精品解析：浙江省Z20+名校联盟2025-2026学年第二学期创新班联考高二数学试题卷

浙江省Z20+名校联盟2025学年第二学期创新班联考 高二数学试题卷解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将各个选项逐个代入检验后能得到满足题设条件，或者根据的终边关于轴对称求出方程的通解后比较各选项得到正确的选项. 【详解】法1：因为， 所以（舍）或，其中， 故，比较各选项后只有A中符合. 法2：对于A，当时，，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误； 2. 已知向量满足，若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上的投影向量为，再构建方程求解． 【详解】由为在上的投影向量， 则， 所以， 所以． 3. 设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由空间中的线面关系结合充分必要条件的判断得答案 【详解】由，，则，又，所以，故“”是“”的充分条件. 当满足，，时，直线可能平行，可能相交，也可能异面. 故“”不是“”的必要条件. 故选：A 4. 已知圆，直线，则圆C上到直线l的距离等于的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先确定圆的圆心坐标与半径, 再求出圆心到直线 的距离, 从而可得结论. 【详解】由题意, 圆心坐标为 , 半径为 , 圆心到直线 的距离为 , 圆 与直线 相交, 且圆 上与直线 的距离等于的点共有 3 个. 故选: C. 5. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列性质，成等比数列，结合等比中项列式求解． 【详解】设，则成等比数列， 即． 6. 已知双曲线的两条渐近线分别为，点为右支上任意一点，它到的距离分别为，到右焦点的距离为，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离及两点间的距离公式，结合函数单调性逐项确定范围即可． 【详解】对于， 不妨取，右焦点， 设，则，即， ， 在上单调递增， 当， ，故A错误； ， ，，故B错误； 而，， 即的取值范围为，故C正确； 设焦点到渐近线的距离为， ，，故D错误． 7. 一个几何体垂直投影到平面上，形成图形，我们就称为在平面上的正投影．在长方体中，，的中点分别是，则长方体在平面上的正投影的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据法向量的求解方式得到平面的一个法向量为，再求出四边形、、在平面的正投影面积即可． 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 于是， 设平面的一个法向量为， ，令，可得法向量． 分别取平面法向量为， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 于是四边形在平面的正投影面积为， 四边形在平面的正投影面积为， 四边形在平面的正投影面积为， 所以总正投影面积． 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过构造函数，利用导数确定函数单调性，结合单调性比较大小． 【详解】设， ， 在上，，故， 则在上单调递增， ，即，即，故， 又，所以，即，故， 综上，． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某同学掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计后发现平均数为2，方差为0.8，则（ ） A. 一定没有出现点数6 B. 中位数可能为2 C. 众数可以是1和3 D. 可能出现4点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据数字特征，结合题意逐项判断即可． 【详解】若出现6，则，故A正确； 若5次分别为1，1，2，3，3， 此时均值为， 方差为， 中位数为，众数可以是1和3，故BC正确； 若出现一次4，则， 故另外四次只能均为2，则与平均数2矛盾，故D错误． 10. 已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点，，，，满足，下列结论中正确的有（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最小值为16 【答案】ACD 【解析】 【分析】当有，，共线，结合抛物线通径的性质判断A；令，设直线的方程为，联立抛物线，应用韦达定理及抛物线的定义确定弦长，进而计算可判断B；当有，，三点共线，，，三点共线，令，直线的方程为，直线的方程为，结合焦半径公式计算可判断C，利用焦半径公式与基本不等式计算可判断D. 【详解】当时，有，故，，三点共线， 所以是一条焦点弦，其最小值为通径长度为，故A正确； 令，而，可设直线的方程为， 联立，消去得，所以， 则， ， 所以，故B错误； 当时，有， 所以，，三点共线，，，三点共线，如下图所示， 令， 直线的方程为，直线的方程为， 可得， 同B分析得，，，， 所以 ，故C正确； ， 当，即时取等号， 所以的最小值为16，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数（质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数）的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为．则下列说法正确的是（ ） A. B. 对正整数， C. D. 若且， 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据定义计算即可；对于B，取排除即可；对于C，取排除即可；对于D，利用定义由组合数定义以及二项式定理计算可得． 【详解】A项：，所以，故正确； B项：取，则，故错误； C项：取，则， 则，故错误； 项：，且，所以，且为偶数， ， ， 所以， 所以，故正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____． 【答案】2 【解析】 【详解】 ． 13. 已知等差数列中，，公差为数列的前项和，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据题意，， 所以， 数列的周期为2，且，， 当为偶数时，； 当为奇数时，； 综上可知，． 14. 设正实数满足，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】构造，利用等面积法列式求解． 【详解】因为，所以， 构造，令， 由余弦定理可知，则， 同理，，且， 此时，为直角三角形， 由， 得， 所以． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解观看某场“蒙超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“蒙超”赛事与性别有关； （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“蒙超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和期望. 附：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）关注“蒙超”赛事与性别有关 （2）分布列见解析，1 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验的概念，计算，判断假设是否成立即可； （2）根据超几何分布的概念和性质，计算分布列，进而求出期望. 【小问1详解】 零假设：关注“蒙超”赛事与性别无关， 经过计算. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以能认为关注“蒙超”赛事与性别有关. 【小问2详解】 由分层抽样知抽取男性市民4人，女性市民2人， X的取值为0，1，2， ， ， ， 0 1 2 所以. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． （1）若，，求面积的最大值； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、三角形面积公式、基本不等式进行求解即可； （2）运用正弦定理，结合同角的三角函数关系中的商关系进行求解即可. 【小问1详解】 当时，D是的中点，所以， 两边同时平方，得， 即，即． 又由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，所以． 所以，即面积的最大值为． 【小问2详解】 设，则，． 在中，由正弦定理得， 即．① 在中，由正弦定理得， 即．② 当时，， 又，， 代入①②中，化简得， 所以，得， 即． 17. 如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面底面． （1）若侧面为正三角形，求二面角的余弦值； （2）若，以正方形为底面作正方体，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，记，的交点为，连接，再根据二面角的定义，可证得就是二面角的平面角，再求其余弦值即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可． 【小问1详解】 取中点，记，的交点为，连接． 因为为正方形，所以； 又因为平面底面，平面底面， 所以平面，所以． 因为为正三角形，所以，，且两直线在平面内， 所以平面平面， 所以，而， 所以二面角平面角为， 所以． 【小问2详解】 以为轴，为轴，过点的平面的垂线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系, 不妨设，则，，，, 设，则, 因为，所以①, 由（1）可知，，所以，即②, 以正方形为底面作正方体， 不妨取，则, 设平面的法向量为， 因为， 所以，取． 设直线与平面所成的角为， 则， 平方得， 又因，所以， 当且仅当时等号成立，此时可取，符合题意， 故的最大值为． 18. 已知函数． （1）讨论函数的极值点个数； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分别讨论，，，时导数的正负，进而求出单调性，根据极值的定义判断极值点个数； （2）求出函数的导数，根据不等式恒成立，分和两种情况求出的范围； （3）要证，只需证成立，然后构造函数，证明即可． 【小问1详解】 由条件得，令，则． ① 当时，，在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故此时有1个极小值点为0，无极大值点； ②当时，令可得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， （i）当时，，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极大值点，是的极小值点． （ii）当时，，即恒成立，所以无极值点． （iii）当，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极小值点，是的极大值点． 综上所述：当时，有一个极值点；当时，没有极值点；当或时，有两个极值点. 【小问2详解】 由（1）得，①当时，在上，，单调递增， 所以，即， 所以在上为增函数，所以，所以时满足条件． ②当时，在上，单调递减， 所以当时，有，即， 在上为减函数，所以，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 由（1）得，当时，，即， 要证不等式，故只需证明， 只需证明，只需证， 设，则， 所以当时，恒成立，故在上单调递增， 又，所以恒成立，所以原不等式成立． 19. 已知椭圆的标准方程为分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一动点，且在轴上方，延长分别交椭圆于点． （1）证明：的周长大于8； （2）若，求直线的方程； （3）求面积的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义即可证明； （2）联立直线与椭圆方程，求出点的坐标，进而求出直线的方程. （3）设直线方程，利用韦达定理表示出三角形的面积，再结合导数求解最值即可． 【小问1详解】 连接， 注意到， 故的周长为． 【小问2详解】 设， 由，且连接，注意到， 故的周长为． ，故， 又，即， 因此，故直线的方程为：， 即， 联立，得， 则，即，因此， 而，因此， 故直线的方程为：，即． 【小问3详解】 因为点在轴上方，所以直线，斜率不为0， 设直线，直线， ， 联立，可得，则， 注意到，故， 联立，可得，则， 注意到，故． ，因为， 所以， 则， 设， 则， 则单调递增，故， 则面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省Z20+名校联盟2025学年第二学期创新班联考 高二数学试题卷解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，若为在上投影向量，则向量夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知圆，直线，则圆C上到直线l的距离等于的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知正项等比数列前项和为，若，则（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 6. 已知双曲线的两条渐近线分别为，点为右支上任意一点，它到的距离分别为，到右焦点的距离为，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 7. 一个几何体垂直投影到平面上，形成图形，我们就称为在平面上正投影．在长方体中，，的中点分别是，则长方体在平面上的正投影的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某同学掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计后发现平均数为2，方差为0.8，则（ ） A. 一定没有出现点数6 B. 中位数可能为2 C. 众数可以是1和3 D. 可能出现4点 10. 已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点，，，，满足，下列结论中正确的有（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最小值为16 11. 已知莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数（质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数）的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为．则下列说法正确的是（ ） A. B. 对正整数， C. D. 若且， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____． 13. 已知等差数列中，，公差为数列的前项和，则_____． 14. 设正实数满足，则_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解观看某场“蒙超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“蒙超”赛事与性别有关； （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“蒙超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和期望. 附：，. 0.01 0.005 0001 6.635 7.879 10.828 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． （1）若，，求面积的最大值； （2）若，，求． 17. 如图，已知四棱锥底面为正方形，平面底面． （1）若侧面为正三角形，求二面角的余弦值； （2）若，以正方形为底面作正方体，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 18. 已知函数． （1）讨论函数的极值点个数； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明． 19. 已知椭圆的标准方程为分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一动点，且在轴上方，延长分别交椭圆于点． （1）证明：的周长大于8； （2）若，求直线的方程； （3）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $