5.2 导数的运算（3知识点+10考点+过关检测）（寒假预习讲义）高二数学人教A版

5.2 导数的运算 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 基础初等函数的导数 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 根据导数的定义求函数的导数，就是求出当时，无限趋近的那个定值. 下面求几个常用函数的导数. （24-25高二下·福建泉州·月考）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点2：导数运算法则 (1)； 拓展：； 记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差； (2)； 记忆：两函数积的导数等于“前导后不导后导前不导”； 特别：，为常数； 证明 ； (3). 记忆：两函数商的导数等于“分母平分，子导母不导减母导子不导”. （23-24高二下·陕西咸阳·期末）下列求函数的导数不正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点3 ： 复合函数的导数 对于两个函数和，若通过变量可以表示成的函数，则称这个函数为函数和的复合函数，记作． 复合函数的导数与函数 的导数间的关系是 Eg若，设，， 则. （25-26高三上·福建龙岩·月考）函数的导函数（    ） A． B． C． D． 题型一：基本初等函数的导数 例1.1（24-25高二下·北京海淀·期中）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 例1.2（24-25高二下·北京·期中）已知函数，则（   ） A．2 B． C． D． 【变式1-1】（22-23高二下·四川成都·期中）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二下·河北·期末）已知函数（α为常数），若，则α的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-4】（25-26高三上·辽宁·开学考试）若函数，则（   ） A． B． C． D． 题型二：导数的加减法 例2.1 （24-25高二下·四川成都·月考）已知函数，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2-1】（23-24高二下·天津·期中）已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式2-2】（24-25高二下·黑龙江·期中）若曲线在处的切线的斜率为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式2-3】（24-25高二下·河南·期中）若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 题型三：导数的乘法 例3. （24-25高二下·广西北海·期末）已知函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二下·河北邢台·月考）函数的导函数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·北京丰台·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二下·陕西西安·月考）已知，其导函数为，则（    ） A． B． C． D． 题型四：导数的除法 例4. （24-25高二下·天津武清·月考）已知函数为的导函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23高二上·陕西商洛·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·广西河池·月考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数，则（    ） A． B． C．0 D．0或 题型五：简单复合函数的导数 例5. （22-23高二·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【变式5-1】（24-25高二下·湖北武汉·月考）下列求导运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二下·海南·月考）已知函数，若，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式5-3】（24-25高二下·山东聊城·期末）一个弹簧振子做简谐运动，其位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为，该弹簧振子在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 题型六：求在曲线上一点处的切线方程（或斜率） 例6. （2025·湖南长沙·模拟预测）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（    ） A． B．± C． D．± 【变式6-1】（23-24高二下·山东枣庄·期中）曲线在处的切线斜率为（   ） A．0 B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二下·河北保定·期中）曲线在处的切线倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高三上·河北·月考）设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 题型七：求过一点的切线方程 例7. （24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【变式7-1】（2025·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高三上·山西运城·月考）已知函数，过原点作曲线的切线，则直线与曲线及轴围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高三上·江苏·月考）已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 题型八：已知切线（或斜率）求参数 例8. （25-26高三上·重庆·月考）已知直线与函数的图象相切，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．-5 【变式8-1】（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式8-2】（24-25高二下·浙江台州·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式8-3】（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九：两条切线平行或垂直问题 例9. （25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二下·山西·期中）设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二下·广东潮州·月考）已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【变式9-3】（2024高三·全国·专题练习）若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 题型十：公切线问题 例10. （25-26高三上·陕西西安·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 【变式10-1】（2025·山东聊城·模拟预测）若曲线在处的切线与曲线（为常数）相切，则（   ） A．3 B．0 C．2 D．1 【变式10-2】（2025·甘肃·二模）已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（    ） A．