）根据平面向量垂直的性质可得到，计算即可求解. 【详解】（1）由，， . （2）若向量与互相垂直， 则， 所以． 题型6：利用向量垂直求参数 【例6-1】已知向量，如果向量与垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值. 【详解】， 若向量与垂直， 则， 解得. 故选：D 【变式6-1】（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，，若，则______. 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 故答案为：. 【变式6-2】已知向量，，若，则实数_________. 【答案】 【分析】利用向量垂直时数量积等于零，可列方程，即可求出． 【详解】因为，，， 所以，解得． 故答案为：. 【变式6-3】已知向量，，且与垂直，求实数的值． 【答案】 【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，， 则， 又与垂直， 所以，解得. 题型7：向量夹角的坐标表示 【例7-1】（24-25高一下·上海黄浦·期末）若向量，则___________． 【答案】 【分析】根据向量夹角的坐标表示即可计算得出结果. 【详解】由可得，且； 所以，又， 可得. 故答案为： 【变式7-1】若，，则______. 【答案】 【分析】利用向量的夹角公式直接求解. 【详解】因为向量，， 所以. 因为，所以. 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高一下·上海宝山·月考）已知向量满足. (1)求与的夹角余弦值； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到，，利用向量夹角余弦公式得到答案； （2）利用投影向量的计算公式进行求解即可. 【详解】（1），故，， 故； （2）， ，， 向量在向量上的投影向量为 【变式7-3】（24-25高一下·上海·课堂例题）已知，，若与的夹角为钝角，求的取值范围. 【答案】. 【分析】本题根据向量夹角的计算公式结合夹角为钝角可得，再由与不平行可得，综合可得出结果. 【详解】因为与的夹角为钝角，所以，由题意可知与不平行， 所以且， 解得或. 所以的取值范围为. 题型8：由向量共线（平行）求参数 【例8-1】（24-25高一下·上海·期末）设， 已知向量 若 则x=（   ） A．2 B．- 2 C． D． 【答案】C 【分析】由两向量平行的充要条件结合坐标运算即可得解. 【详解】设, , 则 ， 所以由题意可得,即,解得 故选：C 【变式8-1】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量，且，则实数的值为_________． 【答案】 【分析】由向量平行的坐标表示可求. 【详解】，，解得. 故答案为：. 【变式8-2】（24-25高一下·上海松江·月考）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_____ 【答案】且 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式及向量共线的坐标表示列式求解. 【详解】由与的夹角为锐角，得且与不共线， 则，解得且. 所以实数的取值范围是且. 故答案为：且 【变式8-3】（24-25高一下·上海·期末）已知向量； (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的大小. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算即可求解； （2）根据向量夹角公式计算余弦值，最后求出夹角的大小. 【详解】（1）由题意得，即， 解得或. （2）当时，， 设向量与的夹角为， 所以， 所以. 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，，若，，三点共线，则________． 【答案】 【分析】利用共线向量的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，三点共线，所以， 又，，所以，解得. 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知向量，，若，则等于______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式计算得解. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故答案为： 3．已知x、y是实数，向量，不平行，若，则______． 【答案】 【分析】借助向量基本定理可得，计算即可得. 【详解】由题意可得，解得，故. 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量，若，则的值为___________. 【答案】 【分析】根据平面向量的坐标运算先计算，最后根据共线向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有，由有， 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，若，则___________． 【答案】/ 【分析】由向量平行的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题设，可得. 故答案为： 6．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，则在上的投影向量为_________．（用坐标形式表示） 【答案】 【分析】应用投影向量的定义及向量数量积、模长的坐标运算求投影向量. 【详解】由投影向量的定义有. 故答案为： 7．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知向量，向量在方向上的投影向量为，则______________． 【答案】 【分析】根据投影向量的定义得，进而得，代入即可求解. 【详解】由向量在方向上的投影向量为，所以，即， 故答案为：. 8．（24-25高一下·上海·月考）若向量，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【分析】通过向量积的坐标运算，可得到，从而可得投影向量为零向量. 【详解】因为，所以，， 所以， 所以，即在方向上的投影向量为零向量，坐标为. 故答案为：. 9．（24-25高一下·上海松江·月考）已知点是的重心，若存在实数使得成立，则的值是_____ 【答案】3 【分析】利用三角形的重心性质和平面向量基本定理易求得参数的值. 【详解】 如图，延长交于点， 因点是的重心，则， 且， 故有，即得，故. 故答案为：3. 10．（24-25高一下·上海·期中）已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为_________． 【答案】 【分析】求出向量，根据投影向量的定义求解. 【详解】由题可得，，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 11．（24-25高一下·上海·期中）已知平面向量，，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________． 【答案】; 【分析】依题意可知且与不共线，由向量数量积的坐标表示计算解不等式可得结果. 【详解】由可得，； 若与的夹角为锐角，可知且与不共线， 因此，且； 即可得且， 因此的取值范围为. 12．（23-24高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______. 【答案】 【分析】根据向量平行四边形法则及线性运算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得参数. 【详解】由题意可知，因为点F在BE上， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 二、单选题 13．（24-25高一下·上海·期中）向量在上的投影为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用数量积的坐标运算及向量的模长公式得，，再利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】因为，，则，， 所以向量在上的投影为， 故选：B. 14．（24-25高一下·上海·期中）设平面向量，若与不能作为平面向量的一组基底，则（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】B 【分析】由条件，结合基底的定义列方程可求，再由数量积的坐标表示求. 【详解】因为与不能作为平面向量的一组基底， 所以，又，， 所以，故，所以， 所以. 故选：B. 15．（24-25高一下·上海·期中）已知，，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，由得即可求解. 【详解】设点，由得， 所以. 故选：D. 16．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知集合是平面直角坐标系内的点集，为坐标原点.若任取，，均存在不全为0的实数，，使得，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析得出的充分条件是与不共线，分别判断即可求解． 【详解】存在不全为0的实数，，使得，即与共线， 设，选项中的点为点，则的充分条件，即与不共线， A：，与共线； B：，与共线； C：，与不共线； D：，与共线； 故选：C． 三、解答题 17．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知两个向量和满足，； (1)求的模； (2)求和的夹角； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量加法的坐标运算，可求出向量的坐标和模； （2）利用向量数量积的坐标运算，可求出向量夹角的余弦值. 【详解】（1）因为，，所以， 所以； （2）因为，，所以， 则, 所以. 18．（24-25高一下·上海·期末）已知平面上的两个向量． (1)若与平行，求的值； (2)若与垂直，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据平行满足的坐标关系即可求解， （2）根据垂直，得数量积为0，即可结合辅助角以及三角函数的性质求解. 【详解】（1）与平行， （2）与垂直，， 即， 故， 即 由于，所以，则或， 故或 19．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知中三点的坐标分别是， (1)求； (2)求证：直角三角形． 【答案】(1). (2)证明过程见解析. 【分析】（1）先根据平面向量的坐标求法得出，；再根据平面向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示和夹角的坐标计算即可求解. （2）根据平面向量垂直的坐标表示即可证明. 【详解】（1）由三点的坐标分别是可得： ，. 则；；， 所以. 又因为， 所以 （2）证明：因为，， 所以. 则， 即证得是以角A为直角的直角三角形. 20．（24-25高一下·上海·月考）如图，扇形所在圆的半径为2，，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动（包含端点），且总有，设，． (1)若，用，表示； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理，和平面向量的线性运算，用基底表示向量即可； （2）根据平面向量基本定理，用基底表示向量，根据向量数量积的运算方法，求出数量积的表达式，根据表达式构造二次函数，求出数量积的范围. 【详解】（1） 如图所示，可知，均为等边三角形，所以四边形为菱形. 所以， 因为，则， 所以， 则； （2）设，则，， 所以，， 因为扇形所在圆的半径为2，， 所以, 可知， 因为，所以当时，取得最小值，当或1时，取得最大值2， 所以的取值范围为． 21．（24-25高一下·上海·期中）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量的数量积记作，定义为，复向量的模定义为.记为虚数单位. (1)设，求复向量与的模； (2)对两个复向量与，若时，称与平行.设，，是否存在实数，使与平行，若存在，求出；若不存在，请说明理由. (3)我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由； 【答案】(1)；； (2)不存在，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】（1）由复向量的模的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由给定的平行条件代入计算，即可判断； （3）根据题意，由复数的三角不等式代入计算，即可判断. 【详解】（1）因为，所以， 所以的模为； 因为，所以， 可得的模为； （2）不存在 ， 得， 若与平行，则， 得， 得，而，则此方程无实数根， 故不存在实数，使得与平行. （3）因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知，. 【点睛】关键点睛：本题主考考查了向量的新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解所给定义并且结合向量坐标运算的相关知识解答. 1 学科网（北京）股份有限公司 $