第10讲 利用导数研究函数的极值与最大（小）值（知识清单+7题型讲解举三反三+强化训练）-【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（人教A版选择性必修第二册）数学高二重难点讲义与测试

第10讲 利用导数研究函数的极值与最大（小）值 知识清单 知识点01：极值点与极值的概念 知识点02：函数极值和极值点的求解步骤 知识点03：已知函数的极值求参数的方法 知识点04：函数最值的定义 知识点05：最值与极值的区别与联系 知识点06：求函数最值的步骤 题型讲解 （举三反三） 题型1：求已知函数的极值与根据极值求参数 题型2：函数（导函数）图象与极值的关系 题型3：由导数求函数的最值（不含参） 题型4：已知函数最值求参数 题型5：函数单调性、极值与最值的综合应用 题型6：根据极值点求参数 题型7：由导数求函数的最值（含参） 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01极值点与极值的概念 1．极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 知识点02函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况． 知识点03已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 知识点04函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 知识点05 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． (3)函数f(x)的极值点在定义域内，但不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 知识点06 求函数最值的步骤 (1)求函数的定义域． (2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)求极值、端点处的函数值，确定最值． 注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较． 题型1：求已知函数的极值与根据极值求参数 【例1-1】（25-26高二上·广东·期末）函数的极值点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例1-2】（24-25高二下·四川绵阳·期末）函数的极小值为 ． 【例1-3】已知函数，当时，取得极小值5. (1)求的值； (2)当时，求的最小值. 【变式1-1】（24-25高二下·江西上饶·期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·江西南昌·期中）函数在时有极小值，则 ． 【变式1-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）求函数的极值． 题型2：函数（导函数）图象与极值的关系 【例2-1】（24-25高二下·北京顺义·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A．函数在处取得极小值 B．函数在处取得极大值 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 【例2-2】（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数在上的导函数为，且在处取得极大值，则函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【例2-3】已知函数f(x)＝x3＋ax2－(a－1)x＋7既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围 【变式2-1】（24-25高二下·贵州黔西·月考）已知函数的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是（    ） A．和是函数的两个零点 B．函数的单调递增区间为 C．函数在处取得极小值，在处取得极大值 D．函数的最大值为，最小值为 【变式2-2】（24-25高二下·广东惠州·月考）已知函数的导函数图象如图所示，那么（   ） A．有1个极大值和1个极小值 B．有1个极大值没有极小值 C．有1个极小值没有极大值 D．没有极大值也没有极小值 【变式2-3】导函数的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处 （1）导函数有极大值？ （2）导函数有极小值？ （3）函数有极大值？ （4）函数有极小值？ 题型3：由导数求函数的最值（不含参） 【例3-1】（25-26高二上·云南昭通·期末）已知函数，则当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2025高二·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【例3-3】（24-25高二下·福建漳州·期末）已知函数在处取得极值 (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【变式3-1】（25-26高二上·山西·月考）如图，周长为的五边形由一个正三角形与一个矩形组成，设该正三角形与该矩形的面积分别为，则当取得最大值时，（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式3-2】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围为 ． 【变式3-3】（24-25高二下·山东泰安·期末）已知函数在处有极值. (1)求实数a，b的值； (2)求在上的最值. 题型4：已知函数最值求参数 【例4-1】（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数的最小值为1，则 ． 【例4-3】（24-25高二下·北京东城·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的取值范围是，求实数的取值范围． 【变式4-1】（24-25高二下·河南新乡·期中）已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·天津·期中）已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为 . 【变式4-3】（24-25高二下·湖北·期中）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值. 题型5：函数单调性、极值与最值的综合应用 【例5-1】已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25高二下·江苏苏州·月考）若函数有唯一一个极值点，则实数的取值范围是 ． 【例5-3】（2025高二下·全国·专题练习）已知且，且，且，比较，，大小. 【变式5-1】（24-25高二下·河南开封·期末）已知函数在内有且只有一个零点，则曲线的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若存在常数，使得对任意，都有，则的最小值为 ． 【变式5-3】已知函数在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最小值． 题型6：根据极值点求参数 【例6-1】（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数存在极值，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【例6-2】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 【例6-3】（25-26高二上·湖南长沙·期末）设函数，曲线在点处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数的极值点. 【变式6-1】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数的图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D．1 【变式6-2】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【变式6-3】（24-25高二下·天津河东·期中）已知函数（a为常数）. (1)若函数在处的切线经过点，求实数a的值； (2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围. 题型7：由导数求函数的最值（含参） 【例7-1】已知函数在区间上的最小值为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【例7-2】（24-25高二下·四川广元·期末）已知不等式恒成立，其中，则的最大值为 ． 【例7-3】（24-25高二下·北京平谷·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)证明：． 【变式7-1】如图所示，在等腰梯形ABDE中，AE＝ED＝BD＝a，当等腰梯形ABDE的面积最大时，（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二下·北京·期中）写出“使函数在上存在最值”的实数的一个值为 . 【变式7-3】（24-25高二下·山东淄博·月考）函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在区间上的最值. 一、单选题 1．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在处取得极大值 2．（24-25高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在区间上的最小值小于，则正数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则极值点的个数为（    ）    A．1 B．0 C．3 D．2 6．（25-26高二上·云南玉溪·月考）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）设，函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·广东·期中）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得最小值 D．函数在处取得极大值 10．（24-25高二下·江西抚州·期末）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．函数在上单调递减 B．函数的单调递减区间为 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极大值 11．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏南通·月考）设，若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围为 . 13．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数，，若成立，则的最小值为 ． 14．（2025高二·全国·专题练习）已知函数对任意有成立，则k的最小值为 ． 四、解答题 15．（24-25高二下·广东东莞·期中）若，求： (1)的单调递减区间； (2)在上的最小值和最大值． 16．（24-25高二下·贵州铜仁·月考）已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围. 17．（25-26高二下·全国·单元测试）已知函数． (1)当时，求函数的极大值； (2)当时，求证：方程有唯一实根． 18．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数 (1)当时，求函数在上的值域； (2)讨论的单调性． 19．（2026高二·全国·专题练习）已知函数 有两个极值点 且 . (1)求实数 的取值范围； (2)证明: . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 利用导数研究函数的极值与最大（小）值 知识清单 知识点01：极值点与极值的概念 知识点02：函数极值和极值点的求解步骤 知识点03：已知函数的极值求参数的方法 知识点04：函数最值的定义 知识点05：最值与极值的区别与联系 知识点06：求函数最值的步骤 题型讲解 （举三反三） 题型1：求已知函数的极值与根据极值求参数 题型2：函数（导函数）图象与极值的关系 题型3：由导数求函数的最值（不含参） 题型4：已知函数最值求参数 题型5：函数单调性、极值与最值的综合应用 题型6：根据极值点求参数 题型7：由导数求函数的最值（含参） 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01极值点与极值的概念 1．极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 知识点02函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况． 知识点03已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 知识点04函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件． 知识点05 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)． (3)函数f(x)的极值点在定义域内，但不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 知识点06 求函数最值的步骤 (1)求函数的定义域． (2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)求极值、端点处的函数值，确定最值． 注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较． 题型1：求已知函数的极值与根据极值求参数 【例1-1】（25-26高二上·广东·期末）函数的极值点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】对求导，通过分析的符号即可判断单调性，从而可求极值点. 【详解】根据题意知，则， 令，则可得或， 当或时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以当时取极大值，当时，取极小值，则有两个极值点. 故选： 【例1-2】（24-25高二下·四川绵阳·期末）函数的极小值为 ． 【答案】/ 【分析】先求导得，利用导数研究单调性进而求极值即可. 【详解】由题意有的定义域为，所以， 令有，由有，有， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为. 故答案为：. 【例1-3】已知函数，当时，取得极小值5. (1)求的值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）由函数解析式求导，根据可导函数取极值的必要条件，建立方程求得，利用极小值的判别方法进行检验，再根据函数解析式求值，可得答案； （2）由导数与函数单调性的关系，求得导数与零的大小关系，明确函数的单调区间，可得答案． 【详解】（1）由题意函数，当时，取得极小值5， 可得， 所以，得， 此时； 当时，，当时，， 所以在时取极小值，符合题意； 所以，．又，所以． 即实数，； （2）由（1）可得，所以， 令解得或， 、随的变化情况如下表： 1 2 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 而，，由此可得函数的最小值为. 【变式1-1】（24-25高二下·江西上饶·期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，由函数没有极值，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数没有极值，可得， 即，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二下·江西南昌·期中）函数在时有极小值，则 ． 【答案】 【分析】根据题给条件列等式，解方程组即可得解，再分别代入，判断时是否取极小值，将不符题意的舍去，再计算的值即可. 【详解】由题意，则，则， 两式作差消去整理得，得或. 当时，；时，. ①当，时， 或时，，时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 则在时有极小值，符合题意. ②，时， 在上单调递增，在单调递减， 则在时有极大值，不符合题意. 所以，，则. 故答案为：. 【变式1-3】（25-26高二下·全国·课堂例题）求函数的极值． 【答案】， 【分析】先求出函数的定义域，求导后根据导函数的符号确定函数的单调区间，列表计算即可求得函数的极值. 【详解】函数的定义域为，求导得， 令，解得，故当x变化时，的变化情况如下表： x 1 + 0 - - 0 + y 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以当时，，当时，． 题型2：函数（导函数）图象与极值的关系 【例2-1】（24-25高二下·北京顺义·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A．函数在处取得极小值 B．函数在处取得极大值 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 【答案】D 【分析】根据图像得到原函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对A，由图可知：函数在单调递增，在单调递减， 函数在处取得极大值，故错误； 对B，导函数在附近同号，因此在不取极值，故错误； 对C，由图，函数在区间上单调递减，故错误； 对D，由图，函数在区间上单调递减，故正确. 故选：D 【例2-2】（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知函数在上的导函数为，且在处取得极大值，则函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件得到在的左侧，在的右侧，再结合的符号，即可判断. 【详解】因为在处取得极大值， 所以在的左侧，在的右侧， 又在的左侧，在的右侧， 所以在的左侧，在的右侧， 结合选项只有D符合， 故选：D 【例2-3】已知函数f(x)＝x3＋ax2－(a－1)x＋7既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围 【答案】. 【分析】由导函数有两个零点，导函数的判别式大于0可解. 【详解】f′(x)＝3x2＋2ax－a＋1.函数f(x)＝x3＋ax2－(a－1)x＋7既有极大值又有极小值，由二次函数图象可知，只需函数有两个零点，即f′(x)＝0有两个不同的实数解，则，解得或. 所以实数a的取值范围是. 【变式2-1】（24-25高二下·贵州黔西·月考）已知函数的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是（    ） A．和是函数的两个零点 B．函数的单调递增区间为 C．函数在处取得极小值，在处取得极大值 D．函数的最大值为，最小值为 【答案】C 【分析】由的正负性可以确定函数的单调性以及极值点，可判断B C；但因无具体的解析式，故无法确定具体的函数值，故AD无法确定. 【详解】由图象可知，或时，，时，， 则在和上单调递减，在上单调递增， 则当时取极小值，当时取极大值，故B错误，C正确， 由图只能确定函数的单调性以及极值点，无法确定具体的函数值，故A D无法确定. 故选：C 【变式2-2】（24-25高二下·广东惠州·月考）已知函数的导函数图象如图所示，那么（   ） A．有1个极大值和1个极小值 B．有1个极大值没有极小值 C．有1个极小值没有极大值 D．没有极大值也没有极小值 【答案】C 【分析】设导函数与轴的交点的横坐标分别为，结合导函数图象得到的单调性，即可得到函数的极值点. 【详解】由导函数图象，设导函数与轴的交点的横坐标分别为， 则时（且仅在处），时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，无极大值. 故选：C 【变式2-3】导函数的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处 （1）导函数有极大值？ （2）导函数有极小值？ （3）函数有极大值？ （4）函数有极小值？ 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）； 【分析】根据导函数的图像判断导函数的极大值和极小值点；由导函数图像判断原函数的单调区间，从而求得原函数的极大值和极小值点. 【详解】（1）由图知，极大值点左右两侧的单调性是先增后减的点，即为极大值点； （2）由图知，极小值点左右两侧的单调性是先减后增的点，即，为极小值点； （3）由图知，，，函数单增；，，函数单减；，，函数单增； 则函数在处取极大值； （4）由（3）知，函数在处取极小值； 题型3：由导数求函数的最值（不含参） 【例3-1】（25-26高二上·云南昭通·期末）已知函数，则当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而可求得的最大值. 【详解】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：D. 【例3-2】（2025高二·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】求出定义域，求导，得到函数单调性，求出最小值. 【详解】定义域为，， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故. 故答案为： 【例3-3】（24-25高二下·福建漳州·期末）已知函数在处取得极值 (1)求的值； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出，再结合，则可求得，再经检验即可求解； （2）由（1）可求出在区间上的单调性，从而可求解. 【详解】（1）函数的导数为： 由题意，，代入得：，解得， 经检验，符合题意； 故的值为. （2）当时，，导数为： 令，解得，（舍去）， 当，；当，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，取到极小值也是最小值； 又，，从而可求最大值为， 故最大值为，最小值为. 【变式3-1】（25-26高二上·山西·月考）如图，周长为的五边形由一个正三角形与一个矩形组成，设该正三角形与该矩形的面积分别为，则当取得最大值时，（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据周长的定义，结合矩形和正三角形的面积公式、导数的性质进行求解即可. 【详解】设,，则， 得，则，， 设函数， 则， 当0时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则当时，取得最大值，即取得最大值． 故选：C. 【变式3-2】（2025高二·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】方程有解问题用分离参数法变形转化为求函数值域． 【详解】存在，使得，即在区间上有解． 设，则，在上单调递增， 所以，故的取值范围为． 故答案为： 【变式3-3】（24-25高二下·山东泰安·期末）已知函数在处有极值. (1)求实数a，b的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1)， (2)最大值，最小值 【分析】（1）由题意，解得并检验即可得解； （2）求导得函数在上的单调性，进一步比较极值与端点值即可得解. 【详解】（1）， ∵在处有极值， ∴， 即，解得，     经检验，符合题意，∴，. （2）由（1）可知，， 令，解得或， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x -1 1 3 + 0 - 单增 单减 2 ∴当时，有最大值，当时，有最小值. 题型4：已知函数最值求参数 【例4-1】（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出的范围即可. 【详解】函数定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值， 又函数在内有最小值，则，解得， 所以实数的取值可以是. 故选：D 【例4-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数的最小值为1，则 ． 【答案】1 【分析】求出函数的导数，分类讨论，从而求出的单调区间，即可根据函数的最值求得的值. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，在内恒成立， 所以函数在内单调递增，此时无最小值； 当时，由，得，由，得， 所以函数在内单调递减，在内单调递增， 故当时，取得最小值，即，故． 故答案为：． 【例4-3】（24-25高二下·北京东城·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的取值范围是，求实数的取值范围． 【答案】(1)在和单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）求导可得，令，可求单增区间，令，可求单减区间； （2）利用（1）的单调性，结合，，，的值，可求实数的取值范围． 【详解】（1）由，可得， 令，可得，解得或， 令，可得，解得， 所以在和单调递增，在上单调递减； （2）因为， 又，又由（1）可知在上单调递增， 由在区间上的取值范围是，所以， 又在上单调递减，且， 又在上单调递增，且，所以， 所以实数的取值范围为． 【变式4-1】（24-25高二下·河南新乡·期中）已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令函数，利用导数求出函数的最小值及其对应的值，即可得出结论. 【详解】由题意可得， 令函数，则． 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，即的最小值为，此时． 故选：A. 【变式4-2】（24-25高二下·天津·期中）已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】求导，分、和三种情况讨论的符号，进而可得的单调性和最值，结合题意运算求解即可. 【详解】因为，，则， 若，则，可知在内单调递增，无最小值，不合题意； 若，则，可知在内单调递减， 则在内最小值为，解得，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则在内最小值为，解得； 综上所述：. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高二下·湖北·期中）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1)极大值，极小值 (2) 【分析】（1）先把代入函数，求出表达式．接着对求导得，令分别大于和小于，解不等式得到函数的单调区间．最后根据单调区间确定极大值和极小值． （2）三种解法核心都是先求出及其导数． 解法一：按取值范围分类讨论，根据正负判断单调性，结合最小值为求． 解法二：同样分和讨论，时发现与最小值为矛盾，从而确定值． 解法三：根据最小值为列出和的不等式组，求出范围，再结合单调性确定值． 【详解】（1）当时，，． 令， 同理：或 所以：在单调递增，在单调递减，在单调递增． 当时，取得极大值； 当时，取得极小值． （2）解法一：由题：，． ①当时，，在单调递增，． ②当时，，在单调递减，． ③当时，在单调递增，在单调递减． 此时：不合题意． ④当时，，在单调递增，． 综上：的值为． 解法二：由题：，． ①当时，，在单调递增，． ②当时，由于，在上的最小值小于，与题目矛盾，故不成立； 综上：的值为． 解法三：由题：，． 由题：的最小值为，则必有：． 当时，，在单调递增， ． 故：的值为． 题型5：函数单调性、极值与最值的综合应用 【例5-1】已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数结合导数单调性最值，对原式进行合理放缩，结合放缩不等式比较大小 【详解】设则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以的最小值，即在上恒成立， 所以 设函数的定义域为，则 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以的最大值，即在上恒成立， 所以 从而 故选：C. 【例5-2】（24-25高二下·江苏苏州·月考）若函数有唯一一个极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】求导得，根据有唯一一个极值点且，得是唯一的变号零点，设，因为，所以恒成立，分三种情况讨论的单调性和最值，从而得到的取值范围. 【详解】定义域为，， 因为，有唯一一个极值点，所以是唯一的变号零点， 设，且，所以恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，所以在上单调递增， 又因为时，，不满足，舍去； 当时，令，得， 令，得，所以在上单调递减， 令，得，所以在上单调递增， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【例5-3】（2025高二下·全国·专题练习）已知且，且，且，比较，，大小. 【答案】 【分析】构造函数，利用导数得出函数单调性，由题可得，，，根据单调性可判断大小. 【详解】构造函数，变形得，即， 同理，. 求导，得在递增，在递减. 比较均小于，故在递增，得. 由，，， 结合在递减（因在为正，在递减），“递减函数中，函数值小则自变量大”，得. 【变式5-1】（24-25高二下·河南开封·期末）已知函数在内有且只有一个零点，则曲线的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求函数的导数，根据参数的取值范围，分类讨论函数的单调性，由题意，建立方程，可得,再由的对称轴为的对称中心可得答案 【详解】由题得， 当时，当时，， 函数在区间内单调递增，且， 所以函数在区间内无零点； 当时，当时，，当时，， 则在区间内单调递减，在区间内单调递增. 故只需，解得， 所以， 由的对称轴为的对称中心可得，的对称中心为 故选：D 【变式5-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若存在常数，使得对任意，都有，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】对求导，利用导数求出函数在上的最值，从而可得的取值范围，即可得解． 【详解】， 所以在区间内单调递减，在区间内单调递增． 因为，，所以的最小值为0，最大值为3e． 因为对任意，都有， 所以只需， 所以，即的最小值为3e， 故答案为：3e． 【变式5-3】已知函数在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)3 (2)⋅ 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【详解】（1）由题意得的定义域，且 因为函数在处取值得极值，所以 解得 此时，， 令得或，令得， 故函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意 所以． （2）由（1）得，， 令，得，所以函数在单调递增， 令，得，所以函数在单调递减， 所以函数在处取极小值， 所以当时，的最小值为 题型6：根据极值点求参数 【例6-1】（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数存在极值，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，令，得，即可求解． 【详解】， 令，得 要使存在极值，则方程在上有解． ．又． 的取值集合是． 故选：A 【例6-2】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求解导数，根据导数有两个变号零点，结合图象可求答案. 【详解】，令可得， 因为有两个极值点，所以有两个变号零点， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 当从负半轴趋近于时，趋近于，当从正半轴趋近于时，趋近于， 又，简图如下，    由图可知，，即实数的取值范围是. 故答案为： 【例6-3】（25-26高二上·湖南长沙·期末）设函数，曲线在点处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数的极值点. 【答案】(1) (2)极大值点为2，极小值点为 【分析】（1）对函数求导，代入极值使导函数等于0，求实数，最后验证. （2）代入第一问，对函数求导，令导函数等于0，根据单调性验证极值. 【详解】（1）函数的定义域为，导函数， 因为在点处取得极值， 所以，所以，解得， 当时，，， 当时，，当时，， 所以为函数的极值点，满足题意，， 所以. （2）由（1）可知，，则， 当时，，函数在区间上单调递减； 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减， 故的极大值点为2，极小值点为. 【变式6-1】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数的图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定函数及图象，求出解析式，利用导数求出其极值点即可. 【详解】由图象知，是函数的3个零点， 则， 求导得，是函数的两个极值点， 即为函数的两个变号零点， 而， 所以. 故选：B 【变式6-2】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，分离常数，然后利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【详解】由题意知有两个相异实根，即， 也即与的图象有两个交点. ，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 且，当时，， 所以在处取得极大值也即是最大值为. 画出的图象如下图所示， 由图可知，要使与的图象有两个交点，则需. 故答案为： 【变式6-3】（24-25高二下·天津河东·期中）已知函数（a为常数）. (1)若函数在处的切线经过点，求实数a的值； (2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，代入点运算即可； （2）整理可得，分、和三种情况，利用导数判断原函数单调性和极值，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 则，即切点为，切线斜率， 可得切线方程为， 将点代入得， 整理可得解得：，所以. （2）因为， 当，即时，在定义域内恒成立， 可知在上单调递增，所以无极值点，不合题意； 当，即时，令，解得或； 令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以有两个极值点，符合题意； 当，即时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以有1个极值点，不符合题意； 综上所述：a的取值范围是. 题型7：由导数求函数的最值（含参） 【例7-1】已知函数在区间上的最小值为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数与函数性质的关系，分类讨论的取值范围，分析得的最值，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，则，所以在单调递增， 此时函数最小值为，解得，不符合题意，舍去； 当时，令，得；令，得； 所以在上单调递减，在单调递减增， ①当时，在区间上单调递增， 所以最小值为，不符合题意舍去； ②当时，在上先减后增， 所以最小值为，解得； ③当时，在上单调递减， 所以最小值为，解得，不符合题意，舍去， 综上所述. 故选：D. 【例7-2】（24-25高二下·四川广元·期末）已知不等式恒成立，其中，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】构造函数并求出最小值，建立不等式并用表示，再构造函数并求出最大值即可. 【详解】令，求导得，而， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 依题意，，设， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 则，解得，所以的最大值为. 故答案为： 【例7-3】（24-25高二下·北京平谷·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先对函数求导，然后讨论时函数的单调区间. （2）根据（1）中讨论的函数单调性，分别求出对应的最小值，即可证明结论的正确性. 【详解】（1）对函数求导得：. 当时，，此时在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，则. 若，或；若，则， 此时在，上单调递增，在上单调递减. 当时，令，则. 若，或；若，则， 此时在，上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可知： 当时，在上单调递增，在上单调递减，此时； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 而，（当时，,的增长速度远远超过二次函数的增长速度），所以此时； 当时，在，上单调递减，在上单调递增. 而，（当时，,的增长速度远远超过二次函数的增长速度）. 此时. 综上所述，. 【变式7-1】如图所示，在等腰梯形ABDE中，AE＝ED＝BD＝a，当等腰梯形ABDE的面积最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点C，继而表示出ABDE的面积，化简得， 求导，根据导数的正负判断单调性，继而根据单调性得解. 【详解】如图，过点D作于点C， 设等腰梯形ABDE的面积为S，则， 因为，， 所以． 则，令，得或，由于，所以，所以，此时． 当时，；当时，． 故当时，S取得极大值，也是最大值． 故选：B． 【变式7-2】（24-25高二下·北京·期中）写出“使函数在上存在最值”的实数的一个值为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】求导，然后分类讨论和两种情况即可确定实数的取值范围. 【详解】由题可得， ， 当时，，函数在上单调递减，不存在最值； 当时，令，可得， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 若函数在上存在最值，则，即， 所以实数的一个值为. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式7-3】（24-25高二下·山东淄博·月考）函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在区间上的最值. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为； (2)最大值为， 最小值为 【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间； （2）对函数求导后，求得在上递增，在上递减，计算即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 由，得或，由，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）由，得， 由，得或， 因为，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以的最大值为， ，， 因为，所以， 所以的最小值为. 一、单选题 1．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ）    A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在处取得极大值 【答案】D 【分析】由图易得在上单调递减，在区间上单调递增，在上单调递减，进而判断各选项即可. 【详解】由图可知，当时，，所以在上单调递减，故AC错误； 而在区间上单调递增，在上单调递减，故B错误， 所以在处取得极大值，故D正确. 故选：D 2．（24-25高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出的单调性，再结合极值即可求解. 【详解】由题意可得， 令，得或， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以当时，取到极小值，故C正确. 故选：C. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求出的极小值，再求出区间端点处的函数值，比较即可得答案. 【详解】由题意，令，解得， ， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以极小值为， 又，所以的最小值为． 故选：D 4．（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在区间上的最小值小于，则正数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，然后分类讨论利用导函数与函数单调性的关系结合条件即得. 【详解】由得， 当时，在上单调递增，的最小值为，不符题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，解得. 故选：A. 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则极值点的个数为（    ）    A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】C 【分析】的变号零点个数即为所求. 【详解】由图可知，的图象有三个变号零点，1个不变号零点，所以极值点的个数为3. 故选：C. 6．（25-26高二上·云南玉溪·月考）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数极值点的定义，结合二次函数的性质、数形结合思想、转化法进行求解即可. 【详解】，则， 由题意有两个不同的异号零点，即有两个不同的根， 记， 当时，函数单调递增，在时，函数单调递减， 所以当时，函数有最大值，且， 所以当时，有两个不同的根， 等价于直线与函数有两个不同的交点，如图， 所以. 故选：A 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出导函数，利用得，然后按照、和分类讨论研究函数单调性，从而利用极小值点的定义求解即可. 【详解】的定义域为 ，， 由题意，得， 所以． 若 ，．当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极大值点，不满足题意． ②若，由，得， 当时，即 ， 当或时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减． 所以是函数的极大值点，不满足题意． 当时，即 ， ，此时单调递增，无极值点，不满足题意． 当时，即 ， 当或时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极小值点，满足题意． ③若 ，．当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减．所以是函数的极大值点，不满足题意． 综上 的取值范围是即． 故选：A． 8．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）设，函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先对函数求导，再通过极值点大于零分析的符号求解即可. 【详解】由已知可得， 令，可得， 若，所以不符合题意，舍去； 因此，则，解得. 因为，所以，要让，必须满足， 所以，解得. 故选： 二、多选题 9．（24-25高二下·广东·期中）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得最小值 D．函数在处取得极大值 【答案】AD 【分析】根据图象，利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，直接求出单调区间和极值点，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故选项A正确，选项B和C错误， 对于D，因为，且根据上面分析得到的函数单调性， 由极值的定义知，函数在处取得极大值，所以D正确． 故选：AD． 10．（24-25高二下·江西抚州·期末）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．函数在上单调递减 B．函数的单调递减区间为 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极大值 【答案】BC 【分析】利用导函数的图象，根据导函数值的正负判断函数的单调性，从而得出极值点，逐项判断即可. 【详解】由导函数的图象可知， 当时，，单调递增；当时，，单调递减.故A错误B正确； 所以，函数在处取得极大值，不是极大值点，故C正确D错误. 故选：BC. 11．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 【答案】ABD 【分析】先求导，按、、三种情况讨论的单调性，再逐一判断即可. 【详解】由题意得， 若，即时，得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，得或；得， 在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，，则在上单调递增； A选项，当时，在处取极大值，在处取极小值，故A正确； B选项，若在处取到极大值，则，故B正确； C选项，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取极大值，在处取极小值， 又，则， 又在区间内取到最大值，则且， 即，故C错误； D选项，若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 当时，，故，故这样的不存在； 若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 则，故，故这样的不存在； 若，则在区间内既无最大值又无最小值； 综上可知，不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏南通·月考）设，若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求导，得函数的单调性，即可求解极值点，列不等式即可求解. 【详解】， 当时，在恒成立，函数没有小于0的极值点，不合题意； 当时，当且时，在单调递增，在单调递减，故是的唯一极值点，符合题意. 故答案为： 13．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数，，若成立，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】令，求出，构造函数利用函数导数求最值即可. 【详解】若成立，由， 设， 则由， ， 所以 设， 所以， 由与在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 令， 所以当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以的最小值， 故答案为：. 14．（2025高二·全国·专题练习）已知函数对任意有成立，则k的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先判定时不符合题意，再由时，令，求得，分类讨论求得函数的单调性与最值，即可求解． 【详解】由题意，函数对有成立， 当时，取时，可得，所以不符合题意，舍去； 当时，令， 则， 令，可得或， （1）当时，则，则在上恒成立， 因此在单调减，从而对任意，总有， 即对任意，都有成立，所以符合题意； （2）当时，，对于，因此在内单调递增， 所以当时，，即， 所以不符合题意，舍去， 综上可得，实数的取值范围是，即实数的最小值为． 故答案为：． 四、解答题 15．（24-25高二下·广东东莞·期中）若，求： (1)的单调递减区间； (2)在上的最小值和最大值． 【答案】(1)的增区间为，减区间为 (2)，. 【分析】（1）求出函数的导数并判断其符号后可得函数的单调区间； （2）根据（1）中的单调性可得函数的最值. 【详解】（1）， 当或时，；当时，， 故的增区间为，减区间为. （2）由（1）可得在为减函数，在上为增函数， 故，. 16．（24-25高二下·贵州铜仁·月考）已知函数，若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将带入不等式，分离变量得，构造函数，求出的最小值得的取值. 【详解】因为，，所以， 分离变量得，令， ， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以实数的取值范围为 17．（25-26高二下·全国·单元测试）已知函数． (1)当时，求函数的极大值； (2)当时，求证：方程有唯一实根． 【答案】(1)极大值． (2)证明见解析 【分析】（1）代入并对求导，可得在上单调递增，在上单调递减，进而可求函数的极大值； （2）方程的根，即是的根，令，对其求导后可得，结合条件分析的根的位置关系，当时，易得单调递增，由零点存在定理，可得有唯一实根，当时，易得在上单调递增，在上单调递减，的极大值，且时，，故与x轴只有一个交点，综上即可得证. 【详解】（1）时，函数， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以时，函数取得极大值. （2）方程的根，即是的根， 令， ， ①当时，， 在恒成立，函数单调递增， ，， 由零点存在定理，存在唯一，使得， 所以方程有唯一实根． ②当时，时，，时，， 时，， 在和上单调递增，在上单调递减， 则的极大值，则极小值一定小于0， 当时，，由零点存在定理，存在唯一，使得， 即方程有唯一实根． 综上所述，当时，方程有唯一实根． 18．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数 (1)当时，求函数在上的值域； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求的导数，通过函数单调性研究的值域即可； （2）求的导数，对a分、、三种情况讨论即可． 【详解】（1）当时，，， ， 令，解得，（舍）， 所以当，，单调递增； ，，单调递减； 又因为，，， 且，其中， 所以的值域为． （2）， 令，，， 若，，在单调递减； 若，，所以当，，单调递增， 当，，单调递减； 若，，所以当，，单调递增， 当，，单调递减． 综上，当时，在单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 19．（2026高二·全国·专题练习）已知函数 有两个极值点 且 . (1)求实数 的取值范围； (2)证明: . 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）由已知可得有两个根，转化为函数与函数有两个交点，结合图象求解； （2）由，得，令，用表示，代入，构造函数证明. 【详解】（1）由已知可得， 因为有两个极值点，所以有两个根， 所以函数与函数有两个交点， 对函数，， 当时；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，；时，， 所以函数的图象如图所示，    所以若函数与函数有两个交点，则， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）可知，所以① ，② ， ①-②得， 令，则，所以， 所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 所以在上单调递增，所以， 即，得 又，所以， 即，得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 $