0 B． C．3 D．或3 【变式10-3】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 1（24-25高二下·四川凉山·期中）下列函数的求导正确的是（    ） A． B． C． D． 2（22-23高二上·陕西商洛·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二下·北京房山·月考）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 4（24-25高三下·海南省直辖县级单位·月考）曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A．- B． C．1 D．-1 5（24-25高二下·湖南·月考）已知函数在点处的切线与直线垂直，则（    ） A．－2 B．－1 C．2 D．3 6（25-26高三上·山西大同·期中）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 7（24-25高三上·北京·期末）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8(多选)（25-26高二·全国·假期作业）（多选）曲线在点处的切线平行于直线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 9（25-26高三上·安徽芜湖·月考）若直线与函数的图象相切，则 ． 10（24-25高二下·海南省直辖县级单位·月考）求下列函数的导函数 (1) (2)； (3) (4) 11（25-26高三上·江西·期中）已知函数，且的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)过原点作曲线的两条切线，切点分别为. ①求切线的方程； ②求的面积. 12（25-26高二上·上海·期中）若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 导数的运算 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 基础初等函数的导数 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 原函数 导函数 根据导数的定义求函数的导数，就是求出当时，无限趋近的那个定值. 下面求几个常用函数的导数. （24-25高二下·福建泉州·月考）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D不正确； 故选：A 知识点2：导数运算法则 (1)； 拓展：； 记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差； (2)； 记忆：两函数积的导数等于“前导后不导后导前不导”； 特别：，为常数； 证明 ； (3). 记忆：两函数商的导数等于“分母平分，子导母不导减母导子不导”. （23-24高二下·陕西咸阳·期末）下列求函数的导数不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用求导法则进行判断 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：B 知识点3 ： 复合函数的导数 对于两个函数和，若通过变量可以表示成的函数，则称这个函数为函数和的复合函数，记作． 复合函数的导数与函数 的导数间的关系是 Eg若，设，， 则. （25-26高三上·福建龙岩·月考）函数的导函数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数求导法则直接求导即可. 【详解】函数的导函数. 故选：C 题型一：基本初等函数的导数 例1.1（24-25高二下·北京海淀·期中）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的导数公式可逐项判断各选项中导数运算的正误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 例1.2（24-25高二下·北京·期中）已知函数，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：C 【变式1-1】（22-23高二下·四川成都·期中）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数公式判断各项正误即可. 【详解】由，，，， 所以A、B、D错，C对. 故选：C 【变式1-2】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，根据题中条件代入计算得到答案. 【详解】， ，解得. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高二下·河北·期末）已知函数（α为常数），若，则α的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求得，再由列式求解即得. 【详解】因为，， 则，解得. 故选：C. 【变式1-4】（25-26高三上·辽宁·开学考试）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求导公式及导数的定义求解. 【详解】由题意得，， 则． 故选：B 题型二：导数的加减法 例2.1 （24-25高二下·四川成都·月考）已知函数，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】直接求导求值即可． 【详解】， ， ， 故选：C． 【变式2-1】（23-24高二下·天津·期中）已知函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】求导，再令即可得解. 【详解】， 所以. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高二下·黑龙江·期中）若曲线在处的切线的斜率为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先对给定的函数求导，然后将带入即可. 【详解】由题意得，则，由导数的几何意义可知切线的斜率为， 故选：. 【变式2-3】（24-25高二下·河南·期中）若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】直接求导计算即可. 【详解】，， 则其时物体的瞬时速度是16. 故选：C. 题型三：导数的乘法 例3. （24-25高二下·广西北海·期末）已知函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，代值计算可得的值. 【详解】由题意知，，所以， 故选：D． 【变式3-1】（24-25高二下·河北邢台·月考）函数的导函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的导数的运算法则求导函数. 【详解】因为， 所以 . 故选：D 【变式3-2】（24-25高二下·北京丰台·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求导的乘法公式，求导后直接代入求值即可. 【详解】， 所以. 故选：C. 【变式3-3】（24-25高二下·陕西西安·月考）已知，其导函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的表达式，在、的表达式中，分别令，可得出关于、的值，得出结果. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以，则. 故选：D. 题型四：导数的除法 例4. （24-25高二下·天津武清·月考）已知函数为的导函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导函数，将x=1代入即可得解. 【详解】因函数，则， 于是得. 故选：B 【变式4-1】（22-23高二上·陕西商洛·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由导数的四则运算代入计算，即可判断. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A 【变式4-2】（24-25高二下·广西河池·月考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，代值计算可得出的值. 【详解】因为，则，故. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数，则（    ） A． B． C．0 D．0或 【答案】D 【分析】求出函数的导数，再列式求解. 【详解】函数，求导得， 则，解得或． 故选：D 题型五：简单复合函数的导数 例5. （22-23高二·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据复合函数求导法则和初等函数导数公式求导可得. 【详解】（1）函数可以看作与复合而成， 根据复合函数求导法则有． （2）函数可以看作与复合而成， 根据复合函数求导法则有． （3）函数可以看作与复合而成， 根据复合函数求导法则有. 【变式5-1】（24-25高二下·湖北武汉·月考）下列求导运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数求导法则对选项ABC逐一判断即可知AB错误，C正确，再结合除法运算法则可得D错误. 【详解】对于A，易知，即A错误； 对于B，，即B错误； 对于C，，可得C正确； 对于D，，即D错误. 故选：C 【变式5-2】（24-25高二下·海南·月考）已知函数，若，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据复合函数求导原则，结合代入法进行求解即可. 【详解】. 故选：D 【变式5-3】（24-25高二下·山东聊城·期末）一个弹簧振子做简谐运动，其位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为，该弹簧振子在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据瞬时速度即位移y的导数，先求出导函数，再代值计算即可. 【详解】由求导得， 依题意该弹簧振子在时的瞬时速度为： . 故选：A. 题型六：求在曲线上一点处的切线方程（或斜率） 例6. （2025·湖南长沙·模拟预测）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（    ） A． B．± C． D．± 【答案】C 【分析】先求导，通过导数的几何意义得到函数在处的切线斜率，再利用同角三角函数的关系得到sin2的值． 【详解】因为 所以 当时，，此时， ∴． 故选：C. 【变式6-1】（23-24高二下·山东枣庄·期中）曲线在处的切线斜率为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】由导函数的几何意义得，曲线在某点处的导函数值即是在该点处的切线斜率，进而可求解. 【详解】因为，所以， 将代入可得切线斜率为. 故选：D. 【变式6-2】（23-24高二下·河北保定·期中）曲线在处的切线倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由导数的意义求出切线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的大小即可. 【详解】设曲线在处的切线倾斜角为， 因为，则. 所以曲线在处的切线倾斜角是， 故选：D. 【变式6-3】（25-26高三上·河北·月考）设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，利用导数的公式求出，从而求出，利用点斜式得到在点处的切线方程. 【详解】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 题型七：求过一点的切线方程 例7. （24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可. 【详解】由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点不是切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B 【变式7-1】（2025·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 【变式7-2】（24-25高三上·山西运城·月考）已知函数，过原点作曲线的切线，则直线与曲线及轴围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，可得切线方程，再利用定积分的几何意义求解即可. 【详解】由可得，设切点为， 则切线方程为， 把代入可得，故，可得切线方程为， 则直线与曲线及轴围成的图形的面积为. 故选：C 【变式7-3】（25-26高三上·江苏·月考）已知函数，若在点可以作曲线的两条切线，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数在分界点处有公切线，从而猜想点在公切线上即可求解. 【详解】作出函数的图象， 求导得：， 由于函数在处的切线为， 而函数在处的切线为， 由于两分段函数在分界点处的切线相同， 所以可取公切线上的点，再作函数的另一条切线即可， 根据选项分析，只有在公切线上， 故选：B 题型八：已知切线（或斜率）求参数 例8. （25-26高三上·重庆·月考）已知直线与函数的图象相切，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．-5 【答案】A 【分析】利用导数来求出斜率，通过切线斜率来求切点坐标，再代入切线方程，即可求参数值. 【详解】由切线斜率，则，解得：或(舍去)， 因为，所以切点坐标为，代入切线方程得：， 故选：A. 【变式8-1】（25-26高三上·山东聊城·期中）已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】对函数求导，根据导数的几何意义结合切线方程求出结果即可. 【详解】对函数求导得， 因为函数在点处的切线方程为， 所以有，解得. 所以. 故选：A. 【变式8-2】（24-25高二下·浙江台州·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】设切点为，再根据切点在曲线与切线上，以及导数的几何意义可得，最后根据函数的单调性以及即可得解. 【详解】因为， 所以， 设直线与曲线的切点为， 所以， 所以，且， 令函数，， 因为， 所以函数在单调递减，在单调递增， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 【变式8-3】（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有实数根，求得的取值范围. 【详解】∵， ∴， 设切点为，则，切线斜率， ∴切线方程为， ∵切线过原点， ∴，整理得： ∵存在过坐标原点的切线， ∴，解得或， ∴实数的取值范围是. 故选：B. 题型九：两条切线平行或垂直问题 例9. （25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义即可求解． 【详解】， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以切线斜率，解得． 故选：D． 【变式9-1】（24-25高二下·山西·期中）设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到曲线在点处的切线的斜率为，进而得到的值，得到答案. 【详解】曲线在点处的切线与直线垂直， 可得曲线在点处的切线的斜率为，所以． 故选：C. 【变式9-2】（24-25高二下·广东潮州·月考）已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据的导函数为，又由其过P点的切线与直线平行性可知，求得切点P的横坐标，代回曲线方程求得的值，可得答案. 【详解】解：由题意可知：函数的导函数为 过P点的切线与直线平行 ，解得 当时，，此时切线方程为，即； 当时，，此时切线方程为，即. 所以点P的坐标是（2，14）或（-2，-14） 故选:C 【变式9-3】（2024高三·全国·专题练习）若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可得，利用正弦函数的值域分析推得中必有一个为1，另一个为，由此可求得，，即得，结合图象，可得等腰直角三角形，从而得到，对取值即可判断. 【详解】因，故,易知切线的斜率存在． 因曲线在与处的切线互相垂直， 则．因, 不妨设，， 则，， 此时,． 如图，设，，， 则是以为直角顶点的等腰直角三角形（切线的斜率为1，切线的斜率为）． 由图知，， 易得． 取，得．经检验,当时,无法使的值取到,和. 故选:C． 题型十：公切线问题 例10. （25-26高三上·陕西西安·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【分析】设出两个切点的横坐标，根据公切线可得关于切点横坐标的方程组，求出其解后可得直线的斜率. 【详解】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. 【变式10-1】（2025·山东聊城·模拟预测）若曲线在处的切线与曲线（为常数）相切，则（   ） A．3 B．0 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程为，设切线与曲线相切的切点为，得到，求得的值，进而得到答案. 【详解】由函数，可得，所以且， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由，可得， 设切线与曲线相切的切点为，则， 解得，所以，解得. 故选：C. 【变式10-2】（2025·甘肃·二模）已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（    ） A．0 B． C．3 D．或3 【答案】D 【分析】先求得在处的切线方程，然后与联立，由求解. 【详解】因为， 所以， 则， 所以 所以函数在处的切线方程为， 由得， 由，解得或， 故选：D 【变式10-3】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 1（24-25高二下·四川凉山·期中）下列函数的求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的计算公式与求导法则计算即得． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：B． 2（22-23高二上·陕西商洛·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由导数的四则运算代入计算，即可判断. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A 3（24-25高二下·北京房山·月考）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导后，代入即可构造方程求得结果. 【详解】，，解得：. 故选：B. 4（24-25高三下·海南省直辖县级单位·月考）曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A．- B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，求得其倾斜角，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 则，即曲线在处的切线的斜率为，即， 因为，所以，所以. 故选：A. 5（24-25高二下·湖南·月考）已知函数在点处的切线与直线垂直，则（    ） A．－2 B．－1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程即可得到所求值. 【详解】函数的导数为， ∴，即函数在处的切线斜率为， 由切线与直线垂直， 可得， 解得. 故选：B. 6（25-26高三上·山西大同·期中）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得曲线在点处的切线，再根据直线与抛物线相切求解即可. 【详解】由得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 由，得， 所以，解得. 故选：D. 7（24-25高三上·北京·期末）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线与直线相切时的斜率，由数形结合得解. 【详解】设直线与相切于点， 由，则， 所以切线方程为，又切线过， 所以，解得， 所以，作出及切线的图象，如图， 由图象可知，当时，成立. 故选：D 8(多选)（25-26高二·全国·假期作业）（多选）曲线在点处的切线平行于直线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设切点坐标，利用导数求出切线斜率建立方程求出切点，即可得出切线方程. 【详解】设切点， 由知， 所以切线斜率，解得， 故或， 所以切线方程为或， 即切线方程为或. 故选：AB 9（25-26高三上·安徽芜湖·月考）若直线与函数的图象相切，则 ． 【答案】 【分析】设出切点坐标，求导函数，结合切线斜率，利用直线与曲线相切，从而可得切点坐标，代入，可求得的值． 【详解】设直线与函数图象的切点为， ， ， ，， ， ，又在直线上， ，． 故答案为：． 10（24-25高二下·海南省直辖县级单位·月考）求下列函数的导函数 (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用幂函数与指数函数的求导法则求导即得； （2）利用乘法的求导法则求导即得； （3）利用除法的求导法则求导即得； （3）利用复合函数的求导法则求导即得. 【详解】（1） （2）因为， 所以； （3）因为， 所以 ； （4）因为， 所以 . 11（25-26高三上·江西·期中）已知函数，且的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)过原点作曲线的两条切线，切点分别为. ①求切线的方程； ②求的面积. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将所给点代入函数解析式，解得即得； （2）①先求出时，过原点的曲线的切线方程，再根据是偶函数，由对称性求得另一条切线； ②求得切点坐标，根据形状利用面积公式求解. 【详解】（1）由已知得，即， 所以. 故. （2）①当时，. 不妨设切点. 所以.故切线的方程为. 因为过原点，故，解得. 所以切线的方程为. 又为偶函数，其图象关于轴对称， 故切线的方程为. 所以切线的方程为. ②由①可知，，由对称性可知， 为等腰三角形，其面积为 12（25-26高二上·上海·期中）若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【答案】(1)；； (2)；. 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求切线方程可得； （2）根据公切线的定义可求得公切点，进而可得所求结果. 【详解】（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为． 对求导，可得，将代入，得切线斜率． 切线方程，即. 对求导，，将，得切线斜率． 切线方程，即. 所以交点处的切线方程为，. （2）设公切点． 对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率． 对求导，可得，则在点处的切线斜率. 因为两函数在点处存在公切线，所以，即①． 又因为点在两函数图象上，所以②． 由①得，将其代入②可得：，即，解得. 将代入（1）得：，解得. 将代入得. 所以，点的坐标为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $