精品解析：广东清远市松岗中学2025-2026学年下学期九年级数学学科 练习

广东清远市松岗中学2025-2026学年下学期九年级数学学科练习 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 某校举行数学知识竞赛，若得分记作分，那么扣分应记作( ) A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际意义，根据题目中规定的正负数表示方法，得分用正数，扣分则用负数表示，直接判断即可． 【详解】解：规定得分记作分，即正数表示得分情况， 扣分应记作分， 故选：D． 2. 一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．从左面看到的这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，需要有一定的空间想象能力． 可得从左面看到的这个几何体第一列有2个正方形，第二列有3个正方形，第三列有1个正方形，据此即可画出图形． 【详解】解：由从上面看到的几何体的形状图可得从左面看到的这个几何体第一列有2个正方形，第二列有3个正方形，第三列有1个正方形， 故从左面看到的这个几何体的形状图是： 故选：A． 3. 2025年3月，中国科研团队成功实现从中国本土到南非的12900公里点对点量子通讯，这标志着保密通讯技术的重大突破．将12900用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的形式为（其中，为整数）． 先确定的值，使它满足，再根据原数的位数确定的值，从而写出正确的科学记数法形式． 【详解】解：A、，但，不满足科学记数法的要求，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，且，此选项符合题意； D、，但，不满足科学记数法的要求，此选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，，F为上一点，，且平分，于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④平分．其中正确的结论有（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据可得，从而可得，再根据可得，再根据代入计算，即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断③；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断②和④． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，则结论①正确； ∵， ∴， ∴，则结论③正确； ∵， ∴，， 但不一定等于，也不一定等于， 所以平分，平分都不一定正确，则结论②和④都错误； 综上，正确的是①③． 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 在一个不透明的袋子中装有红色小球4个和白色小球2个，除颜色外其他都相同，现随机抽取1个小球，恰好摸到红球的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率的定义． 根据简单概率公式计算即可求解． 【详解】解：∵总小球数为个，红球有4个， ∴摸到红球的概率为． 故选：B． 7. 如图，在中，已知，垂直平分，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，由线段垂直平分线的性质得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 不等式组的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解为， 故选：C． 9. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为， 故选：B． 10. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 【答案】A 【解析】 【分析】M是三条角平分线的交点，过M作，则得出，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：，即可求解． 【详解】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM=∠AEM，， ∴， ∵M是三条角平分线的交点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴∠1=∠2， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， △DBM∽△EMC， ∴， 即：， 即． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：．． 12. 若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式计算即可，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形边数是， 故答案为：． 13. 已知实数m、n满足m2﹣4m﹣1=0，n2﹣4n﹣1=0，则+=________． 【答案】2或﹣18 【解析】 【分析】分类讨论：当m=n时，易得原式=2；当m≠n时，则可把m、n看作方程x2-4x-1=0的两根，根据根与系数的关系得到m+n=4，mn=-1，再把原式变形，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】当m=n时，原式=1+1=2； 当m≠n时，m、n可看作方程x2−4x−1=0的两根， 则m+n=4，mn=−1， 所以原式====-18， 故答案为2或-18. 【点睛】本题考查的知识点是根与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握根与系数的关系. 14. 已知是的一个内角，且，那么的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的性质，根据正弦函数在锐角范围内的单调性，由可得，结合为锐角可得取值范围． 【详解】解：在中，内角可能是锐角或直角， 当时，，不满足，故不可能是直角， ∴只能是锐角，即， ∵， ∴， ∵为锐角， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，两条对角线交于点O，将沿翻折到交AB于点E，连接分别交于点．若____________． 【答案】2 【解析】 【分析】由翻折与平行四边形性质，推得、，进而得．由，得，故．由得，利用及，求出．由，得． 【详解】由翻折可知：，垂直平分， ，，． 由平行四边形可知：，， ，，． ，， ，． ，，且，， ． 又， ． ​，则． ，即． ， ． ​ 已知，则． 由翻折性质， ． 【点睛】本题考查平行四边形性质、翻折性质、等腰三角形判定、相似三角形．运用了转化思想、方程思想．解题关键为证，结合比例得，为相似提供比例． 三、解答题一（共3小题，每题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质、立方根的定义及平方差公式进行化简，再进行加减运算即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】船向岸边移动了米 【解析】 【分析】先算收绳后绳长，再分别在两个直角三角形中用勾股定理求出初始水平距离和收绳后水平距离，最后用得到船移动的距离． 【详解】解：∵此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置， ∴收绳长度：（米）， ∵开始时绳子的长为10米， （米）， 中，米，米， （米） 在中，米，米， （米），​ （米），​ 答：船向岸边移动了米． 18. 如图，直线与直线相交于点O，点P是直线上一点． （1）请利用尺规作图：过点P作直线平行线（点M在直线的左侧，点N在直线的右侧）． （2）在（1）条件下，平分平分与相交于点G，已知，，求点到直线的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作，根据同位角相等，两直线平行，即可得解； （2）过点作，垂足为，根据平行线的性质得到，再根据角平分线的性质结合三角形内角和定理可得，从而根据等面积公式列式计算即可； 【小问1详解】 解：如图所示，直线即为所求； ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ，，，， ． 四、解答题二（共3小题，每题9分，共27分） 19. 今年月日是第个国际禁毒日，某校八年级，班开展了一次禁毒知识竞赛，每班选名同学参赛，成绩评为，，，四个等级，相应等级的得分依次为分，分，分，分，将两个班的成绩整理后，绘制成如下统计图表： 平均数 中位数 众数 1班 2班 （1）请把班竞赛成绩统计图补充完整； （2）计算出表格中，，的值： __________， __________， __________； （3）请你根据平均数和众数，分析比较班和班的竞赛成绩． 【答案】（1）见解析 （2） （3）二班的成绩相对较好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、平均数、中位数、众数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出一班竞赛成绩为等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）由平均数、众数、中位数的定义进行计算即可得出答案； （3）根据众数和平均数进行分析即可． 【小问1详解】 （1）解： 补图如下： 小问2详解】 解：， 一班竞赛成绩处于第个数为，故中位数为， 由二班竞赛成绩的统计图可得，处于等级的人数最多，故众数为，即， 故答案为：； 【小问3详解】 二班的成绩相对较好，理由如下： 两个班级的平均数相等都是，一班的众数为，二班的众数为，二班的众数大于一班的众数，因此二班的成绩相对较好． 20. 某班级施行量化等级评价方案，量化评价等级记录在量化手册中． （1）如图，量化评价手册存放时，可以按竖放、平放两种方式放在同一个书架上，并且要求书脊朝外，方便我们查阅，每本量化手册的厚度和高度相同．设厚度为，高度为．由图，可得方程组请将上述方程组补充完整． （2）某次量化评价获得等级和等级的学生共30人，且等级的学生比等级的学生多4人，求等级和等级的学生人数． 【答案】（1） （2）获得等级的学生有17人，等级的学生有13人 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． （1）根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式即可． （2）设获得等级的学生有人，等级的学生有人．由题意，得，解方程组即可． 【小问1详解】 解：根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式得， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设获得等级的学生有人，等级的学生有人． 由题意，得 解得 答：获得等级的学生有17人，等级的学生有13人. 21. 已知抛物线． （1）用配方法求此抛物线顶点坐标： （2）如果将该抛物线沿轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式转化与上下平移变换， （1）关键是通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，根据顶点式的性质直接得到顶点坐标； （2）关键是掌握抛物线沿轴平移的规律：上加下减，通过待定系数法代入已知点的坐标求解平移参数，进而得到平移后的解析式． 【小问1详解】 解：， 此抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：设平移后的抛物线表达式为(为常数)， 平移后的抛物线经过点， ，解得， 平移后的抛物线表达式为． 五、解答题三(第22题13分，第23题14分，共27分) 22. 【问题引入】 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，求的最小值．     【问题解决】 （1）小明同学提出了以下思路：如图，延长至点，使得，连接，当，，三点共线时，最小． ①与的数量关系是____________． ②的最小值为____________． 【能力运用】 （2）小涵同学发现，若将题目中的“”改为“”，我们就可以求出的最小值，如图，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】 （3）小晴同学又发现，当点，在矩形的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图，点，在对角线上，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①，②；（2）的最小值为，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质证明即可； ②连接，由勾股定理求得，结合①的结论得，则当点，，共线时，取得最小值为； （2）延长至点，使得，连接，，证明得，继而得到，当点，，共线时，取得最小值为，再由勾股定理求出即可； （3）延长至点，使得，连接，，证明得，继而得到，则当点，，三点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②连接，如图， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 在中，， ∵， ∴当点，，共线时，取得最小值为， 故答案为：； （2）解：的最小值为． 理由：延长至点，使得，连接，，如图，     ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点，，共线时，取得最小值为， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴的最小值为； （3）解：延长至点，使得，连接，，如图，   ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点，，三点共线时，取得最小值为， ∵四边形是矩形，，， ∴，， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是转化思想的运用． 23. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标； （2）将直线向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，若，求a的值； （3）若点P为x轴正半轴上一个动点，在反比例函数图象上是否存在一点M，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一次函数图象的平移，反比例函数比例系数的几何意义等；能利用全等三角形的判定及性质，一次函数图象的平移，反比例函数比例系数的几何意义进行求解是解题的关键． （1）联立两个函数的解析式求解即可； （2）过点作轴交于点，作轴交于点，作轴交于点，由反比例函数比例系数的几何意义得，由平移得，由即可求解； （3）过点作轴交于点，过点作轴交于点，由判定，由全等三角形的性质得，，即可求解． 【小问1详解】 解：联立得，， 解得，； ，． 【小问2详解】 解：过点作轴交于点，作轴交于点，作轴交于点， ，四边形是矩形， 将直线向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故的值为； 【小问3详解】 解：存在； 如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， （）， ，， ， ， ， 即， 在反比例函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东清远市松岗中学2025-2026学年下学期九年级数学学科练习 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 某校举行数学知识竞赛，若得分记作分，那么扣分应记作( ) A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 2. 一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．从左面看到的这个几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年3月，中国科研团队成功实现从中国本土到南非的12900公里点对点量子通讯，这标志着保密通讯技术的重大突破．将12900用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，F为上一点，，且平分，于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④平分．其中正确的结论有（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①③④ 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的袋子中装有红色小球4个和白色小球2个，除颜色外其他都相同，现随机抽取1个小球，恰好摸到红球的概率为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在中，已知，垂直平分，，则（ ） A. B. C. D. 8. 不等式组的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 无解 9. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A B. C D. 10. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是______． 13. 已知实数m、n满足m2﹣4m﹣1=0，n2﹣4n﹣1=0，则+=________． 14. 已知是的一个内角，且，那么的取值范围是______________． 15. 如图，在平行四边形中，两条对角线交于点O，将沿翻折到交AB于点E，连接分别交于点．若____________． 三、解答题一（共3小题，每题7分，共21分） 16 计算：． 17. 如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 18. 如图，直线与直线相交于点O，点P直线上一点． （1）请利用尺规作图：过点P作直线的平行线（点M在直线的左侧，点N在直线的右侧）． （2）在（1）条件下，平分平分与相交于点G，已知，，求点到直线的距离． 四、解答题二（共3小题，每题9分，共27分） 19. 今年月日是第个国际禁毒日，某校八年级，班开展了一次禁毒知识竞赛，每班选名同学参赛，成绩评为，，，四个等级，相应等级的得分依次为分，分，分，分，将两个班的成绩整理后，绘制成如下统计图表： 平均数 中位数 众数 1班 2班 （1）请把班竞赛成绩统计图补充完整； （2）计算出表格中，，的值： __________， __________， __________； （3）请你根据平均数和众数，分析比较班和班的竞赛成绩． 20. 某班级施行量化等级评价方案，量化评价等级记录在量化手册中． （1）如图，量化评价手册存放时，可以按竖放、平放两种方式放在同一个书架上，并且要求书脊朝外，方便我们查阅，每本量化手册的厚度和高度相同．设厚度为，高度为．由图，可得方程组请将上述方程组补充完整． （2）某次量化评价获得等级和等级的学生共30人，且等级的学生比等级的学生多4人，求等级和等级的学生人数． 21. 已知抛物线． （1）用配方法求此抛物线顶点坐标： （2）如果将该抛物线沿轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式． 五、解答题三(第22题13分，第23题14分，共27分) 22. 【问题引入】 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，求的最小值．     【问题解决】 （1）小明同学提出了以下思路：如图，延长至点，使得，连接，当，，三点共线时，最小． ①与的数量关系是____________． ②的最小值为____________． 【能力运用】 （2）小涵同学发现，若将题目中的“”改为“”，我们就可以求出的最小值，如图，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】 （3）小晴同学又发现，当点，在矩形的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图，点，在对角线上，，请直接写出的最小值． 23. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标； （2）将直线向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限图象交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，若，求a的值； （3）若点P为x轴正半轴上一个动点，在反比例函数图象上是否存在一点M，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $