第02讲 导数的运算（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第二册）

本讲义聚焦高中数学导数的运算核心知识点，系统梳理基本初等函数导数公式、四则运算法则及复合函数求导法则，构建从公式记忆到法则应用，再到复合函数求导及切线方程、参数求解等综合应用的学习支架。 资料特色在于题型分类全面，涵盖基础运算、切线问题、参数求解及新定义题型（如曲率、拐点），通过例题与变式题结合，培养学生用数学眼光发现问题、用数学思维推理运算的能力。课中助力教师分层教学，课后学生可通过练习巩固知识，查漏补缺，提升导数应用能力。

第02讲 导数的运算 【人教A版】 模块一 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【题型1 基本初等函数的导数】 【例1】（24-25高二下·福建泉州·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据基本初等函数的导数公式计算可得. 【解答过程】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D． 【变式1.1】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知，则（    ） A．3 B．1 C．-3 D．-1 【答案】A 【解题思路】对函数求导，令即可求出的值. 【解答过程】因为， 对函数求导， 令，则，解得. 故选：A. 【变式1.2】（24-25高二下·北京顺义·期末）下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】按照基础函数的导数计算逐一判断即可. 【解答过程】对A，，故错误； 对B，，正确； 对C，，故错误； 对D，，故错误. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二下·辽宁·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据导数运算公式求导数，逐项判断即可. 【解答过程】因为，所以，A错误； 因为，，且，所以，B正确； 因为， 故C错误， 因为，D错误， 故选：B. 【题型2 导数的四则运算法则】 【例2】（24-25高二下·北京延庆·期末）已知函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．－1 D． 【答案】C 【解题思路】根据函数求导公式，求出导函数，计算导数值. 【解答过程】由题意，， 即. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高二下·北京丰台·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据求导的乘法公式，求导后直接代入求值即可. 【解答过程】， 所以. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二下·福建泉州·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求解即可； （2）利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求解即可； （3）利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求解即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【变式2.3】（24-25高二下·甘肃兰州·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）（3）利用求导公式及导数的运算法则求出导数. 【解答过程】（1）. （2） . （3），则. 【题型3 简单复合函数的导数】 【例3】（24-25高二下·湖北·期中）下列函数的求导不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用复合函数求导法则，逐项求导判断. 【解答过程】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高三下·山东泰安·月考）已知函数，其导函数记为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】化简，令，判断该函数的奇偶性，结合奇偶性以及，求得，根据复合函数求导法则得，进而得，即，即可得解. 【解答过程】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以； 因为，所以，即， 又，所以，所以， 所以． 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二下·河南·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据导数的计算公式和运算法则、以及复合函数求导规则逐一计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【变式3.3】（24-25高二下·广西河池·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）利用求导公式、导数的运算法则求解即得. 【解答过程】（1）由题意可知：. （2）由题意可知：， 所以. （3）由题意可知：. （4）由题意可知：. 【题型4 求曲线的切线方程（斜率）】 【例4】（24-25高二下·河北邢台·月考）函数的图象在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求导，根据导数的几何意义，将代入即可得答案. 【解答过程】因为，所以，所以． 所以函数的图象在点处的切线的斜率为. 故选：C. 【变式4.1】（24-25高二下·河北承德·月考）曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．120° D．135° 【答案】D 【解题思路】根据导数的几何意义求斜率，再求倾斜角. 【解答过程】因为，则，所以， 所以曲线在点处的切线的倾斜角为. 故选：D． 【变式4.2】（24-25高二下·河北保定·期中）曲线在处的切线倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由导数的意义求出切线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的大小即可. 【解答过程】设曲线在处的切线倾斜角为， 因为，则. 所以曲线在处的切线倾斜角是， 故选：D. 【变式4.3】（24-25高二下·北京海淀·期中）若直线过原点，且与函数的图像相切，则该直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，由切点坐标可得切线斜率，由点斜式即可得切线方程，代入坐标原点即可求解，进而可求斜率. 【解答过程】因为，所以，设切点为，所以 ， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程的斜率为. 故选：B. 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 【例5】（24-25高二下·广东潮州·月考）设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出切点，根据在切点处的导数即为切线的斜率以及切点既在切线上又在曲线上列等式，即可求的值. 【解答过程】设切点为，，直线的斜率. 则，得，. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有实数根，求得的取值范围. 【解答过程】∵， ∴， 设切点为，则，切线斜率， ∴切线方程为， ∵切线过原点， ∴，整理得： ∵存在过坐标原点的切线， ∴，解得或， ∴实数的取值范围是. 故选：B. 【变式5.2】（25-26高三上·江苏南京·月考）已知函数的图象与直线相切，则实数___________． 【答案】1 【解题思路】设切点，根据导数的几何意义得到切线方程，结合函数与相切，得到即可求解． 【解答过程】设切点为， ，则， 切线方程为，即， 又因为函数的图象与直线相切， 所以，解得． 故答案为：1． 【变式5.3】（24-25高二下·湖北·期中）已知函数在点处的切线方程为，则___________． 【答案】3 【解题思路】根据题意，利用导数的几何意义，列出方程组，求得和的值，即可求解. 【解答过程】∵，∴，. ∵函数在点处的切线方程为， ∴，， 解得，，∴. 故答案：. 【题型6 切线的条数问题】 【例6】（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【解题思路】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可. 【解答过程】由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点不是切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B. 【变式6.1】（2025·全国·模拟预测）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】设切点为，根据导数的几何意义求得在切点处的切线方程，再将代入，求得的值，即可得解. 【解答过程】解：因为，所以， 设切点为， 所以在切点处的切线方程为， 又在切线上，所以， 即， 整理得，解得或， 所以过点可作曲线的切线的条数为2. 故选：C． 【变式6.2】（24-25高二下·安徽·月考）过点作曲线：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【答案】 【解题思路】由导数的意义得到切线的斜率，然后由点斜式得到切线方程，代入点结合切点在曲线上化简可得. 【解答过程】设， 由题意可得切线的斜率， 所以切线方程为， 代入点可得 因为切点在曲线上，所以，代入上式可得， 化简可得， 又，所以， 同理 所以直线方程为. 故答案为：. 【变式6.3】（24-25高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【解答过程】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 【例7】（24-25高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】求导，与直线垂直，求出的值. 【解答过程】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D. 【变式7.1】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【解答过程】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 【变式7.2】（24-25高二上·湖南·期末）已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 【答案】(1). (2). 【解题思路】（1）求导函数，求得，，得出的图象在处的切线方程，由此求得答案； （2）设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求得在点处切线方程，在点在切线方程.建立方程组，求解即可. 【解答过程】（1）解：因为，所以的图象在处切线的斜率为. 又，所以的图象在处的切线方程为， 则，故的面积为. （2）解：设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，则 由点在切线上，得； 由点在切线上，得. 故，解得. 故. 【变式7.3】（24-25高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，先求导数得到切线的斜率，利用点斜式可得方程； （2）先求两个函数的导数，利用公切线建立等量关系，求解方程可得答案. 【解答过程】（1）当时，，，. 曲线在处的切线方程为，即. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，. 曲线在点A处的切线为， 与曲线相切于点， 则且（*）， 由，则， 代入（*）得， 解得或. 当时，直线.当时，，直线. 故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或. 【题型8 导数运算的新定义问题】 【例8】（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】求出，，则，，代入曲率公式求解即可． 【解答过程】令，则，． 因为，， 所以曲线在点处的曲率为 ． 故选：B. 【变式8.1】（24-25高二下·黑龙江绥化·月考）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的有（    ）个 ①. ②. ③ .   ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用凸函数的定义逐项判断即可. 【解答过程】①由，得，， 因为，所以，则，即， 故在上是凸函数； ②由，得，是上恒成立， 故在上是凸函数； ③由，得，则是上恒成立， 故在上是凸函数； ④由，得 ，则，故在上不是凸函数. 故选：C. 【变式8.2】（2025·河南南阳·模拟预测）对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题： (1)求函数的“拐点”A的坐标； (2)求证：的图像关于“拐点”A对称，并求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【解题思路】（1）根据“拐点”的定义求出的根，然后代入函数解析式可求出“拐点” 的坐标． （2）设出点的坐标，根据中心对称的定义即可证明，利用对称性可得结果. 【解答过程】（1）∵，，∴令， 得. 有，∴“拐点”A为. （2）证明：设，是图像上任意一点，则. ，是关于“拐点”的对称点为. 把点坐标代入得左边， 右边，∴左边＝右边. ∴点在的图像上， ∴关于“拐点”A对称， 由对称性可得， . 【变式8.3】（2025·安徽·一模）给出以下三个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，； ②若，定义； ③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式. 例如在点处的泰勒展开式为 根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的泰勒展开式； (2)用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位； (3)现已知，试求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用阶泰勒展开式的定义，可求， （2）由（1）可求； （3）由（1）可得，进而可得，结合已知可得结论. 【解答过程】（1），，，， 所以，，，， 由， 所以； （2）由（1）可得 ； （3）因为 ①， 对， 两边求导可得：， 所以， 所以②， 比较①②中的系数，可得： ， 所以. 一、单选题 1．（24-25高二下·广东肇庆·月考）下面求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用基本初等函数的求导公式逐项求解作答. 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知为函数的导函数，则的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求导得，利用奇偶性即可判断A，计算即可判断D，当时，判断即可判断C，进而求解. 【解答过程】由题意有， 又，所以为奇函数，排除A； 又，排除D； 由，排除C，故B正确. 故选：B. 3．（24-25高二下·广东中山·月考）下列命题正确的有（    ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【答案】D 【解题思路】利用导数的定义求解判断A；求出导数并列式求得判断B；利用导数的运算法则求解判断C；两边求导再赋值求出判断D. 【解答过程】对于A，，A错误； 对于B，由，求导得，则由，解得，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，由，求导得， 则，解得，D正确. 故选：D. 4．（2025·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】设切点为，根据导数的几何意义求得，再由切点在直线和曲线上有，即可求. 【解答过程】设直线与曲线的切点为， 对 求导，得，直线的斜率为1， 导数的几何意义知，在切点处，即． 又切点既在直线上又在曲线上， 且，即． 将代入，得：，即． 故选：A. 5．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数，其导函数记为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】化简，令，判断该函数的奇偶性，结合奇偶性以及，求得，根据复合函数求导法则得，进而得，即，即可得解. 【解答过程】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以； 因为，所以，即， 又，所以，所以， 所以． 故选：D. 6．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得当时，，然后由点斜式可得切线方程. 【解答过程】因为奇函数，当时，， 则当时，， 从而，则曲线在点处的切线方程是： 即. 故选：B. 7．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】求两曲线的公切线方程，确定的值. 【解答过程】取点为曲线上一点，因为， 所以曲线在处的切线为：， 即. 取点为曲线上一点，因为， 所以曲线在处的切线为：， 即. 由公切线的概念可知： . 所以两曲线的公切线为：. 故. 故选：A. 8．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切点坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离. 【解答过程】直线的斜率， 而曲线，即函数定义域为， 设，对函数求导得， 令，而，解得，此时， 则曲线上与直线平行的切线的切点为， 所以曲线上点到直线的最小距离，即为点到直线的距离. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）下列命题正确的是（   ） A． B．已知函数在上可导，若，则 C．已知函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 【答案】AC 【解题思路】根据复合函数的求导法则可判断选项A；根据导数定义可判断选项B；根据导数的求导法则可判断选项CD. 【解答过程】对于A：，故A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，则． 由，得，即，解得或（舍去），故选项C正确； 对于D，由，得，故，故选项D错误． 故选：AC． 10．（24-25高二下·河北承德·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】由为奇函数得，赋值即可判断A；由为偶函数得，结合可得，求导可得即可判断B；由得，求导可得，继而得到的周期性，即可判断CD. 【解答过程】因为为奇函数， 所以， 则，即，故A正确； ，即 又为偶函数，所以， 两边求导，即，故B错误； 又，即，则， 即，， 又，所以，即，故C正确； 由，，所以，故D正确； 故选：ACD. 11．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】根据题意利用“巧值点”的定义及方程解的情况判断即可. 【解答过程】对于A，，由，则， 所以有1个“巧值点”，故A正确； 对于B，，由，则， 所以有1个“巧值点”，故B正确； 对于C，，由得，而该方程无解，故C错误； 对于D，，由得， 即，显然方程有无数个解， 所以函数有无数个“巧值点”，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高二下·山东枣庄·期末）已知满足，则在处的导数为 . 【答案】 【解题思路】根据导数的运算法则，结合复合函数求导法则、赋值法进行求解即可. 【解答过程】，所以有， 故答案为：. 13．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数 . 【答案】 【解题思路】求出函数的导函数，依题意，计算可得. 【解答过程】因为， 所以 ， 又曲线在点处的切线与直线平行， 所以，即， 所以， 故答案为：. 14．（24-25高二下·广东中山·月考）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】切点为，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图象可求得t的范围. 【解答过程】由求导，得， 设切点为，则切线方程， 由切线过，得，整理得， 令，依题意方程有两个不同的解， 函数的对称轴为， 且当时，，当时，.作出函数的图象. 由图知，方程有两个不同的解等价于. 即的范围为， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·青海海南·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】利用导数的运算规则和复合函数求导方法可得答案. 【解答过程】（1）因为，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以. （4）因为，所以. 16．（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数. (1)若函数的图象恒过定点，且在定点处的切线方程与直线平行，求定点的坐标和实数的值； (2)若函数的图象存在与直线垂直的切线，求实数的取值范围. 【答案】(1),的值为; (2). 【解题思路】（1）令可求出定点的坐标，由导数的几何意义可得，根据两直线平行对应的斜率相等列方程可求实数的值； （2）由题意可得有解，分离参数即可求解. 【解答过程】（1）令，可得， 所以函数的图象恒过定点. 因为，所以. 因为在定点处的切线方程与直线平行，且直线的斜率为， 所以，解得. 验证，点不在直线上，故成立. 所以定点的坐标为，的值为. （2），直线的斜率为， 若函数的图象存在与直线垂直的切线， 所以有解，即有解. 因为，所以，即， 所以实数的取值范围是. 17．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求赋值代入计算即可，求需要先求出的导数然后赋值代入计算即可. （2）求赋值代入计算即可，求需要先应用复合函数求导及分式求导求出的导数然后赋值代入计算即可. 【解答过程】（1）因为， 所以. 因为， 所以. （2）因为， 所以. 因为， 所以. 18．（24-25高二下·江苏苏州·月考）（1）求曲线过点的切线方程. （2）已知函数与的图象有两条公切线，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2） 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，分为切点和不为切点两种情况求解即可； （2）设直线与相切于点，直线与相切于点，可得，消去得，，进而结合题意求解即可. 【解答过程】（1）由，则， 当为切点时，切线斜率为， 此时切线方程为，即； 当不为切点时，设切点为，， 则切线斜率为，解得， 此时切线斜率为0，则切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （2）由，， 则，， 设直线与相切于点，则切线的斜率为， 直线与相切于点，则切线的斜率为， 则， 消去得，， 因为函数与的图象有两条公切线， 则，解得， 即实数的取值范围为. 19．（24-25高二下·江西南昌·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若直线是曲线的一条切线，求切点的坐标； (3)设函数为曲线上任意一点，求曲线C在点P处的切线斜率的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）设切线坐标，进而可得切线方程，结合题意列方程求解即可； （3）构建，求导结合基本不等式运算求解. 【解答过程】（1）因为，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为. （2）切线即为， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为，即， 可得，消去可得， 且，则，可得，， 所以切点坐标为. （3）由（1）可知：，， 构建， 可知的定义域为，且， 可得曲线C在点P处的切线斜率 当且仅当，时，等号成立， 所以曲线C在点P处的切线斜率的最小值为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 导数的运算 【人教A版】 模块一 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【题型1 基本初等函数的导数】 【例1】（24-25高二下·福建泉州·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知，则（    ） A．3 B．1 C．-3 D．-1 【变式1.2】（24-25高二下·北京顺义·期末）下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二下·辽宁·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 导数的四则运算法则】 【例2】（24-25高二下·北京延庆·期末）已知函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．－1 D． 【变式2.1】（24-25高二下·北京丰台·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二下·福建泉州·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【变式2.3】（24-25高二下·甘肃兰州·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【题型3 简单复合函数的导数】 【例3】（24-25高二下·湖北·期中）下列函数的求导不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高三下·山东泰安·月考）已知函数，其导函数记为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3.2】（24-25高二下·河南·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【变式3.3】（24-25高二下·广西河池·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【题型4 求曲线的切线方程（斜率）】 【例4】（24-25高二下·河北邢台·月考）函数的图象在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二下·河北承德·月考）曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．120° D．135° 【变式4.2】（24-25高二下·河北保定·期中）曲线在处的切线倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二下·北京海淀·期中）若直线过原点，且与函数的图像相切，则该直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 【例5】（24-25高二下·广东潮州·月考）设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高三上·江苏南京·月考）已知函数的图象与直线相切，则实数___________． 【变式5.3】（24-25高二下·湖北·期中）已知函数在点处的切线方程为，则___________． 【题型6 切线的条数问题】 【例6】（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式6.1】（2025·全国·模拟预测）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6.2】（24-25高二下·安徽·月考）过点作曲线：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【变式6.3】（24-25高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 ． 【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 【例7】（24-25高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式7.1】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二上·湖南·期末）已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 【变式7.3】（24-25高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【题型8 导数运算的新定义问题】 【例8】（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 【变式8.1】（24-25高二下·黑龙江绥化·月考）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的有（    ）个 ①. ②. ③ .   ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8.2】（2025·河南南阳·模拟预测）对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”.现已知.请解答下列问题： (1)求函数的“拐点”A的坐标； (2)求证：的图像关于“拐点”A对称，并求的值. 【变式8.3】（2025·安徽·一模）给出以下三个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，； ②若，定义； ③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式. 例如在点处的泰勒展开式为 根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的泰勒展开式； (2)用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位； (3)现已知，试求的值. 一、单选题 1．（24-25高二下·广东肇庆·月考）下面求导正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知为函数的导函数，则的大致图象是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东中山·月考）下列命题正确的有（    ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 4．（2025·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数，其导函数记为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 8．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）下列命题正确的是（   ） A． B．已知函数在上可导，若，则 C．已知函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 10．（24-25高二下·河北承德·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二下·山东枣庄·期末）已知满足，则在处的导数为 . 13．（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数 . 14．（24-25高二下·广东中山·月考）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高二下·青海海南·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数. (1)若函数的图象恒过定点，且在定点处的切线方程与直线平行，求定点的坐标和实数的值； (2)若函数的图象存在与直线垂直的切线，求实数的取值范围. 17．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数与满足，，，.对于下列函数，求和. (1)； (2). 18．（24-25高二下·江苏苏州·月考）（1）求曲线过点的切线方程. （2）已知函数与的图象有两条公切线，求实数的取值范围. 19．（24-25高二下·江西南昌·期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若直线是曲线的一条切线，求切点的坐标； (3)设函数为曲线上任意一点，求曲线C在点P处的切线斜率的最小值． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $