第一单元 第2课时 余数和除数的关系（导学案）-2025-2026学年二年级下册数学人教版

第一单元 第2课时 余数和除数的关系 导学案 人教版 数学 二年级下册（新教材） 学习目标 1、正确说出给定除数对应的余数最大最小值及可能取值范围。 2、能准确表述有余数除法中余数需小于除数的原因。 3、运用余数的规则解决生活中平均分有剩余的实际问题。 重点 掌握有余数除法中余数的核心规则（小于除数、最大最小值及取值范围）。 难点 理解余数“小于除数”的本质及最大最小值、取值范围的推导逻辑。 自 主 学 习 温故引新 1、先圈一圈，再写出得数（根据有余数除法含义完成）： 2、在31÷6＝5……1这个算式中，除数是（ ），商是（ ），余数是（ ）。 3、思考：摆一个三角形需要3根小棒，用7根小棒摆三角形，能摆几个？还剩几根？ 我的答案：________________________________ 我的算式：________________________________ 新知预习 1、尝试计算：用8根、9根、10根小棒分别摆三角形（每3根摆一个），记录结果： （1）8根：能摆（ ）个，还剩（ ）根， 算式：________________________________ （2）9根：能摆（ ）个，还剩（ ）根， 算式：________________________________ （3）10根：能摆（ ）个，还剩（ ）根， 算式：________________________________ 2、观察上面的算式，对比余数和除数（3）的大小，你有什么发现？ 我的发现：________________________________ 3、猜想：如果除数是5，余数可能有哪些？最大是几？ 我的猜想：________________________________ 课 堂 探 究 新知探究1：余数与除数的大小关系 合作探究 问题1：用6根、7根、8根、9根、10根、11根小棒分别摆三角形（每3根摆一个），记录结果： （1）6根：能摆（ ）个，剩余（ ）根， 算式：________________________________ （2）7根：能摆（ ）个，剩余（ ）根， 算式：________________________________ （3）8根：能摆（ ）个，剩余（ ）根， 算式：________________________________ （4）9根：能摆（ ）个，剩余（ ）根， 算式：________________________________ （5）10根：能摆（ ）个，剩余（ ）根， 算式：________________________________ （6）11根：能摆（ ）个，剩余（ ）根， 算式：________________________________ 问题2：观察记录的“剩余小棒根数”（余数）和“每3根摆一个”（除数），它们的大小关系是怎样的？ 我的结论：________________________________ 问题3：如果用更多小棒摆三角形，余数可能是3根或4根吗？为什么？ 我的理由：________________________________ 要点归纳 （1）在有余数的除法中，余数必须小于除数。 （2）当除数是3时，余数只能是1或2，不可能等于或大于3。 （3）余数是平均分后剩余的、不够再分一份的数量，若余数等于或大于除数，说明还能再分一份，与余数的定义冲突。 新知探究2：理解余数小于除数的核心逻辑 探究活动 1、假设验证： （1）假设余数等于除数（如除数3，余数3）：用12根小棒摆三角形，每3根摆一个，能摆3个，剩余3根，假设对吗？ 选择：对（ ） 不对（ ） 理由：说明余数等于除数时，能再分一份，不符合余数定义。 （2）假设余数大于除数（如除数3，余数4）：用13根小棒摆三角形，每3根摆一个，能摆3个，剩余4根，假设对吗？ 选择：对（ ） 不对（ ） 理由：说明余数大于除数时，仍能再分一份，不符合余数定义。 2、总结：通过假设验证，进一步确认余数必须（ ）除数。 要点归纳 （1）余数“小于除数”是由余数的定义决定的，即“分后有剩余，且剩余部分不足以再分一份”。 （2）若余数≥除数，说明剩余数量仍能满足再分一份的条件，与余数的本质矛盾，因此该情况不可能存在。 新知探究3：探究余数的取值范围 探究活动 1、思考：当除数确定时，余数的取值有什么规律？ （1）除数是5时：最小余数是（ ），最大余数是（ ），可能的余数有（ ）。 （2）除数是7时：最小余数是（ ），最大余数是（ ），可能的余数有（ ）。 2、推导： （1）最小余数为什么是1？________________________________ （2）最大余数为什么是“除数-1”？________________________________ 要点归纳 （1）最小余数是1，因为余数是“有剩余”的数量，不能为0（余数为0是整除，无剩余）。 （2）最大余数是“除数-1”，因为余数必须小于除数，比除数小的最大整数就是“除数-1”。 （3）当除数确定时，余数的取值范围是1到“除数-1”之间的所有整数。 巩固提升 1、教材第12页“做一做”：用一些小棒摆五边形（每5根摆一个）。如果有剩余，可能剩几根？ 答案：________________________________ 理由：________________________________ 2、教材第12页“做一做”：有一些巧克力，平均装在8个盒子里。如果有剩余，最多剩几颗？ 算式：________________________________ 答案：________________________________ 理由：________________________________ 参 考 答 案 温故引新 1、3；2 2、6；5；1 3、2个；1根；7÷3=2（个）……1（根） 新知预习 1、（1）2；2；8÷3=2（个）……2（根） （2）3；0；9÷3=3（个） （3）3；1；10÷3=3（个）……1（根） 2、余数都比除数3小 3、可能是1、2、3、4；最大是4 课堂探究 新知探究1 1、（1）2；0；6÷3=2（个） （2）2；1；7÷3=2（个）……1（根） （3）2；2；8÷3=2（个）……2（根） （4）3；0；9÷3=3（个） （5）3；1；10÷3=3（个）……1（根） （6）3；2；11÷3=3（个）……2（根） 2、余数小于除数 3、不可能；因为余数等于或大于除数时，能再摆一个三角形，不符合余数的定义 新知探究2 1、（1）不对 （2）不对 2、小于 新知探究3 1、（1）1；4；1、2、3、4 （2）1；6；1、2、3、4、5、6 2、（1）余数是有剩余的数量，不能为0，所以最小是1 （2）余数必须小于除数，所以最大是除数减1 巩固提升 1、可能剩1根、2根、3根、4根；除数是5，余数的取值范围是1到4（5-1），所以剩余根数只能是这4种情况 2、8-1=7（颗）；最多剩7颗；除数是8，最大余数是8-1=7，所以剩余最多7颗 学科网（北京）股份有限公司 $